50 Partielle Ableitungen
|
|
- Gerburg Ziegler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 50 Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen 501 Beispiel Die Differenzierbarkeit von Funktionen von mehreren Veränderlichen kann nach jeder Variablen einzeln untersucht werden, wobei die anderen Variablen als Konstanten betrachtet werden Für f(x,y,z) := xsinyz 2 etwa gilt x f = sinyz 2, y f = xz 2 cosyz 2, z f = 2xyzcosyz 2 (1) 502 Partielle Ableitungen a) Es sei D R n offen Eine Funktion f : D R m heißt in a D partiell differenzierbar nach der j-ten Koordinatenrichtung, falls der Limes f(a+te j ) f j f := lim R m (2) t 0 t existiert;dabeiiste j = (δ jk ) k derj-teeinheitsvektor f heißtpartiell differenzierbar auf D R n, falls j f(x) für alle x D und j = 1,,n existiert b) Für f = (f 1,,f m ) : D R m existiert genau dann die partielle Ableitung j f, wenn alle j f i existieren, und in diesem Fall gilt j f = ( j f 1,, j f m ) (3) c) Die partielle Ableitung j f in (2) läßt sich als eindimensionale Ableitung interpretieren: Für alle k j wird die k-te Variable an der Stelle a k eingefroren und die nahe a j definierte partielle Funktion f [j] : ξ f(a 1,,a j 1,ξ,a j+1,,a n ) (4) der einen Variablen ξ betrachtet Offenbar ist dann f in a partiell differenzierbar in Richtung e j genau dann, wenn f [j] in a j differenzierbar ist, und in diesem Fall gilt j f = f [j] (a j) Daher gelten für partielle Ableitungen die für eindimensionale Ableitungen gültigen Rechenregeln f d) Für j f sind auch die Notationen xj f,, D j f oder D xj f üblich j 503 Rotationssymmetrische Funktionen a) Die Radiusfunktion r : R n R, r(x) = x 2 = x = x x 2 n, (5) ist auf R n \{0} partiell differenzierbar In der Tat ist r [j] : ξ x ξ 2 ++x 2 n für x 0 in x j differenzierbar, und es gilt j r(x) = r [j] (x j) = x j, x 0 (6) r(x) b) Ist f : (0, ) R differenzierbar, so ist die rotationssymmetrische Funktion f r : R n \{0} R partiell differenzierbar, und es gilt j (f r) = f (r) j r = f (r) x j r aufgrund der eindimensionalen Kettenregel, x 0, (7)
2 218 VII Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Aus der partiellen Differenzierbarkeit einer Funktion f : D R folgt nicht ihre Stetigkeit: { 2xy, (x,y) (0,0) x 504 Beispiel a) Die Funktion f : (x,y) 2 +y 2 ist offenbar auf R 2 \{(0,0)} partiell differenzierbar, und wegen f(x,0) = f(0,y) = 0 gilt 0, (x,y) = (0,0) 1 f(0,0) = 2 f(0,0) = 0 Trotzdem ist f im Nullpunkt unstetig; in der Tat gilt ( 1, 1) (0,0), aber j j f(1, 1) = 1 0 j j b) Analyse von f mittels Polarkoordinaten: Es ist (f Ψ)(r,ϕ) = 2r2 cosϕsinϕ r 2 = sin2ϕ Somit ist f vom Radius r unabhängig, die Höhenlinien sind vom Nullpunkt ausgehende Strahlen Auf jeder Kreislinie um 0 oszilliert f zweimal zwischen den Werten 1 und +1 Jeder Wert l [ 1,1] ist Limes einer geeigneten Folge (f(x j,y j )) mit (x j,y j ) (0,0); dazu wählt man einfach ϕ mit sin2ϕ = l und dann (x j,y j ) = Ψ( 1 j,ϕ) = 1 j (cosϕ,sinϕ) Für Folgen(x j,y j ), die spiralförmiggegen (0,0) streben, kann (f(x j,y j )) divergent sein; so gilt etwa für (x j,y j ) = 1 j (cosjπ 4,sinjπ 4 ) offenbar f(x j,y j ) = sinj π Definition Es seien D R n offen und f = (f 1,,f m ) : D R m in a D partiell differenzierbar Die Matrix Df = f 2 f m f 2 f 2 f m f m heißt dann Funktionalmatrix von f in a M R (m,n) (8) Beweise zu diesem und dem nächsten Abschnitt findet man in [K2], Abschnitte 18 und Satz Es seien D R n offen und f : D R m partiell differenzierbar a) Zu a D gebe es r > 0, so daß alle j f auf K r beschränkt