Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften

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1 Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Jens Struckmeier Fachbereich Mathematik Universität Hamburg Technische Universität Hamburg Harburg Wintersemester 211/12 Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 1 / 182 Inhalte der Vorlesung Analysis III. 1 Partielle Ableitungen, Differentialoperatoren. 2 Vektorfelder, vollständiges Differential, Richtungsableitungen. 3 Mittelwertsätze, Satz von Taylor. 4 Extrema, Satz über implizite Funktionen. 5 Implizite Darstellung von Kurven und Flächen. 6 Extrema bei Gleichungsnebenbedingungen. 7 Newton Verfahren, nichtlineare Gleichungen und Ausgleichsrechnung. 8 Bereichsintegrale, Satz von Fubini, Transformationssatz. 9 Potentiale, Integralsatz von Green, Integralsatz von Gauß. 1 Greensche Formeln, Integralsatz von Stokes. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 2 / 182

2 Kapitel 1. Differentialrechnung mehrerer Variablen 1.1 Partielle Ableitungen Im Folgenden sei f (x 1,..., x n ) eine skalare Funktion, die von n Variablen abhängt Beispiel: Die Zustandsgleichung eines idealen Gases lautet pv = RT. Jede der drei Größen p (Druck), V (Volumen) und T (Temperatur) läßt sich als Funktion der anderen darstellen, wobei R die universelle Gaskonstante ist. p = p(v, t) = RT V V = V (p, T ) = RT p T = T (p, V ) = pv R Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 3 / Partielle Ableitungen Definition: Sei D R n offen, f : D R, x D. f (x) heißt in x nach x i partiell differenzierbar, falls der Grenzwert f (x f (x + te i ) f (x ) ) := lim x i t t f (x1 = lim,..., x i + t,..., x n ) f (x1,..., x i,..., x n) t t existiert, wobei e i den i ten Einheitsvektor bezeichnet. Den Grenzwert nennt man die partielle Ableitung von f (x) nach x i im Punkt x. Existieren für jeden Punkt x die partiellen Ableitungen nach jeder Variablen x i, i = 1,..., n und sind diese stetige Funktionen, so nennt man f (x) stetig partiell differenzierbar oder eine C 1 Funktion. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 4 / 182

3 Beispiele. Betrachte die Funktion f (x 1, x 2 ) = x x 2 2 Für einen Punkt x R 2 existieren beide partiellen Ableitungen und diese sind auch stetig: f x 1 (x ) = 2x 1, f x 2 (x ) = 2x 2 Die Funktion ist also eine C 1 Funktion. Die Funktion f (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 ist im Punkt x = (, ) T partiell differenzierbar nach der Koordinate x 1, aber die partielle Ableitung nach x 2 existiert im Ursprung nicht! Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 5 / 182 Konkretes technisches Beispiel. Der Schalldruck einer eindimensionalen Schallwelle ist gegeben durch p(x, t) = A sin(αx ωt) Die partielle Ableitung p x = αa cos(αx ωt) beschreibt zu einer festen Zeit t die örtliche Änderungsrate des Schalldrucks. Die partielle Ableitung p t = ωa cos(αx ωt) beschreibt für einen festen Ort x die zeitliche Änderung des Schalldruckes. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 6 / 182

4 Differentiationsregeln Sind f, g partiell nach x i differenzierbar, α, β R, so gelten die Regeln ( ) αf (x) + βg(x) x i ( ) f (x) g(x) x i = α f x i (x) + β g x i (x) = f x i (x) g(x) + f (x) g x i (x) x i ( ) f (x) g(x) = f (x) g(x) f (x) g (x) x i x i g(x) 2 für g(x) Man verwendet alternativ die Bezeichnungen: D i f (x ) oder f xi (x ) für die partielle Ableitung von f (x) nach x i in x. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 7 / 182 Gradient und Nabla Operator. Definition: Sei f : D R, D R n offen, und partiell differenzierbar. Man bezeichnet den Zeilenvektor ( f grad f (x ) := (x ),..., f ) (x ) x 1 x n als Gradient von f (x) in x. Weiterhin bezeichnet man den symbolischen Vektor := ( x 1,..., x n ) T als Nabla Operator. So bekommt man den Spaltenvektor f (x ) := ( f (x ),..., f ) T (x ) x 1 x n Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 8 / 182

5 Weitere Differentiationsregeln. Seien f (x) und g(x) partiell differenzierbar. Dann gelten die folgenden Differentiationsregeln: Beispiele: grad (αf + βg) = α grad f + β grad g grad (f g) = g grad f + f grad g ( ) f grad g = 1 (g grad f f grad g), g 2 g Sei f (x, y) = e x sin y. Dann gilt: grad f (x, y) = (e x sin y, e x cos y) = e x (sin y, cos y) Für r(x) := x 2 = x x 2 n gilt grad r(x) = x r(x) = wobei x = (x 1,..., x n ) Zeilenvektor. x x 2 für x, Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 9 / 182 Partiell differenzierbar impliziert nicht Stetigkeit. Beobachtung: Eine (nach allen Koordinaten) partiell differenzierbare Funktion ist nicht notwendigerweise eine stetige Funktion. Beispiel: Betrachte die Funktion f : R 2 R definiert durch x y (x f (x, y) := 2 + y 2 ) 2 : für (x, y) : für (x, y) = Die Funktion ist auf ganz R 2 partiell differenzierbar, und es gilt f x (, ) = f y (, ) = f x (x, y) = y (x 2 + y 2 ) 2 4 x 2 y (x 2 + y 2, (x, y) (, ) ) 3 f y (x, y) = x (x 2 + y 2 ) 2 4 xy 2 (x 2 + y 2, (x, y) (, ) ) 3 Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 1 / 182

