Analysis III. Teil I. Rückblick auf das letzte Semester. Themen aus dem SS Inhalt der letzten Vorlesung aus dem SS.

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1 Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Teil I Rückblick auf das letzte Semester Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften Universität Hamburg WS 2005/2006 Themen aus dem SS 2005 Inhalt der letzten Vorlesung aus dem SS. Gleichmäßige Konvergenz Potenzreihen Weitere Funktionen Interpolation Integration Hauptsatz der Differential- und Integralrechung Kurven Fourierreihen. Schnelle Fouriertransformation.

2 Ideales Gas Teil II Analysis III im WS 2005/06 Sei f (x 1,..., x n ) eine Funktion, die von n Variablen abhängt. Die Zustandsgleichung eines idealen Gases lautet pv = RT. Jede Größe p, V, T läßt sich als Funktion der anderen darstellen: p = p(v, T ) = RT V V = V (p, T ) = RT p T = T (p, V ) = pv R. Partielle Differenzierbarkeit Stetige partielle Differenzierbarkeit Sei D R n offen, f : D R, x 0 D. 1) f heißt in x 0 nach x i partiell differenzierbar, falls der Grenzwert (e i bezeichne den i ten Einheitsvektor) (x 0 f (x 0 + te i ) f (x 0 ) ) = lim t 0 t = lim t 0 f (x 0 1,.., x 0 i + t,.., x 0 n) f (x 0 1,.., x 0 i,.., x 0 n) t 2) Existieren für jeden Punkt x 0 die partiellen Ableitungen nach jeder Variablen x i, i = 1,..., n und sind diese stetige Funktionen, so nennt man f (x) stetig partiell differenzierbar oder eine C 1 Funktion. existiert. Diesen nennt man die partielle Ableitung von f nach x i im Punkt x 0.

3 e partieller Ableitungen e partieller Ableitungen (Fortsetzung) 1) Betrachte die Funktion f (x 1, x 2 ) = x x 2 2 Für einen Punkt x 0 R 2 existieren beide partiellen Ableitungen und diese sind auch stetig: x 1 (x 0 ) = 2x 1, x 2 (x 0 ) = 2x 2 2) Die Funktion f (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 ist im Punkt x 0 = (0, 0) T partiell differenzierbar nach der Koordinate x 1,aber die partielle Ableitung nach x 2 existiert im Ursprung nicht! Die Funktion ist also eine C 1 (R 2 ) Funktion. : Schalldruck I : Schalldruck II Der Schalldruck einer 1 d Schallwelle ist gegeben durch Die partielle Ableitung p(x, t) = A sin(αx ωt) p x = αa cos(αx ωt) beschreibt zu einer festen Zeit t die örtliche Änderungsrate des Schalldrucks. Die partielle Ableitung p t = ωa cos(αx ωt) beschreibt für einen festen Ort x die zeitliche Änderung des Schalldruckes.

4 Differentiationsregeln I Differentiationsregeln II Bemerkung 1) Sind f, g partiell nach x i differenzierbar, α, β R ( ) αf (x) + βg(x) ( ) f (x) g(x) ( ) f (x) g(x) = α (x) + β g (x) = (x) g(x) + f (x) g (x) = (x) g(x) f (x) g (x) g(x) 2, g(x) 0 Bemerkung 2) Man verwendet auch andere Bezeichnungen: D i f (x 0 ) oder f xi (x 0 ) Ableitung als lineare Abbildung Gradient und Nabla-Operator Sei f : D R, D R n offen, in einem Punkt x 0 R partiell differenzierbar. 1) Der Zeilenvektor df (x 0 ) := heißt die Ableitung von f (x) in x 0. ( (x 0 ),..., ) (x 0 ) x 1 x n 2) Man schreibt auch als Spaltenvektor: f (x 0 ) := ( (x 0 ),..., ) T (x 0 ) x 1 x n und bezeichnet dies als Gradient, den symbolischen Vektor := ( ) T,..., x 1 x n nennt man den Nabla Operator.

