Übungen zur Vorlesung Mathematik für Chemiker 1

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1 Prof. Dr. D. Egorova Prof. Dr. B. Hartke Lösungen Aufgabe Übungen zur Vorlesung Mathematik für Chemiker WiSe 204/5 Blatt f( x) = f(x) = gerade f( x) = f(x) = ungerade f ( x) = ( x ) 2 = (x + ) 2 f (x) = keine Symmetrie 2. f 2 ( x) = ( x) 2 = x 2 = f 2 (x) = gerade f 3 ( x) = ( x) 2 ( x) = x 2 ( x) = f 3 (x) = ungerade Aufgabe f f 2 f 3 Die Umkehrfunktionen ergeben sich immer durch Vertauschen der Variablenbezeichnungen (x y) und anschließendes Auflösen nach y, wobei dann ggf. die passende(n), bekannte(n) Umkehrfunktion(en) einzelner Teilfunktion(en) verwendet werden müssen. a) Die Funktion ist nur außerhalb von [ 2, 2] definiert (sonst Radikand negativ!); x/2 ist streng monoton steigend für alle x, x ist streng monoton steigend für x > 0, x 2 /4 ist streng monoton steigend (fallend) für x > 0 (x < 0) die Gesamtfunktion ist streng monoton steigend für x > 2 und kann daher in diesem Bereich umgekehrt werden (Verlauf für x < 2 unklar, da Summe aus monoton steigender und monoton fallender Funktion). Umkehrfunktion dort: y = x + (/x), mit Definitionsbereich x > und Wertebereich y > 2. b) arctan(x) ist streng monoton steigend für alle x, mit Wertebereich ] π 2, π 2 [, in diesem Wertebereich ist sin(x) streng monoton steigend. Also ist die Gesamtfunktion überall streng monoton steigend, mit D = R und W =], +[. Umkehrfunktion: y = tan(arcsin x) (Anmerkung: mit sin 2 (x) + cos 2 (x) = kann diese Umkehrfunktion umgeformt werden

2 x zu: y = x 2 ; sie ist also nicht transzendent, sondern nur algebraisch. Diese Form kann dann erneut umgekehrt werden und liefert y = x x 2 als alternative Form der Ausgangsfunktion, die also ebenfalls lediglich algebraisch ist.) c) Als monotones Intervall bietet sich 0 < x < π an, da dort alle Teilfunktionen ln(v), 2 tan(u) und x 2 definiert und monoton (steigend) sind. Dort ist die Umkehrfunktion y = arctan (ex ), definiert für alle x R und mit Wertebereich 0 < y < π. 2 Aufgabe 3 y = mx + b x = y m b ( beachte: m 0!) m Also: f (x) = x m b m f(x) = f (x) für alle x mx + b = x m b m für alle x (m m )x + (b + b ) = 0 für alle x m Man setze erst x = 0 und dann x = m m = 0, b + b m = 0 m = m, b = b m m 2 = und (m + )b = 0 m =, b = 0 oder m =, b beliebig Mithin sind indentisch mit ihren Umkehrfunktionen f(x) = x und f(x) = x + b, b R beliebig () Aufgabe 4 N(t) = 0.0 N 0 N 0 exp ( kt) = 0.0 N 0 exp ( kt) = 0.0 = 00 ln t = ln(00) = s =5h, 53min, 27s k Aufgabe 5 sin(3x) = 2i [e3ix e 3ix ] = 2i [(eix ) 3 (e ix ) 3 ] mit a = e ix und b = e ix sin(3x) = 2i (a3 b 3 ) = 2i (a b)[(a + b)2 ab] sin(3x) = 2i [eix e ix ][(e ix + e ix ) 2 e ix e ix ]

3 = sin x[4 cos 2 x ] = sin x[4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x] = 3 sin x cos 2 x sin 3 x Aufgabe 6 p(x) = 2x 4 + 2x 3 22x 2 + 2x 24 Alle Koeffizienten sind reell Mit jeder komplexen Nullstelle z ist auch z eine Nullstelle: x = i x 2 = i Zerlegung in bekannte Linearfaktoren und Polynom 2. Ordnung f(x) = (x i)(x + i) 2 b k x k = (x 2 + )(b 0 + b x + b 2 x 2 ) k=0 Koeffizientenvergleich: b 0 = 24, b = 2, b 2 = 2 g(x) = b 0 + b x + b 2 x 2 = x + 2x 2 Nullstellen von g(x) : x 2 + x 2 = 0 x 3/4 = 2 ± = 2 ± 7 2 und damit x = 3, x 4 = 4 b 0 + b x + b 2 x 2 = 2(x 3)(x + 4) und p(x) = 2(x i)(x + i)(x 3)(x + 4) Aufgabe 7 f(x) = x 4 4x 3 + 6x 2 8x + 8, mit Nullstelle bei x 0 = 2, damit f(x) = (x 2)(b 3 x 3 + b 2 x 2 + b x + b 0 ) und laut Skript S. 46 b n = a n b k b k x 0 = a k b b 0 x 0 = a 0 3 = a 4 = b 2 = a 3 + b 3 x 0 = 4 + ( 2) = 2 b = a 2 + b 2 x 0 = 6 + ( 2 2) = 2 b 0 = a 2 + b x 0 = 8 + (2 2) = 4 = a 0 x 0 f(x) = (x 2)(x 3 2x 2 + 2x 4) =: (x 2) g(x) Nullstelle von g(x): x = 2 durch probieren, damit g(x) = (x 2)(c 2 x 2 + c x + c 0 ) c 2 = b 3 = c = b 2 + c 2 x = = 0 c 0 = b 0 = 4 x 2 = 2 f(x) = (x 2)g(x) = (x 2) 2 (x 2 + 2) und damit hat f(x)zwei reale Nullstellen bei x 0 = x = 2 und zwei komplexe Nullstellen bei x 2,3 = ±i 2