6 Beispiel (Fortsetzung). Berechnung der partiellen Ableitungen im Ursprung (, ): f f (t, ) f (, ) (, ) = lim x t t = t (t ) 2 t = f f (, t) f (, ) (, ) = lim y t t = t ( 2 + t 2 ) 2 t = Aber: Im Nullpunkt (, ) ist die Funktion nicht stetig, denn und somit gilt lim f n ( 1 n, 1 ) = n 1 n 1 n ( 1 n 1 n + 1 n 1 n ) 2 = 1 n 2 4 n 4 lim f (x, y) f (, ) = (x,y) (,) = n2 4 Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 11 / 182 Beschränkheit der Ableitungen impliziert Stetigkeit. Um die Stetigkeit einer partiell differenzierbaren Funktion zu garantieren, benötigt man zusätzliche Voraussetzungen an f. Satz: Ist f : D R, D R n offen, in einer Umgebung von x D partiell differenzierbar, und sind die partiellen Ableitungen f x i, i = 1,..., n, dort beschränkt, so ist f (x) stetig in x. Beachte: In unserem vorigem Beispiel sind die partiellen Ableitungen in einer Umgebung der Null (, ) nicht beschränkt, denn es gilt f y (x, y) = x (x 2 + y 2 ) 2 4 x 2 y (x 2 + y 2 ) 3 für (x, y) (, ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 12 / 182

7 Beweis des Satzes. Für x x < ε, ε > hinreichend klein, schreiben wir: f (x) f (x ) = (f (x 1,..., x n 1, x n ) f (x 1,..., x n 1, xn )) + (f (x 1,..., x n 1, xn ) f (x 1,..., x n 2, xn 1, xn )). + (f (x 1, x2,..., xn ) f (x1,..., xn )) Für jede Differenz auf der linken Seite, betrachten wir f als univariate Funktion: g(x n ) g(xn ) := f (x 1,..., x n 1, x n ) f (x 1,..., x n 1, xn ) Da f partiell differenzierbar, ist g differenzierbar und es gilt der Mittelwertsatz: g(x n ) g(xn ) = g (ξ n )(x n xn ) für ein geeignetes ξ n zwischen x n und xn. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 13 / 182 Beweis des Satzes (Fortsetzung). Anwendung des Mittelwertsatzes auf jeden Term der rechten Seite ergibt somit f (x) f (x ) = f x n (x 1,..., x n 1, ξ n ) (x n x n ) + f x n 1 (x 1,..., x n 2, ξ n 1, x n ) (x n 1 x n 1). + f x 1 (ξ 1, x 2,..., x n ) (x 1 x 1 ) Mit der Beschrankheit der partiellen Ableitungen gilt f (x) f (x ) C 1 x 1 x C n x n x n für x x < ε, und damit ist f (x) stetig in x, denn es gilt f (x) f (x ) für x x Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 14 / 182

8 Höhere Ableitungen. Definition: Eine skalare Funktion f (x) sei auf einer offenen Menge D R n partiell differenzierbar. Sind die partiellen Ableitungen erneut partiell differenzierbar, so erhält man sämtliche partiellen Ableitungen zweiter Ordnung von f mit 2 f x j x i := x j ( f Beispiel: Partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion f (x, y): 2 f x 2 = x ( ) f, x 2 f y x = y x i ) ( ) f, x 2 f x y, Seien nun i 1,..., i k {1,..., n}. Dann definiert man rekursiv k f := x ik x ik 1... x i1 x ik ( k 1 f x ik 1 x ik 2... x i1 2 f y 2 ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 15 / 182 Ableitungen höherer Ordnung. Definition: Die Funktion f (x) heißt k fach partiell differenzierbar, falls alle Ableitungen der Ordnung k, k f x ik x ik 1... x i1 für alle i 1,..., i k {1,..., n}, auf D existieren. Alternative Notationen: k f x ik x ik 1... x i1 = D ik D ik 1... D i1 f = f xi1...x ik Sind alle Ableitungen k ter Ordnung stetig, so heißt die Funktion f (x) k fach stetig partiell differenzierbar oder auch C k Funktion auf D. Stetige Funktionen f (x) nennt man auch C Funktionen. Beispiel: Für die Funktion f (x 1,..., x n ) = n i=1 x i i gilt n f x n... x 1 =? Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 16 / 182

9 Partielle Ableitungen sind nicht beliebig vertauschbar. ACHTUNG: Die Reihenfolge, in der die partiellen Ableitungen durchzuführen sind, ist im Allgemeinen nicht beliebig vertauschbar! Beispiel: Für die Funktion f (x, y) := xy x 2 y 2 x 2 + y 2 : für (x, y) (, ) : für (x, y) = (, ) berechnet man direkt f xy (, ) = y f yx (, ) = x ( ) f (, ) = 1 x ( ) f (, ) = +1 y d.h. f xy (, ) f yx (, ). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 17 / 182 Vertauschbarkeitssatz von Schwarz. Satz: Ist f : D R, D R n offen, eine C 2 Funktion, so gilt für alle i, j {1,..., n}. Beweisidee: 2 f x j x i (x 1,..., x n ) = Zweifache Anwendung des Mittelwertsatzes. Folgerung: 2 f x i x j (x 1,..., x n ) Ist f (x) eine C k Funktion, so kann man die Reihenfolge der Differentiationen zur Berechnung der partiellen Ableitungen bis zur k ten Ordnung beliebig vertauschen! Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 18 / 182

