Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Dynamische Systeme I 1 Einleitung 1.1 Nichtlineare Systeme In den vorigen Vorträgen haben wir uns mit linearen Differentialgleichungen beschäftigt. Nun werden wir auch nichtlineare Differentialgleichungen betrachten. Im Differentialgleichungssystem X = F (X) ist F (X) nicht mehr unbedingt linear. Bei den linearen Systemen war die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen durch die Matrixexponentialfunktion gegeben, nun, im nichtlinearen Fall, ist dies nicht länger der Fall, denn: es gibt Systeme mit unendlich vielen Lösungen es gibt Lösungen, die nicht für die ganze Zeit gelten, sondern nur auf einem beschränkten Zeitintervall In der Praxis ist für nichtlinearen Systeme Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen unter bestimmten Voraussetzungen gegeben. 1.2 Dynamische Systeme Um über nichtlineare Systeme mehr aussagen zu können, müssen wir uns mit dynamischen Systemen beschäftigen. Der Einfachheit halber betrachten wir dynamische Systeme über dem R n. Ein solches System liefert uns die Position eines Vektors X R n nach einer Zeiteinheit, nach zwei Zeiteinheiten, usw. Diese Positionen von X schreiben wir als X 1, X 2, usw. Zum Anfangszeitpunkt schreiben wir X. Im Allgemeinen ist der Entwicklungsverlauf von X gegeben durch X t. Man unterscheidet hauptsächlich unter den folgenden dynamischen Systemen: Diskretes dynamisches System: falls die Position von X t nur mit ganzzahligen t beschrieben wird Stetiges dynamisches System: falls die Position von X t stetig mit t R beschrieben wird Glattes dynamisches System: falls das System stetig differenzierbar von der Zeit abhängt 1

2 Wir werden uns im Folgenden nur mit den glatten dynamischen Systemen beschäftigen. Definition 1.1. Ein glattes dynamisches System über dem R n ist eine stetig differenzierbare Funktion φ : R R n R n, mit φ(t, X) = φ t (X), für die gilt: 1. φ : R n R n ist die Identität: φ (X ) = X. 2. Halbgruppeneigenschaft φ t φ s = φ t+s, für alle t, s R. Eine stetig differenzierbare Funktion wird auch C 1 Funktion genannt. Es gilt X = F (X) = d dt φ t (X), t= somit induziert jedes glatte dynamische System ein Vektorfeld F (X). Beispiel 1.2. Gegeben ist die Differentialgleichung erster Ordnung x = ax, die Funktion φ t (x ) = x exp(at) ist die eindeutige Lösung der Gleichung und ist auch ein glattes dynamisches System über R, denn es gilt: 1. φ (x ) = x e = x 2. φ t φ s = φ t (x e as ) = x e as e at = x e a(s+t) = φ t+s Beispiel 1.3. Sei A eine n n Matrix. Dann ist die Funktion φ t (X ) = exp(ta)x ein glattes dynamisches System über R n, denn es gilt: 1. φ (X ) = exp()x = IX = X 2. φ t+s (X) = exp((t + s)a)x = (exp(ta)exp(sa))x = φ t φ s (X) 2 Existenz und Eindeutigkeit Sei X = F (X) ein Differentialgleichungssystem mit F : R n R n. Eine Lösung des Systems ist eine Funktion X : J R n, mit J R ein Intervall, sodass für alle t J, gilt: X (t) = F (X(t)). Wie in den letzten Vorträgen betrachten wir die Abbildung F : R n R n als Vektorfeld im R n. Ein