54 Die Jacobi-Matrix. E f WR C 0 Œ0; Œ0; 2!R3 definiert durch. r cos ' r sin ' E f.r; '/ D : (54.2) pv D RT; 0.r; '/ D. p D p.

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1 34 R Plato Teil V ehrdimensionale Differenzialrechnung Beispiel 533 (Ideale Gasgleichung) Für eine bestimmte enge eines idealen Gases gilt für das spezifische Volumen v D V=m (mit der asse m und dem Volumen V ), den Druck p und die vorliegende Temperatur T der funktionale Zusammenhang pv D RT; wobei R eine spezifische Gaskonstante ist Damit ist z B v eine Funktion von p und T, und entprechendes gilt für p und T v D vp; T / D RT p ; T D pv; T / D pv R RT p D pv; T / D v ; Für die partiellen Ableitungen gilt z B v p D RT p ; Damit gilt insbesondere v p p T T v D p T D R v ; RT R p p v R D T v D p R RT pv D Kürzen auf der linken Seite der Gleichung (formal ja sowieso nicht erlaubt) würde hier also ein falsches Ergebnis liefern 54 Die Jacobi-atri Definition 54 Sei f E W D!R m eine Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, die in einem innerem Punkt E D partiell differenzierbar ist Dann nennt man E f E/ D B E/ E/ m E/ die Jacobi-atri von E f in E E/ E/ n E/ n E/ C A m E/ m n E/ (54) Die Jacobi-atri stellt die natürliche Verallgemeinerung der Ableitung der skalarwertigen Funktion von einer Veränderlichen dar Sie wird an vielen Stellen zum Einsatz kommen, so z B bei der Verallgemeinerung der Substitionsregel auf die Integration skalarwertiger Funktionen mehrerer Veränderlicher Beispiel 54 (Polarkoordinaten) Es sei die Funktion E f WR C Œ;!R definiert durch E f r; '/ D r cos ' r sin ' (54) Sie ist auf ihrem Definitionsbereich partiell differenzierbar, und ihre Jacobi-atri ist cos ' fe r; '/ D sin ' wie man leicht nachrechnet r sin ' r cos ' ; Beispiel 543 (Kugelkoordinaten) Es sei die Funktion E f WR C Œ; Œ;!R3 definiert durch E f r; ı; '/ D r sin ı cos ' r sin ı sin ' A (543) r cos ı Auf ihrem Definitionsbereich ist sie partiell differenzierbar, und ihre Jacobi-atri ist E f r; ı; '/ D sin ı cos ' r cos ı cos ' B sin ı sin ' r cos ı sin ' r sin ı sin ' r sin ı cos ' cos ı r sin ' wie man wieder leicht nachrechnet C A ; Beispiel 544 (Jacobi-atri im skalaren Fall) Sei f W D! R eine skalare Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, die in einem Punkt E D partiell differenzierbar ist Dann gilt f E/ D E/; E/; ; n E/ Die Jacobi-atri ist in diesem Fall also ein Zeilenvektor Definition 545 Sei f W D! R eine skalare Funktion mit einem Definitionsbereich D R, die in einem Punkt E D partiell differenzierbar ist Dann nennt man E/ rf E/ D E/ B C (544) A n E/ den Gradienten von f in E

2 Abschnitt 55 Totale Differenzierbarkeit R Plato 35 Es gilt offenbar f E/ > D rf E/, der Gradient ist also der zu f E/ transponierte Vektor Der Gradient ist ein wichtiges Instrument zur Analse skalarer Funktionen mehrer Veränderlicher So lassen sich damit Etremwertaufgaben lösen beziehungsweise die Richtung des stärksten Anstiegs und Abstiegs bestimmen 55 Totale Differenzierbarkeit 55 Einführung Für eine skalare Funktion f W D!Rmit einem skalaren Definitionsbereich D R, die in einem Punkt D differenzierbar ist, gibt f / eine lokale Änderungsrate an, und darüberhinaus lassen sich die Funktionswerte f / lokal durch die Tangente T f; / WD f / C f / / approimieren, wobei per Definition für den Approimationsfehler f / T f; / DW r/ Folgendes gilt r/ D f / f / f /! für! Der bei der Tangentenapproimation