Institut für Mathematische Statistik der Westfälischen Wilhems-Universität Münster. Diplomarbeit zur Erlangung des Grades eines Diplom-Mathematikers

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1 Insiu für Mahemaische Saisik der Wesfälischen Wilhems-Universiä Münser Diplomarbei zur Erlangung des Grades eines Diplom-Mahemaikers Der Ri auf der Zinskurve Einsaz eines Zinssrukurmodells in der barwerigen Zinsbuchseuerung PD Dr. Volker Paulsen vorgeleg von: Boris Lüke Schelhowe Im Windhoek 1a Münser Marikel Nr Fachsemeser Ausgabeermin: 7. Juli 2009 Abgabeermin: 29. Okober 2009

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3 Einleiung Das Zinsgeschäf is insbesondere für regionale Banken zu einer wesenlichen Erragsquelle geworden. Wie das Handelsbla in ihrer Ausgabe vom 9. April 2009 beriche, erwirschafen mielgroße Sparkassen bis zu 80% ihres Gewinns aus dem Zinsgeschäf. Uner Zinsgeschäfen verseh man in diesem Zusammenhang meis das bewusse durchführen von Frisenransformaion im Bankbuch. Dies bedeue u.a., dass langfrisige Darlehen kurzfrisig refinanzier werden. Für die Refinanzierung sehen den Banken zum Beispiel der Inerbankenhandel und die Spareinlagen der Kunden zur Verfügung. Sind die kurzfrisigen Zinsen am Kapialmark deulich geringer als die langfrisigen Zinsen, so is die Frisenransformaion für Krediinsiue besonders ineressan. Die Zinssrukurkurve wird in diesem Fall als seil bezeichne. Differenz zwischen 1-jährigen und 10-jährigen Zinsen invers flach seil Spread in BP absolue Häufigkei relaive Häufigkei kleiner als ,11 zwischen -100 und ,79 zwischen -50 und ,90 zwischen 0 und ,38 zwischen 50 und ,85 zwischen 100 und ,79 größer als ,17 Tabelle 0.1.: Daengrundlage der Auswerung sind die Zinssrukurdaen der Bundesbank auf 1-Monasbasis. iii

4 Die Tabelle 0.1 zeig die Häufigkeisvereilung der Zinsdifferenz zwischen 1 jährigen und 10 jährigen Zinsen in Basispunken 1. In mehr als 80% der Fälle lieg ein posiiver Laufzeispread vor. Eine deulich seile Zinskurve läss sich in knapp 60% der Fälle idenifzieren. Generell werden zwei Aren von Frisenransformaion unerschieden, welche auch kombinier werden können: (1) Refinanzierungsransformaion: Das zur Verfügung geselle Kapial und die zur Refinanzierung aufgenommenen Geldmiel besizen eine uneinheiliche Kapialbindungsdauer. (2) Zinsfrisenransformaion: Das zur Verfügung geselle Kapial und die zur Refinanzierung aufgenommenen Geldmiel besizen eine uneinheiliche Zinsbindungsdauer. Die Tabelle 0.2 verdeulich diesen Zusammenhang auf Basis einer Kredivergabe (grüne Käsen) und der zugehörigen Refinanzierung am Kapialmark (roe Käsen). Zinsfrisenransformaion Riding he Yield Curve Nein Ja Refinanzierungsransformaion Riding he Spread Curve Nein Ja Laufzei 3 Jahre Kupon fix (z.b. fesverzinsliches Darlehen) Laufzei 3 Jahre Kupon fix (z.b. fesverzinsliches Darlehen) Laufzei 3 Jahre Kupon variabel (z.b. FRN mi 1-Jahres Anpassung) rollierend - Laufzei 1 Jahr Kupon fix (z.b. Darlehen mi Laufzei 1 Jahr) Laufzei 3 Jahre Kupon fix (z.b. fesverzinsliches Darlehen) Laufzei 3 Jahre Kupon variabel (z.b. Mix aus verschiedenen FRN) Laufzei 3 Jahre Kupon fix (z.b. fesverzinsliches Darlehen) rollierend - Laufzei 1 Jahr Kupon fix (z.b. Darlehen mi Laufzei 1 Jahr) Tabelle 0.2.: Beispiele verschiedener Frisenransformaionsaren Basispunke ensprechen einem Prozenpunk iv

5 Allerdings ensehen durch die ursprüngliche Kredivergabe und je nach Ar und Umfang der Frisenransformaion für das Krediinsiu durchaus exisenzbedrohende Risiken: (i) das Ausfallrisiko, d.h der Kredi kann nich durch den Schuldner des langfrisigen Darlehens zurückbezahl werden. (ii) das Zinsänderungsrisiko, d.h. aufgrund einer Veränderung der markgegebenen Zinssrukurkurve kann eine Refinanzierung nur zu erhöhen Kosen erreich werden. (iii) das Refinanzierungsrisiko (Liquidiäsrisiko), d.h. aufgrund einer Veränderung der eigenen Refinanzierungskurve kann eine Refinanzierung nur unzureichend oder zu erhöhen Kosen erreich werden. Das Aufallrisiko wird meis im Zuge der Kredirisikoseuerung von Banken separa geseuer. Aus diesem Grund wird im weieren Verlauf dieser Arbei davon ausgegangen, dass der Kredinehmer seinen Kredi vollsändig und frisgerech bedien. Für die Seuerung des Zinsänderungsrisiko ha sich in den lezen Jahren die barwerige Zinsbuchseuerung durchgesez. Sie biee den Voreil, dass die gesamen zukünfigen Zahlungen berücksichig werden. Eine idealypische Vorgehensweise wird im ersen Kapiel vorgesell. Deaillierere Berachungen und eine beriebswissenschafliche Rechferigung dieser Seuerungsmehode finden sich u.a. bei [20], S. 157ḟf und in [25]. Im Zuge der barwerigen Zinsbuchseuerung wird häufig in der Lieraur ( vgl. u.a. [10] und [29] ) und in der Bankpraxis ( vgl. exemplarisch [17], S. 32 ) eine Hisorische Simulaion verwende. Die implizie Prämisse der Hisorischen Simulaion is, dass die hisorische Enwicklungen eine gue Schäzung für zukünfige Zinsänderungen sind. Der Haupeil dieser Arbei widme sich der Fragesellung, inwiefern durch die Verwendung eines Zinssrukurmodells die barwerige Zinsbuchseuerung verbesser werden kann. Dazu wird in dem zweien Kapiel dieser Arbei das verwendee Zinssrukurmodell vorgesell und mahemaisch deaillier hergeleie. v

6 In dem drien Kapiel werden zwei Arbeishypohesen aufgesell, die mi Hilfe einer Vergleichsrechnung zwischen Sochasischer und Hisorischer Simulaion überprüf werden sollen. Für diese Vergleichsrechnung is ein Programm in Excel-VBA programmier worden. In dem weieren Verlauf des Kapiels werden die Ergebnisse dieser Vergleichsrechnung vorgesell. Für diesen Teil der Arbei wird ein isolieres Zinsänderungsrisiko angenommen. Das Refinanzierungsrisiko is ers in den lezen Jahren vermehr in den Fokus gereen. Hofmann ha in seiner Disseraion [9] aus dem Jahre 2008 dargeleg, wie sich der Refinanzierungsfrisenransformaionsbeirag in den Konex der barwerigen Zinsbuchseuerung inegrieren läss. In dem vieren Kapiel wird ein Überblick über den akuellen Sand der Forschung in diesem Bereich aufgezeig. Des Weieren wird dargesell, welchen Anforderungen grundsäzlich ein mahemaisches Modell genügen muss. In dem fünfen Kapiel werden die Simulaionsergebnisse des drien Kapiels einer kriischen Würdigung unerzogen. Des Weieren wird ein Ausblick über mögliche Anknüpfungspunke dieser Arbei gegeben. An dieser Selle möche ich Dr. Volker Paulsen für die Überlassung dieses Themas und die sehr gue Bereuung während der gesamen Zei danken. Ferner bedanke ich mich bei Marin Düllmann und Felix Brinkmann für das Korrekurlesen dieser Arbei. Ein weierer Dank gil Manuel van de Kamp, der insbesondere in der Einarbeiungsphase als Gesprächsparner zur Verfügung sand und zu passender Zei für die nöige Ablenkung von dem Thema gesorg ha. Gemäß 21 Absaz (6) der Diplomprüfungsordnung für den Sudiengang Mahemaik der Wesfälischen Wilhelms-Universiä Münser vom 15. Juli 1998 versichere ich, dass ich die vorliegende Diplomarbei selbsändig verfass und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmiel benuz habe. Münser, 29. Okober 2009 Boris Lüke Schelhowe vi

