Blatt 8. WKB; Trägheitsmomente starrer Körper - Lösungsvorschlag

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1 Fakultät für Pysk der LMU Müncen Lerstul für Kosmologe, Prof. Dr. V. Mukanov Übungen zu Klassscer Mecank T1) m SoSe 11 Blatt 8. WKB; Trägetsmomente starrer Körper - Lösungsvorsclag Aufgabe 8.1. WKB-Näerung a) Verfzeren Se durc explztes Recnen für enen armonscen Oszllator mt zetabängger Frequenz, dass de aus zwe belebge WKB-Lösungen x 1 t) und x t) gebldete Wronsk-Determnante eralten blebt. W = x 1 t)ẋ t) ẋ 1 t)x t) b) Bestmmen Se de WKB-Lösung für den Fall enes Oszllators mt der zetabänggen Frequenz ωt) = ω 1 + αt) und Anfangsbedngungen x) = x und ẋ) = v. Für welce Zetntervale st de WKB-Näerung gültg? c) En matematsces Pendel Masse M) n Erdscwerefeld abe ene veränderlce Sellänge L see Abbldung 1). De Anfangsbedngung für den Auslenkungswnkel φ st φ) = φ, φ) =. De Länge L wrd langsam von L = L 1 bs L = L > L 1 vergrössert. Berecnen Se de Endampltude der Scwngung anand der WKB-Näerung. L M Abbldung 1: Pendel mt verändernder Sellänge. Lösung. a) Wenn x 1 t) und x t) zwe belebge exakte Lösungen von ẍ + ω t)x = snd, dann st bekanntlcerwese der Wronskan W [x 1, x ] = x 1 ẋ ẋ 1 x konstant. d dt W [x 1, x ] = d dt x 1ẋ ẋ 1 x ) = x 1 ẍ ẍ 1 x = ω t) [x 1 x x 1 x ] =.

2 De Frage st jetzt ob auc der Wronskan zweer WKB-genäerten nct exakten!) Lösungen auc konstant st. Wr screben nun de zwe belebge WKB-Lösungen we folgt, x 1 t) = Re C 1 f t)), x t) = Re C f t)), wobe C 1 und C belebge komplexe Konstanten snd und f t) = 1 ωt) exp [ t t ωt)dt ]. Wr berecnen jetzt W [x 1, x ]. W [x 1, x ] = ReC 1 f ) ReC f ) 1 ) = [ ReC 1 ) Re f ) ImC 1 ) Im f ) ] [ ReC ) Re f ) ImC ) Im f ) ] 1 ) = ReC 1 ) ReC ) Re f ) Re f ) ReC 1 ) ImC ) Re f ) Im f ) ImC 1 ) ReC ) Im f ) Re f ) + ImC 1 ) ImC ) Im f ) Im f ) 1 ) = ReC 1 ) ImC ) Re f ) Im f ) ImC 1 ) ReC ) Im f ) Re f ) 1 ) = Re f ) Im f ) [ReC 1 ) ImC ) ImC 1 ) ReC )] Im f ) Re f ) [ImC 1 ) ReC ) ReC 1 ) ImC )] = [ReC 1 ) ImC ) ImC 1 ) ReC )] [ Im f ) Re f ) Re f ) Im f ) ] = [ReC 1 ) ImC ) ImC 1 ) ReC )] [ Im f ) Re f ) + Re f ) Im f ) ] = [ReC 1 ) ImC ) ImC 1 ) ReC )] Im f f ) Mt aben wr f = ω ) [ t ] ω ω 3/ exp ωt)dt t f f = ω ω und daer st de Wronskdetermnante für zwe belebge Lösungen konstant. b) De allgemene Lösung st { [ C xt) = Re exp ωt) t ]} ωt)dt, wobe C ene komplexe Konstante st. Betracen wr jetzt de Anfangsbedngungen, one de konkrete Form von ωt) enzusetzen. Wr bezecnen de Pase mt Dann S t) t { } C xt) = Re exp [S ], ωt) { } C ω ẋt) = Re exp [S ] ω3 ωt)dt. Im { C ω exp [S ] }. Um de gegebene Anfangswerte zu lesten, müssen wr C anpassen: da S ) =, aben wr x = x) = 1 Re C, v = ẋ) = ω) ω) ω 3/ ) Re C ω) Im C.