sind Dann ist f in a D stetig b) Sind alle j f in a D sogar stetig, so gilt für kleine h f(a+h) = f+dfh+ρ(h), ρ(h) = o( h ) (9) 507 Totale Ableitungen a) Gilt (9), so wird in der Nähe von a der Zuwachs h f(a+h) f von f durch die lineare Abbildung f : h Dfh bis auf einen Fehler ρ(h) approximiert, der ρ(h) = o( h ) erfüllt, also für h 0 schneller als h gegen 0 geht Die Funktion f heißt dann total differenzierbar in a, die lineare Abbildung f L(R n,r m ) die Ableitung von f in a Ihre Matrix bzgl der Standardbasen von R n und R m ist die Funktionalmatrix Df Statt f schreibt man auch df, insbesondere im Fall m = 1
3 50 Partielle Ableitungen 219 b) Mit x := a+h ist (9) äquivalent zu f(x) = f+f (x a)+ρ(x), ρ(x) = o( x a ) (10) c) In (9) interpretiert man a+h und a als Punkte in D R n, f(a+h) und f als solche in R m ; die Differenzen h und f(a+h) f sind dann als in den Punkten a und f startende Vektoren aufzufassen Folglich operiert die lineare Abbildung f zwischen Räumen von (in a und f startenden) Vektoren d) Eine Funktion f : D R m heißt stetig (partiell) differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen j f auf D stetig sind Dies ist genau dann der Fall, falls f in jedem Punkt von D total differenzierbar ist und die Ableitung f : D L(R n,r m ) stetig ist Mit C 1 (D,R m ) wird der Raum aller stetig differenzierbaren Funktionen auf D mit Werten in R m bezeichnet 508 Kettenregel a) Es seien D 1 R n, D 2 R m offen, g C 1 (D 1,R m ) mit g(d 1 ) D 2 und f C 1 (D 2,R l ) Dann folgt f g C 1 (D 1,R l ) und (f g) (x) = f (g(x))g (x), x D 1 (11) b) Formel (11) ist zur eindimensionalen Kettenregel völlig analog; es handelt sich aber natürlich bei dem Produkt um die Komposition linearer Abbildungen Die entsprechende Formel für die Funktionalmatrizen lautet D(f g)(x) = Df(g(x))Dg(x) (12) c) Für l = 1 lautet (12) mit h := f g ausführlicher so: ( h,, h )(x) = ( f y 1,, dies ist äquivalent zu f )(g(x)) y m g 1 g 1 g 2 g 2 g 1 g 2 (x); h (x 1,,x n ) = m f (g 1 (x),,g m (x)) g i (x 1,,x n ) (13) j i=1 y i j für alle j = 1,,n c) Umgekehrt impliziert (13) wieder (12) und (11) d) Es seien f(x,y) = xy und Ψ : (r,ϕ) (x,y) = (rcosϕ,rsinϕ) die Transformation auf Polarkoordinaten Nach (13) gilt für h = f Ψ: h = f r h ϕ = f r + f y y r ϕ + f y = ycosϕ+xsinϕ = 2rsinϕcosϕ = rsin2ϕ, y ϕ = yrsinϕ+xrcosϕ = r2 cos2ϕ; aus h(r,ϕ) = 1 2 r2 sin2ϕ ergibt sich dies natürlich auch direkt
4 220 VII Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 509 Tangentenvektoren a) Ein Vektor t R d heißt Tangentenvektor an eine Menge M R d im Punkt q M, falls es δ > 0 und einen in 0 differenzierbaren Weg γ : ( δ,δ) R d gibt mit (γ) M, γ(0) = q und γ(0) = t (14) Die Menge T q (M) aller Tangentenvektoren heißt Tangentialkegel in q an M b) Nun seien D R n offen, f C 1 (D,R m ) und d := n+m Wir betrachten den Graphen M := Γ(f) = {(x,f(x)) x D} R d von f Für q = (a,f) Γ(f) ist dann T q (Γ(f)) = Γ(f ) = {(v,f (v)) v R n } (15) ein Vektorraum der Dimension n Er heißt Tangentialraum in q an Γ(f), der affine Unterraum E q (Γ(f)) := q +T q (Γ(f)) von R d heißt Tangentialebene in q an Γ(f) Man hat also T q (Γ(f)) = {(v,w) R n+m w = f (v)}, (16) E q (Γ(f)) = {(x,y) R n+m y f = f (x a)} (17) 5010 Richtungsableitungen a)esseiend R n offenundv R n mit v = 1 Eine Funktion f : D R m heißt in a D in Richtung v differenzierbar, falls v f := lim t 0 f(a+tv) f t R m (18) existiert; v f heißt dann Richtungsableitung von f in Richtung v b) Für v = e j sind die Richtungsableitungen ej f = j f genau