Totale Ableitung und Jacobi-Matrix

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1 Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Eine reelle Funktion f : R n R m ist in einem Punkt x differenzierbar, wenn f (x + h) = f (x) + f (x)h + o( h ) für h 0. Totale Ableitung 1-1

2 Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Eine reelle Funktion f : R n R m ist in einem Punkt x differenzierbar, wenn f (x + h) = f (x) + f (x)h + o( h ) für h 0. Die totale Ableitung f ist die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen: 1 f 1... n f 1 f =... 1 f m... n f m Totale Ableitung 1-2

3 Totale Ableitung und Jacobi-Matrix Eine reelle Funktion f : R n R m ist in einem Punkt x differenzierbar, wenn f (x + h) = f (x) + f (x)h + o( h ) für h 0. Die totale Ableitung f ist die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen: 1 f 1... n f 1 f =... 1 f m... n f m Alternative gebräuchliche Schreibweisen sind f = J f = (f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ) = ( 1f,..., n f ). Totale Ableitung 1-3

4 Für eine skalare Funktion (m = 1) bezeichnet man die Ableitung als Gradient, f = (grad f ) t, und für die Parametrisierung einer Kurve (n = 1) als Tangentenvektor. Totale Ableitung 1-4

5 Für eine skalare Funktion (m = 1) bezeichnet man die Ableitung als Gradient, f = (grad f ) t, und für die Parametrisierung einer Kurve (n = 1) als Tangentenvektor. Um die lineare Approximation kleiner Änderungen ( h 0) hervorzuheben, schreibt man df = f x 1 dx f x n dx n mit sogenannten Differentialen df und dx i. Totale Ableitung 1-5

6 Für eine skalare Funktion (m = 1) bezeichnet man die Ableitung als Gradient, f = (grad f ) t, und für die Parametrisierung einer Kurve (n = 1) als Tangentenvektor. Um die lineare Approximation kleiner Änderungen ( h 0) hervorzuheben, schreibt man df = f x 1 dx f x n dx n mit sogenannten Differentialen df und dx i. Hinreichend für die Existenz der totalen Ableitung f (x) ist die Stetigkeit der partiellen Ableitungen in einer Umgebung von x. Totale Ableitung 1-6

7 Beweis: betrachte bivariate Funktionen (analoge Argumentation im multivariaten Fall) Totale Ableitung 2-1

8 Beweis: betrachte bivariate Funktionen (analoge Argumentation im multivariaten Fall) (i) zeige: Existenz von f = totale Ableitung enthält die partiellen Ableitungen Totale Ableitung 2-2

9 Beweis: betrachte bivariate Funktionen (analoge Argumentation im multivariaten Fall) (i) zeige: Existenz von f = totale Ableitung enthält die partiellen Ableitungen Für eine bivariate Funktion f (x, y) und h = (s, 0) t gilt f (x + s, y) = f (x, y) + f (x, y) (s, 0) t + o( (s, 0) ) = f (x, y) + (J f ) 1 s + o( s ), wobei (J f ) 1 die erste Spalte von J f bezeichnet. Totale Ableitung 2-3

10 Beweis: betrachte bivariate Funktionen (analoge Argumentation im multivariaten Fall) (i) zeige: Existenz von f = totale Ableitung enthält die partiellen Ableitungen Für eine bivariate Funktion f (x, y) und h = (s, 0) t gilt f (x + s, y) = f (x, y) + f (x, y) (s, 0) t + o( (s, 0) ) = f (x, y) + (J f ) 1 s + o( s ), wobei (J f ) 1 die erste Spalte von J f bezeichnet. Division durch s und s 0 f (x + s, y) f (x, y) (J f ) 1 = lim = 1 f (x, y) s 0 s Totale Ableitung 2-4

11 Beweis: betrachte bivariate Funktionen (analoge Argumentation im multivariaten Fall) (i) zeige: Existenz von f = totale Ableitung enthält die partiellen Ableitungen Für eine bivariate Funktion f (x, y) und h = (s, 0) t gilt f (x + s, y) = f (x, y) + f (x, y) (s, 0) t + o( (s, 0) ) = f (x, y) + (J f ) 1 s + o( s ), wobei (J f ) 1 die erste Spalte von J f bezeichnet. Division durch s und s 0 f (x + s, y) f (x, y) (J f ) 1 = lim = 1 f (x, y) s 0 s analoge Argumentation für (J f ) 2 Totale Ableitung 2-5

