Statistische Analyse hydrologischer Daten (HW Berechnung)

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1 Lehrstuhl für Hydrologie und Wasserwirtschaft BTU Cottbus Statistische Analyse hydrologischer Daten (HW Berechnung) Übung zur Hochwasserstatistik Datensatz: jährliche Maximalabflüsse der Spree in Cottbus von 1895 bis 1999 Übung 1 a) plotting position (pp) b) Ermitteln der Abflussmenge eines 50, 100, 200 jährigen Hochwassers mit der graphischen Methode - Daten vom kleinsten zum größten HQ-Wert sortieren - Rangplatz zuordnen - Formel für die Berechnung der plotting position (Unterschreitungswahrscheinlichkeit) wählen z.b. Gringorton für E1 Pi=(i-0,44)/(n+0,12) - Wahl geeigneten Diagrammpapiers E1-Papier (s. Abb. 2) - beschriften der y-achse im Diagrammpapier mit Abflusswerten - dabei zu beachten: man möchte höhere Abflüsse extrapolieren und darum nicht als Maximalwert den höchsten gemessenen Wert eintragen - einzeichnen der Abflüsse (Q) mit den zugeordneten Wahrscheinlichkeiten in das Diagrammpapier - wenn möglich eine Gerade durch die Punktwolke legen - die Gerade bis zu der Zeit verlängern, bis zu der extrapoliert werden soll - ablesen der Abflüsse HQ für die gesuchten Jährlichkeiten T

2 Übung 2 Ermitteln der Abflussmenge eines 50, 100, 200 jährigen Hochwassers a) mit der Momenten Methode MM b) mit der Wahrscheinlichkeitsgewichteten Momenten Methode WGM c) Gütekontrolle - Wahl einer anzupassenden Wahrscheinlichkeitsfunktion - Anpassung an die E1 Verteilung - berechnen der benötigten Momente der Stichprobe (Mittelwert und Standardabweichung) - berechnen der Parameter für die Verteilung der E1 mit diesen Momenten 6 s d = x, c = x 0, 5772 d π n 1 k - berechnen der wahrscheinlichkeitsgewichteten Momente wk = ( Pi xi ), wobei erst n i= 1 das Produkt in der Summe für alle ausgerechnet werden muss (P i hoch 0 = 1, hoch 1 = P i ) - berechnen der Parameter für die Verteilung der E1 mit wahrscheinlichkeitsgewichteten 2 w w Momenten 1 0 dw =, cw = w0 0, 5772 dw ln 2 x c e = d F ( x) e - einsetzen der Parameter in die Gleichung der Verteilungsfunktion - zusammen mit pp in einem Diagramm darstellen und vergleichen ob die Graphen optisch gut übereinstimmen - wenn ja, Anpassungstest durchführen - Kontrolle der Güte der Anpassung mit Kolmogorov-Smirnov Test - Die Nullhypothese lautet: die empirische und theoretische Verteilung stimmen überein. Die Alternativhypothese ist: Sie stimmen nicht überein. - das Signifikanzniveau wird mit Si = 95 % gewählt, bzw. Irrtumswahrscheinlichkeit α= 0,05 - die Werte der kritischen Differenz muss man Tafeln entnehmen (z.b. Schönwiese (2000). S. 133) Pα =0,05 = 1,358 n - es wird der Betrag der größten Abweichung der empirischen von der theoretischen Max[ Fs ( x) F( x)] Verteilung über die Formel d max = bestimmt n - der Wert wird mit der kritischen Differenz in Abhängigkeit von Stichprobenumfang und Irrtumswahrscheinlichkeit verglichen - Die Nullhypothese wird angenommen, wenn die maximale Differenz kleiner ist als die kritische Differenz, ansonsten abgelehnt und es muss eine neue Anpassung vorgenommen werden. - P n =0,133 > d max =0,091 - Berechnung der Abflüsse für die Jährlichkeiten T = 50, T = 100 und T = 200: T HQ ( T ) = lnln d + c T 1