die partiellen Ableitungen aus 502 Analog zu 502c) existiert v f genau dann, wenn die eindimensionale Funktion t f(a+tv) in t = 0 nach t differenzierbar ist c) Aufgrund der Kettenregel besitzen Funktionen f C 1 (D,R m ) Richtungsableitungen in jede Richtung des R n, und es gilt v f = Dfv für a D und v R n mit v = 1 (19) d) Nur aus der Existenz aller Richtungsableitungen folgt ia (19) nicht; weiter impliziert (19) ia nicht die Stetigkeit, und aus (19) und Stetigkeit folgt ia nicht die totale Differenzierbarkeit 5011 Gradienten a) Es sei D R n offen Für eine skalare Funktion f C 1 (D,R) heißt das Vektorfeld gradf : D R n, gradf := (Df) = ( 1 f,, n f), (20) Gradient oder Gradientenfeld von f b) Es ist also gradf(x) der Vektor im R n mit gradf(x),h = df(x)(h) für h R n (21) Gemäß Bemerkung 507c) ist hierbei h R n = T x (R n ) als ein in x D startender Vektor aufzufassen; dies gilt dann auch für gradf(x), und gradf ist in der Tat ein
5 50 Partielle Ableitungen 221 Vektorfeld c) Nach (19) und (21) gilt wegen v = 1 für eine Richtungsableitung v f(x) = df(x)(v) = gradf(x),v = gradf(x) cosα, wobei α [0,π] der Winkel zwischen gradf(x) und v ist Diese ist also im Fall gradf(x) 0 für cosα = 1, dh für v = gradf(x) maximal Der Gradient grad f(x) gradf(x) zeigt also in Richtung des stärksten Anstiegs von f d) Es seien nun t T a (S) ein Tangentenvektor an eine Niveaumenge S = N c (f) = {x D f(x) = c} von f und γ : ( δ,δ) R n ein Weg mit (γ) S, γ(0) = a und γ(0) = t Wegen f γ = c gilt dann aufgrund der Kettenregel gradf,t = df(t) = d (f γ)(0) = 0, dt dh der Gradientenvektor gradf T a (S) steht auf den Niveaumengen von f senkrecht In Satz?? wird gezeigt, daß im Fall gradf 0 die Menge T a (S) ein (n 1)-dimensionaler Unterraum von R n ist 5012 Mittelwertsatz Es seien D R n offen und x,y D, so daß die Strecke [x,y] ind liegtweiter seif : D R auf[x,y] stetigundauf(x,y) := [x,y]\{x,y} stetig differenzierbar Dann gibt es ξ (x, y) mit f(y) f(x) = f (ξ)(y x) = n j f(ξ)(y j x j ) (22) 5013 Bemerkung a) Der Mittelwertsatz gilt nicht für vektorwertige Funktionen, selbst im Fall n = 1 Für die Funktion E : R R 2, E(t) := (cost,sint), gilt j=1 (0,0) = E(2π) E(0) = (cos π,sin π 2 )(2π 0) Die hier explizit angebbaren Zwischenstellen müssen in beiden Komponenten verschieden gewählt werden; offenbar gibt es kein t R mit (0,0) = E(2π) E(0) = E (t)(2π 0) = 2π(cos t,sin t) = 2π( sint,cost) b) Dagegen gilt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch für vektorwertige Funktionen Eine allgemeine Version lautet so: 5014 Satz Es seien D R n offen, x,y D und γ C 1 ([a,b],d) ein Weg mit γ = x und γ(b) = y Für f C 1 (D,R m ) gilt dann f(y) f(x) = b a f (γ(t))( γ(t))dt = b a gradf(γ(t)), γ(t) dt (23) 5015 Folgerung Es seien G R n ein Gebiet und f C 1 (G,R m ) mit f = 0 Dann ist f konstant
9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
Mehr2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrDefinition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
MehrVorlesung. Funktionen/Abbildungen 1
Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration
MehrLösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrMathematik I für Wirtschaftswissenschaftler
1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.
MehrSkalare Differentialgleichungen
Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen
MehrDefinition 27 Affiner Raum über Vektorraum V
Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,
MehrErinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen
Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :
MehrTaylorentwicklung der k ten Dimension
Taylorentwicklung der k ten Dimension 1.) Taylorentwicklung... 2 1.1.) Vorgehenesweise... 2 1.2.) Beispiel: f ((x, y)) = e x2 +y 2 8x 2 4y 4... 3 2.) Realisierung des Algorithmus im CAS Sage Math... 5
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen
MehrErgänzungen zur Analysis I
537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische
MehrSerie 13: Online Test
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.
MehrZ = 60! 29!31! 1,1 1017.
Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
MehrGeometrische Mannigfaltigkeiten
Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie
MehrSeminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen
Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10
TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,
MehrBasis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.
Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren
MehrBitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.
Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
MehrStabilität mittels Ljapunov Funktion
Stabilität mittels Ljapunov Funktion Definition Eine C 1 Funktion V : D R, D R, heißt eine Ljapunov Funktion auf K r (0) D für f(y), falls gilt: 1) V(0) = 0, V(y) > 0 für y 0 2) V,f(y) 0 ( y, y r) Gilt
MehrNichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel
Mehr3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann
22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept
MehrExtremwertverteilungen
Seminar Statistik Institut für Stochastik 12. Februar 2009 Gliederung 1 Grenzwertwahrscheinlichkeiten 2 3 MDA Fréchet MDA Weibull MDA Gumbel 4 5 6 Darstellung von multivariaten, max-stabilen Verteilungsfunktionen
Mehru + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
Mehrklar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s
Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen
MehrTeil II. Nichtlineare Optimierung
Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene
MehrNeuronale Netze mit mehreren Schichten
Neuronale Netze mit mehreren Schichten Lehrstuhl für Künstliche Intelligenz Institut für Informatik Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (Lehrstuhl Informatik 8) Neuronale Netze mit mehreren
Mehrx 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt
- 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +
MehrExtrema von Funktionen in zwei Variablen
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 8 Projektive Invarianz und das kanonische Kamerapaar Kanonisches Kamerapaar aus gegebener Fundamentalmatrix Freiheitsgrade
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
MehrGrundlagen der Mathematik II
Wintersemester 204/205 - Aufgabenblatt I Abgabe: bis Donnerstag, den 6. November 204, 9:00 Uhr Aufgabe : Untersuchen Sie, für welche 2 C die folgende Matrix c diagonalisierbar ist, und bestimmen Sie für
Mehra n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n
Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen
MehrMathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen
Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung 03.12.08 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee:
MehrInduktive Limiten. Arpad Pinter, Tobias Wöhrer. 30. Jänner 2010
Induktive Limiten Arpad Pinter, Tobias Wöhrer 30. Jänner 2010 1 Inhaltsverzeichnis 1 Induktiver Limes von Mengen 2 2 Induktiver Limes von Vektorräumen 4 3 Lokalkonvexe topologische Vektorräumen 7 4 Induktiver
