Maximalität und Globalität von Lösungen

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Hermann Wolf
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1 Gewöhnliche Differentialgleichungen Florian Wörz SoSe 205 Maximalität und Globalität von Lösungen Maximale Lösungen Sei Ω : T U R R n ein Gebiet, f : Ω R n stetig und (t 0, u 0 ) Ω. Im Folgenden betrachten wir das { u(t) = f (t, y(t)) (AWP) u(t 0 ) = u 0. Definition.. Eine Funktion u : Imax R n heißt maximale Lösung des (AWP)s, falls u eine Lösung des (AWP)s ist und jede andere Lösung v des (AWP)s lediglich eine Einschränkung von u auf ein kleineres Intervall I Imax ist. M.a.W. kann man u also nicht mehr fortsetzen. Erinnerung.2 (Zusatzinfo 5.5 aus der Vorlesung). Ist f zustätzlich Lipschitz-stetig in der 2. Komponente, so garantiert der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard- Lindelöf, dass man ein beliebiges Kompaktum K : K K 2 T U = Ω mit (t 0, u 0 ) K wählen kann, und eine eindeutige Lösung u : I R n auf einem beliebig großen kompakten Intervall I K mit t 0 I erhält. Das bemerkenswerte daran ist, dass das Kompaktum beliebig gewählt werden kann, es muss lediglich den Anfangswert enthalten. Man hat allerdings nicht immer Lipschitz-Stetigkeit in der 2. Komponente von f vorliegen. Satz. (Satz 6. aus der Vorlesung). Ist der rechte Endpunkt t + des maximalen Lösungsintervalls kleiner als +, verlässt der Graph (t, u(t)) der Lösung jedes Kompaktum K Ω, sobald t t + geht. Analoges gilt für den linken Endpunkt t. Theorem.4 (Korollar 6.2 aus der Vorlesung). Es treten drei mögliche Fälle auf (Analoges gilt wieder für t ):. t + = + 2. t + < + und es existiert eine Folge (t n ) n N T mit t n t +, sodass dist ((t n, u(t n )), Ω) 0.. t + < + und es existiert eine Zeit t < t + und ein ε, sodass dist ((t, u(t)), Ω) ε für alle t t aber lim t t + u(t) = + gilt. In diesem Fall ist die Lösung offensichtlich nicht stetig fortsetzbar.

2 Beispiel.5. Bestimme eine maximale Lösung des { 2 u(t) = u(t) (AWP) u(0) =. Schritt : Typ der DGL erkennen & lösen. Die DGL ist vom Typ der getrennten Veränderlichen. Es ist nämlich u(t) u(t) 2 =. Diese Umformung ist gültig für u(t) 0, was wegen dem Anfangswert zumindest lokal um den Zeitpunkt 0 gültig ist. Integration von 0 bis t liefert t 0 t u(s) u(s) 2 ds = ds. 0 Mit der Substitutionsregel b f (ϕ(s)) a ϕ (s) ds = ϕ(b) f (x) dx und den Identifikationen ϕ u sowei f ( ) 2 ϕ(a) folgt u(t) u(0) x 2 dx = t und somit Umgeformt erhält man x u(t) u(0) = u(t) = t. u(t) = 27 (t + ). Man sieht sofort (z.b. durch direktes Nachrechnen), dass dieses Ergebnis das (AWP) löst, wir haben also in der Tat einen Lösungskandidaten gefunden. Schritt 2: Lösungsintervall bestimmen. Die Lösung ist verschieden von Null im Intervall I := (, + ). Schritt : Begründen, dass wir tatsächlich eine Lösung haben. In diesem Intervall sind die obigen Umformungen gerechtfertigt, d.h. die Lösung ist auch eine. Schritt 4: Prüfen, ob die Lösung fortsetzbar ist. Die bisherige Lösung ist nicht maximal, da lim t (t + ) 27 = 0 + ist. Im Intervall (, ] müssen wir keinen Anfangswert mehr berücksichtigen, d.h. die triviale Lösung u 0 ist auf diesem Intervall eine Lösung der DGL. 2

3 Der linksseitige Grenzwert der neuen Lösung stimmt mit dem rechtsseitigen Grenzwert der alten überein: lim o(t) = 0 = lim t t (t + ) 27. Somit ist nach Zusammenkleben der Lösungen gemäß Blatt /A4 auch { 0, für t (, ] u(t) := (t + 27 ), für t (, + ). eine Lösung des (AWP). Schritt 5: Maximalität des Lösungsintervalls. Da die Lösung auf ganz R definiert ist, ist sie maximal.