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9 Inhalsverzeichnis Einleiung iii 1. Die barwerige Zinsbuchseuerung 1 2. Das Zinssrukurmodell Besonderheien der Zinsmodellierung Einführung in die Theorie der Shor Rae-Modelle Das 2-Fakor Gauß-Modell G Die Dynamik der Shor-Rae Der Preis eines Zero-Kupon-Bonds Anpassung an die akuelle Zinssrukurkurve Kalibrierung an die Markdaen Konsrukion eines approximierenden Baumes für die Shor Rae Die Simulaion Ausgangssiuaion Beschreibung der Simulaionsmehoden Analyse der Simulaionsergebnisse Die Refinanzierungsfrisenransformaion Kriische Würdigung und Ausblick 73 A. Nebenrechnungen 76 B. Ergänzende Tabellen und Grafiken 79 C. Daen-CD 83 D. Programmablaufpläne 84 Lieraurverzeichnis 86 ix

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11 1. Die barwerige Zinsbuchseuerung In der Einleiung is dargeleg worden, dass für die Krediinsiue durch das Eingehen von Frisenransformaion durchaus exisenzbedrohende Risiken ensehen. Für die Seuerung dieser Risiken und zur Opimierung des Errages is ein adäquaes Seuerungskonzep nowendig. In den lezen Jahren ha sich vermehr die barwerige Zinsbuchseuerung (alernaive Bezeichnung: werorieniere Seuerung) als Seuerungskonzep für das Zinsänderungsrisiko durchgesez, da die gesamen zukünfigen Zahlungen eines Geschäfes Berücksichigung finden. 1 Bevor im weieren Verlauf dieses Kapiels der Prozess der barwerigen Zinsbuchseuerung vorgesell werden kann, müssen zuers einige grundlegende Begrifflichkeien aus der Theorie der Zinsmodellierung spezifizer werden. Definiion 1.1 (Vgl. [4], S. 12) In einem arbirage-freien Finanzmark seien folgende Bezeichnungen gegeben: (i) Als Diskonfakor B(, T ) wird der Wer im Zeipunk einer risikolosen Auszahlung zum Zeipunk T in Höhe von 1 bezeichne. Ensprechend wird mi B(, ) : [, T ] [0, 1] die Diskonierungsfunkion im Zeipunk bezeichne. Das Inervall [, T ] bezeichne den zu berachenden Zeiraum. (ii) Als Kassazins (Spo Rae) wird der Zinssaz y(, T ) bezeichne, der zum Zeipunk für eine risikolose Anlage bei seiger Verzinsung für den Zeiraum von bis T vereinbar werden kann. 1 siehe auch [14], S

12 1. Die barwerige Zinsbuchseuerung Es gil: B(, T )e y(,t )(T ) = 1 B(, T ) = e y(,t )(T ) (1.1) y(, T ) = ln B(, T ). (1.2) T Die Funkion y(, ) : [, T ] [0, 1] wird als Zinssrukurkurve zum Zeipunk bezeichne. (iii) Als seiger Forwardzins f τ,t wird derjenige Zinssaz bezeichne, der in für eine zukünfige Anlage bei seiger Verzinsung für den Zeiraum τ bis T vereinbar werden kann. Ensprechend wird die Funkion f(, τ, ) = f τ, : [τ, T ] [0, 1] als Forwardzinskurve zum Zeipunk mi Sardaum τ bezeichne. Lemma 1.2 (Vgl. [4], S. 12) Die Diskonierungkurve, die Zinssrukurkurve und die Forwardzinskurve beinhalen in einem arbirage-freien Mark dieselben Informaionen und es gil ferner B(, T ) = B(, τ)e τ,t f (T τ) f τ,t ln B(, T ) ln B(, τ) =. (1.3) T τ Beweis: Aus Gleichung (1.2) is direk ersichlich, dass die Diskonierungskurve und die Zinssrukurkurve dieselben Informaionen enhalen. Die Gleichung (1.3) läss sich mi Hilfe des No-Arbirage-Prinzips folgern: Dazu seien drei endliche Zeipunke < τ < T gegeben. Sraegie A: Anlage eines Nominals N = 1 in dem Zeiraum von bis T zum seigen Kassa-Zinssaz y(, T ) Sraegie B: Anlage eines Nominals N = 1 in dem Zeiraum von bis τ zum seigen Kassa-Zinssaz y(, τ). Anschließend Anlage des Nominals und des Zinserrags für den Zeiraum τ bis T zum seigen Forwardzinsaz f τ,t. 2

13 Beide Sraegien besizen dasselbe Ausgangskapial N und zwischenzeilich wird kein Geld ennommen. Des Weieren sind beide Sraegien risikolos, da die Zahlungshöhe in T für beide Sraegien in bekann is. Sie ensprechen somi duplizierenden Handelssraegien. Ensprechend müssen beide Sraegien in T dieselbe Auszahlungshöhe haben, da ansonsen eine Arbirage-Möglichkei gegeben is. Dies bedeue, dass e y(,t )(T ) = e y(,τ)(τ ) e f τ,t (T τ) e f τ,t (T τ) e f τ,t (T τ) = e y(,τ)(τ ) y(,t )(T ) = (1.1) e B(, τ) B(, T ). Ensprechend gil auch die Gleichung (1.3) und dami die Behaupung. In dem Zinsbuch eines Krediinsius befinden sich alle zinssensiiven Geschäfe. Zu den zinssensiiven Geschäfen gehören uner anderem die Spareinlagen der Kunden, Forderungen und Verbindlichkeien aus dem Inerbankenhandel, ausgegebene Darlehen und Anleihen, sowie Zinsderivae. Für die Errag- und Risikoseuerung des Zinsbuchs kann das Seuerungskonzep der barwerige Zinsbuchseuerung angewende werden. Menninghaus ha in seinem Arikel ( siehe [14], S ) fünf Prozessschrie dieses Konzepes idenifizier: 1. Schri: Cashflow-Prognose des zinssensiiven Geschäfes 2. Schri: Srukuranalyse und Bewerung 3. Schri: Performance und Risikosaus 4. Schri: Risikolimiierung und Seuerungsmaßnahmen 5. Schri: Ex-pos-Analyse und Risikoreporing 3

