39 Differenzierbare Funktionen und Kettenregel

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1 192 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen 39 Differenzierbare Funktionen und Kettenregel Lernziele: Konzepte: totale Ableitungen, Gradienten, Richtungsableitungen, Tangentenvektoren Resultate: Kettenregel, Mittelwertsatz, Hauptsatz Kompetenzen: Rechnungen mit Ableitungen Zunächst sei an die folgende Umformulierung der Differenzierbarkeit für Funktionen von einer reellen Veränderlichen aus 27 erinnert, bei der keine Division auftritt: 39.1 Satz. Es sei I R ein offenes Intervall. Eine Funktion f : I R ist genau dann differenzierbar in a I, wenn eine Zahl l R existiert mit f(a+h) = f(a)+l h+ρ(h), ρ(h) = o( h ). (1) In der Nähe von a wird also der Zuwachs h f(a + h) f(a) von f durch eine lineare Funktion h l h bis auf einen Fehler ρ(h) approximiert, der ρ(h) = o( h ) erfüllt, also für h 0 schnellerals h gegen 0 geht. Die Forderung nach der Existenz einer solchen linearen Approximation erweist sich auch für Funktionen von mehreren Veränderlichen als geeigneter Differenzierbarkeitsbegriff: 39.2 Definition. Es sei D R n offen. Eine Abbildung f : D R m heißt im Punkt a D (total) differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung f (a) L(R n,r m ) gibt, so daß für kleine h gilt f(a+h) = f(a)+f (a)(h)+ρ(h), ρ(h) = o( h ). (2) In diesem Fall heißt f (a) die Ableitung von f in a Totale Ableitungen. a) Statt f (a) schreibt man auch df(a), insbesondere im Fall m = 1, d.h. für skalarwertige Funktionen. b) Mit x := a+h ist (2) äquivalent zu f(x) = f(a)+f (a)(x a)+ρ(x), ρ(x) = o( x a ). (3) c) Für eine Matrix C = (c kj ) M(m,n), f = (f 1,...,f m ) und ρ = (ρ 1,...,ρ m ) ist genau dann f(a+h) = f(a)+ch+ρ(h), wenn f k (a+h) = f k (a)+ n c kj h j +ρ k (h), k = 1,...,m, (4) j=1

2 39 Differenzierbare Funktionen und Kettenregel 193 gilt. Wegen (2) ist also f genau dann total differenzierbar in a D, wenn dies für alle Komponenten f k gilt. d) In (2) interpretiert man a+h und a als Punkte in D R n, f(a+h) und f(a) als solche in R m ; die Differenzen h und f(a+h) f(a) sind dann als in den Punkten a und f(a) startende Vektoren aufzufassen. Folglich operiert die lineare Abbildung f (a) zwischen Räumen von (in a und f(a) startenden) Vektoren Beispiele. a) Es seien T L(R n,r m ) und b R m gegeben; für die affine Abbildung f : x T(x)+b gilt dann f(a+h) = f(a)+t(h), a, h R n, also (2) mit ρ = 0. Folglich gilt f (a) = T für alle Punkte a R n. b) Für eine quadratische Matrix C = (c kj ) M R (n) wird durch Q C : x x, Cx = x Cx = n k,j=1 c kj x j x k (5) für x = (x 1,...,x n ) R n eine quadratische Form auf R n definiert. Wegen Q C (a+h) = (a+h) C(a+h) = a Ca+h Ca+a Ch+h Ch = Q C (a)+a (C +C)h+O( h 2 ) gilt Q C(a)(h) = a (C +C)h für alle Punkte a R n und Vektoren h R n. Die Matrixdarstellung einer Ableitung f (a) L(R n,r m ) ergibt sich mit Hilfe der partiellen Ableitungen: 39.5 Satz. Es seien D R n offen, f = (f k ) : D R m in a D total differenzierbar und C = (c kj ) M(m,n) die Matrix von f (a) bezüglich der Standardbasen von R n und R m. Dann gilt: a) f ist stetig in a. b) f ist in a partiell differenzierbar, und man hat j f k (a) = f k(a)(e j ) = c kj, j = 1,...,n, k = 1,...,m. (6) Beweise findet man in [A2], Abschnitt Funktionalmatrizen. a) Es seien D R n offen und f = (f k ) : D R m in a D partiell differenzierbar. Die Matrix f 1 f (a) 1 f (a) 1 (a) f 2 f x Df(a) = 1 (a) 2 f (a) 2 (a). M..... R (m,n) (7) f m f (a) m f (a) m (a) heißt dann Funktionalmatrix von f in a. b)istf ina D totaldifferenzierbar,soistalsodf(a) diematrixvonf (a) bezüglich der Standardbasen von R n und R m ; insbesondere ist f (a) eindeutig bestimmt.

