Inhaltsverzeichnis. 1 Einleitung... 1

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität Kondition eines Problems Elementare Beispiele Bemessen, Normen Relative und Absolute Kondition Relative Konditionszahlen skalarwertiger Probleme Operatornormen, Konditionszahlen linearer Abbildungen Rundungsfehler und Gleitpunktarithmetik Zahlendarstellungen Rundung, Maschinengenauigkeit Gleitpunktarithmetik und Fehlerverstärkung bei elementaren Rechenoperationen Stabilität eines Algorithmus Übungen Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren Vorbemerkungen, Beispiele Kondition und Störungssätze Zeilenskalierung Wie man es nicht machen sollte Dreiecksmatrizen, Rückwärtseinsetzen Gauß-Elimination, LR-Zerlegung Gauß-Elimination mit Spaltenpivotisierung Numerische Durchführung der LR-Zerlegung und Implementierungshinweise Einige Anwendungen der LR-Zerlegung Cholesky-Zerlegung Bandmatrizen

2 XII Inhaltsverzeichnis 3.8 Stabilitätsanalyse bei der LR- und Cholesky-Zerlegung QR-Zerlegung Givens-Rotationen Householder-Transformationen Übungen Lineare Ausgleichsrechnung Einleitung Das lineare Ausgleichsproblem Kondition des linearen Ausgleichsproblems Numerische Lösung des linearen Ausgleichsproblems Lösung der Normalgleichungen Lösung über QR-Zerlegung Zum statistischen Hintergrund lineare Regression* Orthogonale Projektion auf einen Teilraum Singulärwertzerlegung (SVD) und Pseudoinverse Berechnung von Singulärwerten Rangbestimmung Einige Anwendungshintergründe der SVD Übungen Nichtlineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren Vorbemerkungen Kondition des Nullstellenproblems einer skalaren Gleichung Fixpunktiteration Konvergenzordnung und Fehlerschätzung Berechnung von Nullstellen von skalaren Gleichungen Bisektion Das Newton-Verfahren Newton-ähnliche Verfahren Zusammenfassende Hinweise zu den Methoden für skalare Gleichungen Das Newton-Verfahren für Systeme Grundlagen des Newton-Verfahrens Hinweise zur praktischen Durchführung des Newton-Verfahrens Berechnung von Nullstellen von Polynomen Übungen Nichtlineare Ausgleichsrechnung Problemstellung Das Gauß-Newton-Verfahren Analyse der Gauß-Newton-Methode Das gedämpfte Gauß-Newton-Verfahren Levenberg-Marquardt-Verfahren

3 Inhaltsverzeichnis XIII 6.4 Übungen Berechnung von Eigenwerten Einleitung Einige theoretische Grundlagen Eigenwertabschätzungen Kondition des Eigenwertproblems Vektoriteration Inverse Vektoriteration QR-Verfahren Die Unterraumiteration QR-Algorithmus Praktische Durchführung des QR-Algorithmus Übungen Interpolation Vorbemerkungen Lagrange-Interpolationsaufgabe für Polynome Existenz und Eindeutigkeit der Lagrange-Polynominterpolation Auswertung des Interpolationspolynoms an einer oder wenigen Stellen Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der Potenzform Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der Newtonschen Interpolationsformel Restglieddarstellung Fehleranalyse Numerische Differentiation Hermite-Interpolation Grenzen der Polynominterpolation Beispiel einer Splineinterpolation Trigonometrische Interpolation Schnelle Fourier- Transformation Fourier-Reihen Trigonometrische Interpolation und diskrete Fourier-Transformation Schnelle Fourier-Transformation (Fast Fourier Transform FFT) Übungen Splinefunktionen Splineräume und Approximationsgüte B-Splines B-Splines als Basis für den Splineraum Rechnen mit Linearkombinationen von B-Splines

4 XIV Inhaltsverzeichnis Stabilität der B-Spline-Basis Splineinterpolation Datenfit Smoothing Splines Übungen Numerische Integration Einleitung Newton-Cotes-Formeln Gauß-Quadratur Extrapolation und Romberg-Quadratur Zweidimensionale Integrale Transformation von Integralen Integration über dem Einheitsquadrat Integration über dem Einheitsdreieck Übungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung Reduktion auf ein System 1. Ordnung Einige theoretische Grundlagen Einfache Einschrittverfahren Fehlerbetrachtungen für Einschrittverfahren Lokaler Abbruchfehler und Konsistenz Zusammenhang zwischen Konsistenz und Konvergenz Praktische Bedeutung der Konvergenzordnung Extrapolation Runge-Kutta-Einschrittverfahren Explizite RK-Verfahren Implizite RK-Verfahren Schrittweitensteuerung bei Einschrittverfahren Mehrschrittverfahren Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren Adams-Bashforth-Verfahren Adams-Moulton-Verfahren Prädiktor-Korrektor-Verfahren Konvergenz von linearen Mehrschrittverfahren Steife Systeme Einleitung Stabilitätsintervalle Stabilitätsgebiete: A-Stabilität Rückwärtsdifferenzenmethoden Zusammenfassende Bemerkungen Übungen

5 Inhaltsverzeichnis XV 12 Partielle Differentialgleichungen Problemstellung und Prototypen Korrekt gestellte Probleme Kondition Differenzenverfahren für elliptische Randwertaufgaben Diskretisierung der Poisson-Gleichung Diskretisierung einer Konvektions-Diffusionsgleichung Fourieranalyse Diskretisierungsfehleranalyse Stabilität und Konsistenz Finite-Elemente-Methode für elliptische Randwertaufgaben Schwache Formulierung eines elliptischen Randwertproblems Satz von Lax-Milgram und Galerkin-Diskretisierung Korrektgestelltheit der schwachen Formulierung elliptischer Randwertprobleme Galerkin-Diskretisierung mit Finite-Elemente-Räumen Diskretisierungsfehleranalyse A-posteriori Fehlerschranken und Adaptivität Matrix-Vektor Darstellung des diskreten Problems Finite-Volumen-Methode für elliptische Randwertaufgaben Finite-Volumen Methode mit Voronoi-Kontrollvolumina Finite-Volumen Methode mit einem dualen Gitter Fazit: Vergleich der Methoden Diskretisierung parabolischer Anfangs-Randwertaufgaben Übungen Große dünnbesetzte lineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren Beispiele großer dünnbesetzter Gleichungssysteme Eigenschaften von Steifigkeitsmatrizen Lineare Iterationsverfahren Einleitung Das Jacobi-Verfahren Das Gauß-Seidel-Verfahren SOR-Verfahren Die Methode der konjugierten Gradienten Vorkonditionierung Zusammenfassende Bemerkungen Übungen Numerische Simulationen: Vom Pendel bis zum Airbus Taktmechanismus Datenfit Ein Masse-Feder System

6 XVI Inhaltsverzeichnis 14.4 Wärmeleitung Komplexere Beispiele numerischer Simulationen Inverses Wärmeleitproblem in einem welligen Rieselfilm Inkompressible Strömung in einer Blutpumpe Kompressible Strömung um einen Flugzeugflügel Übungen Literaturverzeichnis Sachverzeichnis