14 1. Die barwerige Zinsbuchseuerung 1. Schri: Cashflow-Prognose des zinssensiiven Geschäfes Jedes zinssensiive Geschäf generier auf der Akiv- und auf der Passivseie einen Zahlungssrom. Definiion 1.3 Eine reellwerige Folge ( Z (n) ) heiß deerminisischer Zahlungssrom an dem n N Analysesichag, falls Z (n) 0 f.a. n N. Für jedes zinssensiive Geschäfe muss nun, bezogen auf den Analysesichag, ein ensprechender Zahlungssrom über die gesame Laufzei besimm werden. Die zinssensiiven Geschäfe unerscheiden sich jeweils in der Ar und Dauer der Kapialund der Zinsbindung. So sind zum Beispiel bei ausgegebenen Sparbriefen die Zinsund die Kapialbindung über die gesame Laufzei fixier und somi zum Analysesichag vollsändig bekann. Bei Fixzinskredien mi Kündigungsrech is dagegen lediglich der Zins fixier und die Kapialbindung unbesimm. Für Spareinlagen auf Tagesgeld-Konen sind nich nur die Zinsen variabel, sondern auch die Kapialbindung variabel, da ein ägliches Kündigungsrech des Kunden beseh. Ensprechend is für viele Geschäfe lediglich eine Prognose des Cashflows möglich. In der Theorie und in der Bankpraxis sind dafür verschiedene Modelle enwickel worden, die je nach Ar der Zins- und Kapialbindung eingesez werden. Eine Beschreibung dieser Modelle finde sich u.a. in [25] auf den Seien 55 bis 85. Neben der Prognose von Zahlungssrömen is es gegebenenfalls nowendig, Zahlungen, die innerhalb einer besimmen Berachungsperiode (z.b. ein Jahr) anfallen, auf das ensprechende Periodenende zu mappen. Für die Seuerung des Zinsrisikos sind insbesondere Geschäfe mi variabler Zinsbindung und einer fixen Kapialbindung von Bedeuung. Da der Zinssaz sich während der vereinbaren Laufzei verändern kann, benöigen diese Geschäfe eine Prognose der zukünfigen Zinszahlungen. In der Praxis dien für diese Ar von Geschäfen ( siehe [25], S. 57 ) die akuelle Zinskurve als als Grundlage der Prognose. Dies bedeue, dass die variablen Zinszahlungen über die gesame Laufzei als konsan angenommen werden. Bei der nächsen vereinbaren Zinsanpassung erfolg eine Anpassung des gesamen Zahlungssroms auf Grundlage des zu dem Zeipunk vorherschenden Zinsniveaus (siehe auch Abbildung 1.1 auf Seie 7). Auf dem ersen Blick erschein dies nich konsequen, da in Definiion 1.1 der Forwardzinssaz ein- 4

15 geführ worden is. Wird der Forwardzinssaz als Grundlage der Prognose in dem Konex der barwerigen Zinsbuchseuerung verwende, so wird ein sysemaischer Fehler vollzogen. Dies lieg an den implizien Eigenschafen der Forwardzinsen und wird im folgenden Beispiel verdeulich: Beispiel 1.4 Es sei folgende (seile) Zinskurve in = 0 gegeben: Reslaufzei in Jahren seiger Kassazins in % 2 3 3,5 4 Is ein arbirage-freier Mark vorausgesez, so lassen sich mi Lemma 1.2 daraus die zugehörigen Forwardzinssäze berechenen: Forwardzinssaz f 0,1 0 f 1,2 0 f 2,3 0 f 3,4 0 Zinssaz in % 2 4 4,5 5,5 Die berechneen Forwardzinsen seigen im Zeiverlauf sark an. Würden diese Zinsen als Prognose des Cashflows für eine jährlich sich wiederholende Krediaufnahme verwende werden, so würden deulich zu hohe Refinanzierungskosen angesez und eine sysemaische Fehlprognose verwende. Ein ensprechender Voreil einer kurzfrisen Refinanzierung bei einer seilen Zinskurve wird durch diese fehlerhafe Prognose nich erkann. Aus diesem Grund is die akuelle Zinssrukurkurve als Grundlage der Prognose für Geschäfe mi variabler Zinsbindung und einer fixen Kapialbindung zu verwenden. Zu der Klasse der Geschäfe mir variabler Zins- und fixer Kapialbindung gehören uner anderem die Floaing Rae Noes (FRN). Floaing Rae Noes werden über eine besimme Laufzei T abgeschlossen. Innerhalb dieser Laufzeien werden zu besimmen Zahlungserminen, den sogenannen paymen daes, verschiedene Kuponzahlungen geleise. Diese Kuponzahlungen sind allerdings nich fix, sondern werden an mehreren Terminen (rese daes) anhand eines Referenzzinssazes fesgeleg. In der Regel lieg dieser Termin am Ende einer Fixingperiode und fäll dami mi dem Zahlungsermin der vorherigen Periode überein. Meis wird der Referenzzins mi einem fesen Zinsauf- oder abschlag (Floaing Spread) vergrößer bzw. verkleiner. 5

16 1. Die barwerige Zinsbuchseuerung Dieser Floaing Spread riche sich dabei nach der Boniä des Schuldners (Boniässpread). Während der gesamen Laufzei des Floaers bleib dieser Spread konsan und wird nich mi angepass. Das Refinanzierungsrisiko der Frisenransformaion kann somi beseiig werden (siehe Tabelle 0.2). Beispiel 1.5 Ein Krediinsiu vergib ein endfälliges Darlehen mi einer Laufzei von 3 Jahren, Kredihöhe ,00 EUR und jährlichen Kuponzahlungen. Das Krediinsiu möche diesen Kredi am Kapialmark refinanzieren. Dafür sehen zwei Sraegien zur Auswahl: Sraegie A: 75% der Kredihöhe wird durch ein endfälliges Darlehen über die Laufzei von 3 Jahren refinanzier (frisenkongruene Refinanzierung). Der resliche Berag wird durch eine 6-Monas FRN mi einer Laufzei von drei Jahren und dem risikolosen Geldmarksaz mi Resaufzei von sechs Monaen als Referenzzins refinanzier. Dies bedeue, dass während der Laufzei alle sechs Monae eine Zinsanpassung durchgeführ wird. Als Floaing Spread dien die Refinanzierungskurve des Krediinsius bei Abschluss der FRN. Sraegie B: 50% der Kredihöhe wird mi Hilfe einer 3-Monas FRN und 50% der Kredihöhe mi einer 1-Jahres FRN refinanzier. Als Floaing Spread dien die Refinanzierungskurve des Krediinsius bei Abschluss der FRN. Die Abbildung 1.1 zeig beispielhaf die zum Analysesichag prognosizieren Cashflowprofile für die Sraegien A und B. Die Cashflows beinhalen auf der Akivseie die fesen Zinserräge aus dem endfälligen Darlehen. Auf der Passivseie sehen die risikolosen Zinsaufwendungen (fix und variabel) mi den boniäsabhängigen Aufschlägen. Es is ersichlich, dass das Cashflowprofil der Sraegie B eine deulich größere Unsicherhei beinhale als das Profil der Sraegie A. Die Sraegie B is wesenlich särker von einer Veränderung der Zinssrukurkurve beroffen. Dies kann sich für das Krediinsiu zu einem Voreil enwickeln, falls die kurzfrisigen Zinsen im Zeiverlauf sinken. Seigen die kurzfrisigen Zinsen jedoch an, so kann das Krediinsiu durch die Sraegie B deuliche Verluse erwirschafen. Ensprechend is ein Seuerungskonzep nowendig, welches zum einen das Risiko und zum anderen die Erragskraf einer Sraegie erfass und in ein Verhälnis sez. 6

17 Cashflowprofil für Sraegie A Akiv Passiv 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Akiv Cashflowprofil für Sraegie B Passiv ,5 2 2,5 3 bekanne Zinserräge (akiv) bekanne Zinsaufwendungen (passiv) bekanner Refinanzierungsspread (passiv) prognosiziere Zinsaufwendungen (passiv) Abbildung 1.1.: Cashflowprofile der Sraegien A und B (beispielhaf) 7

18 1. Die barwerige Zinsbuchseuerung In der barwerigen Zinsbuchseuerung werden in der Regel nich Einzelgeschäfe gesonder beguache. Es werden vielmehr gleicharige Geschäfe zusammengefass und ein gemeinsamer Cashflow berache. Bevor im zweien Schri die Bewerung der Cashflows durchgeführ wird, müssen diese in einem Zwischenschri aggregier werden. 2. Schri: Srukuranalyse und Bewerung Zur Bewerung von Cashflows biee sich das Barwerkonzep ( vgl. [19], S. 7 ) an. Dabei werden die Zahlungen in den verschiedenen Zeipunken mi Hilfe von Diskonfakoren auf den Analysesichag diskonier. Dadurch wird der gegenwärige Wer der zukünfigen Zahlungen besimm. Des Weieren is es möglich Zahlungssröme zu vergleichen und zu beweren. Es gil folgende allgemeine Berechnungsformel für den Barwer eines Geschäfes zum Analysesichag BW = n i=0 [( B akiv (, i ) Z akiv ( i ) ) ( B passiv (, i ) Z passiv ( i ) )], (1.4) wobei Z ( i ) die Höhe einer prognosizieren akivischen bzw. passivischen Zahlung im Zeipunk i bezeichne und B(, i ) den zugehörigen Diskonierungsfakor. Da in dieser Arbei das Ausfallrisiko nich berücksichig wird, is der Zahlungsrom auf der Akiveseie risikolos, welcher sich mi der risikolosen Diskonierungsfunkion B(, ) : [, T ] [0, 1] diskonieren läss. Ensprechend is B akiv (, i ) = B(, i ) für alle i = 1,..., n. Je nachdem welche Aren von Frisenransformaion das Krediinsiu durchführ (vgl. Tabelle 0.2) und ob die Refinanzierung am Kapialmark erfolg, müssen die eigenen laufzeispezifischen Refinanzierungskosen berücksichig werden. Diese Refinanzierungskosen können enweder bei der Besimmung des passivischen Diskonfakores oder bei der Prognose des Zahlungssromes ( Z passiv ( n ) ) n N einbezogen werden. Führ das Krediinsiu ausschließlich eine Zinsfrisenransformaion durch, so sind die Refinanzierungskosen für die gesame Laufzei bekann und können bei der Prognose des Zahlungssromes ohne Probleme berücksichig werden. 8