entstehende Fehler r/ geht also für! schneller gegen als die Differenz dies tut Es sollen nun entsprechende Aussagen für vektorwertige Funktionen E f W D! R m mit Definitionsbereich D R n getroffen werden Die Rolle der Ableitung in einem Punkt E D übernimmt dabei die Jacobi-atri E f E /, und die angestrebte Tangentialapproimation lautet E f E/ E f E / C E f E /E E / für E E Dabei muss diese Tangentialapproimation auch noch hinreichend gut sein; das wird in Definition 55 unten präzisiert Partielle Differenzierbarkeit alleine reicht jedenfalls im Allgemeinen nicht aus, da diese lediglich Glattheit der betrachteten Funktion in Richtung der Koordinatenachsen bedeutet Beispiel Für die in Beispiel 57 auf Seite 3 betrachtete Funktion gilt f ; / D f ; / D für ; R und daher ; / D ; / D Das bedeutet aber z B D f ; / 6 f ; / C f ; /; / ; // D für Der Kandidat für eine Tangentialapproimation im Punkt f(,) stellt hier also keine Approimation dar an beachte außerdem, dass diese Funktion in dem Punkt ; / unstetig ist (siehe erneut Beispiel 57 auf Seite 3), ihre partielle Ableitungen in diesem Punkt jedoch eistieren Eine Glattheit in alle Richtungen ist nur unter stärkeren Voraussetzungen gegeben Der dafür benötigte Begriff wird nun zunächst eingeführt 55 Innere Punkte Definition 55 Sei D R n eine enge Es heißt E R n innerer Punkt der enge D, falls es ein " > gibt, so dass die enge BE ; "/ WD ¹ E R n j j E E j < "º komplett in D enthalten ist, d h BE ; "/ D erfüllt ist; Randpunkt der enge D, falls für jedes " > die enge BE ; "/ jeweils mindestens ein Element aus D undr n nd enthält Bemerkung a) Jeder innere Punkt von D muss notwendigerweise ein Element von D sein b) Bei der enge BE ; "/ handelt es sich im Fall n D um einen Kreis und im Fall n D 3 um eine Kugel, jeweils mit ittelpunkt E und Radius " Der Rand ¹ E R n j j E E j D "º ist nicht Bestandteil der enge BE ; "/ Für den Fall n D ist die Situation in Abbildung 9 dargestellt E " Abb 9 Darstellung der enge BE ; "/ R Der Kreisrand ¹ E R j j E E j D "º ist nicht Bestandteil dieser enge Beispiel Die enge Q D ¹ ; ; n / R n j < k < für k D ; ; nº besteht nur aus inneren Punkten; auf einen Nachweis wird hier verzichtet Bei der enge Q D ¹ ; ; n / R n j k für k D ; ; nº

3 36 R Plato Teil V ehrdimensionale Differenzialrechnung sind all diejenigen Punkte E Q Randpunkte, für die k D oder k D für mindestens einen Inde k gilt Für all solche Punkte E enthält nämlich die enge BE; "/ für jedes " > sicher Elemente, die nicht in Q enthalten sind Das wird im Folgenden für einen der möglichen Fälle noch ausgeführt Im Fall k D wähle man für ein beliebige Zahl " > z B den Punkt E D ; ; ; n / mit k D "= und D für k Dann gilt j E Ej D "= < " und E 6 Q Daher kann E Q kein innerer Punkt von Q sein Die Situation ist für n D in Abbildung 93 dargestellt Dort sind ein innerer Punkt E und ein Randpunkt E angegeben E Q Abb 93 Innerer Punkt E und Randpunkt E 553 Die zentralen Begriffe zur totalen Differenzierbarkeit Definition 55 Sei fe W D! R m eine Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, die in einem inneren Punkt E D partiell differenzierbar ist an nennt f in E D total differenzierbar oder auch fréchetdifferenzierbar, wenn in der Darstellung f EE/ D f E E / C f E E /E E / C ErE/; E D; der Fehlerterm Er W D!R m die Eigenschaft hat E j ErE/j j E E j! für E! E Bemerkung 553 Sei E f W D! R m eine Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, die