3 Desalb 1 ω ) Re C = x ω), Im C = ω v + ω 3/ Re C. Also aben wr den Realtel und den Imagnärtel von C bestmmt: Wel de Lösung st C = x ω) [v + ω ] ω) ω x. t= Re { a + b) exp [S] } = Re {a + b)cos S + sn S )} = a cos S b sn S, ω) xt) = x ωt) cos S + 1 [v + ω ] ωt)ω) ω x sn S. 1) t= Mt ωt) = ω 1 + αt) bekommen wr S t) = ω t + 1 αt ) ; De WKB-Lösung st desalb xt) = x cos ω t + 1 ) 1 + αt αt + De Bedngung der Gültgket st [ v + ω ] ω x = v + 1 t= αx. 1 ω 1 + αt ω 1. ω [ v + 1 ] αx sn ω t + 1 ) αt. Deses ergbt α α 1 + αt) ω ; 1 + αt. ω De WKB-Lösung glt für Zeten t 1 α α/ω 1 ), es se denn, α ω, dann glt se für alle t >. c) De Bewegungsglecung für das Pendel mt varabler Sellänge st φ + L L φ + g L φ =. Mt dem Ansatz φ = x L kann de Glecung we folgt gescreben werden: ẍ + ω g t)x =, ωt) = Lt) Lt) Lt). L ändert sc langsam m Verglec zur ursprünglcen Frequenz, daer kann L vernaclässgt werden. 3

4 Wr benutzen Gl. 1) aus Tel b). De WKB-Lösung st also ω) xt) = x ωt) cos S t) + 1 [ẋ + ω ] ωt)ω) ω x sn S. t= Da xt) = Lt)φt) aben wr x = L 1 φ und ẋ = L 1 φ. Mt ω = ω L L eralten wr ) 1 1 Lt) 4 3 xt) = φ L 1 cos S t) + L 1 4 φ L L 1 Lt)) 4 1 sn S. g Damt st dann φ: φt) = xt) ) 3 Lt) = φ L1 4 cos S t) + 3 Lt) 4 L 1 sn S L1 g De Ampltude der Scwngung be L = L st Bemerkung: Der Koeffzent des Snus entsprct ) 3 L1 4 φ = φ. L werden. Des st für de Lösung aber nct notwendg. L 1 L1 g ω ω 1 und kann daer vernaclässgt Aufgabe 8.. Trägetsmomente Berecnen Se de Trägetsmomente folgender Körper bezüglc der angegebenen Acsen. Jeder Körper at de Masse M. a) Homogener Kreszylnder vom Radus a, um de Zylnderacse. b) Holer Kreszylnder vom Radus a, mt vernaclässgbarer Wandstärke, um de Zylnderacse. c) Holkugel vom Radus a, um ene Acse durc das Zentrum der Kugel. d) Rectwnklge Scebe mt den Seten a, b; um de Acse senkrect zur Scebe durc den Scwerpunkt. e) Homogener Würfel mt Kantenlänge a, um ene Acse durc den Scwerpunkt parallel zu den Kanten. Lösung. a) Kreszylnder: de Höe se L; M = ρπa L. Θ = ρ L dz a πrdr r = ρ πa4 L = Ma. b) Holer Kreszylnder: alle Masse legt am Abstand r = a, desalb Θ = Ma. 4

5 c) Holkugel: Wr ntegreren über den Wnkel θ und ntegreren de Trägetsmomente von Kresen vom Radus r θ) a sn θ und der nfntesmalen Masse dm = ρadθ πr θ). De Gesamtmasse st M = ρ 4πa. Desalb π Θ = ρ r dm = dθ πρa 4 sn 3 θ = 8π 3 ρa4 = 3 Ma. d) Scebe: de Höe se L; M = ρlab. Θ = ρ = M 1 L dz a a + b ). dx b dy x a ) + y b ) e) Würfel: M = ρa 3. Deselbe Stuaton we mt der Scebe mta = b = L, also Θ = Ma 6. Aufgabe 8.3. Raumkapsel Ene ole Raumkapsel abe de Form enes Kegel mt ener Halbkugel an der Sptze see Abbldung ); ene Bodenscebe st nct voranden. Berecnen Se das Trägetsmoment der Raumkapsel um de z Acse. De Masse der Kapsel se nur auf der Oberfläce konzentrert; de Dcte des Kapselmaterals pro Oberfläce se ρ. De geometrscen Parameter snd von der Abbldung abzulesen. r z R Abbldung : Raumkapsel Lösung. Antwort: I = 4 3 πρr4 + 1 πρ r + R) r + R ) R r) +. Berecnen wr zunäcst das Trägetsmoment I HK der Halbkugeloberfläce: wr benutzen Kugelkoordnaten. Das Massenelement st ρr sn θdθdφ. Also 5