Anfangswert oder ein Anfangszustand für eine Lösung X : J R n ist festgelegt durch X(t ) = X, wobei t J und X R n. Der Einfachheit halber ist meist t =. Das größte Problem ist es eine allgemeine Lösung des Systems zu finden, die für alle Anfangswerte X() = X mit X R n gilt. Manche nichtlinearen Differentialgleichungen haben jedoch für einen bestimmten Anfangswert keine Lösung: Beispiel 2.1. Gegeben ist eine einfache Differentialgleichung erster Ordnung { x 1 wenn x < = 1 wenn x Das Vektorfeld zeigt nach links wenn x und nach rechts für alle x <. Daher gibt es keine Lösung für den Anfangswert x =. Denn angenommen es gäbe eine solche Lösung, 2

3 dann müsste sie bei x = fallen (da x () = 1), würde also für x > in den negativen x-bereich gehen, für welchen jedoch gilt, dass die Steigung des Graphen positiv ist. Somit ist das Vektorfeld bei x = nicht stetig. Allgemein gibt es keine Lösung der Gleichung, die für alle Zeiten gilt. Falls x >, dann wäre eine Lösung x(t) = x t, diese Lösung gilt jedoch nur für < t < x (aus dem selben Grund wie oben). Das Problem in diesem Beispiel ist, dass das Vektorfeld nicht stetig bei ist. Immer wenn ein Vektorfeld nicht stetig ist, gibt es das Problem, dass naheliegende Vektoren in gegensätzliche Richtungen zeigen, so dass in diesen Punkten keine Lösung definiert werden kann oder es mehr als eine Möglichkeit gibt. Das folgende Beispiel zeigt den Fall, dass ein nichtlineares Differentialgleichungssystem unendlich viele Lösungen für den selben Anfangswert hat. Beispiel 2.2. Gegeben ist die Differentialgleichung x = 3x 2 3. Die Funktion u(t) = ist eine Lösung der Gleichung (also die Nullfunktion, mit Anfangswert u = ). Mit u = wäre auch u(t) = t 3 eine Lösung der Gleichung und mit τ > ist { wenn t τ u τ = (t τ) 3 wenn t > τ eine weitere Lösung mit dem selben Anfangswert. Es gibt also viele Lösungen dieser Differentialgleichung für den selben Anfangswert. In diesem Beispiel ist F (x) = 3x 2 3 an der Stelle nicht differenzierbar, da der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle nicht existiert. F (+h) F () 3h (lim h h = lim 2 3 h h = 3 lim h h 1 3 = ) Durch diese Beispiele sieht man, dass Existenz und Eindeutigkeit der Lösung im Allgemeinen nicht gilt, falls F an einer Stelle unstetig (Beispiel 2.1) oder falls F nicht überall differenzierbar ist (Beispiel 2.2). Wir folgern daraus also, dass F stetig differenzierbar eine notwendige Bedingung für die lokale Existenz und Eindeutigkeit des dynamischen Systems ist. Tatsächlich zeigt der folgende Satz, dass diese Bedingung auch hinreichend ist. Satz 2.3 (Existenz- und Eindeutigkeitssatz). Es sei X = F (X), X(t ) = X ein Anfangswertproblem mit X R n und F : R n R n in C 1. Dann existiert eine eindeutige lokale Lösung für das Anfangswertproblem. Anders ausgedrückt: Es existiert ein a > und eine eindeutige Lösung X : (t a, t + a) R n der Differentialgleichung X = F (X) mit dem Anfangswert X(t ) = X. Wir werden diesen Satz nicht beweisen, da er noch in Analysis II bewiesen wird. Im Beweis wird die sogenannte Picard-Iteration genutzt, mit der man sich eine Folge von Funktionen definiert und dann beweist, dass diese Folge gleichmäßig gegen eine Lösung der Differentialgleichung konvergiert. 3

