Ganzrationale Funktionen

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1 Eine Dokumentation von Sandro Antoniol Klasse 3f Mai 2003

2 Inhaltsverzeichnis: 1. Einleitung Grundlagen Symmetrieeigenschaften von Kurven gerade Exponenten ungerade Exponenten gemischte Exponenten Übersicht Nullstellen Berechnung Funktionen ersten Grades Funktionen zweiten Grades Funktionen dritten Grades Quellen...11 Sandro Antoniol Seite 2 / 11 Mai 2003

3 1. Einleitung Definition einer ganzrationalen Funktion: Eine Funktion heisst ganzrational, wenn man ihren Funktionsterm auf diese Form bringen kann: f(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x 1 + a 0 Die Zahlen a 0, a 1 bis a n heissen die Koeffizienten der Potenzen x 0, x 1 bis x n. Der Koeffizient a 0 heisst auch das Absolutglied, weil er im Grunde ohne x absolut unveränderlich ist, während a 1 x usw. die Variable x dabei haben. Den Term (mathematischen Ausdruck) auf der rechten Seite der Gleichung bezeichnet man als Polynom, deshalb ist in vielen Büchern auch von der Polynomfunktion die Rede. Der höchste vorkommende Exponent n (mit a n? 0) bestimmt den Grad der Funktion. (auch genannt den Polynomgrad). Wenn alle Exponenten ungrad sind, so spricht man auch von einer ungeraden Funktion. Beispiele: höchster Exponent f 1 (x) = x 4 2x 2 4x + 5 f 2 (x) = 3x 5 + 2x 3 +? x f 3 (x) = (x 2 2) 2 Ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, da der höchste Exponent 4 beträgt. Die Funktion hat folgende Koeffizienten: a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 2, a 1 = 4, a 0 = 1 Ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades, da der höchste Exponent 5 beträgt. Da zudem alle Exponenten ungerade sind, handelt es sich hierbei auch um eine ungerade Funktion. Die Koeffizienten lauten hier wie folgt:: a 5 = 3, a 4, a 2, a 0 = 0, a 3 = 2, a1 =? Wenn man das Polynom in die Normalform bringt, ist erkenn bar, dass es sich bei dieser Funktion um eine gerade, ganzrationale Funktion 4. Grades handelt. f 3 (x) = x 4 2x Der Definitionsbereich einer Funktion besteht aus allen reellen Zahlen, denen man einen Funktionswert zuordnen kann. Einschränkungen ergeben immer nur diese drei Rechenoperationen: Dividieren: ist durch 0 nicht möglich Ziehen einer Wurzel: ist aus negativen Zahlen nicht möglich Logarithmieren: ist nur bei positiven Zahlen möglich. Da bei ganzrationalen Funktion x weder im Nenner, noch unter einer Wurzel oder in einem Logarithmus vorkommt, haben alle ganzrationalen Funktionen den maximalen Definitionsbereich D = R, d.h. zu jeder reellen Zahl ist ein Funktionswert berechenbar. Die Zuordnung x? f(x).kann man auch geometrisch als Punkt (x f(x)). darstellen. Die Menge aller solchen Punkte nennt man den Graph oder das Schaubild der Funktion, oder auch eine Kurve. Sandro Antoniol Seite 3 / 11 Mai 2003

4 Es gibt nun einige Merkmale, die rasch erkennen lassen, ob bestimmte Eigenschaften vorliegen. Diese werden im folgenden Kapitel besprochen. 2. Grundlagen 2.1. Symmetrieeigenschaften von Kurven gerade Exponenten Wenn eine Funktion nur gerade Exponenten hat, so ist der Graph symmetrisch zur y-achse. Diese Eigenschaft resultiert aus der Tatsache, dass wenn man eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten exponiert, so erhält man den gleichen Wert, wie wenn man die positive Zahl exponiert hätte. (Minus Minus = Plus). Dies bedeutet, dass man für die Funktion: f(x) = ¼ x 4-2x 2 + 7/4 den gleichen Wert erhält, egal ob man 2, oder 2 für x einsetzt. Somit gilt: f(x) = f(-x) Bei geraden Funktion ist der Graph symmetrisch zur y -Achse da f(x) = f(-x) Sandro Antoniol Seite 4 / 11 Mai 2003

5 ungerade Exponenten Wenn eine Funktion nur ungerade Exponenten beinhaltet, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Dies bedeutet, dass wenn ich z.b. für x zuerst 3 einsetze, und anschliessend 3, so erhalte ich als zweites Resultat den invertierten Wert des ersten Resultates (positiv wird negativ, oder umgekehrt). Am verständlichsten ist diese Eigenschaft, wenn man das untenstehenden Graphen betrachtet, der aus folgender Funktion resultiert: f(x) = - 1 / 9 x 3 + x Graph zur Funktion f(x) = -1/9 x3 + x Es lässt sich gut erkennen, dass beim Punkt x = -2 ein y-wert von etwas weniger als 1 hat, und bei x = 2 ein y-wert von etwas weniger als +1 hat gemischte Exponenten Beinhaltet eine Funktion gerade sowie auch ungerade Exponenten, so ist keine Symmetrie erkennbar. f(x) = - 1 / 9 x 3 + 2x 3 Sandro Antoniol Seite 5 / 11 Mai 2003