4 Aufgabe 8 Die Aufgaben a) und b) sind echt gebrochen rationale Funktionen, daher ist keine einleitende Polynomdivision zur Aufspaltung in einen polynomialen Anteil (Asymptote) und einen echt gebrochen rationalen Anteil nötig. Stattdessen immer der Rest des Standardlösungswegs: Nennernullstellen ermitteln, damit Zerlegungsansatz aufstellen, mit Nenner durchmultiplizieren, ausmultiplizieren, Koeffizientenvergleich, Lösung des resultierenden linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der im Ansatz noch unbekannten Koeffizienten. Lösungen: b) a) Echt gebrochen rationale Funktion: x 3 6x 2 + 9x = x(x 2 6x + 9) = x(x 3) 2 Mit Nullstellen des Nenners x = 0, x 2,3 = 3 Ansatz: x 3 6x 2 + 9x = A x + B x 3 + damit: = A(x 3) 2 + Bx(x 3) + Cx x = 0 A = 9 x = 3 C = 3 Koeffizient von x 2 B = A = 9 und damit C (x 3) = A(x 3)2 + Bx(x 3) + Cx 2 x(x 3) 2 x 3 6x 2 + 9x = 9x 9(x 3) + 3(x 3) 2 b) Nennernullstellen: x,2 = 5 ± 7; 2 2 Ansatz:, mit: A = 2, B = A + B x x+6 c) Unecht gebrochene rationale Funktion: 25 x 5 x 4 + 4x 3 + 5x = x + 4 x3 + 20x 2 25 = x + 4 x3 + 20x x 4 + 4x 3 + 5x 2 x 2 (x 2 + 4x + 5) Nullstellen von Nenner x 2 + 4x + 5 sind komplex: x,2 = 2 ± i Ansatz x x 2 25 x 2 (x 2 + 4x + 5) = A x + B x + Cx + D 2 x 2 + 4x + 5 = Ax(x2 + 4x + 5) + B(x 2 + 4x + 5) + (Cx + D)x 2 x 2 (x 2 + 4x + 5) x = 0 25 = 5B B = 5 Koeffizient von x: 0 = 5A + 4B = 5A 20 A = 4 Koeffizient von x 3 : = A + C = 4 + C C = 7 Koeffizient von x 2 : 20 = 4A + B + D = D D = 9 und damit 25 x 5 x 4 + 4x 3 + 5x 2 = x x + 5 x 2 7x + 9 x 2 + 4x + 5

5 Aufgabe 9 a) Nennernullstellen: x = 0 (offensichtlich!), x 2,3 = 2; Ansatz: A + B + C, mit: A =, B =, C = 2 x x+2 (x+2) 2 b) Nennernullstellen: x = (raten), Rest nach Polynomdivision: x 2 + 2x + 2 hat keine reellen Nullstellen; A Ansatz: + Bx+C, mit: A =, B =, C = 2 x x 2 +2x+2 c) Echt gebrochene rationale Funktion mit komplexer Nullstelle des Nenners x 3 2x 2 (x ) 2 (x 2 + ) = A x + B (x ) + Cx + D 2 + x 2 = A(x )( + x2 ) + B( + x 2 ) + (Cx + D)(x ) 2 (x ) 2 ( + x 2 ) x 3 2x 2 = A(x )( + x 2 ) + B( + x 2 ) + (Cx + D)(x ) 2 x = B = x = i : i = (Ci + D)( i) 2 2( + i) = 4(Ci + D) C = D = 2 x = 0 : = A + B + D = A 2 A = 2 damit: Aufgabe 0 x 3 2x 2 (x ) 2 (x 2 + ) = 2 x (x ) + x + 2 2( + x 2 ) a) Unecht gebrochene rationale Funktion: x 4 x 3 x = x x + x 3 x 2 x 3 x = x x + 2 x 2 (x ) Ansatz: x + x 2 (x ) = A x + B x + C 2 x = Ax(x ) + B(x ) + Cx2 x 2 (x ) (*) x + = Ax(x ) + B(x ) + Cx 2 = (A + C)x 2 + ( A + B)x B x 2 : A + C = 0 x : A + B = x 0 : B = und damit A = 2, B =, C = 2 Alternativer Weg: Einsetzen von günstigen Werten für x : x = C = 2 x = 0 B = Koeffizient von x 2 A = C = 2 x4 x 3 x x 3 x 2 = x + 2 x + x 2 2 x b) Nennernullstellen: x = (raten), Rest nach Polynomdivision: x 3 + 2x 2 + 3x + 2; weitere Nullstelle x 2 = (raten), Rest nach Polynomdivision x 2 + x + 2 hat keine reellen Null-

6 stellen; Ansatz: A + B + Cx+D, mit: A = 2, B =, C = 0, D = x+ (x+) 2 x 2 +x+2

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