4 2.1 Picard Iteration Mit Hilfe der Picard Iteration konstruieren wir uns eine Funktionenfolge, welche gegen die Lösung der Differentialgleichung konvergiert. Diese Folge von Funktionen u k (t) wird induktiv definiert mit u (t) = x (wobei x der Anfangswert ist): u k+1 (t) = x + F (u k (s))ds. Beispiel 2.4. Gegeben ist die Differentialgleichung x = x mit Anfangswert x() = x. Wie wir bereits wissen ist die Lösung x(t) = x e t. Wir konstruieren nun eine Folge von Funktionen u k (t), welche gegen die richtige Lösung x(t) mit k konvergiert. u (t) = x So haben wir unseren Anfangswert definiert. Nun folgt u 1 (t) = x + F (u (s))ds. u (t)=x = x + Mit Hilfe von u 1 können wir nun u 2 bestimmen Es folgt weiter u 2 (t) = x + Es folgt also allgemein F (u 1 (s))ds = x + F (x )ds F (x)=x =x = x + u 3 (t) = x + tx + t2 2 x + t3 3 x u k+1 (t) = x + (x + sx )ds = x + tx + t2 2 x k+1 t i F (u k (s))ds = x i! i= x ds = x + tx lim h u k+1(t) = x i= t i i! = x e t 3 Stetige Abhängigkeit von Lösungen Satz 3.1. Es sei O R n eine offene Menge und F : O R n Lipschitz-stetig 1 mit Konstante K. Nun seien Y (t) und Z(t) Lösungen von X = F (X) mit Z(t),Y (t) O welche auf dem Intervall [t, t 1 ] definiert sind. Dann gilt: t [t, t 1 ] : Y (t) Z(t) Y (t ) Z(t ) exp(k(t t )). 1 F Lipschitz-stetig falls gilt: K R; X 1, X 2 O : F (X 1) F (X 2) K X 1 X 2 4

5 Der Satz besagt also, dass Lösungen Y (t) und Z(t) mit unterschiedlichen Anfangswerten, jedoch auf dem selben Zeitintervall definiert, für alle t in der Umgebung von t nahe zusammen liegen, auch wenn sie sich der Zeit auseinander bewegen. Dies geschieht aber nicht schneller als exponentiell. Aus diesem Satz und mit Hilfe des ɛ δ-kriterium ergibt sich folgendes Korollar: Korollar 3.2 (Stetige Abhängigkeit des Anfangswerts). Es sei φ(t, X) der Fluss des Systems X = F (X), wobei F stetig differenzierbar ist. Dann ist φ eine stetige Funktion von X. Bevor wir den Satz beweisen können, müssen wir zunächst die sogenannte Gronwall Ungleichung beweisen: Satz 3.3 (Gronwall Ungleichung). Es sei u : [, α] R eine stetige Funktion, welche für C und K folgender Abschätzung genügt: Dann gilt t [, α] : u(t) C + t [, α] : u(t) Ce Kt. Beweis. 1. Fall: Angenommen C >, dann gilt U(t) = C + Ku(s)ds Ku(s)ds >. Es folgt u(t) U(t). Wenn wir nun U nach t ableiten erhalten wir Durch (3.1) und u(t) U(t) gilt dann U (t) = Ku(t) (3.1) U (t) U(t) = Ku(t) U(t) (3.2) U (t) U(t) = Ku(t) U(t) K (3.3) 1 U(t) U (t) K (3.4) Es ergibt sich mit 1 U(t) als äußere Ableitung und U (t) als innere Ableitung Wenn man nun diese Ungleichung nach t integriert ergibt sich d (ln U(t)) K (3.5) dt ln U(t) ln U() + Kt (3.6) Kt ist die Stammfunktion von K, ln U() ist die Konstante, die bei den Stammfunktionen die Verschiebung auf der y-achse zeigt. Wir setzen nun C := U() ln U(t) ln C + Kt e () (3.7) U(t) Ce Kt (3.8) 5