in einem inneren Punkt E D total differenzierbar ist a) an nennt f EE / C f E E /E E / DW Tf E;E E/; E R n ; (55) die Tangentialapproimation an die Funktion E f bezüglich des Punktes E Es gilt E f E/ T E f ;E E/ für E D; E E (55) Im Fall n D und m D ist der Graph dieser Funktion T f E;E eine Ebene; man spricht dann auch von einer Tangententialebene Eine Illustration dazu finden Sie in Abbildung 94 z Tf E;E E/ E f E/ Abb 94 Beispiel einer Tangentialebene b) Wir führen nun die Notation E f D E f E C E/ E f E/ (553) für E R n ein, wobei noch E CE D angenommen wird Damit wird (55), (55) zu E f E f E/E (554) an nennt in diesem Kontet die lineare Abbildung E f E E/E das vollständige Differenzial von f E in E Häufig wird in (553) anstelle von das Zeichen d verwendet, und (554) wird dann zu d E f E f E/d E (555) Das vollständige Differenzial wird z B in der Fehlerrechnung verwendet Beispiel 554 (Fehlerrechnung) Die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels (hier wird eine Punktmasse im Schwerpunkt betrachtet) ist gegeben durch die Zahl q T D g (556)

4 Abschnitt 55 Totale Differenzierbarkeit R Plato 37 Beweis Wird hier nicht geführt Abb 95 Darstellung des mathematischen Pendels Dabei beschreibt die Länge des Pendels, und g ist die Erdbeschleunigung Die Situation ist in Abbildung 95 dargestellt Wir gehen hier der Frage nach, inwieweit sich relative essfehler in und g auf die Berechnung von T D T ; g/ mittels (556) auswirken Dies geschieht näherungsweise mit Hilfe des totalen Differenzials von T an berechnet zunächst T D pg ; T g D und erhält daraus und mit (555) g q g D g T dt T T d C g dg D pg d g T dg an ist an dem relativen Fehler interessiert und führt hierzu eine Division mit T durch Dies ergibt dt T q g p d g g dg D d dg g ; und daraus erhält man die näherungsweise gültige Abschätzung ˇ dt ˇ T ˇ d ˇ C ˇˇ dg g ˇ ˇ (557) Liegt beispielsweise der relative Fehler in der Länge des Pendels bei 3% und der für die Schwerkraft bei %, so lässt sich der relative Fehler der berechneten Schwingungsdauer des Pendels nach (557) näherungsweise durch abschätzen ;3 C ;/ D ; Ein einfaches hinreichendes Kriterium für totale Differenzierbarkeit liefert der folgende Satz Satz 555 Sei fe W D! R m eine Funktion mit Definitionsbereich D R n, und E D sei ein innerer Punkt von D Ist die Funktion f stetig partiell differenzierbar in E, so ist sie dort auch total differenzierbar Total differenzierbare Funktionen sind stetig Satz 556 Jede in einem inneren Punkt E D total differenzierbare Funktion fe W D!R m mit Definitionsbereich D R n ist stetig in E Beweis Der Beweis ist nicht schwer, wird hier aber trotzdem nicht geführt 554 Regeln für total differenzierbare Funktionen Satz 557 (Linearität) Sind zwei Funktionen fe W D! R m und Eg W D! R m mit Definitionsbereich D R n in einem inneren Punkt E D jeweils total differenzierbar, so ist für beliebige Zahlen ; ˇ R die Linearkombination fe C ˇ Eg W D! R m in E D ebenfalls total differenzierbar Für die dazugehörige Jacobi-atri gilt E f C ˇ Eg/ E/ D E f E/ C ˇ Eg E/ (558) Beweis Wird hier nicht geführt Für zwei Funktionen fe W D! R m und Eg W E! R p mit Definitionsbereichen D R n beziehungsweise E R m (mit n; m; p ) gelte f ED/ E Dann ist die Hinterausführung Eg ı fe so erklärt Eg ı E f W D!R p ; E Eg E f E// Satz 558 (Kettenregel) Sind mit den zuvor genannten Bezeichnungen fe in dem inneren Punkt E D