5 Differentiationsregeln III e Bemerkung Seien f (x) und g(x) partiell differenzierbar auf D. Dann gelten die folgenden Differentiationsregeln: grad (αf + βg) = α grad f + β grad g grad (f g) = g grad f + f grad g ( ) f grad g = 1 (g grad f f grad g), g 0 g 2 e 1) Sei f (x, y) = e x sin y. Dann gilt: grad f (x, y) = (e x sin y, e x cos y) T = e x (sin y, cos y) T 2) Für r(x) := x 2 gilt: grad r(x) = xt r(x) = xt x 2 (x 0) Wichtige Beobachtung: Wichtige Beobachtung (Fortsetzung): Eine nach allen Koordinaten partiell differenzierbare Funktion ist NICHT unbedingt stetig!!! Betrachte die Funktion f : R 2 R definiert durch x y (x f (x, y) := 2 + y 2 ) 2 : für (x, y) 0 0 : für (x, y) = 0 Die Funktion ist auf ganz R 2 partiell differenzierbar und f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 x (x, y) = y (x 2 + y 2 ) 2 4 x 2 y (x 2 + y 2, (x, y) (0, 0) ) 3 y (x, y) = x (x 2 + y 2 ) 2 4 xy 2 (x 2 + y 2, (x, y) (0, 0) ) 3

6 Wichtige Beobachtung (partielle Ableitungen): Wichtige Beobachtung (Unstetigkeit): Berechnung der partiellen Ableitungen im Punkt (x 0, y 0 ) = (0, 0): f (t, 0) f (0, 0) (0, 0) = lim = x t 0 t f (0, t) f (0, 0) (0, 0) = lim = y t 0 t t 0 (t ) 2 0 t 0 t (0 2 + t 2 ) 2 0 t = 0 = 0 Aber: Also gilt: Im Punkt (x 0, y 0 ) = (0, 0) ist die Funktion nicht stetig: ( 1 lim f n n, 1 ) = n 1 n 1 n ( 1 n 1 n + 1 n 1 n ) 2 = 1 n 2 4 n 4 lim f (x, y) f (0, 0) = 0 (x,y) (0,0) = n2 4 Stetigkeit (hinreichende Bedingung) Unbeschränktheit der partiellen Ableitungen Damit eine partiell differenzierbare Funktion auch stetig ist, benötigt man zusätzliche Eigenschaften, z.b. Alle partiellen Ableitungen sind beschränkt. Satz Ist f : D R, D R n offen, in einer Umgebung von x 0 D partiell differenzierbar, und sind die partiellen Ableitungen, i = 1,..., n, dort beschränkt, so ist f (x) stetig in x 0. Bemerkung In unserem sind die partiellen Ableitungen in einer Umgebung vom Punkt (x 0, y 0 ) = (0, 0) nicht beschränkt: y (x, y) = x (x 2 + y 2 ) 2 4 x 2 y (x 2 + y 2, (x, y) (0, 0) ) 3

7 Beweis des Satzes Beweis des Satzes (Fortsetzung) Für x x 0 < ε, ε hinreichend klein, schreiben wir: f (x) f (x 0 ) = (f (x 1,..., x n 1, x n ) f (x 1,..., x n 1, x 0 n)) + (f (x 1,..., x n 1, x 0 n ) f (x 1,..., x n 2, x 0 n 1, x 0 n)). + (f (x 1, x 0 2,..., x 0 n) f (x 0 1,..., x 0 n)) Bei jeder Differenz auf der rechten Seite, betrachten wir f als eine Funktion einer Variablen, zum Da f partiell differenzierbar, ist g differenzierbar und es gilt der Mittelwertsatz: g(x n ) g(x 0 n ) = g (ξ n )(x n x 0 n) für ein geeignetes ξ n zwischen x n und x 0 n. Anwendung des MWS für Funktionen einer Variablen auf jeden Term der rechten Seite ergibt: g(x n ) g(x 0 n ) := f (x 1,..., x n 1, x n ) f (x 1,..., x n 1, x 0 n) Beweis des Satzes (Fortsetzung) Beweis des Satzes (Fortsetzung) f (x) f (x 0 ) = x n (x 1,..., x n 1, ξ n ) (x n x 0 n) +. x n 1 (x 1,..., x n 2, ξ n 1, x 0 n) (x n 1 x 0 n 1) + x 1 (ξ 1, x 0 2,..., x 0 n ) (x 1 x 0 1 ) f (x) f (x 0 ) C 1 x 1 x C n x n x 0 n und damit ist f (x) stetig in x 0, denn f (x) f (x 0 ) für x x 0 0 Sind die partiellen Ableitungen in der Umgebung x x 0 < ε beschränkt, so gilt:

