Modul Mathematik Grundlagen I (BA) Dr. Andreas Harder / Hugo Krause 1. Semester (Januar- März 2007)

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1 Modul Mathematik Grundlagen I (BA) Dr. Andreas Harder / Hugo Krause 1. Semester (Januar- März 2007) 1. grundlagen I: gleichungen 1.1. nullstellen von polynomen lineare gleichungen form lösbarkeit linearer gleichungen quadratische gleichungen lösbarkeit quadratischer gleichungen reelle Lösungen quadratischer Gleichungen komplexe Lösungen quadratischer Gleichungen gleichungen 3. Grades ermitteln der 1. lösung polynomdivision linearfaktorzerlegung lösbarkeit von gleichungen 3. grades näherungsverfahren definition polynom fundamentalsatz der algebra 1.2. sonderfälle von gleichungen höheren grades 1.3. exponentialgleichungen 2. funktionen und reationen 2.1. relation beispiel relation: einheitskreis beispel ellipse relation: wurzelfunktion 2.2. funktionsbegriff 2.3. klassifikation von funktionen rationale funktionen ganz rationale funktionen gebrochen rationale funktionen echt gebrochen rationale Funktionen unecht gebrochen rationale Funktionen trigonometrische Funktionen exponentialfunktion

2 logarithmusfunktion definition die logarithmusfunktion als umkehrfunktion der exponentialfkt umrechnung von logarithmen besondere funktionen sign(x) abs(x) treppenfunktionen 2.4. eigenschaften von funktionen monotonie monoton wachsend (fallend) streng monoton wachsend (fallend) beispiel f(x)=x krümmung lokale extrema exkurs:.folgen als spezielle funktionen und grenzwerte von folgen arithmetische folge arithmetische reihe partialsummen summenformeln grenzwerte von folgen beispiel <1+1/n> kriterium (Cauchy) stetigkeit definition stetigkeit beispiel stetigkeit x^ beispiel unstetigkeit sign(x) steigung steigung linearer funktionenen steigung nichtlinearer funktionen tangentenproblem differentialquotien ableitungsregeln für funktionen einer variablen ableitung von polynomen produktregel kettenregel quotientenregel formel beweis quotientenregel ableitung nichtrationaler funktionen ( )

3 trigonometrische Funktionen sin(x) cos(x) lösungshinweis tan (x), pythagoras exponentialfunktion differentialquotient grenzwert (-> Fichtenholz I, Nr. 77) logarithmusfunktion partielle ableitungen funktionenen von zwei veränderlichen beispiel: f(x,y) = x^2 + y^ graphik: schnitt (x,z)-ebene schnitt (y,z)-ebene D-darstellung partielles differenzieren partielle ableitung nach x partielle ableitung nach y totale ableitung berechnungsbeispiel f (x,y) =( x^+ y)^2 3. anwendung der differentialrechnung: ökonomische funktionen 3.1. extremwertprobleme bedingungen für extremwerte materialverbrauch kostenminimum lagerhaltung nachfrage- und Angebot nachfragefunktion lineare nachfragefuntionen sättigungsmenge nichtlineare nachfragefunktion quadratische nachfragefunktion abschnittsweise definierte nachfragefunktion 3.3. angebotsfunktion 3.4. marktgleichgewicht gleichgewichtsbedingung berechnungsbeispiel preisregulierung mindestpreise und angebotsüberhangüberhang höchstpreise und nachfrageüberhang

4 3.5. umsatzfunktion definition beispiel grenzumsatz ableitung der umsatzfunktion beispiel kostenfunktion begriff ertragsgesetzliche kostenfunktion beispiel grenzkosten abletung der kostenfunktion berechnungsbeispiel gewinnfunktion definition gewinnmaximierung ableitung der gewinnfunktion bedingung GK=GU grafische darstellung cournot-punkt 3.6. weitergehende eigenschaften der nachfrage elastizität konsumentenrente peisdifferenzierung substitution von zwei gütern Lagrange-multiplikatoren nutzenoptimierung nutzenfunktion grenznutzen berechnungsbeispiel 4. lineare algebra 4.1. vektoren und matrizen vektoren vektoroperationen vektoraddifiotn skalarprodukt von vektoren matrizen addition von matrizen multiplikation von matrizen

5 produkte von matrizen nichtkommutativität der matrizenmultiplikation geometrische deutung von matrizen ökonomische bedeutung von matrizen markovketten absatzpognose warteschlangen einheitsmatrix definition beispielaufgaben determinanten zweireihige determinanten höhere determinanten entwicklungssatz für determinanten inverse matrix Kriterium = inverse matrizen von (2,2)-matrizen inverse matrizen von (n,n)-matrizen gauss-jordan-algorithmus anwendungsbeispiel 4.2. lineare Gleichungssysteme matrizenschreibweise linearer gleichungssysteme satz ökonomische bedeutung der inversen matrix istkostenverfahren leontieff-modell produktionsplanung: stücklisten, gozinto-graph 4.3. lineare optimierung zielkonflike typologie von optimierungsproblemen maximumaufgabe beispiel :kapazitätsproblem allgemeine form des maximumproblems graphisches lösungsverfahren extremwerte linearer funktionen konvexe polyeder hauptsatz der linearen optimierung komplexität von algorithmen

6 simplexalgorithmus

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