10 Beispiel zur Vertauschbarkeit partieller Ableitungen. Berechne für die Funktion f (x, y, z) = y 2 z sin(x 3 ) + (cosh y + 17e x 2 )z 2 die partielle Ableitung dritter Ordnung f xyz. Die Reihenfolge der partiellen Ableitungen ist vertauschbar, da f C 3. Differenziere zunächst nach z: f z = y 2 sin(x 3 ) + 2z(cosh y + 17e x 2 ) Differenziere dann f z nach x (damit fällt cosh y raus): f zx = x ( ) y 2 sin(x 3 ) + 2z(cosh y + 17e x 2 ) = 3x 2 y 2 cos(x 3 ) + 68xze x 2 Für die partielle Ableitung von f zx nach y erhalten wir schließlich f xyz = 6x 2 y cos(x 3 ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 19 / 182 Der Laplace Operator. Der Laplace Operator ist definiert durch := n i=1 2 x 2 i Für eine skalare Funktion u(x) = u(x 1,..., x n ) gilt somit u = n i=1 2 u x 2 i = u x1 x u xn x n Beispiele für wichtige partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung: u 1 c 2 u tt = (Wellengleichung) u 1 k u t = (Wärmeleitungsgleichung) u = (Laplace Gleichung oder Potentialgleichung) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 2 / 182

11 Vektorwertige Funktionen. Definition: Sei f : D R m, D R n offen, f = (f 1,..., f m ) T, eine vektorwertige Funktion. Die Funktion f heißt partiell differenzierbar in x D, falls für alle i = 1,..., n die Grenzwerte f (x f(x + te i ) f(x ) ) = lim x i t t existieren. Die Berechnung erfolgt komponentenweise f 1 x i f x i (x ) =. f m x i für i = 1,..., n Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 21 / 182 Vektorfelder. Definition: Für m = n nennt man die Funktion f : D R n ein Vektorfeld auf D. Ist jede Koordinatenfunktion f i (x) von f = (f 1,..., f n ) T eine C k Funktion, so nennt man f ein C k Vektorfeld. Beispiele für Vektorfelder: Geschwindigkeitsfelder von strömenden Flüssigkeiten oder Gasen; elektromagnetische Felder; Temperaturgradienten in Festkörpern. Definition: Für ein partiell differenzierbares Vektorfeld f : D R n definiert man die Divergenz in x D durch div f(x ) := n i=1 f i x i (x ) oder div f(x) = T f(x) = (, f(x)) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 22 / 182

12 Rechenregeln und Rotation. Es gelten die folgenden Rechenregeln: div (α f + β g) = α div f + β div g für f, g : D R n div (ϕ f) = ( ϕ, f) + ϕ div f für ϕ : D R, f : D R n Bemerkung: Ist f : D R eine C 2 Funktion, so gilt für den Laplace Operator f = div ( f ) Definition: Für ein partiell differenzierbares Vektorfeld im R 3, f : D R 3, D R 3 offen, definiert man die Rotation durch rot f(x ) := ( f3 f 2, f 1 f 3, f 2 f ) T 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 x Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 23 / 182 Alternativ Notationen und weitere Rechenregeln. rot f(x) = f(x) = e 1 e 2 e 3 x 1 Bemerkung: Es gelten die folgenden Rechenregeln: x 2 x 3 f 1 f 2 f 3 rot (α f + β g) = α rot f + β rot g rot (ϕ f) = ( ϕ) f + ϕ rot f Bemerkung: Ist ϕ : D R, D R 3, eine C 2 Funktion, so folgt rot ( ϕ) =, mit dem Vertauschbarkeitssatz von Schwarz, d.h. Gradientenfelder sind stets rotationsfrei. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 24 / 182

13 Kapitel 1. Differentialrechnung mehrerer Variablen 1.2 Das vollständige Differential Definition: Sei D R n offen, x D und f : D R m. Die Funktion f(x) heißt differenzierbar in x (oder vollständig differenzierbar bzw. total differenzierbar in x ), falls es eine lineare Abbildung l(x, x ) := A (x x ) mit einer Matrix A R m n gibt, für die die Approximationseigenschaft f(x) = f(x ) + A (x x ) + o( x x ) gilt, d.h. f(x) f(x ) A (x x ) lim x x x x =. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 25 / 182 Das vollständige Differential und die Jacobi Matrix. Bezeichnungen: Man nennt die lineare Abbildung l das vollständige Differential oder das totale Differential von f(x) im Punkt x, und man bezeichnet l mit df(x ). Die zugehörige Matrix A heißt Jacobi Matrix oder Funktionalmatrix von f(x) im Punkt x und wird mit J f(x ) (manchmal auch mit Df(x ) oder f (x )) bezeichnet. Bemerkung: Für m = n = 1 erhalten wir die bekannte Beziehung f (x) = f (x ) + f (x )(x x ) + o( x x ) für die Ableitung f (x ) im Punkt x. Bemerkung: Im Fall einer skalaren Funktion (m = 1) ist A = a ein Zeilenvektor und a(x x ) ein Skalarprodukt a T, x x. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 26 / 182

14 Vollständige und partielle Differenzierbarkeit. Satz: Sei f : D R m, x D R n, D offen. a) Ist f(x) in x differenzierbar, so ist f(x) auch stetig in x. b) Ist f(x) in x differenzierbar, so ist das (vollständige) Differential und damit auch die Jacobi Matrix eindeutig bestimmt und es gilt J f(x ) = f 1 x 1 (x ).... f m (x )... x 1 f 1 x n (x ). f m (x ) x n = Df 1 (x ). Df m (x ) c) Ist f(x) eine C 1 Funktion auf D, so ist f(x) auf D differenzierbar. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 27 / 182 Beweis von a). Ist f in x differenzierbar, so gilt nach Definition f(x) f(x ) A (x x ) lim x x x x = Daraus folgt aber lim f(x) f(x ) A (x x ) = x x und wir erhalten f(x) f(x ) f(x) f(x ) A (x x ) + A (x x ) für x x Damit ist die Funktion f stetig im Punkt x. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 28 / 182