MehrVektorgeometrie. mathenachhilfe.ch. Version: 28. Dezember 2007 (Bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) 1. Mathematische Operationen für Vektoren
Vektorgeometrie Version: 28. Dezemer 2007 Bitte nur für den Eigengerauch verwenden) mathenachhilfe.ch. Mathematische Operationen für Vektoren Addition + a + 3 = a + + + 3 + Sutraktion a 3 = a 3 Skalare
Mehr2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )
MehrMinimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie
Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern
MehrMultivariate Statistik
Hermann Singer Multivariate Statistik 1 Auflage 15 Oktober 2012 Seite: 12 KAPITEL 1 FALLSTUDIEN Abbildung 12: Logistische Regression: Geschätzte Wahrscheinlichkeit für schlechte und gute Kredite (rot/blau)
MehrÜbungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS
Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage
MehrGleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien
Gleichungen - Aufgabenstellung und Lösungsstrategien Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 25, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 18. Juli 2006 1 Einleitung
MehrEinige Gedanken zur mathematischen Syntax. Andreas Kriegl email:andreas.kriegl@univie.ac.at
Einige Gedanken zur mathematischen Syntax Andreas Kriegl email:andreas.kriegl@univie.ac.at Einige Gedanken zur mathematischen Syntax 1 Vorweg möchte ich einige Thesen aufstellen, von denen ich annehme,
MehrAbsolute Stetigkeit von Maßen
Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches
Mehr34 5. FINANZMATHEMATIK
34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.
Mehr3. Grundlagen der Linearen Programmierung
3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations
Mehr2.1 Codes: einige Grundbegriffe
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 2. Mai 2009 51 2.1 Codes: einige Grundbegriffe Wir stellen die wichtigsten Grundbegriffe für Codes über dem Alphabet F q, also über einem endlichen Körper mit q Elementen
Mehr8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung
Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ
MehrBeispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =
Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.
Mehr6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum
6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
Mehrax 2 + bx + c = 0, (4.1)
Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
MehrVorlesung. Informationsökonomik und die Theorie der Firma
Vorlesung Informationsökonomik und die Theorie der Firma Ulrich Schwalbe Universität Hohenheim 5. Vorlesung 28.11.2007 Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 5. Vorlesung 28.11.2007
MehrElemente der Analysis II: Zusammenfassung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse
Elemente der Anlysis II: Zusmmenfssung der wichtigsten Definitionen und Ergebnisse J. Wengenroth Dies ist die einzige zugelssene Formelsmmlung, die bei der Klusur benutzt werden drf. Es dürfen Unterstreichungen
MehrFormelsammlung Wirtschaftsmathematik
Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Strobel Stefan 29. Januar 2006 Inhaltsverzeichnis I. Mathematik 2 1. Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche 2 2. Differentiationsregeln 2 2.1. Summenregel..................................
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrFür die Parameter t und ϕ sind das im angegebenen Bereich Funktionen, d.h. zu jedem Parameterwert gehört genau ein Punkt.