19 Die allgemeine Bewerungsgleichung aus (1.4) läss sich ensprechend wie folg vereinfachen: n BW = B(, i ) ( Z akiv ( i ) Z passiv ( i ) ). (1.5) i=0 Aus der Gleichung (1.5) is ersichlich, dass bei einer seperaen Zinsfrisenransformaion die Veränderung der Zinssrukurkurve der einzige Risikofakor is. Wird durch das Krediinsiu dagegen ebenfalls eine Refinanzierungsfrisenransformaion durchgeführ, so wird der Barwer auch durch die veränderlichen Refinanzierungskosen beeinfluss. Infolgedessen sind die Refinanzierungskosen ein weierer Risikofakor, der bei der Besimmung und Bewerung des Risikos berücksichig werden muss (vgl. Kapiel 4). 3. Schri: Performance und Risikosaus Als zenrale Seuerungsgröße der barwerigen Zinsbuchseuerung is im zweien Schri der Barwer der zinssensiiven Geschäfe idenifizier worden. Die Barwerformel (1.5) verdeulich, dass der Barwer zum Analysesichag maßgeblich von der Zinssrukurkurve zum Zeipunk abhäng. Diese Abhängigkei beriff zum einen die Diskonfakoren B(, ) und zum anderen die Zahlungssröme. Die Zinssrukurkurve is keineswegs konsan, sondern veränder sich während einer vorgegebenen Haledauer H. Die Haledauer H bezeichne dabei einen Berachungszeiraum, der in der Regel einige Wochen oder Monae beräg. Für das Krediinsiu is somi enscheidend, wie sich der Barwer nach dieser Haledauer H enwickel ha und inwiefern durch diese Enwicklung ein Buchverlus für das Krediinsiu ensehen kann. Ensprechend müssen Begriffe wie Erfolg (Performance) und Risiko für den Konex der barwerigen Zinsbuchseuerung enwickel werden. Auf den ersen Blick biee sich die absolue Barwerveränderung als Kennzahl zur Ermilung des Erfolges (Performance) eines Zinsbuches an. Diese Vermuung is jeodoch nich zureffend. Es exisier die Möglichkei den berechneen Barwer aus (1.5) durch die Anwendung von Tauschgeschäfen (Swaps) asächlich zu realisieren und risikolos am Kapialmark anzulegen. Der Erfolg der Frisenransformaion muss sich vielmehr als Überrendie im Vergleich zu der risikolosen Anlage ausdrücken. 9

20 1. Die barwerige Zinsbuchseuerung Neben der risikolosen Verzinsung am Kapialmark bieen sich zum Beispiel der Rendienindex REXP oder das Erreichen eines Mindesergebnisses ebenfalls als Vergleichsgröße an. Bei seiger Verzinsung gil für die Performance Performance = erw. Barwerveränderung Veränderung Vergleichsgröße = erw. Barwerveränderung risikol. Barwerveränderung = E [ BW,H ] ( BW e y(,+h)h BW ) = E [ BW +H ] BW e y(,+h)h, wobei BW den Cashflow-Barwer zum Sarzeipunk und BW +H den unsicheren Cashflow-Barwer am Ende der Haledauer 0 H T bezeichne. In diesem Zusammenhang kann der Begriff des Zinsrisikos konkreisier werden. Als Risikopoenial der zinssensiiven Geschäfe wird die Möglichkei einer negaiven Performance aufgefass. Um dieses Risikopoenial abzuschäzen, ha sich in der Bankpraxis das Konzep des Value a Risk (VaR) durchgesez. Das Risiko einer negaiven Performance wird in der folgenden Definiion des Value a Risk versuch zu quanifizieren. Definiion 1.6 (in Anlehnung an [10], S. 71 f. und [11], S. 22) Der in besimme Value a Risk V ar(α, H) is als diejenige Werminderung des Zinsbuch-Cashflows im Vergleich zur risikolosen Anlage definier, die mi einer vorgegebenen Wahrscheinlichkei α während einer besimmen Haledauer H nich überschrien wird. Für die formale Definiion bezeichne F die Vereilungsfunkion der unsicheren Cashflow-Barwere am Ende der Haledauer H und F 1 deren Pseudo-Inverse. Der in dieser Arbei verwendee VaR-Begriff ergib sich dann durch V ar(α, H) def = BW e y(,+h)h F 1 (α), 0, sons. falls F 1 (α) < BW e y(,+h)h 10

21 Um die Vereilung der Cashflow-Barwere am Ende der Haledauer H und somi auch den V ar(α, H) besimmen zu können, exisieren verschiedene Ansäze in der Bankpraxis: (1) die analyische Varianz/Kovarianz-Mehode, (2) die Hisorische Simulaion und (3) die Sochasische Simulaion. Die Varianz/Kovarianz-Mehode wird meis in Verbindung mi einer Normalvereilungsannahme für die zugrundeliegende Zufallsgröße verwende. Dies is im Konex der barwerigen Zinsbuchseuerung nich ohne weieres möglich. Eine deailliere Beschreibung der weieren Ansäze (2) und (3) befinde sich im Kapiel 3. Speziell die Hisorische Simulaion wird vielfach in Krediinsiuen für die barwerigen Zinsbuchseuerung verwende. Es darf an dieser Selle nich verschwiegen werden, dass es gegen die Verwendung des Value a Risk durchaus Einwände in der Theorie gib. Dies lieg vor allem daran, dass der Value a Risk für beliebige Vereilungen den Anforderungen eines Risikomaßes nich genüg. Dies kann insbesondere im Konex der Performance- Messung zu Fehlanreizen führen. 2 Dennoch ha sich die Verwendung des Value a Risk in der Bankpraxis durchgesez. Dies lieg insbesondere daran, dass der Value a Risk einfach zu inerpreieren is und von der Bankenaufsich ( siehe [25], S. 85 ff. ) in vielen Bereichen geforder wird. Für die Beureilung des Cashflowprofils sehen nun zwei Krierien zur Verfügung. Zum einen die Überrendie im Vergleich zur risikolosen Verzinsung des Barweres (Performance-Messung) und zum anderen der Value a Risk als Maß für das Risiko des Cashflow-Profils. Mi diesen beiden Krierien läss sich nun ein Risk-Reurn- Diagramm ersellen. Eine exemplarische Darsellung dieser Posiionierung im Risk- Reurn-Diagramm befinde sich in Abbildung 1.2 auf Seie 13. Es beseh zusäzlich die Möglichkei eine risikoadjusiere Performance-Kennzahl zu besimmen. Dafür wird die RORAC-Kennziffer (reurn on risk adjused capial) durch definier. RORAC def = Performance Risiko = E [ BW +H ] BW e y(,+h)h V ar(α, H) 2 Für weiere Ausführungen siehe [11], S. 46 bis S

