50 Partielle Ableitungen

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1 50 Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen 501 Beispiel Die Differenzierbarkeit von Funktionen von mehreren Veränderlichen kann nach jeder Variablen einzeln untersucht werden, wobei die anderen Variablen als Konstanten betrachtet werden Für f(x,y,z) := xsinyz 2 etwa gilt x f = sinyz 2, y f = xz 2 cosyz 2, z f = 2xyzcosyz 2 (1) 502 Partielle Ableitungen a) Es sei D R n offen Eine Funktion f : D R m heißt in a D partiell differenzierbar nach der j-ten Koordinatenrichtung, falls der Limes f(a+te j ) f j f := lim R m (2) t 0 t existiert;dabeiiste j = (δ jk ) k derj-teeinheitsvektor f heißtpartiell differenzierbar auf D R n, falls j f(x) für alle x D und j = 1,,n existiert b) Für f = (f 1,,f m ) : D R m existiert genau dann die partielle Ableitung j f, wenn alle j f i existieren, und in diesem Fall gilt j f = ( j f 1,, j f m ) (3) c) Die partielle Ableitung j f in (2) läßt sich als eindimensionale Ableitung interpretieren: Für alle k j wird die k-te Variable an der Stelle a k eingefroren und die nahe a j definierte partielle Funktion f [j] : ξ f(a 1,,a j 1,ξ,a j+1,,a n ) (4) der einen Variablen ξ betrachtet Offenbar ist dann f in a partiell differenzierbar in Richtung e j genau dann, wenn f [j] in a j differenzierbar ist, und in diesem Fall gilt j f = f [j] (a j) Daher gelten für partielle Ableitungen die für eindimensionale Ableitungen gültigen Rechenregeln f d) Für j f sind auch die Notationen xj f,, D j f oder D xj f üblich j 503 Rotationssymmetrische Funktionen a) Die Radiusfunktion r : R n R, r(x) = x 2 = x = x x 2 n, (5) ist auf R n \{0} partiell differenzierbar In der Tat ist r [j] : ξ x ξ 2 ++x 2 n für x 0 in x j differenzierbar, und es gilt j r(x) = r [j] (x j) = x j, x 0 (6) r(x) b) Ist f : (0, ) R differenzierbar, so ist die rotationssymmetrische Funktion f r : R n \{0} R partiell differenzierbar, und es gilt j (f r) = f (r) j r = f (r) x j r aufgrund der eindimensionalen Kettenregel, x 0, (7)

2 218 VII Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Aus der partiellen Differenzierbarkeit einer Funktion f : D R folgt nicht ihre Stetigkeit: { 2xy, (x,y) (0,0) x 504 Beispiel a) Die Funktion f : (x,y) 2 +y 2 ist offenbar auf R 2 \{(0,0)} partiell differenzierbar, und wegen f(x,0) = f(0,y) = 0 gilt 0, (x,y) = (0,0) 1 f(0,0) = 2 f(0,0) = 0 Trotzdem ist f im Nullpunkt unstetig; in der Tat gilt ( 1, 1) (0,0), aber j j f(1, 1) = 1 0 j j b) Analyse von f mittels Polarkoordinaten: Es ist (f Ψ)(r,ϕ) = 2r2 cosϕsinϕ r 2 = sin2ϕ Somit ist f vom Radius r unabhängig, die Höhenlinien sind vom Nullpunkt ausgehende Strahlen Auf jeder Kreislinie um 0 oszilliert f zweimal zwischen den Werten 1 und +1 Jeder Wert l [ 1,1] ist Limes einer geeigneten Folge (f(x j,y j )) mit (x j,y j ) (0,0); dazu wählt man einfach ϕ mit sin2ϕ = l und dann (x j,y j ) = Ψ( 1 j,ϕ) = 1 j (cosϕ,sinϕ) Für Folgen(x j,y j ), die spiralförmiggegen (0,0) streben, kann (f(x j,y j )) divergent sein; so gilt etwa für (x j,y j ) = 1 j (cosjπ 4,sinjπ 4 ) offenbar f(x j,y j ) = sinj π Definition Es seien D R n offen und f = (f 1,,f m ) : D R m in a D partiell differenzierbar Die Matrix Df = f 2 f m f 2 f 2 f m f m heißt dann Funktionalmatrix von f in a M R (m,n) (8) Beweise zu diesem und dem nächsten Abschnitt findet man in [K2], Abschnitte 18 und Satz Es seien D R n offen und f : D R m partiell differenzierbar a) Zu a D gebe es r > 0, so daß alle j f auf K r beschränkt sind Dann ist f in a D stetig b) Sind alle j f in a D sogar stetig, so gilt für kleine h f(a+h) = f+dfh+ρ(h), ρ(h) = o( h ) (9) 507 Totale Ableitungen a) Gilt (9), so wird in der Nähe von a der Zuwachs h f(a+h) f von f durch die lineare Abbildung f : h Dfh bis auf einen Fehler ρ(h) approximiert, der ρ(h) = o( h ) erfüllt, also für h 0 schneller als h gegen 0 geht Die Funktion f heißt dann total differenzierbar in a, die lineare Abbildung f L(R n,r m ) die Ableitung von f in a Ihre Matrix bzgl der Standardbasen von R n und R m ist die Funktionalmatrix Df Statt f schreibt man auch df, insbesondere im Fall m = 1