PARAMETERFUNKTIONEN Zwei Beispiele: gsave currentpoint translate 21 4 div setlin 1 1 x = 2t 2 1 y = t < t
MehrComputer Vision SS 2011. Skript
Computer Vision SS 211 Skript (Work in Progress) Simon Hawe & Martin Kleinsteuber Skript: Manuel Wolf Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Was ist ein Bild?................................. 1 1.2 Wie
MehrComputer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17
Computer Vision: 3D-Geometrie D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Lochkamera Modell C Projektionszentrum, Optische Achse, Bildebene, P Hauptpunkt (optische Achse kreuzt die Bildebene),
MehrFormelsammlung. Folgen und Reihen
Lehrstuhl für BWL, insb. Mthemtik und Sttistik Dipl.-Mth. Mrie Hielscher Mthemtik für Betriebswirte II Formelsmmlung Folgen und Reihen en Folge n ) n N0 : D R, n n := n) mit D N 0 n-te Prtilsumme von n
Mehr17. Penalty- und Barriere-Methoden
H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrKlassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 01. August 2012, 17-19 Uhr
KIT SS 0 Klassische Theoretische Physik II V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch Klausur Lösung 0. August 0, 7-9 Uhr Aufgabe : Kurzfragen (+++4=0 Punkte (a Zwangsbedingungen beschreiben Einschränkungen
Mehr1 Übungsaufgaben. 1.1 Übungsaufgaben zu Kapitel 1 1 ÜBUNGSAUFGABEN 0
ÜBUNGSAUFGABEN Übungsaufgaben In diesem Kapitel sind Übungsaufgaben zusammengestellt, die den Stoff der Vorlesung vertiefen und die für Prüfungen erforderliche Praxis und Schnelligkeit vermitteln sollen.
MehrBONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN
Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse
UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse
MehrUbungenzurAnalysis2 Prof.Dr.Kohnen WS1996/97 Dr.O.Delzeith
UbungenzurAnalysis2 Prof.Dr.Kohnen WS1996/97 Dr.O.Delzeith 1.(i)EntscheidenSie,obdieFunktion (ii)berechnensiedieintegrale impunktx0=0dierenzierbarist.bestimmensieggfs.dieableitungf0(x0). (a)1 Z0xf:(R!R
MehrQuantitative Risk Management
Quantitative Risk Management Copulas und Abhängigkeit Johannes Paschetag Mathematisches Institut der Universität zu Köln Wintersemester 2009/10 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg i Inhaltsverzeichnis
MehrTEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN
TEILWEISE ASYNCHRONE ALGORITHMEN FRANK LANGBEIN Literatur: D. Berseas, J. Tsitsilis: Parallel and distributed computatoin, pp. 48 489 URI: http://www.langbein.org/research/parallel/ Modell teilweiser asynchroner
Mehr0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
MehrOPERATIONS-RESEARCH (OR)
OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:
MehrII. Klein Gordon-Gleichung
II. Klein Gordon-Gleichung Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen, 1 für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 2 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In
MehrGeometrische Maße oder,... wie kann man quantitative Aussagen über geometrische Objekte erhalten?
In der euklidischen Geometrie der Mittelstufe ging es zumeist um geometrische Konstruktionen und um qualitative Aussagen über geometrische Objekte in Bezug zueinander. Möchte man, insbesondere im dreidimensionalen
MehrDr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1
.1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische
MehrMathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.
Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die
MehrAnalysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.
ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische
MehrKlausur Analysis II (SS 2005)
Klausur Analysis II (SS 5) Prof. Dr. J. Franke Abschlußklausur vom. Juli 5 Name, Vorname: Matrikelnummer: Gruppe, Tutor: Pseudonym: ir wünschen Ihnen viel Erfolg! Mit 5 Punkten oder mehr von 5 ist die
MehrProbestudium der Physik: Mathematische Grundlagen
Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrFinanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013
Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität
MehrVorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems
Mehr