3 Übung 3 a) Ermitteln der Abflussmenge eines 50,100 und 200 jährigen Hochwassers mit der k-faktor Methode - Wahl der anzupassenden Wahrscheinlichkeitsfunktion - E1 Verteilung - suchen der k-faktortabelle für die Verteilung - aus der Tabelle mit Hilfe des Stichprobenumfangs, den Momenten bzw. der gesuchten Jährlichkeit oder Wahrscheinlichkeit den k-faktor heraussuchen - den Faktor in die Gleichung x = x + k * s einsetzen Übung 4 a) Berechnung der geeignetsten Verteilungsfunktion mit einem hydrologischen Statistikprogramm - Eingeben der Daten in das Programm HQ-EX (Wasy GmbH) - als beste Anpassung wurde die Gemischte Extremwertverteilung gewählt Abb. 1: Darstellung von Verteilungsfunktionen im Programm HQ-EX. Als beste Anpassung wurde die Gemischte Extremwertverteilung ME, Parameterschätzung nach der Maximum- Likelihood-Methode, gewählt. Dargestellt sind zum Vergleich auch die E1, Parameterschätzung nach der Momentenmethode MM und die E1, Parameterschätzung mit wahrscheinlichkeitsgewichteten Momenten WGM.

4 Vergleich der auf verschiedenen Wegen ermittelten Abflussmengen [m³/s] für bestimmte Wiederkehrintervalle HQ(T) durch Anpassung der Extremwertverteilung Typ 1 E1 Jährlichkeit graphisch MM WGM K-Faktor HQ-EX Ein Vergleich der Darstellung der ermittelten Verteilungsfunktion der E1 (s. Abb. 1) zeigt, dass eine rechnerische Anpassung der Extremwertverteilung Typ 1 bei Parameterschätzung mittels MM oder WGM keine optimale Anpassung an die empirische Verteilung der Stichprobe (plotting-positions) ergibt. Erst mit der Gemischten Extremwertverteilung, die aus zwei E1-Funktionen besteht, wird eine Anpassung erreicht, die sowohl rechnerisch als auch optisch gut ist. Bei der graphischen Anpassung einer Verteilungsfunktion im Netzdruck der E1 erhält man ebenfalls Werte, die im Bereich der gemischten Extremwertverteilung liegen. Bei der graphischen Anpassung ist im Bereich geringer Jährlichkeiten die Anpassung an die dort zahlreichen und dicht beieinander liegenden plotting-positions eher schwierig, man orientiert sich beim Einzeichnen der Geraden eher an den plotting-positions im Bereich der höheren Jährlichkeiten, für die dann auch Aussagen zum Abfluss gesucht sind. Bei der rechnerischen Anpassung der E1 nach der MM oder WGM wird die Anpassung an alle plotting-positions optimiert, was in diesem Fall zu geringe HQ(T) ergibt. Andere Verteilungsfunktionen, z. B. die Allgemeine Extremwertverteilung mit drei Parametern sind flexibler in der Anpassung.

5 Abb. 2: Graphische Anpassung einer Gerade an die plotting-positions im Wahrscheinlichkeitsnetzdruck der E1

6 zu Aufgabe 1 zu 2a zu 2b zu 2c zu 3 n 104 T k Q Mittelwert 70, , Stand.abw. 46, , d 36, , c 49,55 w0 70,69 w1 47,41 d w 34,80 c w 50,60 Si 95% Pn 0,133 dmax 0,093 Jahr Cottbus [Q=m³/s] (x i ) Rang (i) pp (Pi) Unterschr. E1 (MM) Pi1 *x i E1 (WGM) Differenz PP zu E ,7 1 0,005 0,065 0,07 0,051 0, ,4 2 0,015 0,102 0,29 0,086 0, ,8 3 0,025 0,105 0,49 0,089 0,086 : : : : : : : : : : : : : : : : ,975 0, ,21 0,984 0, ,985 0, ,60 0,994 0, ,995 0, ,72 0,995 0, E1 (MM) E1 (WGM)