3 50 Partielle Ableitungen 219 b) Mit x := a+h ist (9) äquivalent zu f(x) = f+f (x a)+ρ(x), ρ(x) = o( x a ) (10) c) In (9) interpretiert man a+h und a als Punkte in D R n, f(a+h) und f als solche in R m ; die Differenzen h und f(a+h) f sind dann als in den Punkten a und f startende Vektoren aufzufassen Folglich operiert die lineare Abbildung f zwischen Räumen von (in a und f startenden) Vektoren d) Eine Funktion f : D R m heißt stetig (partiell) differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen j f auf D stetig sind Dies ist genau dann der Fall, falls f in jedem Punkt von D total differenzierbar ist und die Ableitung f : D L(R n,r m ) stetig ist Mit C 1 (D,R m ) wird der Raum aller stetig differenzierbaren Funktionen auf D mit Werten in R m bezeichnet 508 Kettenregel a) Es seien D 1 R n, D 2 R m offen, g C 1 (D 1,R m ) mit g(d 1 ) D 2 und f C 1 (D 2,R l ) Dann folgt f g C 1 (D 1,R l ) und (f g) (x) = f (g(x))g (x), x D 1 (11) b) Formel (11) ist zur eindimensionalen Kettenregel völlig analog; es handelt sich aber natürlich bei dem Produkt um die Komposition linearer Abbildungen Die entsprechende Formel für die Funktionalmatrizen lautet D(f g)(x) = Df(g(x))Dg(x) (12) c) Für l = 1 lautet (12) mit h := f g ausführlicher so: ( h,, h )(x) = ( f y 1,, dies ist äquivalent zu f )(g(x)) y m g 1 g 1 g 2 g 2 g 1 g 2 (x); h (x 1,,x n ) = m f (g 1 (x),,g m (x)) g i (x 1,,x n ) (13) j i=1 y i j für alle j = 1,,n c) Umgekehrt impliziert (13) wieder (12) und (11) d) Es seien f(x,y) = xy und Ψ : (r,ϕ) (x,y) = (rcosϕ,rsinϕ) die Transformation auf Polarkoordinaten Nach (13) gilt für h = f Ψ: h = f r h ϕ = f r + f y y r ϕ + f y = ycosϕ+xsinϕ = 2rsinϕcosϕ = rsin2ϕ, y ϕ = yrsinϕ+xrcosϕ = r2 cos2ϕ; aus h(r,ϕ) = 1 2 r2 sin2ϕ ergibt sich dies natürlich auch direkt