22 1. Die barwerige Zinsbuchseuerung Um die Aussagekraf der RORAC-Kennziffer zu gewährleisen, müssen für die Berechnung des Value a Risk und der Performance einheiliche Haledauern H zugrunde geleg werden. 4. Schri: Risikolimiierung und Seuerungsmaßnahmen Nachdem im drien Schri der Is-Zusand des gesambankbezogenen Cashflows besimm worden is, sollen in dieser Phase der barwerigen Zinsbuchseuerung Seuerungsmaßnahmen zur Performance-Opimierung abgeleie werden. Zuers is jedoch zu überprüfen, ob risikoreduzierende Maßnahmen durchzuführen sind. Dies is dann der Fall, wenn das im Rahmen der Gesambankseuerung vorgegebene Risikolimi überschrien wird. 3 Seh noch ausreichend freies Risikokapial 4 zur Verfügung, so kann dieses zur Veränderung des Cashflowprofils eingesez werden. Ziel dieser Maßnahmen is es, den Cashflow effizien im Risk-Reurn-Diagramm bzw. am Mark zu posiionieren. Dazu muss zuers ein Effizienz-Begrifff (vergleichbar mi dem µ-σ-prinzip in der Porfolio-Selekion) definier werden: Definiion 1.7 Der Cashflow A is effizien gegenbüber Cashflow B (bzw. B is ineffizien gegenüber A) genau dann, wenn Performance A Performance B und V ar A (α, H) V ar B (α, H) Zwei beliebige Cashflows A und B müssen nich zwingend effizien bzw. ineffizien unereinander sein. Man bezeichne sie dann zueinander indifferen. Das Krediinsiu wird einen effizienen Cashflow gegenüber einem ineffizienen Cashflow vorziehen. Uner Berücksichigung des Risikolimis kann durch geziele Seuerungsmaßnahmen der Cashflow im RORAC-Diagramm neu posiionier werden. Dieses Vorgehen wird als akives Manangemen bezeichne und wird vor 3 Auf eine Ausgesalung eines Risikolimiierungssysem wird an dieser Selle verziche (siehe dazu u.a. [10], S. 266 ff.). 4 Krediinsiue müssen einige Transakionen (z.b. Kredivergabe) mi ensprechendem Eigenkapial hinerlegen. Durch diese Hinerlegunge sollen die Risiken einer Transakion zu einem besimmen Sicherheisniveau abgedeck werden. Dieser zu hinerlegende Kapialberag wird Risikokapial genann. In Deuschland wird die Berechnung in der Solvabiliäsverordnung geregel. 12

23 allem dann angewand, wenn ein selbsgesezer Ziel-RORAC erreich werden soll. Im Gegensaz dazu seh das passive Managemen. In diesem Fall orienier sich das Krediinsiu an einer adäquaen Benchmark mi dem Ziel diese zu duplizieren bzw. deren RORAC zu erreichen. 5 In beiden Fällen is jedoch klar, dass die veränderen Cashflows (und ensprechende Benchmarks) in die Simulaion mi einbezogen werden müssen. 5. Schri: Ex-pos-Analyse und Risikoreporing Ein für die Bankpraxis wesenlicher Schri sell das regelmäßige Risikoreporing dar. Dadurch is es möglich, dass die Enscheidungsräger zeinah einen Überblick über den Risikosaus des Zinsbuches erhalen und somi Seuerungsmaßnahmen ableien können. Ergänzend sollen Kriseness oder Wors Case-Szenarien durchgeführ werden, die die Abschäzung des Risikosaus kompleieren. Des Weieren is es im Rahmen eines Backesings zwingend nowendig die berechneen Were des Value a Risk und des Cashflow-Profils ex-pos auf ihre Qualiä hin zu unersuchen. Posiionierung von Cashflows im Risk-Reurn-Diagramm -Barwer Ziel: Opimierung der Posiion des Zinsbuchs im RORAC-Diagramm durch Seuerungsmaßnahmen Benchmark Zinsbuch risikoloser Errag VaR verfügbares Risikokapial nich ragbares Risiko Abbildung 1.2.: eigene Darsellung in Anlehnung an [25], S Zur Definiion und Verwendung von geeigneen Benchmarks sei an dieser Selle auf [29] verwiesen. 13

24 2. Das Zinssrukurmodell 2.1. Besonderheien der Zinsmodellierung Während es mi dem Black-Scholes-Modell einen welwei akzepieren Marksandard zur Modellierung von Akienkursen gib, so such man diesen in der Theorie der Modellierung von Zinsenwicklungen vergebens. Dies ha vielfälige Gründe: Vielzahl von möglichen Modellierungsgrößen: (i) Shor-, Spo-, Forward-Raen oder Bondpreise (ii) heoreische oder am Mark beobachbare Größen Spezielle Eigenschafen der Zinsen: (i) Ar der Versinzung (diskre, seig, linear) (ii) Nich-Negaiviä der Zinsen (iii) Mean Revering Eigenschaf des Zinsenprozesses (iv) beschränke Varianz des Zinsprozesses Spezielle Eigenschafen der Diskonfakoren: (i) Pull-o-Par-Effek, d.h. zum Ende der Laufzei näher sich der Wer dem Nennwer an (ii) B(τ, T ) = 1 f.a.τ T Zinsrukurkonformiä, d.h. die im Modell besimme akuelle Zinssrukurkurve simm mi der am Mark beobacheen überein Arbiragefreihei Für grundlegende Begriffe, Zusammenhänge und Besonderheien des Zinsmarkes sei an dieser Selle auf [19], S. 1 bis 48 verwiesen. Dor wird auch auf die Problemaik der Zinsberechnungsmehoden und der Daycoun Convenion eingegangen. 14

25 2.1. Besonderheien der Zinsmodellierung Aus Vereinfachungsgründen wird in dieser Arbei von der 30/360-Daycoun Convenion ausgegangen, d.h. es werden generell 30 Tagen pro Mona und somi 360 Tage in einem Jahr angenommen. Eine Übersich über die wichigsen Aren von Zinssrukurmodellen und deren bekannese Verreer wird in der Abbildung 2.1 gegeben. Übersich Klassierung Zinsmodelle Zinsmodelle zeidiskre zeiseig Modell von Ho und Lee Modell von Black, Derman und Toy Shor Rae- Modelle (z.b. Vasicek, CIR) Forward Rae- Modelle (z.b. HJM) Marke-Models Abbildung 2.1.: eigene Darsellung nach [4] (Vorlesungsfolien) Es sell sich nun die Frage, welches dieser unerschiedlichen Zinsmodelle für die Fragesellung der barwerigen Zinsbuchseuerung geeigne is. Das für diese Arbei verwendee Zinsmodell soll mehreren Ansprüchen genügen: (1) die gesame Zinssrukurkurve soll modellier werden können, (2) das Modell soll zeiseig und zinssrukurkonform sein, (3) mahemaisch gu handbar sein, (4) verschiedene Diskonfakoren von unerschiedlicher Fälligkei sollen nich perfek korrelier sein, (5) eine Implemenierbarkei in Excel-VBA oder C++ soll gegeben sein. Für diese Ansprüche bieen sich die sogenannen Shor Rae-Modelle an. 15

26 2. Das Zinssrukurmodell 2.2. Einführung in die Theorie der Shor Rae-Modelle In dem Konex der zeiseigen Zinsmodelle verseh man uner der Shor Rae den Zinssaz, den man für eine risikolose Anlage in einem infiniesimal kurzem Zeiinervall bezieh. Die Klasse der Shor Rae-Modelle versuch aus dieser Shor Rae die gesamen Zinssrukurkurve abzuleien. Definiion 2.1 (Vgl. [5], S. 2) Zum Zeipunk R 0 bezeichne G() den Wer des risikolosen Geldmarkkonos. Es wird davon ausgegangen, dass G(0) = 1 und das Geldmarkkono der Dynamik dg() = r()g()d (2.1) folg, wobei r() ein posiiver Prozess is. Dieser Prozess wird Shor Rae genann. In vielen Modellen für die Bewerung von Akienderivaen wird die Shor Rae als deerminisische Funkion angenommen. In dem Black-Scholes-Modell wird sogar r() = cons vorausgesez. Dies führ dazu, dass für geeignees ρ R 0 das Geldmarkkono durch G() = e ρ beschrieben werden kann. In der Realiä is die Zinsenwicklung jedoch keinesfalls deerminisisch. Vielmehr unerlieg sie zufälligen Schwankungen. Zur Abbildung dieser Schwankungen versuchen die Shor Rae-Modelle die Dynamik der Shor Rae mi Hilfe einer sochasischen Differenialgleichung zu beschreiben. Es exisier eine Vielzahl verschiedener Ansäze, die sich in der Ar der Differenialgleichung, der Anzahl der sochasischen Fakoren in der Differenialgleichung und dem bei der Modellierung verwendeen Wahrscheinlichkeismaß unerscheiden. Eine Auswahl finde sich z.b. bei [19], S. 87ff. oder [5], S. 57. Im Folgenden wird zur Verdeulichung der Sysemaik und der Idee der Shor Rae- Modelle das 1-Fakor-Modell von Vasicek vorgesell. Es gehör zu den ersen Shor Rae-Modellen, welche sich in der Praxis durchgesez haben ( siehe dazu die Originalarbei [27] ) Das Zinssrukurmodell, welches in dieser Arbei Verwendung finde, bau auf diesen Überlegungen auf. 16