8 Höhere Ableitungen Rekursive höherer partieller Ableitungen Eine skalare Funktion f (x) sei auf einer offenen Menge D R n partiell differenzierbar. Sind die partiellen Ableitungen wiederum partiell differenzierbar, so erhält man die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung: x j := x j ( ) Partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion f (x, y): x 2 = ( ), x x y x = ( ), y x x y, Sei nun i 1,..., i k {1,..., n}. Dann definiert man rekursiv k f := ( k 1 f k k k k 1 k ) y 2 Höhere Ableitungen (Fortsetzung) Berechung einer höheren Ableitung Die Funktion f (x) heißt k fach partiell differenzierbar, falls alle Ableitungen der Ordnung k auf D existieren: k f k k = D ik D ik 1... D i1 f = f xi1...x ik Sind all diese Ableitungen zudem stetig, so heißt die Funktion f (x) k fach stetig partiell differenzierbar oder auch C k Funktion auf D, k = 1, 2, 3,.... Stetige Funktionen f (x) nennt man auch C 0 Funktionen. Gegeben sei die Funktion f (x 1,..., x n ) = n xi i. Dann gilt: n f x n... x 1 =? i=1

9 Reihenfolge partieller Ableitungen I Reihenfolge partieller Ableitungen II ACHTUNG: Die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen durchzuführen sind, ist i. Allg. nicht beliebig vertauschbar! Gegeben sei die Funktion xy x 2 y 2 f (x, y) := x 2 + y 2 : für (x, y) (0, 0) 0 : für (x, y) = (0, 0) Gegeben sei die Funktion xy x 2 y 2 f (x, y) := x 2 + y 2 : für (x, y) (0, 0) 0 : für (x, y) = (0, 0) Man berechnet direkt f xy (0, 0) = y ( ) (0, 0) x f yx (0, 0) = ( ) (0, 0) x y = 1 = +1. Reihenfolge partieller Ableitungen: Satz von Schwarz Eine Anwendung des Satzes von Schwarz Satz (Schwarz) Ist f : D R, D R n offen, eine C 2 Funktion, so gilt für alle i, j {1,..., n}: x j (x 1,..., x n ) = Beweis. Zweifache Anwendung des Mittelwertsatzes. 2 f x j (x 1,..., x n ) Folgerung Ist f (x) eine C k Funktion, so kann man die Reihenfolge der Differentiationen zur Berechnung der partiellen Ableitungen bis zur k ten Ordnung beliebig vertauschen! Gegeben sei die Funktion f (x, y, z) = y 2 z sin(x 3 ) + (cosh y + 17e x2 )z 2 Wir wollen die partielle Ableitung dritter Ordnung f xyz berechnen. Die Reihenfolge der Ableitungen ist vertauschbar, da f C 3. 1) Leite zunächst nach z ab: z = y 2 sin(x 3 ) + 2z(cosh y + 17e x2 ) 2) Jetzt leiten wir f z nach x ab (damit fällt cosh y raus):

10 Eine Anwendung des Satzes von Schwarz II Laplace Operator (Fortsetzung) 1) Leite zunächst nach z ab: z = y 2 sin(x 3 ) + 2z(cosh y + 17e x2 ) 2) Jetzt leiten wir f z nach x ab (damit fällt cosh y raus): f zx = ( ) y 2 sin(x 3 ) + 2z(cosh y + 17e x2 ) x Der Laplace Operator ist definiert durch := n 2 x 2 i=1 i Für eine skalare Funktion u(x) = u(x 1,..., x n ) ist also = 3x 2 y 2 cos(x 3 ) + 68xze x2 3) Für die partielle Ableitung von f zx nach y erhalten wir: u = n 2 u x 2 i=1 i = u x1 x u xnx n f xyz = 6x 2 y cos(x 3 ) Laplace Operator und partielle Differentialgleichungen Vektorwertige Funktionen Bedeutung: Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung u tt = u (Wellengleichung) u t = u (Wärmeleitungsgleichung) u = 0 (Laplace Gleichung oder Potentialgleichung) Sei f : D R m, D R n offen, eine vektorwertige Funktion. Die Funktion f heißt partiell differenzierbar in x 0 D, falls für alle i = 1,..., n die Grenzwerte existieren. (x 0 f(x 0 + te i ) f(x 0 ) ) = lim t 0 t