15 Beweis von b). Sei x = x + te i, t < ε, i {1,..., n}. Da f im Punkt x differenzierbar ist, folgt f(x) f(x ) A (x x ) lim x x x x = Wir schreiben nun f(x) f(x ) A (x x ) x x = f(x + te i ) f(x ) t Daraus folgt tae i t = t ( f(x t + te i ) f(x ) t für t Ae i ) f(x + te i ) f(x ) lim t t = Ae i i = 1,..., n Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 29 / 182 Beispiele. Betrachte die skalare Funktion f (x 1, x 2 ) = x 1 e 2x 2. Dann lautet die Jacobi Matrix: Jf (x 1, x 2 ) = Df (x 1, x 2 ) = e 2x 2 (1, 2x 1 ) Betrachte die Funktion f : R 3 R 2 definiert durch ( x1 x 2 x 3 f(x 1, x 2, x 3 ) = sin(x 1 + 2x 2 + 3x 3 ) ) Die Jacobi Matrix ergibt sich in der Form f 1 f 1 f 1 ( x 1 x 2 x 3 x2 Jf(x 1, x 2, x 3 ) = f 2 f 2 f = x 3 x 1 x 3 x 1 x 2 2 cos(s) 2 cos(s) 3 cos(s) x 1 x 2 x 3 wobei s = x 1 + 2x 2 + 3x 3. ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 3 / 182

16 Weitere Beispiele. Sei f(x) = Ax, A R m n und x R n. Dann gilt Jf(x) = A für alle x R n Sei f (x) = x T Ax = x, Ax, A R n n und x R n. Dann gilt f x i = e i, Ax + x, Ae i = e T i Ax + x T Ae i = x T (A T + A)e i Daraus folgt Jf (x) = gradf (x) = x T (A T + A) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 31 / 182 Differentiationsregeln. Satz: a) Linearität: Sind f, g : D R m differenzierbar in x D, D offen, so ist auch α f(x ) + β g(x ), α, β R, differenzierbar in x und es gilt d(αf + βg)(x ) = α df(x ) + β dg(x ) J(αf + βg)(x ) = α Jf(x ) + β Jg(x ) b) Kettenregel: Ist f : D R m differenzierbar in x D, D offen, und ist g : E R k differenzierbar in y = f (x ) E R m, E offen, so ist g f ebenfalls in x differenzierbar. Für die Differentiale gilt und analog für die Jacobi Matrizen d(g f)(x ) = dg(y ) df(x ) J(g f)(x ) = Jg(y ) Jf(x ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 32 / 182

17 Beispiel zur Kettenregel. Sei h : I R n, I R Intervall, eine in t I differenzierbare Kurve mit Werten in D R n, D offen, und f : D R eine in x = h(t ) differenzierbare skalare Funktion. Dann ist auch die Hintereinanderausführung (f h)(t) = f (h 1 (t),..., h n (t)) in t differenzierbar, und für die Ableitung gilt: (f h) (t ) = Jf (h(t )) Jh(t ) = gradf (h(t )) h (t ) = n k=1 f x k (h(t )) h k (t ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 33 / 182 Richtungsableitungen. Definition: Sei f : D R, D R n offen, x D, und v R \ {} ein Vektor. Dann heißt D v f (x ) := lim t f (x + tv) f (x ) t die Richtungsableitung (Gateaux Ableitung) von f (x) in Richtung v. Beispiel: Sei f (x, y) = x 2 + y 2 und v = (1, 1) T. Dann gilt für die Richtungsableitung in Richtung v: D v f (x, y) = lim t (x + t) 2 + (y + t) 2 x 2 y 2 t = lim t 2xt + t 2 + 2yt + t 2 t = 2(x + y) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 34 / 182

18 Bemerkungen. Für v = e i ist die Richtungsableitung in Richtung v gegeben durch die partielle Ableitung nach der Koordinatenrichtung x i : D v f (x ) = f x i (x ) Ist v ein Einheitsvektor, also v = 1, so beschreibt die Richtungsableitung D v f (x ) den Anstieg (bzw. die Steigung) von f (x) in Richtung v. Ist f (x) in x differenzierbar, so existieren sämtliche Richtungsableitungen von f (x) in x und mit h(t) = x + tv gilt D v f (x ) = d dt (f h) t= = grad f (x ) v Dies folgt unmittelbar aus der Anwendung der Kettenregel. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 35 / 182 Eigenschaften des Gradienten. Satz: Sei f : D R, D R n offen, in x D differenzierbar. Dann gilt a) Der Gradientenvektor grad f (x ) R n steht senkrecht auf der Niveaumenge N x := {x D f (x) = f (x )} Im Fall n = 2 nennt man die Niveaumengen auch Höhenlinien, im Fall n = 3 heißen die Niveaumengen auch Äquipotentialflächen. 2) Der Gradient grad f (x ) gibt die Richtung des steilsten Anstiegs von f (x) in x an. Beweisidee: a) Anwendung der Kettenregel. b) Für beliebige Richtung v gilt mit der Cauchy Schwarzschen Ungleichung D v f (x ) = (grad f (x ), v) grad f (x ) 2 Gleichheit wird für v = grad f (x )/ grad f (x ) 2 angenommen. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 36 / 182

19 Krummlinige Koordinaten. Definition: Sei Φ : U V, U, V R n offen, eine C 1 Abbildung, für die die Jacobimatrix JΦ(u ) an jeder Stelle u U regulär ist. Weiterhin existiere die Umkehrabbildung Φ 1 : V U und diese sei ebenfalls eine C 1 Abbildung. Dann definiert x = Φ(u) eine Koordinatentransformation von den Koordinaten u auf x. Beispiel: Betrachte für n = 2 die Polarkoordinaten u = (r, ϕ) mit r > und π < ϕ < π und setze x = r cos ϕ y = r sin ϕ mit den kartesischen Koordinaten x = (x, y). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 37 / 182 Umrechnung der partiellen Ableitungen. Für alle u U mit x = Φ(u) gelten die Relationen Φ 1 (Φ(u)) = u J Φ 1 (x) J Φ(u) = I n (Kettenregel) J Φ 1 (x) = (J Φ(u)) 1 Sei nun f : V R eine gegebene Funktion und setze f (u) := f (Φ(u)) Dann folgt aus der Kettenregel: f n f Φ j = =: u i x j u i mit g ij := Φ j u i, j=1 n j=1 ij f g x j G(u) := (g ij ) = (J Φ(u)) T Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 38 / 182