und Eg in dem inneren Punkt f EE/ E jeweils total differenzierbar, so ist die Verknüpfung Eg ı fe in E D total differenzierbar Für die dazugehörige Jacobi-atri gilt Eg ı f E/ E/ D Eg f E E// f E E/ (559) Beweis Wird hier nicht geführt Bemerkung Wie schon im eindimensionalen Fall bedeutet die Kettenregel (559) «äußere Ableitung mal innere Ableitung» an beachte jedoch, dass auf der rechten Seite der Gleichung (559) das Produkt zweier atrizen zu berechnen ist Außerdem kommt es dabei auf die richtige Reihenfolge an

5 38 R Plato Teil V ehrdimensionale Differenzialrechnung Bemerkung 559 a) Wir sehen uns im Folgenden die Kettenregel (559) für den folgenden Spezialfall an Es sei dazu fe W I!R m mit einem Intervall I R (das ist ein Weg im Sinne der Definition 5) und g W E!Rmit E R m ; es ist also g skalarwertig In diesem Fall gilt g ı fe W I!R Die Kettenregel lässt sich dann so schreiben g ı E f / / D r Eg E f // E f / für I (55) Dabei steht links die Ableitung einer skalaren Funktion von einer Veränderlichen, und rechts wird das Skalarprodukt zweier Vektoren inr m gebildet b) Wir sehen uns im Folgenden die Gleichung (559) genauer an Eine Betrachtung des Eintrages in der k-ten Zeile und -ten Spalte der atri auf der rechten Seite mit k p und n ergibt mit der Notation E D f E E/ Folgendes g k f E E// D Eg ı E / mx f / ke/ D Eg E/ krf E E/ r rd mx g D k E/ r E/ (55) rd r Beispiel 55 Wir berechnen mit Hilfe der Kettenregel für die Funktionen t Egt/ D ; t R; f ; / D ; ; R; t die Jacobi-atri Eg ı f / ; / R ; ; R, und die Ableitung f ı Eg/ t/ R; t R Es gilt hier Eg t/ D t ; f ; / D / Die Kettenregel in der Version (559) liefert damit Eg ı f / ; / D Eg f ; // f ; / D / D Die Ableitung f ı Eg/ t/ R berechnen wir mit Hilfe der Kettenregel in der Version (55) (oder alternativ mit (55)) f ı g/ t/ D f gt//g t/ C f gt//g t/ D t C 3t D t C 3t Natürlich könnte man auch zunächst die Hintereinanderausführungen Eg ı f und f ı Eg berechnen und anschließend (ohne Anwendung der Kettenregel) deren Jacobi-atrizen bestimmen Die Kettenregel kommt z B bei partiellen Differenzialgleichungen im Zusammenhang mit Koordinatentransformationen zum Einsatz Eine weitere kleine Anwendung liefert die folgende Bemerkung Proposition 55 Sei f W D! R mit D R n in einem inneren Punkt E D total differenzierbar Dann steht der Gradient rf E/ in dem Punkt E bezüglich des Standardskalarproduktes senkrecht auf der Niveaumenge N f c/, wobei c D f E/ gilt Beweis Sei E' W Œ ;!R n eine differenzierbare Abbildung mit E't/ N f c/ für t und E'/ D E Dabei ist > eine geeignete reelle Zahl Dann gilt offenbar f ı E' c auf dem Intervall Œ ; und daher nach der Kettenregel in der Fassung (55) auf dieser Seite D f ı E'/ t/ D rf E't// E' t/ für t Für t D bedeutet dies D rf E/ E' /, wobei E' / ein Tangentenvektor an die Funktion f an der Stelle E ist Eine Illustration zu der Aussage der Proposition finden Sie in Beispiel 566 Es wird nun eine weitere Anwendung des Gradienten vorgestellt Im zweidimensionalen Fall kann dieser zur Angabe eines Normalenvektors an die Tangentialebene verwendet werden Bemerkung 55 Die Punkte auf der durch (55) auf Seite 36 gegebenen Tangentialebene besitzen im Fall n D mit den Bezeichnungen E D ; /; E D ; / und den Abkürzungen D und D die Form! Tf E; ; /; / D D! f ; /! f ; / B C ; / C ; / C ; / A C ; / C A A (55)