3 194 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen Die Umkehrung von Satz 39.5 ist nicht richtig, selbst dann, wenn alle partiellen Ableitungen der f k beschränkt sind. In Erweiterung von Satz 38.7 gilt aber der folgende 39.7 Satz. Es seien D R n offen und f : D R m partiell differenzierbar. Sind alle partiellen Ableitungen in a D stetig, so ist f total differenzierbar in a. Aus Satz 39.7 und (7) ergibt sich nun sofort: 39.8 Satz. Eine Abbildung f : D R m liegt genau dann in C 1 (D,R m ), falls f in jedem Punkt von D total differenzierbar ist und die Ableitung f : D L(R n,r m ) stetig ist Theorem (Kettenregel). Es seien D 1 R n, D 2 R m offen, und g : D 1 D 2, f : D 2 R l seien Abbildungen. Sind dann g in x D 1 und f in y := g(x) D 2 differenzierbar, so ist auch f g in x differenzierbar, und es gilt (f g) (x) = f (g(x))g (x). (8) Beispiele und Bemerkungen. a) Formel (8) ist zur eindimensionalen Kettenregel völlig analog; es handelt sich aber natürlich bei dem Produkt um die Komposition linearer Abbildungen. Die entsprechende Formel für die Funktionalmatrizen lautet D(f g)(x) = Df(g(x))Dg(x). (9) b) Für l = 1 lautet (9) mit h := f g ausführlicher so: ( h,..., h )(x) = ( f y 1,..., dies ist äquivalent zu h x j (x 1,...,x n ) = m für alle j = 1,...,n. k=1 f )(g(x)) y m g 1 g 1 g 2 g 2. g m g 1 g g m g m (x); f y k (g 1 (x),...,g m (x)) g k x j (x 1,...,x n ) (10) c) Es seien f(x,y) = xy und Ψ : (r,ϕ) (x,y) = (rcosϕ,rsinϕ) die Transformation auf Polarkoordinaten. Nach (10) gilt für h = f Ψ: h = f x + f r x r y h = f ϕ x x + f ϕ y y r = ycosϕ+xsinϕ = 2rsinϕcosϕ = rsin2ϕ, y ϕ = yrsinϕ+xrcosϕ = r2 cos2ϕ; aus h(r,ϕ) = 1 2 r2 sin2ϕ ergibt sich dies natürlich auch direkt. d) Aus g C 1 (D 1,R m ) und f C 1 (D 2,R l ) folgt wegen (8) sofort auch f g C 1 (D 1,R l ); dies gilt entsprechend auch für C k -Abbildungen.

4 39 Differenzierbare Funktionen und Kettenregel Definition. Ein Vektor t R d heißt Tangentenvektor an eine Menge M R d im Punkt q M, falls es δ > 0 und einen in 0 differenzierbaren Weg γ : ( δ,δ) R d mit (γ) M, γ(0) = q und γ(0) = t (11) gibt. Die Menge T q (M) aller Tangentenvektoren an M in q heißt Tangentialkegel an M in q. Aus t T q (M) und λ R folgt auch λt T q (M); T q (M) ist also ein Doppelkegel. Offenbar gilt T q (R d ) = R d. Tangentialkegel an Graphen differenzierbarer Funktionen sind Unterräume von R d : Satz. Es seien D R n offen und f : D R m in a D total differenzierbar. Für q = (a,f(a)) Γ(f) R n+m gilt dann T q (Γ(f)) = Γ(f (a)) = {(v,f (a)(v)) v R n }. (12) Der n-dimensionale Unterraum T q (Γ(f)) von R n+m heißt Tangentialraum in q an Γ(f), der affine Unterraum q +T q (Γ(f)) heißt Tangentialebene in q an Γ(f) Definition. Es seien D R n offen und v R n mit v = 1. Eine Funktion f : D R m heißt in a D in Richtung v differenzierbar, falls v f(a) := lim t 0 f(a+tv) f(a) t R m (13) existiert; v f(a) heißt dann Richtungsableitung von f in Richtung v. Für v = e j sind Richtungsableitungen ej f(a) = j f(a) partielle Ableitungen; die Bemerkungen 38.3 gelten entsprechend. Aufgrund des Beweises von Satz gilt (v, v f(a)) T q (Γ(f)), falls die Richtungsableitung v f(a) existiert. Der folgende Satz ist ein Spezialfall der Kettenregel: Satz. Es sei f : D R m in a D total differenzierbar. Dann besitzt f Richtungsableitungen in jede Richtung des R n, und es gilt v f(a) = Df(a)v für v R n mit v = 1. (14) Nur aus der Existenz aller Richtungsableitungen folgt i. a. (14) nicht; setzt man (14) zusätzlich voraus, so folgt i. a. nicht die Stetigkeit, und setzt man diese zusätzlich zu (14) voraus, so folgt i. a. nicht die totale Differenzierbarkeit. Entsprechende Beispiele findet man in [A2], Gradienten. a) Es sei D R n offen. Für eine skalare Funktion f C 1 (D,R) heißt das Vektorfeld gradf : D R n, gradf := (Df) = ( 1 f,..., n f), (15) Gradient oder Gradientenfeld von f.