20 Notationen. Wir verwenden die abkürzende Schreibweise u i = n j=1 Analog lassen sich die partiellen Ableitungen nach x i durch die partiellen Ableitungen nach u j ausdrücken mit wobei x i = n j=1 g ij g ij x j u j (g ij ) := (g ij ) 1 = (J Φ) T = (J Φ 1 ) T Man erhält diese Beziehungen durch Anwendung der Kettenregel auf Φ 1. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 39 / 182 Beispiel: Polarkoordinaten. Wir betrachten die Polarkoordinaten x = Φ(u) = ( r cos ϕ r sin ϕ ) Dann berechnet man J Φ(u) = ( cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ ) und damit (g ij ) = cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ (g ij ) = cos ϕ sin ϕ 1 r sin ϕ 1 r cos ϕ Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 4 / 182

21 Partielle Ableitungen für die Polarkoordinaten. Für die Umrechnung der partiellen Ableitungen bekommt man nun x y = cos ϕ r 1 r sin ϕ ϕ = sin ϕ r + 1 r cos ϕ ϕ Beispiel: Umrechnung des Laplace Operator auf Polarkoordinaten 2 x 2 = cos 2 ϕ 2 r 2 sin(2ϕ) r 2 y 2 = sin 2 ϕ 2 r 2 + sin(2ϕ) r = 2 x y 2 = 2 r r 2 2 ϕ r 2 r ϕ + sin2 ϕ 2 r 2 ϕ 2 + sin(2ϕ) r 2 2 r ϕ + cos2 ϕ 2 r 2 ϕ 2 sin(2ϕ) r 2 r ϕ + sin2 ϕ r ϕ + cos2 ϕ r r r Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 41 / 182 Beispiel: Kugelkoordinaten. Wir betrachten die Kugelkoordinaten x = Φ(u) = r cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r sin θ Die Jacobi Matrix ist dann gegeben durch: J Φ(u) = cos ϕ cos θ r sin ϕ cos θ r cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ r sin ϕ sin θ sin θ r cos θ Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 42 / 182

22 Partielle Ableitungen für die Kugelkoordinaten. Für die Umrechnung der partiellen Ableitungen bekommt man nun x y z = cos ϕ cos θ r sin ϕ r cos θ = sin ϕ cos θ r + cos ϕ r cos θ = sin θ r + 1 r cos θ θ ϕ 1 r cos ϕ sin θ θ ϕ 1 r sin ϕ sin θ θ Beispiel: Umrechnung des Laplace Operators auf Kugelkoordinaten = 2 r r 2 cos 2 θ 2 ϕ r 2 2 θ r r tan θ r 2 θ Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 43 / 182 Kapitel 1. Differentialrechnung mehrerer Variablen 1.3 Mittelwertsätze und Taylor Entwicklungen Satz (Mittelwertsatz): Sei f : D R eine auf einer offenen Menge D R n differenzierbare, skalare Funktion. Weiterhin seien a, b D Punkte in D, so dass die Verbindungsstrecke [a, b] := {a + t(b a) t [, 1]} ganz in D liegt. Dann gibt es eine Zahl θ (, 1) mit Beweis: Wir setzen f (b) f (a) = grad f (a + θ(b a)) (b a) h(t) := f (a + t(b a)) Aus dem Mittelwertsatz für eine Veränderliche folgt dann mit der Kettenregel f (b) f (a) = h(1) h() = h (θ) (1 ) = grad f (a + θ(b a)) (b a) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 44 / 182

23 Definition und Beispiel. Definition: Gilt die Bedingung [a, b] D für alle Punkte a, b D, so heißt die Menge D konvex. Beispiel zum Mittelwertsatz: Gegeben sei die skalare Funktion Offensichtlich gilt f (x, y) := cos x + sin y f (, ) = f (π/2, π/2) = 1 f (π/2, π/2) f (, ) = Nach dem Mittelwertsatz existiert ein θ (, 1) mit ( ( )) ( π/2 π/2 grad f θ π/2 π/2 ) = In der Tat gilt diese Beziehung für θ = 1 2. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 45 / 182 Mittelwertsatz gilt nur für skalare Funktionen. Beachte: Der Mittelwertsatz für mehrere Variablen gilt nur für skalare Funktionen, aber i.a. nicht für vektorwertige Funktionen! Beispiel: Betrachte die vektorwertige Funktion ( ) cos t f(t) :=, t [, π/2] sin t Nun gilt ( f(π/2) f() = 1 ) ( 1 ) ( 1 = 1 ) und ( f θ π ) ( π ) 2 2 = π 2 ( sin(θπ/2) cos(θπ/2) ) ABER: Die Vektoren auf der rechten Seite haben die Längen 2 bzw. π/2! Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 46 / 182

24 Der Mittelwert Abschätzungssatz für vektorwertige Funktionen. Satz: Die Funktion f : D R m sei differenzierbar auf der offenen Menge D R n. Weiterhin seien a, b Punkte in D mit [a, b] D. Dann gibt es ein θ (, 1) mit f(b) f(a) 2 J f(a + θ(b a)) (b a) 2 Beweisidee: Anwendung des Mittelwertsatzes auf die skalare Funktion g(x) definiert durch g(x) := (f(b) f(a)) T f(x) (Skalarprodukt!) Bemerkung: Eine andere (abgeschwächte) Form der Mittelwert Abschätzung ist f(b) f(a) sup J f(ξ)) (b a) ξ [a,b] wobei eine beliebige Vektor bzw. zugehörige Matrixnorm ist. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 47 / 182 Taylor Entwicklungen: Notationen. Zunächst definieren wir einen Multiindex α N n als Weiterhin sei α := (α 1,..., α n ) N n α := α α n α! := α 1! α n! Ist f : D R α mal stetig differenzierbar, so setzen wir D α = D α 1 1 Dα Dα n n = α f x α x α, n n wobei D α i i = D i... D i }{{} α i mal und wir schreiben x α := x α 1 1 x α x α n n für x = (x 1,..., x n ) R n. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 48 / 182