6 da u(t) U(t) gilt, folgt u(t) Ce Kt. 2. Fall: Sei nun C =. Zunächst konstruieren wir uns eine positive Folge (C i ) i N mit Es folgt: lim i C i =. u i (t) C i + Ku i (s)ds Wir wissen, dass die Gronwall Ungleichung für C i > gilt, daher folgt: u i (t) C i e Kt (3.9) lim i u i (t) lim i C i e Kt (3.1) e Kt = (3.11) Nun wollen wir mit Hilfe der Gronwall-Ungleichung den eigentlichen Satz beweisen: Beweis. Angenommen Y (t) und Z(t) sind Lösungen von X = F (X). Definiere v(t) = Y (t) Z(t). Es gilt: Y (t) = F (Y (t)) und Z (t) = F (Z(t)) (3.12) Y (t) Z (t) = F (Y (t)) F (Z(t)) (3.13) wir integrieren nach t : (3.14) Y (t) Z(t) t F (Y (s)) F (Z(s)) ds + Y (t ) Z(t ) (3.15) v(t) v(t ) + F (Y (s)) F (Z(s)) ds t (3.16) da F Lipschitz-stetig folgt: (3.17) Definiere u(t) = v(t + t ): v(t) v(t ) + t Kv(s)ds (3.18) +t u(t) = v(t + t ) v(t ) + Kv(s)ds v(s)=u(s t) = v(t ) + t Nun wenden wir die Gronwall Ungleichung an: v(t + t ) v(t )e Kt v(t) v(t )e K(t t ) Ku(τ)dτ 6

7 Beispiel 3.4. Es sei k >. Gegeben ist das System ( ) X 1 = X, k für den Anfangswert X() = ( 1, ) ist X(t) = ( e t, ) die Lösung. Für ein beliebiges η sei X η (t) die Lösung für den Anfangswert X η () = ( 1, η). Dann ist X η (t) = ( e t, ηe kt ). So wie im Satz erhalten wir: X η (t) X(t) = ηe kt = η e kt = X η () X() e kt Die Lösungen X η (t) bewegen sich von X(t) weg, aber höchstens exponentiell. 3.1 Stetige Abhängigkeit von Parametern Differentialgleichungen hängen oft von Parametern ab. Wie zum Beispiel der harmonische Oszillator, der von Dämpfungskonstante und der Federkonstante abhängt. Die Frage ist nun, wie die Lösung solcher Gleichungen von diesen Parametern abhängt. Wir wollen dazu den zuvor bewiesenen Satz benutzen. Es sei das System X = F a (X) mit a als Parameter gegeben, wobei das System stetig differenzierbar in a ist. Nun betrachten wir das künstlich vergrößerte System von Differentialgleichungen: x 1 = f 1 (x 1,..., x n, a). x n = f n (x 1,..., x n, a) a =. Dies ist ein autonomes System mit n + 1 Differentialgleichungen. So ergibt sich folgender Satz: Satz 3.5 (Stetige Abhängigkeit von Parametern). Es sei X = F a (X) ein Differentialgleichungssystem, wobei F a stetig differenzierbar in X und a ist. Dann hängt der Fluss des Systems stetig von a und X ab. 4 Erweitern von Lösungen Es seien Y (t) und Z(t) zwei Lösungen für die Differentialgleichung X = F (X), wobei F stetig differenzierbar ist. Angenommen es gilt Y (t ) = Z(t ) und beide Lösungen sind auf dem Intervall J um t definiert. Sei U t = (t a, t + a) für ein a >, nach dem Eindeutigkeitsund Existenzsatz muss Y (t) = Z(t) für alle t U t gelten. Man könnte meinen, dass U t J gilt. Dies ist jedoch nicht der Fall: Angenommen U t ist das größtmögliche Intervall in dem Y (t) = Z(t) gilt. Wenn U t J, dann gibt es einen Endpunkt t 1 von U t und t 1 J. Da Y (t) und Z(t) nach Voraussetzung 7

