Grundbegriffe der Informatik

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1 Grundbegriffe der Informatik Tutorium Sitzung Dennis Felsing gbi/

2 Äquivalenzrelationen 1 Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelation von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen 2 Kongruenzrelationen 3 Halbordnungen Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 2/28

3 Äquivalenzrelationen Definitionen Sei R M M. Reflexiv : x M : x x Symmetrisch : x, y M : x y y x Transitiv : x, y, z M : x y y z x z Äquivalenzrelation : reflexive, transitive und symmetrische Relation Beispiele Gleichheitsrelation R = R R ist eine Äquivalenzrelation. {(a, a), (a, b), (b, b), (b, c), (c, c)} {a, b, c} {a, b, c} ist reflexiv, nicht symmetrisch und nicht transitiv. R R R ist reflexiv, transitiv und nicht symmetrisch. R < R R ist transitiv, nicht symmetrisch und nicht reflexiv. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 3/28

4 Äquivalenzrelationen Definitionen Sei R M M. Reflexiv : x M : (x, x) R Symmetrisch : x, y M : (x, y) R (y, x) R Transitiv : x, y, z M : xry yrz xrz Äquivalenzrelation : reflexive, transitive und symmetrische Relation Beispiele xvy x ist Vorfahre von y. V ist transitiv, nicht symmetrisch und nicht reflexiv. x y x liebt y. ist nicht symmetrisch, nicht transitiv und nicht reflexiv. R {} {} ist eine Äquivalenzrelation. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 4/28

5 Äquivalenzrelationen Definitionen Reflexiv : x M : (x, x) R Symmetrisch : x, y M : (x, y) R (y, x) R Transitiv : x, y, z M : xry yrz xrz Äquivalenzrelation : reflexiv, transitiv und symmetrisch Übertragung auf Graphen Reflexiv : Schlingen an allen Knoten Symmetrisch : Zu jedem Pfeil hin auch der zurück Transitiv : Wenn ein Pfad von x nach y existiert, dann auch eine direkte Kante Äquivalenzrelation: Klumpen, die alle miteinander verbunden sind, aber nach außen keine Verbindungen haben Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 5/28

6 Äquivalenzrelationen Kongruenz modulo n Sei n N +. Zwei Zahlen x, y Z heißen kongruent modulo n, wenn x y durch n teilbar, also ganzzahliges Vielfaches von n ist. Dann schreibt man x y(mod n). Reflexivität : x x = 0 Vielfaches von n Symmetrie : Sei x y Vielfaches von n. Dann ist auch y x = (x y) Vielfaches von n. Transitivität : Seien x y = k 1 n und y z = k 2 n mit k 1, k 2 Z. Dann ist x z = (x y) + (y z) = (k 1 + k 2 )n Vielfaches von n. Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 6/28

7 Äquivalenzrelation von Nerode Definition Für alle w 1, w 2 A ist w 1 L w 2 ( w A : w 1 w L w 2 w L ) Was bedeutet das, wenn w 1 L w 2? Für alle Wörter die man an w 1 und w 2 anhängen kann sind entweder beide entstehenden Wörter in der Sprache L oder beide nicht. Wenn für ein Suffix w gelten würde, dass w 1 w L, aber w 2 w L (oder umgekehrt), so sind w 1,w 2 nicht Nerode-äquivalent. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 7/28

8 Äquivalenzklassen und Faktormengen Defintionen Äquivalenzklasse von x: [x] = {y M x y} Faktormenge oder Faserung von M nach : M / = {[x] x M} Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 8/28

9 Äquivalenzklassen Behauptung x y [x] = [y] Beweis : Sei z [x]. Es gilt also x z. Aufgrund der Symmetrie gilt auch z x. Mit x y und Transitivität folgt z y. Also y z und somit z [y]. [x] [y] : Analog mit x und y vertauscht. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 9/28

10 Äquivalenzklassen Behauptung Wenn z [x] und z [y], dann [x] = [y]. Beweis Wenn z [x] und z [y], dann x z und y z. Aufgrund der Symmetrie folgt x z und z y. Aus der Transitivität folgt x y. Wie wir eben bewiesen haben, gilt nun [x] = [y]. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 10/28

11 Faktormengen Wir wollen die Faktormenge von Z für Kongruenz modulo 5 bestimmen. Es gibt nur diese fünf Äquivalenzklassen: Z / 5 = Z 5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 11/28

12 Faktormengen Bestimme die Faktormenge der Nerode-Relation zur Sprache L =< aba >. {[ε], [a], [ab], [b]} Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 12/28

13 Kongruenzrelationen 1 Äquivalenzrelationen 2 Kongruenzrelationen Definitionen Arithmetik modulo n 3 Halbordnungen Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 13/28

14 Verträglichkeit von Relationen mit Operatoren Definition Seien eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M, f : M M eine Funktion und eine binäre Operation. und f sind verträglich : x 1, x 2 M : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) und sind verträglich : x 1, x 2, y 1, y 2 M : x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 Äquivalenzrelation, die mit allen interessierenden Funktionen und Operationen verträglich ist, nennt man Kongruenzrelationen. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 14/28