25 Der Satz von Taylor. Satz: (Satz von Taylor) Sei D R n offen und konvex, f : D R eine C m+1 Funktion und sei x D. Dann gilt für x D die Taylor Entwicklung f (x) = T m (x; x ) + R m (x; x ) T m (x; x ) = α m D α f (x ) (x x ) α α! R m (x; x ) = α =m+1 D α f (x + θ(x x )) (x x ) α α! mit einem geeigneten θ (, 1). Bezeichnung: In der obigen Taylor Entwicklung heißt T m (x; x ) Taylor Polynom m ten Grades und R m (x; x ) wird als Lagrange Restglied bezeichnet. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 49 / 182 Herleitung der Taylorschen Formel. Wir definieren eine skalare Funktion einer Variablen t [, 1] als g(t) := f (x + t(x x )) und berechnen die Taylor Entwicklung um t =. Es gilt: g(1) = g() + g () (1 ) g (ξ) (1 ) 2 für ein ξ (, 1). Die Berechnung von g () liefert mit der Kettenregel g () = d dt f (x 1 + t(x 1 x1 ), x2 + t(x 2 x2 ),..., xn + t(x n xn )) = D 1 f (x ) (x 1 x 1 ) D n f (x ) (x n x n ) t= = α =1 D α f (x ) α! (x x ) α Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 5 / 182

26 Fortsetzung der Herleitung. Berechnung von g () liefert g () = d 2 dt 2 f (x + t(x x )) = d t= dt n D k f (x + t(x x ))(x k xk ) k=1 t= = D 11 f (x )(x 1 x 1 ) 2 + D 21 f (x )(x 1 x 1 )(x 2 x 2 ) D ij f (x )(x i x i )(x j x j ) D n 1,n f (x )(x n 1 x n 1)(x n x n ) + D nn f (x )(x n x n ) 2 ) = α =2 D α f (x ) (x x ) α (Vertauschungssatz von Schwarz!) α! Nun: Beweis der Taylor Formel mittels vollständiger Induktion! Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 51 / 182 Beweis des Satzes von Taylor. Die Funktion g(t) := f (x + t(x x )) ist (m + 1) mal stetig differenzierbar, und es gilt g(1) = m k= g (k) () k! + g (m+1) (θ) (m + 1)! für ein θ [, 1]. Weiterhin gilt (per Induktion über k) g (k) () k! = α =k D α f (x ) α! (x x ) α und g (m+1) (θ) (m + 1)! = α =m+1 D α f (x + θ(x x )) α! (x x ) α Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 52 / 182

27 Beispiel zur Taylor Entwicklung. 1 Berechne das Taylor Polynom T 2 (x; x ) zweiten Grades der Funktion f (x, y, z) = x y 2 sin z zum Entwicklungspunkt (x, y, z) = (1, 2, ) T. 2 Die Berechnung von T 2 (x; x ) benötigt die partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung. 3 Diese Ableitungen müssen am Punkt (x, y, z) = (1, 2, ) T ausgewertet werden. 4 Als Ergebnis erhält man T 2 (x; x ) in der Form 5 Berechnung auf Folie. T 2 (x; x ) = 4z(x + y 2) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 53 / 182 Bemerkung zum Restglied eines Taylor Polynoms. Bemerkung: Das Restglied eine Taylor Polynoms enthält alle partiellen Ableitungen der Ordnung (m + 1): R m (x; x ) = α =m+1 D α f (x + θ(x x )) (x x ) α α! Sind all diese Ableitungen in der Nähe von x durch eine Konstante C beschränkt, so gilt die Restgliedabschätzung R m (x; x ) nm+1 (m + 1)! C x x m+1 Für die Approximationsgüte des Taylor Polynoms einer C m+1 Funktion folgt daher f (x) = T m (x; x ) + O ( x x m+1) Spezialfall m = 1: Für eine C 2 Funktion f (x) bekommt man f (x) = f (x ) + grad f (x ) (x x ) + O( x x 2 ). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 54 / 182

28 Die Hesse Matrix. Man nennt die Matrix Hf (x ) := f x1 x 1 (x )... f x1 x n (x ).. f xn x 1 (x )... f xn x n (x ) die Hesse Matrix von f (x) im Punkt x. Hesse Matrix = Jacobi Matrix des Gradienten f Die Taylor Entwicklung einer C 3 Funktion lautet daher f (x) = f (x ) + grad f (x )(x x ) (x x ) T Hf (x )(x x ) + O( x x 3 ) Die Hesse Matrix einer C 2 Funktion ist symmetrisch. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 55 / 182 Kapitel 2. Anwendungen der Differentialrechnung mehrerer Variablen 2.1 Extrema von Funktionen mehrerer Veränderlichen Definition: Sei f : D R, D R n, und x D. Dann hat f (x) in x ein globales Maximum, falls f (x) f (x ) für alle x D. ein strenges globales Maximum, falls f (x) < f (x ) für alle x D. ein lokales Maximum, falls es ein ε > gibt mit f (x) f (x ) für alle x D mit x x < ε. ein strenges lokales Maximum, falls es ein ε > gibt mit f (x) < f (x ) für alle x D mit x x < ε. Analoge Definitionen für Minima. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 56 / 182