6 Abschnitt 56 Die Richtungsableitung R Plato 39 Das stellt eine Parameterdarstellung der Tangentialebene dar Ein Normalenvektor ist dann ; / B C rf ; / A D ; / ; (553) denn dieser Vektor steht offenbar senkrecht auf den beiden in (55) auftretenden Richtungsvektoren, was man durch Nachrechnen leicht nachprüft Beispiel 553 Wir betrachten die Funktion f ; / D für ; / D mit D WD ¹; / R j C º Diese Funktion, deren Graph ein Paraboloid ist, ist auf D stetig partiell differenzierbar mit f ; / D ; / für ; / R a) Wir betrachten zunächst die Tangentialebene an den Punkt ; ; f ; // D ; ; / Wegen f ; / D ; / gilt hier z D T f;;/ ; / f ; / C f ; / D C D Ein Normalenvektor ist hier gemäß (553) von der Form En D ; ; / > Eine Illustration dazu finden Sie in Abbildung 96 b) Wir betrachten nun die Tangentialebene an den Punkt ; ; z / mit den Werten D ; D ;5 und z D f ; / D ;75 Wegen f ; / D ; / gilt hier z D T f; ; /; / z C f ; / D ;75 / D ;5 Ein Normalenvektor ist hier gemäß (553) von der Form En D ; ; / > Eine Illustration dazu finden Sie in Abbildung Die Richtungsableitung 56 Einführung Definition 56 Sei f W D! R eine Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, und seien E D ein T f;;/ ; / f ; / En ; ; / Abb 96 Tangentialebene an Paraboloid ; ; z / f ; / Abb 97 Tangentialebene an Paraboloid En T f; ; /; / innerer Punkt, und Ep R n erfülle j Epj D an nennt E/ D lim Ep t! f E C t Ep/ t f E/ die Richtungsableitung von f im Punkt E in Richtung Ep, falls dieser Grenzwert eistiert Bemerkung Sei f W D! R eine Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, und sei f in dem inneren Punkt E D partiell differenzierbar Dann gilt für die Einheitsvektoren Ee k D ; ; ; ; ; ; / > R n mit dem Einseintrag an der k-ten Position offenbar die

7 4 R Plato Teil V ehrdimensionale Differenzialrechnung Identität Ee k E/ D k E/; k D ; ; ; n Die Richtungsableitung von f im Punkt E in Richtung des k-ten Einheitsvektors Ee k stimmt also mit der partiellen Ableitung von f in E nach der k-ten Veränderlichen überein 56 Berechnung der Richtungsableitung Für total differenzierbare Funktionen lässt sich die Richtungsableitung leicht berechnen, wenn nur alle partielle Ableitungen bekannt sind Satz 56 Sei f W D!R eine Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, und sei f in dem inneren Punkt E D total differenzierbar Dann eistiert für jeden Vektor Ep R n mit j Epj D die Richtungsableitung von f im Punkt E in Richtung Ep Sie besitzt die Darstellung Ep E/ D f E/ Ep (56) Beweis Das folgt leicht mit der Kettenregel Wir betrachten hierzu die Funktion Eht/ D E C t Ep; t R Diese Funktion ist differenzierbar, mit Eh t/ D p; t R, und für t nahe gilt wegen der Offenheit des Definitonsbereichs D von f sicher ht/ D Damit gilt E/ D lim Ep t! f E C t Ep/ t f E/ f ht// D lim E f h// E t! t D f ı E h/ / D f h// E h / D f E/ Ep Dies komplettiert den Beweis Beispiel 563 Wir berechnen für die Funktion f ; / D e sin ; ; R; im Punkt E D ; / die Richtungsableitungen Es ist ; / D e sin ; ; / D e cos ; ; R; und damit gilt f E / D ; / Für jeden Vektor Ep D p ; p / > R mit j Epj D gilt daher Ep / E D f E / Ep D ; / p p D p C p D p 563 Richtung des stärksten Anstiegs/Abstiegs Definition 564 Sei f W D! R eine Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, die in dem inneren Punkt E D total differenzierbar sei Außerdem sei Ep R n ein Vektor mit j Ep j D a) Es heißt der Vektor Ep Richtung des stärksten Anstiegs von f (im Punkt E), wenn E/ Ep Ep E/ für jedes Ep Rn ; j Epj D (56) b) Es