6 Übersicht Geht man von der Funktion f(x) = a x n aus, so lassen sich die möglichen Verläufe des aus der Funktion resultierenden Graphen in insgesamt 5 Kategorien unterteilen, je nachdem ob die Funktionsgleichung aus geraden oder ungeraden Exponenten besteht und ob man für a einen negativen oder positiven Wert wählt. 1. a > 0 und n = nur gerade Beispiel Funktion: f(x) = ¼ x 4 + Wenn x? +/- 8 so gilt für f(x)? 8 2. a < 0 und n = nur gerade Beispiel Funktion: f(x) = -¼ x 4 + Wenn x? +/- 8 so gilt für f(x)? a > 0 und n = nur ungerade Beispiel Funktion: f(x) = 1 / 6 x 3 + Wenn x? 8 so gilt für f(x)? 8 und wenn x? - 8 so gilt für f(x)? a < 0 und n = nur ungerade Beispiel Funktion: f(x) = - 1 / 6 x 3 + Wenn x? 8 so gilt für f(x)? - 8 und wenn x? - 8 so gilt für f(x)? Gemischt Wenn die Koeffizienten mal grösser, mal kleiner null sind, und die Exponenten mal gerade, mal ungerade sind, so lässt sich nur sehr wage eine Vorhersage treffen, wie der Graph verlaufen wird. Sandro Antoniol Seite 6 / 11 Mai 2003

7 3. Nullstellen Eine Nullstelle ist eine Zahl mit dem Funktionswert 0. Dort schneidet oder berührt der Graph die x-achse. Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades kann höchstens n reelle Nullstellen haben. Wie sich anhand der Grafiken im Kapitel gut entnehmen lässt, besitzen ganzrationale Funktionen mit nur ungeraden Exponenten mindestens eine Nullstelle. Bei anderen Funktionen, die diese Eigenschaft nicht erfüllen, lässt sich nicht ausschliessen, dass eine Funktion gar keine Nullstelle besitzt Berechnung Je grösser der grösste Exponent einer Funktionsgleichung ist, desto mehr Nullstellen sind möglich, und desto schwieriger wird es auch alle Nullstellen zu berechnen. Um nicht den Rahmen dieser Dokumentation zu sprengen, beschränke ich mich hier auf die Berechnung der Nullstellen einer Funktion bis maximal dritten Grades. Wer mehr wissen möchte über die Berechnung von Nullstellen bei Funktionen höheren Grades, findet Informationen in den, im Quellen-Verzeichnis (Kapitel 4) angegebenen Internetseiten Funktionen ersten Grades Bei einer Funktion ersten Grades handelt es sich ganz schlicht um eine Gerade, welche bekanntlich nur eine Nullstelle besitzen kann. Um die Nullstelle zu berechnen setzt man für f(x) = 0 ein, und löst die Funktionsgleichung nach x auf. Beispiel: f(x) = -3x = -3x x 3x = 4 :4 x = ¾ N = (¾,0) Funktionen zweiten Grades Bei Funktionen zweiten Grades kann es maximal zwei Nullstellen geben. Zur Berechnung dieser zwei möglichen Nullstellen setzt man ebenfalls f(x) = 0, und bedient sich dann der bekannten Lösungsformel für quadratische Gleichungen: x 1,2 - b ± = 2 b 4ac 2a Sandro Antoniol Seite 7 / 11 Mai 2003

