Algorithmische Geometrie

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1 Algorithmische Geometrie Martin Peternell TU Wien 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 1

2 Themen der Algorithmische Geometrie Entwurf von Algorithmen für geometrische Fragestellungen betreffend Punkte, Geraden, Segmente, etc. in der Ebene und analoge Fragestellungen im Raum. Beurteilung von Algorithmen hinsichtlich Effizienz (Laufzeit, Speicherbedarf, etc.). Konvexe Hülle (2d+3d) Voronoi Diagramme Polygonzerlegung, Triangulierungen,... Punkt-in-Polygon Test, etc. 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 2

3 Konvexe Hülle 2D Gegeben: Punkte p i = (x 1, y i ) R 2. Gesucht: konvexe Hülle, d.h. das kleinste konvexe Polygon, welches alle Punkte enthält. Algorithmen: Gift Wrapping Graham Scan (1972) Quickhull y Inkrementeller Algorithmus x 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 3

4 Gift Wrapping Eingabe Liste von Punkten p i = (x i, y i ) R 2. Ausgabe Sortierte Indizes der Punkte der konvexen Hülle. Methode Punkt mit min. y-koordinate p i. y Bezugsrichtung e = (1, 0). Min. Winkel zwischen e und p i p j, i j. min p k. Neue Bezugsrichtung e = p i p k. p k Wiederholung der letzten beiden Schritte. p i min x Algorithmus auf 3d erweiterbar. 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 4

5 Quickhull Methode Punkte mit min. und max. y-koordinate a, b. Punkte q i links und r i rechts von ab. Punkt c {r i } mit max. Distanz von ab gehört der konvexen Hülle an. Elimination der Punkte im Dreieck abc. Wiederhole: Extremale Punkte bzgl. ac und cb. y q i b b a r i x a c 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 5

6 Quickhull 2 Algorithmus auf 3D erweiterbar. 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 6

7 Gift Wrapping 3d Eingabe Liste von Punkten p i = (x i, y i, z i ) R 3. Annahme Keine vier Punkte (der konvexen Hülle) koplanar. Ausgabe Indexliste der Dreiecke, welche die konvexen Hülle bilden. Methode y Startdreieck D (unterstes Dreieck), mit kanten e, f und g. Für jede Kante von D bestimmen angrenzendes Dreieck der konvexen Hülle durch Berechnung des minimalen Winkels. Rekursive Fortsetzung. p i min e min x 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 7

8 Gift Wrapping 3d Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 8

9 Voronoi-Diagramm Gegeben: Punkte p i = (x i, y i ) R 2. Gesucht: Gebietszerlegung von R 2 so, dass das Gebiet V (p i ) all jene Punkte R 2 enthält, die p i als nächsten Nachbarn haben. 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 9

10 Voronoi-Diagramm V i = {x R 2 : p i x p j x, j i} heißt Voronoizelle. V i = j i H ij ist Durchschintt von Halbebenen H ij. V k p k V i V j p i p j V i p i V j p j 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 10

11 Fortune s Sweep Algorithmus 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 11

12 Delaunay Triangulierung und Voronoi Diagramm Punkte p i = (x i, y i ) R 2. Q q j Paraboloid Q : z = x 2 + y 2. Projizieren p i q i = (x i, y i, x 2 i + y 2 i ). Berechnen untere konvexe Hülle der q i s. Delaunay Triangulierung der p i s: Grundriss der unteren konvexen Hülle der q i s. E q i q k p k Voronoi Ecken: Grundrisse der Pole der Dreiecksebenen der unteren konvexen Hülle der q i s. p i p j Projektion auf Q kann durch stereographische Projektion auf Einheitskugel ersetzt werden (winkeltreu). v 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 12

13 Delaunay Triangulierung und Voronoi Diagramm 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 13

14 Eigenschaften der Delaunay Triangulierung Voronoi-Punkte sind die Umkreismitten der Delaunay-Dreiecke. Jeder Voronoi-Kante entspricht eine Kante der Delaunay Triangulierung. Korrespondierende Kanten sind orthogonal. Die Umkreise der Dreiecke enthalten keine Datenpunkte im Inneren. Die Delaunay Triangulierung maximiert die minimalen Dreieckswinkel. 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 14

15 Berechnung der Mittelachse eines Gebiets Die Mittelachse eines Gebiets G ist der Ort der Mittelpunkte m maximaler Kreise k, die ganz in G liegen. Approximation der Kurve durch eine Polylinie Punkte p i. Berechnung der Voronoi-Zellen der Punkte p i. Voronoi-Punkte innerhalb von G liegen nahe an der Mittelachse. G k m 31. Fortbildungstagung für Geometrie 2010, Strobl 15