Übung 6: Analyse LTD-Systeme

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1 ZHAW, DSV, FS2009, Übung 6: Analyse LTD-Systeme Aufgabe : Pol-Nullstellendarstellung, UTF und Differenzengleichung. Die folgenden Pol-Nullstellen-Darstellungen charakterisieren verschiedene LTD- Systeme, wobei Nullstellen mit Kreisen und Pole mit Kreuzen dargestellt sind. System : j System 2: j System 3: j 2x 0.8 j 0.8 j -0.8 j -0.8 j Bestimmen Sie jedes der 3 LTD-Systeme a) die Übertragungsfunktion H(z), wenn K=, b) die Differenzengleichung und die a,b-filterkoeffizienten, c) qualitativ den Amplitudengang IH(f)I (Handskizze) mit Angabe der Minima und Maxima sowie der Stellen in der. Nyquistzone [0, f s /2], wo diese auftreten, d) sowie den Filtertyp (TP, BP, BS oder HP).

2 ZHAW, DSV, FS2009, 2 Aufgabe 2: μc-taugliches FIR-Filter. Für die Implementation des abgebildeten FIR-Filters N-ter Ordnung (N+ Abgriffe) braucht man keine eigentlichen DSV-Operationen, weil alle Filterkoeffizienten sind. Dieses FIR-Filter kann deshalb auch mit einem μc ohne integrierten HW-Multiplizierer effizient realisiert werden. /(N+) x[n] z - z - x[n-n] + y[n] a) Bestimmen Sie die Differenzengleichung und die Filterkoeffizienten des FIR-Filters. b) Bestimmen Sie die z-utf H(z) sowie die Pole und Nullstellen des FIR-Filters. Hinweis: Benutzen Sie geometrische Folge + q q N = -q N+ / (-q). c) Zeichnen Sie das Pol-Nullstellendiagramm für N=7 und skizzieren Sie den resultierenden Amplitudengang IH(f)I. Welchen Verlauf hat der Amplitudengang? Um welchen Filtertyp (TP, BP, BS oder HP) handelt es sich? d) Wie kann man die Bandbreite und die Selektivität des Filters einstellen?

3 ZHAW, DSV, FS2009, 3 Aufgabe 3: Digitalfilter. Betrachten Sie das Digitalfilter mit Input x[n] und Output y[n], welches durch die folgende Differenzengleichung beschrieben ist: a) Zeichnen Sie das Blockdiagramm. y[n] = 0.5 x[n] x[n-] b) Bestimmen Sie die b- und die a-filterkoeffizienten. Ist es ein FIR- oder ein IIR-Filter? c) Bestimmen Sie die Impulsantwort h[n]. d) Bestimmen Sie die z-utf H(z). Zeichnen Sie die Pol-Nullstellen-Darstellung der UTF. e) Bestimmen Sie das Betrags-Spektrum IH(f)I. Was macht dieses Filter? Aufgabe 4: Digitalfilter (alte Prüfungsfrage, Zeitbudget ca. 5 Minuten). Gegeben ist die Übertragungsfunktion H(z) = /4 [ + 2 z - +z -2 ] a) Geben Sie die Filter-Ordnung und die Filter-Koeffizienten an. Ist es ein FIR- oder IIR-Filter? b) Schreiben Sie die Differenzengleichung auf. c) Skizzieren Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm und geben Sie an, um welche Art Filter (Tiefpass, Hochpass, Bandpass oder Bandsperre) es sich handelt. d) Berechnen Sie die Ausgangsfolge y[n] für die Eingangsfolge x[n] = {0, 0, 0, 0, 5, 5, 5, 5, 0, 0, 0, 0}.

4 ZHAW, DSV, FS2009, 4 Musterlösung Aufgabe LTD-System : a) UTF: H(z) = (z+) 2 / (z ) = (+2 z - +z -2 ) / (+0.64 z -2 ) b) Differenzengleichung: y[n] = x[n] + 2 x[n-] + x[n-2] y[n-2] Filterkoeffizienten: b 0 =, b =2, b 2 =, a 0 =, a =0, a 2 =0.64 c) Amplitudengang: Maximum: H(f f s /4) ( 2) 2 / (0.2.8) = 5.56 Minimum: H(f= f s /2) = 0 d) Filtertyp: TP (sperrt für f=f s /2, nicht aber für f=0) LTD-System 2: a) UTF: H(z) = (z 2 -) / (z ) = -z -2 / (+0.64 z -2 ) b) Differenzengleichung: y[n] = x[n] - x[n-2] y[n-2] Filterkoeffizienten: b 0 =, b =0, b 2 =-, a 0 =, a =0, a 2 =0.64 c) Amplitudengang: Maximum: H(f f s /4) ( 2) 2 / (0.2.8) = 5.56 Minima: H(f=0) = 0 und H(f=f s /2) = 0