8 differenzierbar sind, sind sie auch stetig und es gilt Y (t 1 ) = Z(t 1 ). Nach dem Eindeutigkeitsund Existenzsatz sind Y (t) und Z(t) in einem Intervall U t1 = (t 1 a, t 1 + a ) für ein a > gleich. Dies widerspricht der Annahme, dass U t das größte Intervall mit Y (t) = Z(t) ist. Daher können wir immer annehmen, dass die Lösung auf dem maximalen Zeitdefinitionsbereich eindeutig ist. Trotzdem gibt es keine Garantie, dass die Lösung für die gesamte Zeit definiert ist. Dazu ein Beispiel: Beispiel 4.1. Gegeben ist die Differentialgleichung x = 1 + x 2 x(t) = tan(t c) für beliebige Konstante c sind die Lösungen für dieses System. Eine solche Funktion kann nicht auf ein größeres Intervall erweitert werden als da x(t) ± wenn t c ± π 2. c π 2 < t < c + π 2 Als nächstes betrachten wir, was mit der Lösung passiert, wenn wir uns den Grenzen des Definitionsbereichs annähern. Satz 4.2. Es sei O R n offen und F : O R n in C 1. Sei Y (t) eine Lösung des Systems X = F (X), welche auf dem maximalen offenen Intervall J = (α, β) R, β < definiert ist. Dann gibt es für jede kompakte Menge C O ein t (α, β), sodass Y (t ) / C. Der Satz sagt also, wenn eine Lösung Y (t) nicht mehr auf ein größeres Zeitintervall erweitert werden kann, dann verlässt diese Lösung jede kompakte Menge in O. Daraus folgt also, dass mit t β entweder Y (t) gegen die Grenzen von O geht oder eine Teilfolge Y (t i ) (oder beides). Beweis. Angenommen t (α, β) : Y (t) C. Da F stetig und C kompakt ist (auf einem kompakten Intervall ist eine stetige Funktion beschränkt) M > X C : F (X) M. Sei γ (α, β). Wir behaupten, dass Y sich erweitern lässt zu der stetigen Funktion Y : [γ, β] C. Um dies zu zeigen reicht es zu zeigen, dass Y gleichmäßig stetig auf J = (α, β) ist. Sei ɛ > und für t < t 1 J gilt t 1 t < δ. Wähle δ = ɛ M. Es gilt zu zeigen Y (t 1) Y (t ) ɛ: 1 Y (t ) Y (t 1 ) = Y (s)ds t da Y (t) = F (Y (t)) folgt: 1 = Y (s) C = t 1 t 1 t F (Y (s))ds F (Y (s)) ds M ds = (t 1 t )M ɛ 8

9 Somit ist Y gleichmäßig stetig auf J. Daher können wir Y (β) = lim t β Y (t) definieren. Als nächstes zeigen wir, dass das erweiterte Y : [γ, β] R n an der Stelle β ableitbar ist und dass Y eine Lösung der Differentialgleichung ist. da F (Y (s)) gleichmäßig stetig, folgt: t [γ, β] : Y (t) = Y (γ) + γ Y (β) = Y (γ) + lim t β γ Y =F (Y ) = = Y (γ) + lim t β F (Y (s))ds γ Y (s)ds F (Y (s))ds β = Y (γ) + F (Y (s))ds γ Somit ist Y an der Stelle β differenzierbar und ist auch die Lösung der Differentialgleichung an der Stelle: Y (β) = F (Y (β)) und somit für alle t [γ, β]. Daher war (α, β) nicht der maximale Definitionsbereich für die Lösung. Dadurch haben wir den Satz bewiesen. Nach dem im Beweis genutzten Schema können wir das Intervall J solange erweitern, wie t J : Y (t) C gilt. So folgt dieses Korollar: Korollar 4.3. Es sei C eine kompakte Teilmenge der offenen Menge O R n und F : O R n stetig differenzierbar. Sei Y C und angenommen das Bild jeder Lösung der Form Y : [, β] O mit Y () = Y liegt in C. Dann gibt es eine Lösung Y : [, ] O mit Y () = Y, und es gilt: t : Y (t) C. Aus diesem Korollar und dem Satz davor können wir nun einen weiteren Satz formulieren. Der Satz zeigt, dass Lösungen welche naheliegende Anfangswerte