heißt Ep Richtung des stärksten Gefälles von f im Punkt E, wenn (56) mit anstelle von gilt Satz 565 Sei f W D!R eine Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, die in dem inneren Punkt E D total differenzierbar sei Dann ist der Vektor Ep D rf E/ jrf E/j eine Richtung des stärksten Anstiegs, und Richtung des stärksten Gefälles Beweis Es gilt nach Satz 56 Ep ist eine E/ D f rf E/ E/ Ep jrf E/j D rf E/ rf E/ D jrf E/j jrf E/j Weiter gilt für jeden Vektor Ep R n mit j Epj D Folgendes / E/ D f E/ Ep D rf E/ Ep Ep / jrf E/j j Epj D jrf E/j; wobei in / wieder Satz 56 verwendet wurde, und in / geht die cauch-schwarzsche Ungleichung ein Ein Vergleich der gewonnenen Abschätzungen zeigt nun, dass der Vektor Ep tatsächlich eine Richtung des stärksten Anstiegs darstellt Die Aussage darüber, dass Ep eine Richtung des stärksten Gefälles darstellt, weist man analog nach Beispiel Wir betrachten erneut die Situation aus Beispiel 563 Die Richtung des stärksten Anstiegs ist rf ; / D ; / >, und die des stärksten Abstiegs ist rf ; / D ; / > Beispiel 566 Die Niveaulinien f ; / D c der Funktion f ; / D a C ; ; R; (563) b

8 Abschnitt 57 Höhere Ableitungen R Plato 4 sind Ellipsen mit dem Ursprung als ittelpunkt und Halbachsen, die mit den Koordinatenachsen übereinstimmen und die Längen ca beziehungsweise cb haben Für den Spezialfall a D und b D und die Werte c D ; ; 3 und 4 sind in Abbildung 98 die Höhenlinien ¹; / R j f ; / D c º und einige Gradienten zu sehen Abb 98 Einige Höhenlinien und Gradienten der Funktion f ; / D 4 C 57 Höhere Ableitungen Definition 57 Sei f W D! R eine skalarwertige Funktion mit einem Definitionsbereich D R n, die auf D partiell differenzierbar ist a) Ist die Funktion k W D! R in einem inneren Punkt E D ; ; n / D nach der Veränderlichen partiell differenzierbar (mit k; ¹; ; ; nº), so schreibt man k E/ WD k E/ Im Fall k D schreibt man auch kurz E/ D k f k k E/ b) Es heißt die Funktion f zweimal partiell differenzierbar (auf dem gesamten betrachteten Definitionsbereich D), falls für beliebige Werte von k; ¹; ; ; nº die Funktion in jedem Punkt E D ; ; n / k D nach der Veränderlichen partiell differenzierbar ist c) Es heißt die Funktion f zweimal stetig partiell differenzierbar, falls sie zweimal partiell differenzierbar ist und alle zweiten partiellen Ableitungen f k (k; D ; ; ; n) stetige Funktionen auf D sind Beispiel 57 Die Funktion f ; / D für ; R besitzt die partiellen Ableitungen ; / D ; ; / D ; für ; R ; / D ; f D D f ; ; / D ; Es fällt auf, dass in diesem Beispiel f D f erfüllt ist Es gilt allgemein Folgendes Satz 573 (Satz von Schwarz) Sei f W D! R eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion, wobei D R n offen ist Dann gilt auf der enge D k D f k für k; D ; ; ; n Unter der genannten Bedingung der zweimaligen stetigen Differenzierbarkeit ist also die Reihenfolge der Bildung der partiellen Ableitungen belanglos Definition 574 Sei f W D! R eine zweimal partiell differenzierbare Funktion mit einem Definitionsbereich D R n Dann heißt H f E/ D B E/ E/ n E/ die Hesse-atri von f in E E/ E/ n E/ n E/ C A n E/ f n n E/ (57) Bemerkung 575 Ist die Funktion f W D! R zweimal stetig partiell differenzierbar, so ist die Hesse-atri H f E/ für jedes E D smmetrisch Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Schwarz (siehe Satz 573 auf Seite 4) Beispiel Die Funktion f ; / D für ; R(siehe Beispiel 57) besitzt die Hesse-atri H f E/ D