8 Beispiel: f(x) = -2x 2 + 3x = -2x 2 + 3x + 2 Allgemein Form: f(x) = ax 2 + bx +c a = -2 ; b = 3 ; c = +2 x 1,2 2-3 ± 3 4( 2)( 2) = x 1 = -0.5 ; x 2 = 2 2(-2) Funktionen dritten Grades Die Nullstellen einer Funktion dritten Grades lassen sich durch Polynomdivision berechnen. Dies Bedingt allerdings, dass mindestens ein Wert für x, an dem f(x) = 0 ist, gegeben ist. Denn dadurch lässt sich die Funktion auch in der Form: f(x) = (x x 1 ) * f 1 (x) darstellen. x 1 = der Wert damit die Funktion 0 ergibt. Der Faktor (x x 1 ) heisst Linearfaktor, f 1 (x) ist das sog. 1. reduzierte Polynom vom Gerade (n-1) Durch die Abspaltung eines Linearfaktors erhalten wir das reduzierte Polynom f 1 (x) vom Gerade (n-1). Das heisst, wenn f(x) eine Funktion dritten Grades ist, so ist f 1 (x) eine Funktion zweiten Grades. Wenn f 1 (x) berechnet ist, kann man mittels Lösungsformel für quadratische Gleichungen die restlichen zwei Nullstellen berechnen. (Siehe Kapitel 3.1.2) Berechnungs-Beispiel: f(x) = x 3 2x 2-5x + 6 mit einer Nullstelle x 1 = 1 f(x) = (x x 1 ) * f 1 (x) : (x x 1 ) f 1 (x) = f(x) / f 1 (x) 1. Zuerst dividieren wir das höchste Glied von f(x) durch das höchste Glied von (x 1), d.h. wir rechnen x 3 /x = x 2 und schreiben das Ergebnis hinter das Gleichheitszeichen. geteilt durch gleich (x 3 2x 2-5x + 6) : (x 1) = x 2 2. Nun multiplizieren wir das Ergebnis (2x 2 ) mit (x 1) und schreiben das Ergebnis unter das Polynom f(x). Dabei schreiben wir die Glieder gleichen Grades untereinander: (x 3 2x 2-5x + 6) : (x 1) = x 2 x 3 x 2 gleich mal Sandro Antoniol Seite 8 / 11 Mai 2003

9 3. Dieses Ergebnis (x 3 x 2 ) ziehen wir gliedweise vom Polynom f(x) ab, und schreiben es unter den Strich: (x 3 2x 2-5x + 6) : (x 1) = x 2 - (x 3 x 2 ) - x 2-5x + 6 Das negative Vorzeichen vor der Klammer wird normalerweise nicht geschrieben. 4. Schritt 1-3 wiederholen sich nun immer wieder: Nun dividieren wir das höchste Glied dieses Restes durch das höchste Glied von (x 1), d.h. wir rechnen -x 2 /x und schreiben das Ergebnis (-x) hinter das Gleichheitszeichen: (x 3 2x 2-5x + 6) : (x 1) = x 2 - x x 3 x 2 - x 2-5x Nun multiplizieren wir wieder das Ergebnis (-x) mit (x 1) und schreiben das Resultat unter den Rest: (x 3 2x 2-5x + 6) : (x 1) = x 2 - x x 3 x 2 - x 2-5x x 2 + x 6. Wir subtrahieren wieder die untereinander stehenden Glieder: (x 3 2x 2-5x + 6) : (x 1) = x 2 - x x 3 x 2 - x 2-5x x 2 + x - 6x Von nun an werden die Schritte 4 bis 6 solange wiederholt, bis der Rest 0 auftritt, oder der Rest ein Polynom ist, dessen Grad kleiner als der Grad von (x 1) * ist: (x 3 2x 2-5x + 6) : (x 1) = x 2 x - 6 x 3 x 2 - x 2-5x x 2 + x - 6x + 6-6x * Zum Beispiel bei der Division x/x 3 Sandro Antoniol Seite 9 / 11 Mai 2003

10 8. Wir haben für f 1 (x) das Resultat x 2 x 6 erhalten. Um nun die zwei weiteren Nullstellen zu berechnen kann man die Lösungsformel für quadratische Funktionen verwenden. Allerdings erkennt ein geschultes Auge sofort, dass es sich beim erhaltenen Resultat um ein Produkt einer Binomischen Formel handelt. Deshalb lässt sich das Resultat auch so darstellen: f 1 (x) = (x-3)(x+2) Weil die Multiplikation von f 1 (x) mit (x 1) die ursprüngliche Funktion f(x) ergibt, können wir nun die Funktionsgleichung für f(x) auch in Form eines Produktes darstellen: f(x) = (x - 1)(x 3)(x + 2) Damit f(x) = 0 ist, muss x so gewählt werden, dass mindestens ein Faktor 0 ist. Dies bedeutet, dass in mindestens einer Klammer die Summe gleich 0 sein muss. Da wir drei verschiedene Klammern haben, gibt es für x drei verschiedene Werte, damit das Produkt 0 ergibt: x 1 = 1 x 2 = 3 x 3 = -2 Daraus ergeben sich nun folgende drei Nullstellen: N 1 = (1/0) N 2 = (3/0) N 3 = (-2/0) Graph der Funktion f(x) = x 3 2x 2-5x + 6 Wie schon erwähnt, kann man die Nullstellen nach der Polynomdivision auch mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen. Wenn aber als Resultat schon ein Produkt einer Binomischen Formel heraus kommt, so ist man mit der Produktdarstellung schneller. Sandro Antoniol Seite 10 / 11 Mai 2003

11 4. Quellen Internet: Andere: Arbeitsblatt Ganzrationale Polynomfunktionen aus dem Freifachkurs Mathematik von Herrn G. Kopacsy Sandro Antoniol Seite 11 / 11 Mai 2003

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