29 Notwendige Bedingung für lokale Extrema. Satz: Besitzt eine C 1 Funktion f (x) in einem Punkt x D ein lokales Extremum (Minimum oder Maximum), so gilt grad f (x ) = R n Beweis: Für ein beliebiges v R n, v ist die Funktion ϕ(t) := f (x + tv) in einer Umgebung von t = stetig differenzierbar. Weiterhin hat ϕ(t) bei t = ein lokales Extremum. Damit folgt: ϕ () = grad f (x ) v = Da dies für alle v gilt, folgt die Bedingung: grad f (x ) = (,..., ) T Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 57 / 182 Bemerkungen zu lokalen Extremwerten. Bemerkungen: Die Bedingung grad f (x ) = liefert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x mit n Gleichungen und n Unbekannten. Die Punkte x D mit grad f (x ) = nennt man stationäre Punkte von f (x). Stationäre Punkte sind nicht notwendigerweise lokale Extremwerte. Zum Beispiel besitzt die Funktion f (x, y) := x 2 y 2 den Gradienten grad f (x, y) = 2(x, y) und hat daher nur einen stationären Punkt x = (, ) T. Der Punkt x ist jedoch ein Sattelpunkt von f, d.h. in jeder Umgebung von x gibt es zwei Punkte x 1 und x 2 mit f (x 1 ) < f (x ) < f (x 2 ). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 58 / 182

30 Klassifikation stationärer Punkte. Satz: Sei f (x) eine C 2 Funktion auf D und x D ein stationärer Punkt von f (x), d.h. grad f (x ) =. a) Notwendige Bedingung Ist x ein lokales Extremum von f (x), so gilt: x lokales Minimum H f (x ) positiv semidefinit x lokales Maximum H f (x ) negativ semidefinit b) Hinreichende Bedingung Ist H f (x ) positiv definit (bzw. negativ definit), so ist x ein strenges lokales Minimum (bzw. Maximum) von f (x). Ist H f (x ) indefinit, so ist x ein Sattelpunkt, d.h. es gibt in jeder Umgebung von x Punkte x 1 und x 2 mit f (x 1 ) < f (x ) < f (x 2 ). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 59 / 182 Beweis des Satzes, Teil a). Sei x ein lokales Minimum. Für v und ε > hinreichend klein folgt aus der Taylor Formel mit θ = θ(ε, v) (, 1). f (x + εv) f (x ) = 1 2 (εv)t H f (x + θεv)(εv) (1) Der Gradient in der Taylorentwicklung verschwindet, grad f (x ) =, denn x ist stationär. Aus (1) folgt v T H f (x + θεv)v (2) Da f (x) eine C 2 Funktion ist, ist die Hesse Matrix eine stetige Abbildung. Im Grenzwert ε folgt daher aus (2), d.h. H f (x ) ist positiv semidefinit. v T H f (x )v Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 6 / 182

31 Beweis des Satzes, Teil b). Ist H f (x ) positiv definit, so ist H f (x) ebenfalls in einer hinreichend kleinen Umgebung x K ε (x ) D um x positiv definit. Dies folgt aus der Stetigkeit der zweiten partiellen Ableitungen. Für x K ε (x ), x x gilt damit f (x) f (x ) = 1 2 (x x ) T H f (x + θ(x x ))(x x ) > mit θ (, 1), d.h. f (x) hat in x ein strenges lokales Minimum. Ist H f (x ) indefinit, so existieren zu Eigenwerten von H f (x ) mit verschiedenen Vorzeichen gewisse Eigenvektoren v, w mit und somit ist x ein Sattelpunkt. v T Hf (x )v > w T Hf (x )w < Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 61 / 182 Bemerkungen. Ein stationärer Punkt x mit det Hf (x ) = heißt ausgeartet. Die Hesse Matrix besitzt dann den Eigenwert λ =. Ist x nicht ausgeartet, so gibt es 3 Fälle für die Eigenwerte von Hf (x ): alle EW sind strikt positiv x ist strenges lokales Minimum alle EW sind strikt negativ x ist strenges lokales Maximum es gibt strikt pos. und neg. EW x Sattelpunkt Die folgenden Implikationen gelten (aber für keine die Umkehrung) x lokales Minimum x strenges lokales Minimum Hf (x ) positiv semidefinit Hf (x ) positiv definit Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 62 / 182

32 Weitere Bemerkung. Ist f (x) eine C 3 Funktion, x ein stationärer Punkt von f (x) und Hf (x ) positiv definit, so gilt die Abschätzung: (x x ) T Hf (x ) (x x ) λ min x x 2 wobei λ min den kleinsten Eigenwert der Hesse Matrix bezeichnet. Nach dem Satz von Taylor gilt dann: f (x) f (x ) 1 2 λ min x x 2 + R 3 (x; x ) ( ) x x 2 λmin 2 C x x mit einer geeigneten Konstanten C >. Um x wächst f (x) somit mindestens quadratisch mit dem Abstand von x. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 63 / 182 Beispiel. Wir betrachten die Funktion f (x, y) := y 2 (x 1) + x 2 (x + 1) und suchen die stationären Punkte: grad f (x, y) = (y 2 + x(3x + 2), 2y(x 1)) T Die Bedingung grad f (x, y) = liefert die beiden stationären Punkte x = (, ) T und x 1 = ( 2/3, ) T. Die jeweiligen Hesse Matrizen von f an den Stellen x und x 1 lauten ( ) ( Hf (x 2 ) = und Hf (x 1 2 ) = 2 1/3 ) Die Matrix Hf (x ) ist indefinit, also ist x ein Sattelpunkt, Hf (x 1 ) ist negativ definit, somit ist x 1 ein strenges lokales Maximum von f (x). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 64 / 182