6 π I HK = r dθ sn θ π dφρ r sn θ) = r 4 πρ Äquvalent als Hälfte des Ergebnsse aus Aufgabe 8..c. 1 d cos θ) 1 cos θ ) = 4 3 πρr4. Da der Körper nur aus Oberfläcen bestet, braucen wr be der Trägetsmomentberecnung nur ene Integraton über de Oberfläce. Dese kann man auc äquvalent als Integraton über das Volumen mt ener geegneten δ-funkton betracten. Es st dann aber wctg, de δ-funkton mt dem rctgen Vorfaktor zu wälen, was nct mmer offensctlc st. Daer wälen wr er ene Lösung one δ-funkton. Zunäcst berecnen wr das Trägetsmoment I K des Kegel. Jetzt benutzen wr Zylnderkoordnaten. Der Radus der Oberfläce be Höe z st r Ob z) = R z R r. Wr müssen nun das Oberfläcenelement berecnen. Deses war für de Kugeloberflace enfac, jetzt aber nct.) Wr parametrseren de Kegeloberfläce mt den Koordnaten z und φ. De Parametrserung st x = r Ob z) cos φ, y = r Ob z) sn φ, z = z. Das Oberfläcenelement wrd nun berecnet: dm = ρ r z r φ dzdφ = ρ R r cos φ, R r = R r r Ob cos φ, r Ob sn φ, r Ob Also I K = π = πρ ) sn φ, 1 ) ρdzdφ = ρ r Ob + R r) = πρ r Ob sn φ, r Ob cos φ, ) dzdφ + R r) dzdφ. + R r) 1 dφ dz ρ r3 Ob z) [ + R r) R 3 3R R r) 1 + 3R R 1 r) 3 R 1 r)3 4 [ 14 = πρ + R r) R R r + 14 Rr + 14 ] r3 = 1 πρ R + r) R + r ) + R r). z d R ) z ) 3 R r) ] Aufgabe 8.4. Molekül En veratomges Molekül, dessen Atome n den Ecken ener Pyramde mt dreeckger Grundfläce legen, rotere sc als Ganze um ene Acse, de durc den Scwerpukt und en Molekül verläuft see Abbldung 3). De Wnkelgescwndgket se ω. Berecnen Se den Drempuls des Moleküls. De Massen und Abstände snd von der Abbldung abzulesen. Es wrken kene Kräfte auf das Molekül. Lösung. Berecnen wr zunäcst den Trägetstensor n kartesscen Koordnaten. De Massen aben de Koordnaten ) a3 m,, ; m a 3, a ), ; m a ) 3, a, ; M,, l a 3. 6

7 M l l m a a l m a m ω Abbldung 3: Molekül Der Scwerpunkt des Bassdreecks st be,, ). Der Scwerpunkt des Moleküls at desalb de Koordnaten M,, H),, l 3m + M 1 3 a. Wr berecnen den Trägetstensor bezüglc des Scwerpunktes. I xx = m y + z H) ) = m a = ma + I yy = I xx, l 1 ) 3mM + 9m M 3 a 3m + M) da m y = ) I zz = m x + y = ma. I xy = I xz = I yz =. l + 3m 13 ) a ) m x = ma ; M 3m + M) + M 3m l 3m + M 1 3 a l 13 ) a ; = 1 ma + 3mM M + 3m Nun können wr den Drempuls berecnen. Der Vektor ω st parallel zum Vektor vom Scwerpunkt zur Masse m, at also de Komponenten ) ω a ω =,, H. H a 3 7

8 Wr berecnen also den Drempuls we folgt, L = Iω; L x = I xx ω x + I xy ω y + I xz ω z = I xx ω x = = = [ 1 ma + 3mM l 13 )] M + 3m a [ 3 m a + mm 3l 1 )] a L y = I yx ω x + I yy ω y + I yz ω z =. L z = I zx ω x + I zy ω y + I zz ω z = I zz ω z = ma [ 1 ma + 3mM l 13 )] M + 3m a aω 3m + M) a 3m + M) + M 3l a ) aω 3ma 3m + M) + 3M l. aω 3H + a ωh 3ma ωh 3m + M) = H ma a 3m + M) + 3M l. Aufgrund der Isotrope des Raumes st der Drempuls konstant. Da de Dreacse n Rctung des Drempulses zegt, muss se um den Dremuls präzederen. De Bewegung st äquvalent zu ener taumelnden Raumkapsel m Weltall, bzw. enem kräftefreen Kresel. 8