Grundbegriffe der Informatik Tutorium 33

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1 Tutorium KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Gliederung 1 2 3

3 Ein ist ein Tupel A = (Z, z 0, X, f, Y, h) mit... endliche Zustandsmenge Z Anfangszustand z 0 Z Eingabealphabet X Zustandsübergangsfunktion f : Z X Z Ausgabealphabet Y Ausgabefunktion h : Z X Y Darstellung als Graph Zustände Knoten Startzustand Pfeil an diesen Knoten (ohne Anfang) Zustandsüberführungsfunktion Kanten mit Beschriftung Ausgabefunktion zusätzliche Kantenbeschriftung

4 Beispiel

5 Ein ist ein Tupel A = (Z, z 0, X, f, Y, h) mit... endliche Zustandsmenge Z Anfangszustand z 0 Z Eingabealphabet X Zustandsübergangsfunktion f : Z X Z Ausgabealphabet Y Bis hierhin alles wie bei Mealy! Ausgabefunktion h : Z Y Bemerkung Für jeden en kann man einen en konstruieren, der genau die gleiche Aufgabe erfüllt, und umgekehrt.

6 Umwandlung Mealy- in Links ein Mealy-, rechts ein Aufgabe Wie sieht der als äquivalenter aus, wie sieht der als äquivalenter aus?

7 Sonderfall von en Bei einem Akzeptor will man nur wissen, ob die Eingabe akzeptiert wurde oder nicht (also reicht ein Bit als Ausgabealphabet) Statt der Ausgabefunktion h schreibt man einfach die Menge der akzeptierenden Zustände F Z auf Zustände, die nicht akzeptieren, heißen ablehnend Im Graphen werden akzeptierende Zustände einfach mit einem doppelten Kringel gekennzeichnet

8 Akzeptierte Wörter und Sprachen Akzeptierte Wörter Ein Wort w X wird vom endlichen Akzeptor akzeptiert, wenn man ausgehend vom Anfangszustand bei Eingabe von w in einem akzeptierenden Zustand endet. Bemerkung Wird ein Wort nicht akzeptiert, dann wurde es abgelehnt Akzeptierte formale Sprache Die von einem Akzeptor A akzeptierte formale Sprache L(A) ist die Menge aller von ihm akzeptierten Wörter.

9 Aufgabe zu endlichen Konstruiere einen endlichen Akzeptor, der die Sprache L 1 (A) = {w {a, b} : (N a (w) 3 N b (w) (2)} erkennt. Lösung

10 Aufgabe zu endlichen Konstruiere einen endlichen Akzeptor, der die Sprache L 2 (A) = {w 1 ababbw 2 w 1, w 2 {a, b} } erkennt. Lösung Aufgabe Konstuiere einen endlichen Akzeptor der die Sprache L 3 = {w {a, b} w L 2 } akzeptiert. Lösung Ablehnende Zustände wereden zu akzeptierenden und andersrum.

11 Aufgaben zu endlichen Gebe für den unten stehenden an, welche Sprache dieser akzeptiert. Gebe für die folgende Sprache über dem Alphabet {a, b} einen endlichen Akzeptor an: L = {w Σ N a (w) mod 3 > N b (w) mod 2}

12 Lösungen Lösung 1 L = {w Σ w mod 2 = 1} (Worte ungerader Länger) Lösung 2

13 Wann wird das leere Wort ε von einem endlichen Akzeptor akzeptiert? ε L(A) gilt genau dann, wenn der Startzustand akzeptiert wird.

14 r Ausdruck r Ausdruck Alphabet Z = {, (, ),, } von "Hilfssymbolen" Alphabet A enthalten keine Zeichen aus Z Ein regulärer Ausdruck (RA) über A ist eine Zeichenfolge über dem Alphabet A Z, die gewissen Vorschriften genügt. Vorschriften ist ein RA Für jedes x A ist x ein RA Wenn R 1 und R 2 RA sind, dann auch (R 1 R 2 ) und (R 1 R 2 ) Wenn R ein RA ist, dann auch (R )

15 Klammerregeln Stern- vor Punktrechnung Punkt- vor Strichrechnung R 1 R 2 R 3 Kurzform für (R 1 (R 2 (R 3 ))) Bei mehreren gleichen Operatoren ohne Klammern links geklammert R 1 R 2 R 3 Kurzform für ((R 1 R 2 ) R 3 ) Aufgabe Entferne so viele Klammern wie möglich, ohne die Bedeutung des RA zu verändern. (((((ab)b) ) ) ( )) (abb) ((a(a b)) b) a(a b) b

16 Alternative Definition Wir können die Syntax von regulären n auch über eine kontextfreie Grammatik definieren. Aufgabe Vervollständigt die folgende Grammatik. G = ({R}, {, (, ),, } A, R, P) mit P = {R, R x (mit x A), R (R R), R (RR), R (R ) R ε} Wieso brauchen wir ε?

17 Durch R beschriebene Sprache Notation Spitze Klammern, Regeln = {} x = {x} für jedes x A R 1 R 2 = R 1 R 2 R 1 R 1 = R 1 R 2 R = R

18 Charakterisierung regulärer Sprachen Satz Für jede formale Sprache L sind äquivalent: 1. L kann von einem endlichen Akzeptor erkannt werden. 2. L kann durch einen regulären Ausdruck beschrieben werden 3. L kann von einer rechtslinearen Grammatik erzeugt werden. Solche Sprachen heißten regulär.

19 Anwendung von regulären n Zum selbst probieren: Achtung: in praktischer Programmierung funktionieren zwar ähnlich, haben aber eine andere Syntax und können teils mehr!

20 Definition Eine rechtslineare Grammatik ist eine reguläre Grammatik G = (N, T, S, P) mit der Einschränkung, dass alle Produktionen die folgende Form haben: X w mit w T oder x wy mit w T, Y N

21 Aufgabe zu rechtslinearen Gebe zu L = {w {0, 1} k N 0 : Num 2 (w) = 2 k + 1} jeweils einen regulären Ausdruck R und eine rechtslineare Grammatik G an, sodass L = R = L(G) gilt. Lösung R = (0 10) (0 1(0) 1) = G = ({S, A}, {0, 1}, S, {S 0S 10 1A, A 0A 1})

22 Informationen Zum Tutorium Lukas Bach Tutorienfolien auf: http: //gbi.lukasbach.com Tutorium findet statt: Mehr Material Donnerstags, 14:00-15: Informatikbau, -107 Ehemalige GBI Webseite: Altklausuren! Zur Veranstaltung Grundbegriffe Klausurtermin: , 11:00 Zwei Stunden Bearbeitungszeit 6 ECTS für Informatiker und Informationswirte, 4 ECTS für Mathematiker und Physiker Zum Übungsschein Übungsblatt jede Woche Ab 50% insgesamt hat man den Übungsschein Keine Voraussetzung für die Klausur, aber für das Modul