5 196 VI. Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen b) Es ist also gradf(x) der Vektor im R n mit gradf(x),h = df(x)(h) für h R n. (16) Gemäß 39.3e) ist hierbei h R n = T x (R n ) als ein in x D startender Vektor aufzufassen; diesgiltdannauchfürgradf(x), undgradf ist indertatein Vektorfeld. c) Nach (14), (16) und (28.7) gilt für eine Richtungsableitung v f(x) = df(x)(v) = gradf(x),v = gradf(x) cosα, wobei α [0,π] der Winkel zwischen gradf(x) und v ist (vgl. (28.7)). Diese ist also im Fall gradf(x) 0 für cosα = 1, d.h. für v = gradf(x) maximal. Der Gradient gradf(x) gradf(x) zeigt also in Richtung des stärksten Anstiegs von f. d) Es seien nun t T a (S) ein Tangentenvektor an eine Niveaumenge S = N α (f) = {x D f(x) = α} von f und γ : ( δ,δ) R n ein Weg mit (γ) S, γ(0) = a und γ(0) = t. Wegen f γ = α gilt dann aufgrund der Kettenregel gradf(a),t = df(a)(t) = d (f γ)(0) = 0, dt d.h. der Gradientenvektor gradf(a) T a (S) steht auf den Niveaumengen von f senkrecht. In Satz?? wird gezeigt, daß im Fall gradf(a) 0 die Menge T a (S) ein (n 1)-dimensionaler Unterraum von R n ist. e) Für die quadratische Form Q C einer Matrix C M R (n) gilt nach Beispiel 39.4b): DQ C (a) = a (C +C). Somit ist gradq C (a) = (C +C)a. Es gilt die folgende Version des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Veränderlichen: Satz. Es seien D R n offen und x,y D, so daß die Strecke [x,y] in D liegt. Weiter sei f : D R auf [x,y] stetig und auf (x,y) := [x,y]\{x,y} total differenzierbar. Dann gibt es ξ (x,y) mit f(y) f(x) = f (ξ)(y x) = n j f(ξ)(y j x j ). (17) j=1 Der Mittelwertsatz gilt nicht für vektorwertige Funktionen, was schon in 27 c) bemerkt wurde. Für C 1 -Funktionen erhält man jedoch in (20) eine Satz entsprechende Version des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Eine allgemeinere Version lautet so: Satz. Es seien D R n offen und x,y D. Der Weg γ : [a,b] D mit γ(a) = x und γ(b) = y sei stückweise C 1 (vgl a)). Für f C 1 (D,R m ) gilt dann f(y) f(x) = b a f (γ(t))( γ(t))dt. (18)

6 39 Differenzierbare Funktionen und Kettenregel Folgerung. Es seien G R n ein Gebiet und f C 1 (G,R m ) mit f = 0. Dann ist f konstant Bemerkungen. a) Wegen Satz gilt in der Situation von Satz f(y) f(x) sup f (ξ) L(γ). (19) ξ (γ) b) Für [x,y] D hat man insbesondere f(y) f(x) = 1 0 f (x+t(y x))(y x)dt. (20) c) Ist speziell G konvex und f beschränkt, so folgt aus (19) oder (20) f(y) f(x) f sup y x, x,y G; (21) somit ist f auf G Lipschitz-stetig und insbesondere gleichmäßig stetig.

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