5 ZHAW, DSV, FS2009, 5 d) Filtertyp: BP (sperrt für f=0 und f=f s /2, nicht aber für f=f s /4) LTD-System 3: a) UTF: H(z) = z 2 + / (z ) = +z -2 / (-0.64 z -2 ) b) Differenzengleichung: y[n] = x[n] + x[n-2] y[n-2] Filterkoeffizienten: b 0 =, b =0, b 2 =, a 0 =, a =0, a 2 =-0.64 c) Amplitudengang: Maxima: H(f=0) ( 2) 2 / (0.2.8) = 5.56 und H(f=f s /2) 5.56 Minimum: H(f= f s /4) = 0 d) Filtertyp: BS (sperrt für f=f s /4, nicht aber für f=0 und f= f s /2)

6 ZHAW, DSV, FS2009, 6 Aufgabe 2 a) Differenzengleichung: y[n] = (/(N+)) [ x[n] + x[n-] x[n-n] ] Filterkoeffizienten: b 0 =...=b N =, a 0 =. b) UTF: H(z) = (+ z N z N z ) = N + z (N+ ) N+ z = N N + z (z ) Dieses Filter hat N+ äquidistante Nullstellen z k = e j k 2π/(N+), k=0,...,n, auf dem Einheitskreis sowie Pol bei z= und N Pole im Ursprung. Der Pol bei z= kürzt sich natürlich mit der Nullstelle bei z=, denn FIR-Filter haben ja alle Pole im Ursprung! c) Pol-Nullstellendiagramm für N=7 j 7x Das FIR-Filter ist ein einfaches TP-Filter. Der Amplitudengang hat sin(x)/x-verlauf (Rechteck im Zeitbereich). Es gibt 4 Nullstellen in der. Nyquistzone, nämlich bei f=f s /8, f=f s /4, f=3f s /8 und f=f s /2. Der Amplitudengang sieht wie folgt aus: Übrigens gilt allgemein für ungerade N: H(f) sin((n + ) π f/fs ) = N + sin(π f/f ) s d) Mit der Filterordnung N legt man die Bandbreite des TP-Filters fest. Die Filterselektivität ist aber nicht hoch. Die erste Nebenkeule ist nur -4 db gedämpft (sin(x)/x-verlauf). Wenn man die Filterselektivität verbessern will, muss man mehrere solcher FIR-Filter N-ter Ordnung kaskadieren, d.h. hintereinander schalten.

7 ZHAW, DSV, FS2009, 7 Aufgabe 3: a) Blockdiagramm: x[n] T s x[n-] y[n] b) Der Vergleich der Differenzengleichung y[n] = 0.5 x[n] x[n-] mit der Gleichung (4.) zeigt, dass es sich um ein FIR-Filter mit den beiden b-koeffizienten b 0 =b =0.5 handelt. Alle a-koeffizienten sind Null (ausser natürlich a 0 = ). c) Die Impulsantwort h[n] = {0.5, 0.5} ist endlich lang (FIR-Filter!) d) Die UTF H(z) kann durch z-transformieren der Impulsantwort h[n] oder durch Einsetzen der Filterkoeffizienten in Gleichung (4.8) bestimmt werden. H(z) = z - Pol-Nullstellen-Darstellung von H(z) = z - = 0.5 (z+)/z : => Pol im Ursprung (FIR-Filter!), Nullstelle bei z = - z e) Das Spektrum der UTF erhält man durch Auswerten der z-utf auf dem Einheitskreis IH(f)I = IH(z= exp(j 2π f T s )I = 0.5 I+exp(-j 2π f T s )I oder mit der Abstandsmethode. Dieses Digitalfilter bestimmt dem Mittelwert aus dem aktuellen und dem vergangenen Eingangswert und hat deshalb Tiefpass-Charakter.

8 ZHAW, DSV, FS2009, 8 Aufgabe 4 a) Filter-Ordnung = 2, Koeffizienten = {0.25, 0.50, 0.25}, es ist ein FIR-Filter. b) y[n] = 0.25 x[n] x[n-] x[n-] c) Ein FIR-Filter hat keine Pole, resp. alle Pole sind im Ursprung der z-ebene und damit nicht wirksam. Es müssen die Nullstellen der Gleichung + 2 z - +z -2 bestimmt werden. Erweitern mit z 2 und Nullsetzen ergibt: z z + = 0 Die Nullstellen sind z = z 2 = - und die Übertragunsfunktion lässt sich schreiben als H(z) = /4 (z-z ) (z-z 2 )/z 2 = /4 (z+) (z+)/z 2 Es ist ein Tiefpass, da die Nullstellen auf dem Einheitskreis in der z-ebene bei f s /2 liegen. d) Anwenden der Differenzengleichung ergibt: y[n] = {*, *, 0, 0,.25, 3.75, 5, 5, 3.75,.25, 0, 0} Falls y[n-] und y[n-2] Null sind, sind die ersten beiden Ausgangssamples * ebenfalls 0.