haben, auf dem selben Zeitintervall definiert sind und für alle t nahe zusammen bleiben. Satz 4.4. Sei F : O R n in C 1. Es sei Y (t) eine Lösung für X = F (X) auf dem geschlossenen Intervall [t, t 1 ] definiert und Y (t ) = Y. Dann gibt es eine Umgebung U R n von Y und eine Konstante K, so dass es, falls Z U, eine eindeutige Lösung Z(t) gibt, die auch auf [t, t 1 ] definiert ist und Z(t ) = Z ist. Außerdem gilt t [t, t 1 ] : Y (t) Z(t) Y Z exp(k(t t )). Zum Beweis benötigen wir zwei Hilfslemma: Lemma 4.5. Falls F : O R n, O R n stetig differenzierbar, dann ist F lokal Lipschitz-stetig, d.h. es gibt um jeden Punkt eine Umgebung, sodass F dort Lipschitz-stetig ist. Der Beweis für dieses Lemma ist analog zum Beweis des Satzes aus der Analysis II, dass stetige Funktionen auf einer kompakten Menge gleichmäßig stetig sind. Lemma 4.6. Falls F : O R n lokal Lipschitz-stetig ist und C O eine kompakte Menge ist, dann ist F C Lipschitz-stetig. 9

10 Beweis. Angenommen F C wäre nicht Lipschitz-stetig. Dann gilt k > X, Y C : F (X) F (Y ) > k X Y (4.1) n N > X n, Y n : F (X n ) F (Y n ) > n X n Y n (4.2) Da C kompakt ist, wissen wir, dass es konvergente Teilfolgen mit Grenzwert in C gibt, wir nennen diese nun X ni und Y ni, wobei X ni X und Y ni Y und X, Y C. Es muss X = Y gelten, da für alle n gilt: X Y = lim X ni Y ni lim F (X ni ) F (Y ni ) lim i 2M = i i n i n i wobei M das Maximum von F (X) mit X C ist (existiert nach Satz vom Maximum, C kompakt und F stetig). Da F lokal Lipschitz-stetig ist gibt es eine Umgebung O von X auf der F O Lipschitz-stetig mit der Konstanten K ist. Außerdem existiert ein n i, sodass Y ni, X ni O für alle n i n i. n i n i : F (X ni ) F (Y ni ) K X ni Y ni 4.2 n i X ni Y ni < F (X ni ) F (Y ni ) K X ni Y ni Widerspruch. Nun können wir den Satz beweisen. Beweis. Da [t, t 1 ] kompakt, existiert ein ɛ >, sodass X O, falls X Y (t) ɛ für ein t [t, t 1 ]. Die Menge aller solcher Punkte ist eine kompakte Menge C O (da dies alle Punkte in einer geschlossenen Kugel mit Mittelpunkt Y (t) für ein t mit Radius ɛ sind, diese Menge ist auch beschränkt, da eine beschränkte Teilmenge in einem metrischen Raum in einer Kugel enthalten ist). Da F nach Voraussetzung stetig differenzierbar ist, folgt mit Lemma 4.5, dass F lokal Lipschitz-stetig ist. Nach Lemma 4.6 folgt, dass F C Lipschitz-stetig mit der Konstanten K ist. Wähle δ >, so dass δ ɛ und δe K t 1 t ɛ. Behauptung: Wenn Z Y < δ, dann gibt es eine eindeutige Lösung durch Z für alle t [t, t 1 ] definiert. Da Z Y (t ) < ɛ folgt Z O. Nach dem Existenzsatz gibt es dann eine Lösung Z(t) mit Z(t ) = Z welche auf dem maximalen Intervall [t, β) definiert ist. Für den Fall β t 1 folgt, mit Satz 3.1 : t [t, β] : Z(t) Y (t) Z Y e K t t δe K t t ɛ Daher gilt Z(t) C. Nach Korollar 4.3 kann [t, β) nicht der maximale Definitionsbereich sein. Daher folgt, dass β > t 1 sein muss. Die Eindeutigkeit von Z(t) folgt direkt nach dem Eindeutigkeitsatz. Somit wurde der Satz bewiesen. 1

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