Automatentheorie und formale Sprachen

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1 Automatentheorie und formale Sprachen VL 8 Chomsky-Grammatiken Kathrin Hoffmann 23. Mai 2012 Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

2 Wortproblem Wortproblem ist das Entscheidungsproblem, zu einem gegebenen Wort w festzustellen, ob dieses zur Sprache L gehört oder nicht. Die Sprache L hat also ein entscheidbares Wortproblem, wenn es einen Algorithmus gibt, der in endlicher Zeit herausfindet, ob w L oder nicht. Jedes Entscheidungsproblem lässt sich als Wortproblem einer formalen Sprache kodieren. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

3 Wortproblem Gegeben ist eine Sprache L Σ. Das Wortproblem ist die Frage, ob w L. Das Wortproblem einer Sprache L ist entscheidbar, wenn ihre totale charakteristische Funktion χ L : Σ {0, 1} berechenbar ist. Das Wortproblem einer Sprache L ist semi-entscheidbar, wenn ihre partielle charakteristische Funktion χ L : Σ {0, 1} berechenbar ist. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

4 Das Wortproblem für reguläre Sprachen ist einfach!! Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

5 Korrespondenz: Grammatik - Automat Eine reguläre Grammatik G erzeugt eine reguläre Sprache L(G)???? Wort w L(G), wenn der dazugehörige Automat A das Wort akzeptiert, also wenn w L(A). Was bedeutet dazugehörig? Automat A akzeptiert genau die Wörter, die Grammatik G erzeugt also: L(A) = L(G) Zu beweisen: Alle Wörter, die A akzeptiert, werden von G erzeugt. Alle Wörter, die G erzeugt, werden von A akzeptiert. (Das Wortproblem) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

6 Akzeptierte Sprache Satz Aus jedem DEA A kann man eine äquivalente reguläre Grammatik G konstruieren (mit L(A) = L(G) ) d.h. reguläre Sprachen können durch reguläre Grammatiken erzeugt werden. Konstruktion: Zustandsüberführungen bilden ein Regelsystem aus A = (Q, Σ, δ, q 0, F) wird G = (Q, Σ, q 0, R) wobei für R gilt: δ(p, x) = q wird zu p xq und zusätzlich q ɛ für q F Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

7 Äquivalente Grammatik Sei Automat A = (Q, Σ, δ, q 0, F) gegeben. Die äquivalente Grammatik G = (Q, Σ, q 0, R) wird wie folgt konstruiert: Q Σ q 0 Zustände sind nichtterminale Zeichen Eingabesymbole sind terminale Zeichen Anfangszustand ist Startsymbol R = {p xq p, q Q, x Σ, δ(p, x) = q} {q ɛ q F} Zustandsüberführung und Endzustände werden zu Regeln Beweis: L(A) L(G) L(G) L(A) (Hausaufgabe) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

8 Aufgabe 44: Gegeben sei dieser endliche Automat. Geben Sie bitte die reguläre Grammatik an, für die L(G) = L(A) gilt. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

9 Aufgabe 44: Gegeben sei dieser endliche Automat. Geben Sie bitte die reguläre Grammatik an, für die L(G) = L(A) gilt. Hinweis für R gilt: δ(p, x) = q wird zu p xq und zusätzlich q ɛ für q F Lösung G = ({q0, q1, q2}, {0, 1}, q0, {q0 1q2, q0 0q1, q1 0q0, q1 1q2, q2 1q2, q2 0q2, q0 ɛ}) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

10 Satz Zu jeder regulären Grammatik G kann man einen äquivalenten endlichen Automaten A konstruieren (L(A) = L(G)), d.h. reguläre Grammatiken erzeugen reguläre Sprachen. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

11 Äquivalenter Automat Sei Grammatik G = (N, T, S, P) gegeben. Der äquivalente Automat A = (N, T, δ, S, F) wird wie folgt konstruiert: N Zustände sind die nichtterminalen Zeichen T Eingabesymbole sind die terminalen Zeichen S Anfangszustand ist das Startsymbol δ??? Zustandsüberführungen werden aus den Erzeugungsregeln konstruiert. Aber wie? F??? Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

12 Probleme bei der Regelübersetzung Grammatikregeln sind zu groß oder trivial : zu groß : Y uz mit u > 1 trivial : Y Z Forderung: Grammatik in Normalform. Terminale Regeln: Y x oder Y ɛ Endzustände hinzufügen Nichtdeterministische Regeln: es gibt zwei Regeln Y xz und Y xz mit Z Z Die übersetzte Zustandsüberführung wäre keine Funktion mehr. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

13 Normalform Eine reguläre Grammatik G = (N, T, S, R) ist in Normalform, falls jede Regel in R eine der folgenden Formen hat: X yz X y X ɛ mit X, Z N und y T. Verboten: X Z und X vz mit v T T + Jede reguläre Grammatik kann in Normalform gebracht werden. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

14 Konstruktion der Normalform Satz Zu jeder regulären Grammatik G existiert äquivalente reguläre Grammatik G in Normalform, d.h. L(G) = L(G ) Konstruktion: Alle Regeln X y 1...y n Z in G mit y i T, n > 1, Z N {ɛ} löschen und X y 1 X 1 X i y i+1 X i+1 für 1 < i < n 1 und X n 1 y n Z in G ergänzen sowie N um X 1,..., X n 1 erweitern Alle Regeln X Z in G löschen und für V yx in G Regel V yz ergänzen Beweisidee: Für jede Ableitung S = G w existiert S = G w und umgekehrt. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