27 2.2. Einführung in die Theorie der Shor Rae-Modelle Es wird ein koninuierliches Finanzmarkmodell mi endlichem Zeihorizon [0, T ] berache. Weier sei (Ω, G, P) ein Wahrscheinlichkeisraum mi dem asächlich am Mark beobachbaren Wahrscheinlichkeismaß (real world measure) P. Sei W = ( W () ) ein Sandard Wiener-Prozess bzgl. P. Dann bezeichne (G ) 0 0 die von W erzeuge, vollsändige Filraion, die die usual condiions erfüll ( für weiere Ausführungen siehe dazu [12], S. 10 und [16], Abschni (1.3) und (3.6) ). Vasicek nimm in seinem Modell an, dass sich uner dem Maß P die Dynamik des Shor Rae-Prozesses mi Hilfe der Differenialgleichung dx() = κ ( θ x() ) d + ηdw () mi x(0) = x 0 (2.2) beschreiben läss, wobei κ, θ, η und x 0 posiive Konsanen und W = ( W () ) 0 ein Sandard Wiener-Prozess bzgl. P is. Die Gleichung (2.2) läss die Vermuung zu, dass der zugrundeliegende Prozess die sogenanne Mean Revering Eigenschaf besiz. Dies bedeue, dass der Erwarungswer des Shor Rae-Prozesses, bei beschränker Varianz, für gegen eine Konsane (Mean Reversion Level) konvergier ( vgl. [19], S. 90 ). In diesem Fall is θ das langfrisige Miel, an das der Prozess gezogen wird. Diese Anziehung wird mi der Inensiä κ, dem sogenannen Mean Reversion Speed, durchgeführ. Durch die vorhandene sochasische Komponene (η 0) wird diese Anziehung allerdings gesör. Die Lösung der sochasischen Differenialgleichung (2.2) wird auch Ornsein-Uhlenbeck-Prozess genann. Für den Beweis des nachfolgenden Sazes besiz die Theorie der selbsfinanzierenden Porfolios eine wichige Rolle. Diese grundlegenden Begriffe aus dem Bereich der Porfolio-Modellierung werden in der folgenden Definiion kurz eingeführ. Für weiere Ausführungen sei an dieser Selle auf [3], Kapiel 6 und [16], Abschni 4.1 verwiesen. Definiion 2.2 Es sei ein koninuierliches Finanzmarkmodell mi endlichem Horizon T und N verschiedenen Finanzgüern (asses) gegeben. Sei F = ( F die, den Informaionsverlauf beschreibende Filraion, welche den usual condiions )0 T genüg. 17

28 2. Das Zinssrukurmodell In diesem Konex sind folgende Noaionen von zenraler Bedeuung: (i) Das reellwerige, adapiere Semi-Maringal ( S j () ) f.a. j = 1,..., N 0 T beschreibe die Preisenwicklung des j-en Finanzgues. Ensprechend wird ( S() )0 T = ( S 1 (),..., S N () ) T als N-dimensionaler Preisprozess bezeichne. 0 T (ii) Eine Porfolio-Sraegie (Porfolio) ( h() ) 0 T is ein F -adapiere, previsibler, N-dimensionaler, reellweriger Prozess. (iii) Der Werprozess V = (V ) 0 T eines Porfolios is definier durch V def = N h i ()S i () = h() T S() f.a. [0, T ]. i=1 (iv) Ein Porfolio ohne Ennahmen während der Haledauer [0, T ] heiß selbsfinanzierend, wenn der Werprozess V folgende Bedingung genüg: N dv = h i ()ds i () = h() T ds(). (2.3) i=1 Vasicek mach für sein Modell zwei wesenliche Annahmen. Er geh davon aus, dass sich die Diskonierungsfunkion für feses T (siehe Definiion 1.1) als seige, zweimal differenzierbare Funkion von und x() auffassen läss, dass heiß B(, T ) = F ( T, x() ). Eine weiere wesenliche Annahme wird in dem Beweis an passender Selle geliefer. Theorem 2.3 (Vgl. [21], S. 12) Es exisier ein zu P äquivalenes, risikoneurales Maringalmaß P und eine Konsane µ, so dass dx() = κ ( µ x() ) d + ηd W () (2.4) gil, wobei W ein Sandard Wiener-Prozess bzgl. P is. Beweis: Im ersen Schri wird die Dynamik der Bondpreise B(, T ) uner P besimm. Zur Vereinfachung der Schreibweise sei F = F ( T, x() ) und F, F x und F xx bezeichne die pariellen Ableiungen der Funkion. Eine Anwendung der Io-Formel liefer 18

29 2.2. Einführung in die Theorie der Shor Rae-Modelle db(, T ) = df T (, x() ) = F d + F x dx() F xxη 2 d = F d + F x [ κ ( θ x() ) d + ηdw () ] F xxη 2 d = F d + F x κ ( θ x() ) d F xxη 2 d + F x ηdw () = B(, T ) [α(, T )d + σ(, T )dw ()], (2.5) wobei α(, T ) = F + F x κ ( θ x() ) F xxη 2 σ(, T ) = F xη F. F Im zweien Schri wird die Arbiragefreihei des Markes ausgenuz, um den Markpreis des Risikos (marke price of risk) zu besimmen. Dazu wird ein risikoloses, selbsfinanzierendes Porfolio gebilde. Zum Zeipunk beseh das Porfolio aus h 1 () Aneilen eines Zero-Bonds mi Laufzei T und h 2 () Aneilen eines Zero-Bonds mi Laufzei S, wobei 0 < S < T T. Nach Definiion 2.2 is der Werprozess des Porfolios gegeben durch V = h 1 ()B(, T ) + h 2 ()B(, S). Die Gleichung (2.3) liefer die Bedingung, uner welcher das Porfolio selbsfinanzierend is. Ensprechend gil für die Dynamik des Werprozesses: dv = (2.3) h 1 ()db(, T ) + h 2 ()db(, S) V = u 1 () B(, T ) db(, T ) + u 2() db(, S), B(, S) wobei die relaiven Porfoliogewiche durch gegeben sind. u 1 () def = h 1()B(, T ) V V und u 2 () def = h 2()B(, S) V 19

30 2. Das Zinssrukurmodell Das Einsezen der vorherigen Ergebnisse führ dann zu dv = u 1 () db(, T ) V B(, T ) + u db(, S) 2() B(, S) = u 1() [ α(, T )d + σ(, T )dw () ] + u 2 () [ α(, S)d + σ(, S)dW () ] (2.5) = [ u 1 ()α(, T ) + u 2 α(, S) ] d + [ u 1 ()σ(, T ) + u 2 σ(, S) ] } {{ } = 0, da risikolos dw (). (2.6) Das Porfolio soll nich nur risikolos, sondern auch selbsfinanzierend sein. Ensprechend müssen die relaiven Porfoliogewiche die Bedingungen (I) 1 = u 1 () + u 2 () (selbsfinanzier) (II) 0 = u 1 ()σ(, T ) + u 2 ()σ(, S) (risikolos) erfüllen und man erhäl als Lösung dieses linearen Gleichungssysems σ(, S) u 1 () = σ(, T ) σ(, S) σ(, T ) u 2 () = σ(, T ) σ(, S). Da ein arbiragfreier Mark vorausgesez wird und das Porfolio risikolos und selbsfinanzierend is, muss V x()d = dv sein. Ansonsen würde es in diesem Mark eine Arbirage-Möglichkei geben. Diese Bedingung wird zusammen mi Gleichung (2.6) umgeform zu x()d = dv x()d = (2.6) V [ was wiederum die Gleichung implizier. x() = σ(, S) σ(, T ) σ(, S) α(, T ) + σ(, T ) α(, S) σ(, T ) σ(, S) σ(, S) σ(, T ) σ(, S) α(, T ) + σ(, T ) α(, S) σ(, T ) σ(, S) ] d, 20