15 Modulo und Addition Behauptung mod n ist mit + auf den ganzen Zahlen Z verträglich Beweis Seien x 1 x 2 mod n und y 1 y 2 mod n, also k Z : x 1 x 2 = k n und m Z : y 1 y 2 = m n. Somit folgt (x 1 + y 1 ) (x 2 + y 2 ) = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 ) = n (k + m). Also (x 1 + y 1 ) (x 2 + y 2 ) mod n. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 15/28

16 Modulo und Multiplikation Behauptung modn ist mit auf den ganzen Zahlen Z verträglich Beweis x 1 y 1 = (x 2 + k n) (y 2 + m n) = x 2 y 2 + (x 2 m + ky 2 + km) n x 1 y 1 x 2 y 2 ist somit ganzzahliges Vielfaches von n Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 16/28

17 Rechnen mit Äquivalenzklassen Wir betrachten Kongruenz modulo 5: [3] + [4] =[3 + 4] = [7] = [2] [2] + [3] =[2 + 3] = [5] = [0] [2] + [3] =[7] + [ 12] = [ 5] = [0] [2] [3] =[2 3] = [6] = [1] Wann ist [x] [y] = [0]?Wenn bereits [x] = [0] oder [y] = [0], da 5 eine Primzahl ist. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 17/28

18 Rechnen mit Äquivalenzklassen Es ergeben sich die folgenden Ergebnisse für Z/5Z: + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [4] [3] [2] [1] Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 18/28

19 Halbordnungen 1 Äquivalenzrelationen 2 Kongruenzrelationen 3 Halbordnungen Definition Beispiele Hasse-Diagramm Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 19/28

20 Halbordnungen Definitionen Antisymmetrisch: x, y M : x y y x x = y Halbordnung: reflexive, transitive, antisymmetrische Relation Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 20/28

21 Halbordnung auf Alphabeten Behauptung Die Relation p auf A mit v p w u : vu = w ist eine Halbordnung. Beweis Reflexivität :Für alle w A gilt wε = w Transitivität :Seien w 1 p w 2 und w 2 p w 3. Dann ex. u 1, u 2 mit w 1 u 1 = w 2 und w 2 u 2 = w 3. Also w 1 (u 1 u 2 ) = (w 1 u 1 )u 2 = w 2 u 2 = w 3 w 1 p w 3 Antisymmetrie :Seien w 1 p w 2 und w 2 p w 1. Dann ex. u 1 und u 2 mit w 1 u 1 = w 2 und w 2 u 2 = w 1. Also w 1 u 1 u 2 = w 2 u 2 = w 1. Somit muss u 1 = u 2 = 0 u 1 = u 2 = ε w 1 = w 2 Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 21/28

22 Weitere Relation Frage Ist mit w 1 w 2 w 1 w 2 eine Halbordnung? Lösung Nein, Antisymmetrie ist verletzt. Zum Beispiel gilt über {a, b} dass aaa bbb und bbb aaa, aber aaa bbb. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 22/28

23 Inklusion Frage Ist auf der Potenzmenge 2 M der Menge M eine Halbordnung? Definition Die Potenzmenge 2 M einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen dieser Menge. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 23/28

24 Inklusion Lösung Reflexivität :Für jede Teilmenge T der Menge M gilt: T T, denn jede Menge ist ihre eigene Teilmenge Transitivität :Sind alle Elemente von T 1 in T 2 und alle Elemente von T 2 in T 3, so sind auch alle Elemente von T 1 in T 3. Also gilt T 1 T 2 T 2 T 3 T 1 T 3. Antisymmetrie :Gilt für zwei Teilmengen T 1, T 2, dass T 1 T 2 und T 2 T 1, so ist T 1 = T 2, denn beide Mengen enthalten die Elemente der jeweils anderen Menge. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 24/28

25 Hasse-Diagramm Jede Relation ist als Graph darstellbar. Bei Halbordnungen wird das aber ziemlich unübersichtlich. Beim Hasse-Diagramm H R zur Relation R werden alle reflexiven und transitiven Kanten weggelassen. Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 25/28

26 Überblick 1 Äquivalenzrelationen Definition Äquivalenzrelation von Nerode Äquivalenzklassen und Faktormengen 2 Kongruenzrelationen Definitionen Arithmetik modulo n 3 Halbordnungen Definition Beispiele Hasse-Diagramm Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 26/28

27 Klausur Wichtig Die Klausur findet am 1. März um 17:00 statt. Was ist vor der Klausur sinnvoll? Anmeldung im Studienportal überprüfen! Skript aktiv lesen (Markieren, Notizen, Zusammenfassung,...) Übungsblätter wiederholen, insbesondere rot angestrichenes Alte Klausuren lösen Bei Problemen Tutor schreiben Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 27/28

28 Dennis Felsing Grundbegriffe der Informatik 28/28

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