12 (ii) zeige: Stetigkeit der partiellen Ableitungen = Existenz der totalen Ableitung Totale Ableitung 2-6

13 (ii) zeige: Stetigkeit der partiellen Ableitungen = Existenz der totalen Ableitung betrachte eine skalare Funktion f (x, y) Totale Ableitung 2-7

14 (ii) zeige: Stetigkeit der partiellen Ableitungen = Existenz der totalen Ableitung betrachte eine skalare Funktion f (x, y) Mittelwertsatz = f (x + s, y + t) = f (x + s, y) f (x, y) + f (x + s, y + t) mit ξ (x, x + s), η (y, y + t) f (x + s, y) + f (x, y) = s f x (ξ, y) + t f y (x + s, η) + f (x, y), Totale Ableitung 2-8

15 (ii) zeige: Stetigkeit der partiellen Ableitungen = Existenz der totalen Ableitung betrachte eine skalare Funktion f (x, y) Mittelwertsatz = f (x + s, y + t) = f (x + s, y) f (x, y) + f (x + s, y + t) mit ξ (x, x + s), η (y, y + t) Stetigkeit von f x und f y = f (x + s, y) + f (x, y) = s f x (ξ, y) + t f y (x + s, η) + f (x, y), f x (ξ, y) f x (x, y), f y (x + s, η) f y (x, y) für (s, t) 0 und damit die totale Differenzierbarkeit der Funktion f : }{{} h f (x + s, y + t) = f (x, y) + sf x (x, y) + tf y (x, y) + o( h ) Totale Ableitung 2-9

16 (ii) zeige: Stetigkeit der partiellen Ableitungen = Existenz der totalen Ableitung betrachte eine skalare Funktion f (x, y) Mittelwertsatz = f (x + s, y + t) = f (x + s, y) f (x, y) + f (x + s, y + t) mit ξ (x, x + s), η (y, y + t) Stetigkeit von f x und f y = f (x + s, y) + f (x, y) = s f x (ξ, y) + t f y (x + s, η) + f (x, y), f x (ξ, y) f x (x, y), f y (x + s, η) f y (x, y) für (s, t) 0 und damit die totale Differenzierbarkeit der Funktion f : }{{} h f (x + s, y + t) = f (x, y) + sf x (x, y) + tf y (x, y) + o( h ) separates Betrachten der Komponenten vektorwertiger Fall Totale Ableitung 2-10

17 Beispiel: f (x, y) = xy x 2 + y 2 Totale Ableitung 3-1

18 Beispiel: (i) Unstetigkeit im Ursprung: f (x, y) = xy x 2 + y 2 Totale Ableitung 3-2

19 Beispiel: (i) Unstetigkeit im Ursprung: f (x, y) = xy x 2 + y 2 x 2 lim f (x, x) = x 0 x 2 + x 2 = = lim f (x, x) x 0 = f nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar bei (0, 0) Totale Ableitung 3-3

20 Beispiel: (i) Unstetigkeit im Ursprung: f (x, y) = xy x 2 + y 2 x 2 lim f (x, x) = x 0 x 2 + x 2 = = lim f (x, x) x 0 = f nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar bei (0, 0) (ii) Existenz der partiellen Ableitungen: Totale Ableitung 3-4

21 Beispiel: (i) Unstetigkeit im Ursprung: f (x, y) = xy x 2 + y 2 x 2 lim f (x, x) = x 0 x 2 + x 2 = = lim f (x, x) x 0 = f nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar bei (0, 0) (ii) Existenz der partiellen Ableitungen: f (x, 0) = f (0, y) = 0 Totale Ableitung 3-5

22 Beispiel: (i) Unstetigkeit im Ursprung: f (x, y) = xy x 2 + y 2 x 2 lim f (x, x) = x 0 x 2 + x 2 = = lim f (x, x) x 0 = f nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar bei (0, 0) (ii) Existenz der partiellen Ableitungen: f (x, 0) = f (0, y) = 0 = f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 Totale Ableitung 3-6

23 (iii) Unstetigkeit beider partieller Ableitungen im Ursprung: Totale Ableitung 3-7