4 Beispiel.6. Bestimme eine maximale Lösung des { u(t) = u(t) (AWP) u(0) =. Es folgt eine viel zu kurze Lösungskizze! Trennen der Veränderlichen liefert u(t) u(t) = für u(t) 0, was lokal um den Zeitpunkt 0 gerechtfertigt ist. Integration und anschließende Substitution liefert dann u(t) u(0) x dx = t, also 2 u(t) = t. Wir erhalten als Lösungskandidaten u(t) = ( 2t + ) 2. I := (, 2 ). Dies ist eine Lösung: klar! lim t u(t) = +, also existiert keine stetige Fortsetzung nach rechts, daher 2 ist I maximal. 4

5 2 Globale Lösungen Wir geben nun ein Kriterium an, dass die Globalität einer gefundenen Lösung impliziert: Satz 2.. Seien α, β : [t 0, b) R + stetig, sodass f (t, x) α(t) + β(t) x R n für alle t [t 0, b) gilt. Dann ist t + =. Analoges gilt für t. Beispiel 2.2. Besitzt das folgende (AWP) eine Lösung y : [0, ) R? { ẏ(t) = y(t) (AWP) 4 + (π + sin(t))y(t) + (tanh(t) + )t y(0) = e. Die lokale Existenz der Lösung ergibt sich aus dem Satz von Picard-Lindelöf. Schritt : y(t) 0. Wir verwenden ein wichtiges Standardargument: Angenommen es gäbe ein t 0 mit y(t) <, dann finden wir auch eine Zeit t 0 mit y(t 0 ) = 0 aber ẏ(t 0 ) 0. Man kann nämlich z.b. t 0 := inf{t y(t) < } wählen. Durch Einsetzen dieser Tatsachen in die (DGL) erhält man ein Widerspruch! ẏ(t 0 ) = (tanh(t) + ) t 0, Schritt 2: y(t) z(t), solange beide Lösungen definiert sind. Es sei hierbei z(t) die Lösung von { ż(t) = z(t) 4 (AWP2) z(0) = e. Wäre nämlich y(t) < z(t) für ein t 0, wo beide Lösungen definiert sind, dann finden wir gemäß unseres Standardarguments auch ein t 0 0 mit y(t 0 ) = z(t 0 ) aber ẏ(t 0 ) ż(t 0 ). Wir unterscheiden nun beim Einsetzen in die (DGL) zwei Fälle: Fall : t 0 = 0. Wir erhalten Ein Widerspruch! ẏ(t 0 ) = y(t 0 ) 4 + (π + sin(0) ) y(0) + (tanh(0) + ) 0 }{{}}{{}}{{} = 0 = e = 0 = y(t 0 ) 4 + π e > y(t 0 ) 4 = z(t 0 ) 4 = ż(t 0 ). 5

6 Fall 2: t 0. Mit sin( ) = tanh( ) = erhalten wir nun ẏ(t 0 ) = y(t 0 ) 4 + (π + sin(t 0 )) y(t }{{} 0 ) }{{} 0 wg. S + (tanh(t 0 ) + ) }{{} t 0 }{{} } {{ } > y(t 0 ) 4 = z(t 0 ) 4 = ż(t 0 ). Erneut ein Widerspruch! Aus den Widersprüchen in beiden möglichen Fällen schließen wir die Behauptung. Schritt : Löse (AWP2). Wir wollen zunächst (DGL2) lösen. Durch scharfes Hinschauen (mit ein bisschen Rumprobieren) erhalten wir die Idee für den Ansatz (alternativ trennt man die Veränderlichen und integriert): z(t) = c (c 2 t) mit c R, c 2 R. Dann ist ż(t) = ( ) (c 2 t) 4 ( ) c = c (c 2 t) 4. ( ) 4 Koeffizientenvergleich mit z(t) 4 = c (c2 t) 4 liefert also c 2 =, weshalb wir c e 2 := somit zu z(t) = ( ) 4 = c c = c c 4 =, c also c :=. Zusätzlich bestimmen wir c 2 so, dass der Anfangswert erfüllt ist. Es soll gelten z(0) =! = e, c 2 0 ( ) e = wählen. Die Lösung ergibt sich e e. t Als Lösungsintervall wählen wir [ ) I := [0, c 2 ) = 0,. e 6

7 Schritt 4: Es gibt keine globale Lösung von (AWP). Es gilt lim t c2 z(t) = +. Daher haben wir im vorherigen Schritt eine maximale Lösung des (AWP2) bestimmt. Folglich (a) existiert die Lösung der (DGL) entweder nicht auf dem ganzen Intervall I (weshalb es keine globale Lösung gäbe), oder (b) es gilt lim t c2 y(t) = +. In diesem Fall kann die Lösung auch nicht über I fortgesetzt werden bzw. auf dem ganzen Intervall I definiert sein. Wie auch immer: Die maximale Lösung des (AWP) ist höchstens auf I definiert (das genaue Intervall ist unbekannt). Es gibt damit keine Lösung auf [0, + ). 7

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