4 220 VII Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 509 Tangentenvektoren a) Ein Vektor t R d heißt Tangentenvektor an eine Menge M R d im Punkt q M, falls es δ > 0 und einen in 0 differenzierbaren Weg γ : ( δ,δ) R d gibt mit (γ) M, γ(0) = q und γ(0) = t (14) Die Menge T q (M) aller Tangentenvektoren heißt Tangentialkegel in q an M b) Nun seien D R n offen, f C 1 (D,R m ) und d := n+m Wir betrachten den Graphen M := Γ(f) = {(x,f(x)) x D} R d von f Für q = (a,f) Γ(f) ist dann T q (Γ(f)) = Γ(f ) = {(v,f (v)) v R n } (15) ein Vektorraum der Dimension n Er heißt Tangentialraum in q an Γ(f), der affine Unterraum E q (Γ(f)) := q +T q (Γ(f)) von R d heißt Tangentialebene in q an Γ(f) Man hat also T q (Γ(f)) = {(v,w) R n+m w = f (v)}, (16) E q (Γ(f)) = {(x,y) R n+m y f = f (x a)} (17) 5010 Richtungsableitungen a)esseiend R n offenundv R n mit v = 1 Eine Funktion f : D R m heißt in a D in Richtung v differenzierbar, falls v f := lim t 0 f(a+tv) f t R m (18) existiert; v f heißt dann Richtungsableitung von f in Richtung v b) Für v = e j sind die Richtungsableitungen ej f = j f genau die partiellen Ableitungen aus 502 Analog zu 502c) existiert v f genau dann, wenn die eindimensionale Funktion t f(a+tv) in t = 0 nach t differenzierbar ist c) Aufgrund der Kettenregel besitzen Funktionen f C 1 (D,R m ) Richtungsableitungen in jede Richtung des R n, und es gilt v f = Dfv für a D und v R n mit v = 1 (19) d) Nur aus der Existenz aller Richtungsableitungen folgt ia (19) nicht; weiter impliziert (19) ia nicht die Stetigkeit, und aus (19) und Stetigkeit folgt ia nicht die totale Differenzierbarkeit 5011 Gradienten a) Es sei D R n offen Für eine skalare Funktion f C 1 (D,R) heißt das Vektorfeld gradf : D R n, gradf := (Df) = ( 1 f,, n f), (20) Gradient oder Gradientenfeld von f b) Es ist also gradf(x) der Vektor im R n mit gradf(x),h = df(x)(h) für h R n (21) Gemäß Bemerkung 507c) ist hierbei h R n = T x (R n ) als ein in x D startender Vektor aufzufassen; dies gilt dann auch für gradf(x), und gradf ist in der Tat ein

5 50 Partielle Ableitungen 221 Vektorfeld c) Nach (19) und (21) gilt wegen v = 1 für eine Richtungsableitung v f(x) = df(x)(v) = gradf(x),v = gradf(x) cosα, wobei α [0,π] der Winkel zwischen gradf(x) und v ist Diese ist also im Fall gradf(x) 0 für cosα = 1, dh für v = gradf(x) maximal Der Gradient grad f(x) gradf(x) zeigt also in Richtung des stärksten Anstiegs von f d) Es seien nun t T a (S) ein Tangentenvektor an eine Niveaumenge S = N c (f) = {x D f(x) = c} von f und γ : ( δ,δ) R n ein Weg mit (γ) S, γ(0) = a und γ(0) = t Wegen f γ = c gilt dann aufgrund der Kettenregel gradf,t = df(t) = d (f γ)(0) = 0, dt dh der Gradientenvektor gradf T a (S) steht auf den Niveaumengen von f senkrecht In Satz?? wird gezeigt, daß im Fall gradf 0 die Menge T a (S) ein (n 1)-dimensionaler Unterraum von R n ist 5012 Mittelwertsatz Es seien D R n offen und x,y D, so daß die Strecke [x,y] ind liegtweiter seif : D R auf[x,y] stetigundauf(x,y) := [x,y]\{x,y} stetig differenzierbar Dann gibt es ξ (x, y) mit f(y) f(x) = f (ξ)(y x) = n j f(ξ)(y j x j ) (22) 5013 Bemerkung a) Der Mittelwertsatz gilt nicht für vektorwertige Funktionen, selbst im Fall n = 1 Für die Funktion E : R R 2, E(t) := (cost,sint), gilt j=1 (0,0) = E(2π) E(0) = (cos π,sin π 2 )(2π 0) Die hier explizit angebbaren Zwischenstellen müssen in beiden Komponenten verschieden gewählt werden; offenbar gibt es kein t R mit (0,0) = E(2π) E(0) = E (t)(2π 0) = 2π(cos t,sin t) = 2π( sint,cost) b) Dagegen gilt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch für vektorwertige Funktionen Eine allgemeine Version lautet so: 5014 Satz Es seien D R n offen, x,y D und γ C 1 ([a,b],d) ein Weg mit γ = x und γ(b) = y Für f C 1 (D,R m ) gilt dann f(y) f(x) = b a f (γ(t))( γ(t))dt = b a gradf(γ(t)), γ(t) dt (23) 5015 Folgerung Es seien G R n ein Gebiet und f C 1 (G,R m ) mit f = 0 Dann ist f konstant