24 (iii) Unstetigkeit beider partieller Ableitungen im Ursprung: bestimme den Grenzwert der partiellen Ableitung f x (x, y) = y 3 x 2 y (x 2 + y 2 ) 2 für (x, y) (0, 0) entlang verschiedener Kurven: y = x lim x 0 f x (x, x) = lim x 0 0 (x 2 + y 2 ) 2 = 0 und y = x 2 lim x 0 f x (x, x 2 ) = lim x 0 x 2 1 (1 + x 2 ) 2 = 1 Totale Ableitung 3-8

25 (iii) Unstetigkeit beider partieller Ableitungen im Ursprung: bestimme den Grenzwert der partiellen Ableitung f x (x, y) = y 3 x 2 y (x 2 + y 2 ) 2 für (x, y) (0, 0) entlang verschiedener Kurven: und y = x lim x 0 f x (x, x) = lim x 0 0 (x 2 + y 2 ) 2 = 0 y = x 2 lim x 0 f x (x, x 2 ) = lim x 0 x 2 1 (1 + x 2 ) 2 = 1 Die Unstetigkeit der partiellen Ableitung f y im Ursprung folgt analog. Totale Ableitung 3-9

26 (iii) Unstetigkeit beider partieller Ableitungen im Ursprung: bestimme den Grenzwert der partiellen Ableitung f x (x, y) = y 3 x 2 y (x 2 + y 2 ) 2 für (x, y) (0, 0) entlang verschiedener Kurven: und y = x lim x 0 f x (x, x) = lim x 0 0 (x 2 + y 2 ) 2 = 0 y = x 2 lim x 0 f x (x, x 2 ) = lim x 0 x 2 1 (1 + x 2 ) 2 = 1 Die Unstetigkeit der partiellen Ableitung f y im Ursprung folgt analog. Beispiel = Die Existenz partieller Ableitungen ist nicht ausreichend für Differenzierbarkeit. Totale Ableitung 3-10

27 Beispiel: f (x, y) = x + 2y xy 3x 2 + y 2 Totale Ableitung 4-1

28 Beispiel: f (x, y) = x + 2y xy 3x 2 + y 2 Überprüfe die Definition der totalen Ableitung 1 2 f (x, y) = y x, f (x + s, y + t) = 6x 2y = (x + s) + 2(y + t) (x + s)(y + t) 3(x + s) 2 + (y + t) 2 f (x + s, y + t) f (x, y) f (x, y) (s, t) t = (0, st, 3s 2 + t 2 ) t = o( (s, t) ), d.h. jede Komponente strebt für (s, t) (0, 0) schneller gegen 0 als h = (s, t) Totale Ableitung 4-2

29 Beispiel: (i) Gradient der skalaren Funktion f (x, y) = r = x 2 + y 2 : Totale Ableitung 5-1

30 Beispiel: (i) Gradient der skalaren Funktion f (x, y) = r = x 2 + y 2 : ( ) ( ) 1 f x/r grad f (x, y) = = 2 f y/r Totale Ableitung 5-2

31 Beispiel: (i) Gradient der skalaren Funktion f (x, y) = r = x 2 + y 2 : ( ) ( ) 1 f x/r grad f (x, y) = = 2 f y/r (ii) Tangentenvektor, der durch parametrisierten Kurve: f (t) = (cos t, sin t, t) t Totale Ableitung 5-3

32 Beispiel: (i) Gradient der skalaren Funktion f (x, y) = r = x 2 + y 2 : ( ) ( ) 1 f x/r grad f (x, y) = = 2 f y/r (ii) Tangentenvektor, der durch parametrisierten Kurve: f (t) = (cos t, sin t, t) t f (t) = ( sin t, cos t, 1) t Totale Ableitung 5-4

33 (iii) Jacobi-Matrix, der durch x y z definierten Kugelkoordinaten: = r sin ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ Totale Ableitung 5-5

34 (iii) Jacobi-Matrix, der durch x y z definierten Kugelkoordinaten: = r sin ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ r cos ϑ f (r, ϑ, ϕ) = (x, y, z) (r, ϑ, ϕ) = sin ϑ cos ϕ r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ sin ϕ sin ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ r sin ϑ cos ϕ cos ϑ r sin ϑ 0 Totale Ableitung 5-6

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