15 Beispiel: Konstruktion von Normalform L = {(00) n 1 n 0} G = (N, T, S, R) G = (N, T, S, R ) reguläre Grammatik mit L = L(G) äquivalente reguläre Grammatik T = {0, 1} T = {0, 1} N = {S, Z } N = {S, S 1, Z } R : S 00Z 1, Z S erst R 0 : S 0S 1, S 1 0Z, S 1, Z S dann R : S 0S 1, S 1 0Z, S 1 0S, S 1 Beispielableitung: Beispielableitung: S = 00Z = 00S = 001 S = 0S 1 = 00S = 001 Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

16 Äquivalenter Automat Satz Für jede reguläre Grammatik G N in Normalform gibt es einen NEA A mit L(G N ) = L(A). Konstruktion: Aus G N = (N, T, S, R) lässt sich A = (Q, T, S, δ, F) wie folgt konstruieren: Q = N {#} δ(x, a) = {Y X ay R; X, Y N, a Σ} {# X a R; X N, a Σ} F = {#} {X X ɛ R} Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

17 Aufgabe 45: Konstruieren Sie bitte den zu G äquivalenten Automaten: G = ({S, A, B, C}, {a, b, c}, S, R) mit R : S aba bbb ccs A a B C abbb Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

18 Aufgabe 45: Konstruieren Sie bitte den zu G äquivalenten Automaten: G = ({S, A, B, C}, {a, b, c}, S, R) mit R : S aba bbb ccs A a B C abbb Grammatik erst in Normalform: G N = ({S, A, C, X 1,..., X 5 }, {a, b, c}, S, R N ) mit R N : S ax 1 bx 2 cx 3 X 1 ba X 2 bb X 3 cs A a B ax 4 X 4 bx 5 X 5 bb X 2 bc X 5 bc Es gilt L(G) = {(cc) n aba n 0} = L(G N ) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

19 Lösung von Aufgabe 45 Und der dazugehörige Automat mit L(A) = {(cc) n aba n 0} Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

20 Kontextfreie Grammatiken und Sprachen Beispiel: L = {a n b n n > 0} kontextfreie Erzeugung: S asb ab eine Ableitung für das Wort aaabbb: S = asb = aasbb = aaabbb Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

21 Kontextfreie Grammatik Definition Eine kontextfreie Grammatik ist ein 4er-Tupel G = (N, T, S, R) wobei N: endliche Menge von Nichtterminalen T : endliche Menge von Terminalsymbolen. Dabei gilt N T =. S: das Startsymbol S N R: eine Regelmenge bestehend aus Regeln u v mit einer linken Seite u = X mit X N und einer rechten Seite v mit v (N T ) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

22 Kontextfreie Grammatik Definition Eine kontextfreie Grammatik ist ein 4er-Tupel G = (N, T, S, R) wobei N: endliche Menge von Nichtterminalen T : endliche Menge von Terminalsymbolen. Dabei gilt N T =. S: das Startsymbol S N R: eine Regelmenge bestehend aus Regeln u v mit einer linken Seite u = X mit X N DAHER kontextfrei und einer rechten Seite v mit v (N T ) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

23 BSP geklammerte Ausdrücke über Σ = {a, b, c, +, (, )} Beispielwörter: a, (b + b), ((a + b) + (b + c) + a) kontextfreie Grammatik G = (N, Σ, S, R) : N = {S} R : S S + S (S) a b c Beispielableitung: S = (S) = (S + S) = ((S) + S) = ((S) + S + S) = ((S) + (S) + S) = ((S + S) + (S + S) + S) = ((a + b) + (b + c) + a) Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

24 Kontextfreie Sprache Die von einer kontextfreien Grammatik G = (N, T, S, R) erzeugte Sprache L(G) = {w T S = G w} Definition Eine Sprache L Σ heißt kontextfrei, wenn es eine kontextfreie Grammatik G mit T = Σ gibt, so dass L = L(G) gilt. Satz: Jede reguläre Sprache ist kontextfrei. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

25 Aufgabe 46: Geben Sie bitte Grammatiken für die folgenden Sprachen an und erzeugen Sie die Beispielwörter. 1 L 1 = {w {a, b, c} w = w R } Beispielwörter abcba, aabbaa 2 L 2 = {a n b 2n c m n, m > 0} Beispielwort abbc Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

26 Aufgabe 46: Geben Sie bitte Grammatiken für die folgenden Sprachen an und erzeugen Sie die Beispielwörter. 1 L 1 = {w {a, b, c} w = w R } Beispielwörter abcba, aabbaa 2 L 2 = {a n b 2n c m n, m > 0} Beispielwort abbc 1 S 1 as 1 a bs 1 b cs 1 c a b c ɛ S 1 = as 1 a = abs 1 ba = abcba S 1 = as 1 a = aas 1 aa = aabs 1 baa = aabbaa 2 S 2 AC A aabb abb C cc c S 2 = AC = abbc = abbc Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

27 Ableitungsbaum Ableitungsbaum für ein Wort einer kontextfreien Sprache bei regulären Sprachenwird Wort mit einer Regelfolge erzeugt bei einer kfg die Ableitung eine Baumstruktur man unterscheidet Rechtsableitung / Linksableitung Definition Die Rechtsableitung R bedeutet, daß das am rechtesten stehende Nonterminal zuerst abgeleitet wird. bedeuted, daß beliebig oft nach rechts abgeleitet wird. R Analog hierzu ist die Linksableitung definiert. Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen

28 Ableitungsbaum Die Erzeugung eines Wortes erfolgt nicht notwendigerweise linear. Beispiel: Ableitungsbaum für ((a + b) + (c) + c) Knoten: Symbole aus N T Wurzel: Startsymbol für Regeln X v 1...v n : An Knoten X werden die Blätter v 1...v n N T angehangen kfg: S S + S (S) a b c Wort: ((a + b) + (c) + c) Ableitungsbaum: Hoffmann (HAW Hamburg) Automatentheorie und formale Sprachen