31 2.2. Einführung in die Theorie der Shor Rae-Modelle Wird diese Gleichhei weier umgeform, so erhäl man die zenrale Gleichung (2.7) durch x()σ(, T ) x()σ(, S) = σ(, S)α(, T ) + σ(, T )α(, S) σ(, T ) [ α(, S) x() ] = σ(, S) [ α(, T ) x() ] α(, S) x() σ(, S) = α(, T ) x(). (2.7) σ(, T ) Die linke Seie von (2.7) is unabhängig von T und die reche Seie is unabhängig von S. Somi is es möglich für feses T T den sochasischen Prozess (λ ) 0 T durch λ = α(, T ) x() σ(, T ) (2.8) zu definieren. Den durch (2.8) definieren Prozess nenn man Preisprozess des Markrisikos. Dieser Preisprozess des Markrisikos wird in der Regel in einem Vasicek-Modell als konsan angenommen, e.g. λ = λ < f.a. 0 T (siehe dazu [5], S. 61). Dies is die am Anfang des Beweises angesprochene, weiere wesenliche Annahme in dem Modell von Vasicek. Definiere nun den Dicheprozess (L ) 0 T durch L = exp 0 λ u dw (u) λ 2 u du. (2.9) Da λ = λ als konsan angenommen wird, is der Dicheprozess (L ) 0 T ein P- Maringal ( siehe dazu [16], Abschni 3.4 ) und ensprechend läss sich nun für alle 0 T durch dp = L dp ein äquivalenes Wahrscheinlichkeismaß P definieren, G d.h. P (A) def = L dp für alle A G. A 21

32 2. Das Zinssrukurmodell Nach dem Saz von Girsanov wird bzgl. P ein Sandard Wiener-Prozess W definier durch d W () = dw () + λ d. (2.10) Es is nun zu zeigen, dass P ein risikoneurales Maringalmaß definier. Dazu wird die Dynamik des Bondpreises uner P besimm. Dies geschieh durch Einsezen der obigen Gleichung (2.10) in die Gleichung (2.5). db(, T ) = (2.10) B(, T ) [ α(, T )d + σ(, T ) ( d W () λ d )] = B(, T ) [( α(, T ) σ(, T )λ ) d + σ(, T )d W () ] = (2.8) B(, T ) [ ] (α(, α(, T ) x() ) T ) σ(, T ) d + σ(, T )d W () σ(, T ) = B(, T ) [ x()d + σ(, T )d W () ]. Die Dynamik der Bondpreise besiz also nun uner P die Drif x() (d.h. die Drif der risikolosen Anlage) und somi is P ein risikoneurales Maringalmaß zu P. Für die Dynamik des Shor Rae-Prozesses ( x() ) 0 folg ensprechend, dass dx() = (2.10) κ ( θ x() ) d + η ( d W () λ d ) = κ ( θ ηλ κ x()) d + ηd W () = κ ( µ x() ) d + ηd W () (2.11) uner P gil, wobei µ = θ ηλ κ is. Bemerkung 2.4 (i) Durch den Übergang zu dem risikoneuralen Maß P ha sich die Srukur der zugrundeliegenden sochasischen Differenialgleichung nich geänder. Es wurde lediglich das Mean Reversion Level um eine vom Markpreis des Risikos 22

33 2.2. Einführung in die Theorie der Shor Rae-Modelle abhängige Konsane erweier. Die weieren Komponenen der sochasischen Differenialgleichung bleiben dagegen unveränder. Da sich die Srukur bei dem Maßwechsel nich veränder ha, wird in dem weieren Verlauf dieser Arbei die Enwicklung des Shor Rae-Prozesses uner dem risikoneuralen Maß berache. (ii) In dem beracheen Finanzmark sellen die Diskonfakoren die Basisfinanzgüer dar. Ensprechend is B(T, T ) = 1 hedgebar und die risikoneurale Bewerungsgleichung vereinfach sich zu B(, T ) = E P e T x(s)ds B(T, T ) G = E P e T x(s)ds G. (2.12) Mi Hilfe der Gleichung (2.12) kann gezeig werden, dass sich der Bondpreis sich in der Form B(, T ) = C(, T )e D(,T )x() (2.13) darsellen läss ( siehe dazu [3], Kapiel 22 ), wobei C(, T ) und D(, T ) deerminisische Funkionen sind. Diese Zinssrukurmodelle werden der Klasse der affinen Zinsmodelle zugeordne. (iii) Wesenliche Voraussezung für das Theorem is, dass der durch (2.8) definiere Prozess des marke price of risk als konsan angenommen wird. Dies is eine sehr sark vereinfachende Annahme. Es sind auch andere Annahmen denkbar, solange der ensehende Markpreisprozess des Risikos die Novikov-Bedingung weierhin erfüll. Ansa einer Konsanen µ erhäl man dann allerdings einen Prozess (µ ) 0. Diese Möglichkei wird ebenfalls inensiv in der Theorie der affinen Zinssrukurmodelle diskuier. Um ein Versändnis für die Idee der Shor Rae-Modelle zu erhalen, reich der berachee Spezialfall jedoch aus. Die risikoneurale Bewerungsgleichung (2.12) verdeulich, dass für die weiere Berachung die Vereilungseigenschafen der Shor Rae von großer Bedeuung sind. Dazu wird zuers die sochasische Differenialgleichung (2.11) gelös und daraus resulierend die Vereilungseigenschafen abgeleie. Der Bondpreis wird darauf aufbauend für das asächlich verwendee Zinssrukurmodell in Abschni besimm. 23

34 2. Das Zinssrukurmodell Theorem 2.5 (Vgl. [5], S. 58) Der Shor Rae-Prozess gemäß (2.11) besiz für jedes s < uner dem risikoneuralen Maß P die Gesal x() = x(s)e κ( s) + µ ( 1 e κ( s)) + η s e κ( u) d W (u). (2.14) Beweis: Um die sochasische Differenialgleichung aus (2.11) zu lösen, wird die Funkion f : [0, T ] R R durch f(, x) = e κ x definier. Es gil dann f = f = κeκ x f x = f x = eκ f xx = 2 f 2 x = 0. Eine Anwendung der Io-Formel führ ensprechend zu de κ x() = df (, x() ) = f d + f x dx() f xxd = κe κ x()d + e κ dx() = (2.11) κeκ x()d + e [ κ κ ( µ x() ) d + ηd W ] = κe κ µd + ηe κ d W (). (2.15) Inegraion der obigen Gleichung (2.15) von s bis liefer e κ x() = e κs x(s) + κµ und somi is nach ensprechender Inegraion x() = x(s)e κ( s) + κµ s s e κu du + η e κ( u) du + η = x(s)e κ( s) + µ(1 e κ( s) ) + η s s s e κu d W (u) e κ( u) d W (u) e κ( u) d W (u). 24

35 2.2. Einführung in die Theorie der Shor Rae-Modelle Nachdem die Gesal des Shor Rae-Prozesses uner dem risikoneuralen Maß P im vorherigem Saz hergeleie wurde, werden nun dessen Vereilungseigenschafen näher beleuche. Dazu wird folgendes Lemma benöig: Lemma 2.6 (in Anlehnung an [24], S. 149) Sei f eine zweimal seig-differenzierbare, reelle Funkion ( d.h. f L 2 ( [s, ] )). Dann is I(f) def = s f(u) d W (u) für jedes s eine normalvereile Zufallsgröße mi Erwarungswer µ = 0 und Varianz σ 2 = f(u) 2 du. s Beweis: Die momenerzeugende Funkion einer normalvereilen Zufallsgröße mi Erwarungswer µ und Varianz σ 2 is nach [1], Saz 30.2 gegeben durch ψ µ, σ 2(τ) = e µτ+ τ2 σ 2 2 für alle τ R. Nach [1], Saz 40.6 leg die momenerzeugende Funkion die zugrundeliegende Vereilung eindeuig fes, falls diese für jedes τ 0 exisier und endlich is. Ensprechend is zu zeigen, dass E P für jedes τ 0 gil. exp τ f(u) d W (u) = exp 1 2 τ 2 f(u) 2 du (2.16) s s Da f deerminisisch is, läss sich die Gleichung (2.16) umformen zu E P E P exp τ exp s s f(u) d W (u) 1 2 τ 2 τf(u) d W (u) 1 2 s s f(u) 2 du = 1 (τf(u)) 2 du = 1. (*) Ensprechend reich es aus, die Gleichung (*) für beliebiges τ 0 zu verifizieren. 25

36 2. Das Zinssrukurmodell Dazu definiere für s den sochasischen Prozess M() = s τ f(u) d W (u). Dieser is nach der Konsrukion des sochasischen Inegrals ein Maringal. Ferner erfüll ( M() ) die Novikov-Bedingung, da f eine zweimal seig-differenzierbare s Funkion is. Folglich is der Exponenialprozess E(M) = exp ( M() 1 2 [M] ) ebenfalls ein Maringal mi E P [E(M) ] = E P [E(M) s ] = E P = E P exp s s [ ( exp M(s) 1 )] 2 [M] s τf(u) d W (u) 1 2 s s (τf(u)) 2 du = 1. Dies beweis Gleichung (*) und ensprechend is I(f) normalvereil mi Erwarungswer 0 und Varianz f(u) 2 du. s Mi diesem Lemma läss sich nun der nachsehende Saz beweisen, der die Vereilungseigenschaf der Shor Rae charakerisier. Theorem 2.7 (Vgl. [5], S. 59) Der Shor Rae-Prozess aus (2.14) is für jedes s < beding uner G s eine normalvereile Zufallsgröße mi E P [ x() G s ] = x(s)e κ( s) + µ(1 e κ( s) ) V ar P [ x() G s ] = η2 2κ (1 e 2κ( s) ). Beweis: Die Gleichung (2.14) beseh aus einer deerminisischen und einer sochasischen Komponene. Die sochasische Komponene I(f) def = η s e κ( u) d W (u) (2.17) 26

37 2.2. Einführung in die Theorie der Shor Rae-Modelle is ein sochasisches Inegral mi dem deerminisischen Inegranden f(u) = ηe κ( u) L 2 [0, T ]. Aus den definierenden Eigschafen des Wiener-Prozesses und der Definiion des sochasischen Inegrals folg, dass das sochasische Inegral mi einem deerminisischen Inegranden unabhängig von G s is. Ensprechend is die bedinge Vereilung von I(f) gegeben G s gleich der unbedingen Vereilung von I(f). Lemma 2.6 besag nun, dass I(f) für jedes > s eine normalvereile Zufallsgröße mi E P [ I(f) G s ] = E P [ I(f) ] = 0 und is. V ar P [ I(f) G s ] = V ar P [ I(f) ] = E P = η 2 s [ I(f) 2 ] = e 2κ( u) du = η2 ( ) 1 e 2κ( s) 2κ s f(u) 2 du Mi den Eigenschafen normalvereile Zufallsgrößen und der bedingen Varianz folg nun sofor, dass für jedes > s x() = x(s)e κ( s) + µ ( 1 e κ( s)) + I(f) ( N x(s)e κ( s) + µ ( 1 e κ( s)), η2 ( )) 1 e 2κ( s) 2κ beding uner G s is. Aus Theorem 2.7 wird eine zenrale Schwäche des Vasicek-Modells deulich. Da die Shor Rae eine normalvereile Zufallsgröße is, beseh die Möglichkei, dass diese negaive Were annimm. Dami würden jedoch auch in dem Modell negaive Zinsen aufreen, was nich gewünsch is. 27

38 2. Das Zinssrukurmodell Des Weieren is das oben beschriebene Modell nich zinssrukurkonform. Dies lieg daran, dass keine deerminisische Komponene in (2.11) exisier, die eine Anpassung an die akuelle Zinssrukurkurve erlaub, d.h. B(0, T ) B M (0, T ). Eine weiere wesenliche Einschränkung von 1-Fakor-Modellen is, dass zu jedem Zeipunk die Kassazinssäze aus Definiion 1.1 für alle Laufzeien perfek korrelier sind. Dies zeig uner Verwendung von (1.2) und (2.13) die folgende Rechnung ln C(, T ) y(, T ) = + D(, T ) T T x() def = c(, T ) + b(, T )x() mi deerminisischen Funkionen b(, T ) und c(, T ). Für zwei Kassazinssäze mi Laufzeien T 1 und T 2 ergib sich somi Cov ( y(, T 1 ), y(, T 2 ) ) = Cov ( c(, T 1 ) + b(, T 1 )x(), c(, T 2 ) + b(, T 2 )x() ) = 1. Das Problem der perfeken Korrelaion kann bei einem Übergang zu einem Mehrfakor-Modell behoben werden. Brigo und Mercurio führen in ihrem Buch an, dass bei einem Übergang zu einem 2-Fakor-Modell schon 99,1% der gesamen Varianz der Diskonkurve beschrieben wird ( siehe [5], S. 139 ). Daraufhin enwickelen Brigo und Mercurio das 2-Fakor Gauß-Modell G2++. Dieses Modell wird in dieser Diplomarbei als Zinsmodell verwende Das 2-Fakor Gauß-Modell G Die Dynamik der Shor-Rae Es sei (Ω, F, Q) ein Wahrscheinlichkeisraum mi dem risikoneuralen Maß Q. Sei W = ( W 1 (), W 2 () ) ein zwei-dimensionaler Wiener-Prozess bzgl. Q. Dann bezeichne (F ) 0 die von W erzeuge, vollsändige Filraion ( [16], Abschni (3.6) ) 0. 28

39 2.3. Das 2-Fakor Gauß-Modell G2++ In dem von Brigo und Mercurio enwickelen Modell G2++ wird davon ausgegangen, dass der Shor Rae-Prozess ( r() ) uner dem risikoneuralen Maß Q 0 folgender Dynamik folg: r() = x() + y() + ϕ(, α) mi r(0) = r 0, (2.18) wobei ( x() ) 0 und ( y() ) 0 sochasische Prozesse sind. Diese sochasischen Prozesse genügen den sogenannen Langevin-Gleichungen dx() = ax()d + σdw 1 () mi x(0) = 0 (2.19) dy() = by()d + ηdw 2 () mi y(0) = 0, (2.20) wobei a, b, σ und η > 0 sind und W = (W 1, W 2 ) ein zwei-dimensionaler Wiener- Prozess mi Korrelaion [W 1, W 2 ] = ρ, für 1 ρ 1, is. Des Weieren sei ϕ(, α) : [0, T ] R eine wohldefiniere, deerminisische Funkion mi ϕ(0, α) = r 0 und α = (a, b, σ, η, ρ). Diese deerminisische Funkion sell im späeren Verlauf die Anpassung an die akuelle Zinssrukurkurve sicher. Theorem 2.8 (Vgl. [5], S. 144) Der Shor Rae-Prozess gemäß (2.18) besiz für jedes s < uner dem risikoneuralen Maß Q die Gesal r() = ϕ(, α) + x(s)e a( s) + y(s)e b( s) + σ s e a( u) dw 1 (u) + η s e b( u) dw 2 (u). Beweis: Die Behaupung folg sofor aus der Definiion der Shor Rae in (2.18) und dem Saz 2.5 auf Seie 24. Dieser besag, dass die sochasischen Prozesse gerade durch x() = x(s)e a( s) + σ s e a( u) dw 1 (u) (2.21) 29

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