33 Kapitel 2. Anwendungen der Differentialrechnung mehrerer Variablen 2.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche die Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen der Form g(x) = mit g : D R m, D R n, d.h. wir betrachten m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n. Also: Es gibt weniger Gleichungen als Unbekannte. Man nennt dann das Gleichungssystem unterbestimmt und die Lösungsmenge G R n enthält gewöhnlich unendlich viele Punkte. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 65 / 182 Auflösbarkeit von (nichtlinearen) Gleichungen. Frage: Kann man das System g(x) = nach bestimmten Unbekannten, zum Beispiel den letzten m Variablen x n m+1,..., x n auflösen? Mit anderen Worten: Existiert eine Funktion f(x 1,..., x n m ) mit g(x) = (x n m+1,..., x n ) T = f(x 1,..., x n m ) Terminologie: Auflösen bedeutet also die letzten m Variablen durch die ersten n m Variablen zu beschreiben. Weitere Frage: Nach welchen m Variablen lässt sich das Gleichungssystem auflösen? Ist die Auflösung global auf dem Definitionsbereich D möglich oder nur lokal auf einer Teilmenge D D? Geometrische Interpretation: Die Lösungsmenge G von g(x) = lässt sich (zumindest lokal) als Graph einer Funktion f : R n m R m darstellen. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 66 / 182

34 Beispiel. Die Kreisgleichung g(x, y) = x 2 + y 2 r 2 = mit r > definiert ein unterbestimmtes nichtlineares Gleichungssystem, denn wir haben zwei Unbekannte (x, y), aber nur eine Gleichung. Die Kreisgleichung lässt sich lokal auflösen und definiert dabei die folgenden vier Funktionen: y = r 2 x 2, r x r y = r 2 x 2, r x r x = r 2 y 2, r y r x = r 2 y 2, r y r Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 67 / 182 Beispiel. Sei g(x) eine affin lineare Funktion, d.h. g hat die Form g(x) = Cx + b für C R m n, b R m Wir spalten die Variablen x in zwei Vektoren auf x (1) = (x 1,..., x n m ) T R n m und x (2) = (x n m+1,..., x n ) T R n Aufspaltung der Matrix C = [B, A] ergibt die Darstellung mit B R m (n m), A R m m. g(x) = Bx (1) + Ax (2) + b Das Gleichungssystem g(x) = ist genau dann nach den Variablen x (2) (eindeutig) auflösbar, falls A regulär ist: g(x) = x (2) = A 1 (Bx (1) + b) = f(x (1) ) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 68 / 182

35 Fortsetzung des Beispiels. Frage: Wie kann man die Matrix A in Abhängigkeit von g schreiben? Aus der Darstellung erkennt man direkt, dass g(x) = Bx (1) + Ax (2) + b A = g x (2) (x(1), x (2) ) gilt, d.h. A ist die Jacobi Matrix der Abbildung für festes x (1)! x (2) g(x (1), x (2) ) Fazit: Auflösbarkeit ist somit gegeben, falls die Jacobi Matrix regulär ist. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 69 / 182 Satz über implizite Funktionen. Satz: Sei g : D R m eine C 1 Funktion, D R n offen. Die Variablen in D seien (x, y) mit x R n m und y R m. Der Punkt (x, y ) D sei eine Lösung von g(x, y ) =. Falls die Jacobi Matrix g y (x, y ) := g 1 y 1 (x, y ).... g m y 1 (x, y )... g 1 y m (x, y ). g m y m (x, y ) regulär ist, so gibt es Umgebungen U von x und V von y, U V D und eine eindeutig bestimmte stetig differenzierbare Funktion f : U V mit f(x ) = y und g(x, f(x)) = für alle x U und ( ) 1 ( ) g g J f(x) = (x, f(x)) (x, f(x)) y x Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 7 / 182

36 Beispiel. Für die Kreisgleichung g(x, y) = x 2 + y 2 r 2 =, r > findet man im Punkt (x, y ) = (, r) g g (, r) =, x (, r) = 2r y Man kann also in einer Umgebung von (, r) die Kreisgleichung nach y auflösen: f (x) = r 2 x 2 Die Ableitung f (x) kann man durch implizite Diffentiation berechnen: g(x, y(x)) = = g x (x, y(x)) + g y (x, y(x))y (x) = Also 2x + 2y(x)y (x) = y (x) = f (x) = x y(x) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 71 / 182 Ein weiteres Beispiel. Betrachte die Gleichung g(x, y) = e y x + 3y + x 2 1 =. Es gilt g y (x, y) = ey x + 3 > für alle x R. Die Gleichung ist also für jedes x R nach y =: f (x) auflösbar und f (x) ist eine stetig differenzierbare Funktion. Implizite Differentiation liefert e y x (y 1) + 3y + 2x = = y = ey x 2x e y x + 3 Erneute Differentiation liefert e y x y + e y x (y 1) 2 + 3y + 2 = = y = 2 + ey x (y 1) 2 e y x + 3 Aber: Explizites Auflösen nach y (mit Hilfe elementarer Funktionen) ist in diesem Fall nicht möglich! Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 72 / 182

37 Allgemeine Bemerkung. Implizites Differenzieren einer durch g(x, y) =, g y implizit definierten Funktion y = f (x), mit x, y R, ergibt f (x) = g x g y f (x) = g xxg 2 y 2g xy g x g y + g yy g 2 x g 3 y Daher ist der Punkt x ein stationärer Punkt von f (x), falls gilt g(x, y ) = g x (x, y ) = und g y (x, y ) Weiter ist x ein lokales Maximum (bzw. Minimum), falls g xx (x, y ( ) g y (x, y ) > bzw. g xx(x, y ) ) g y (x, y ) < Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 73 / 182 Implizite Darstellung ebener Kurven. Betrachte die Lösungsmenge einer skalaren Gleichungen g(x, y) = Falls gilt grad g = (g x, g y ) so definiert g(x, y) lokal eine Funktion y = f (x) oder x = f (y). Definition: Ein Lösungspunkt (x, y ) der Gleichung g(x, y) = mit grad g(x, y ) heißt regulärer Punkt, grad g(x, y ) = heißt singulärer Punkt. Beispiel: Betrachte wieder die Kreisgleichung g(x, y) = x 2 + y 2 r = mit r >. Auf der Kreislinie liegen keine singulären Punkte! Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 74 / 182

38 Horizontale und vertikale Tangenten. Bemerkung: a) Gilt für einen regulären Punkt (x, y ) g x (x ) = und g y (x ) so besitzt die Lösungskurve eine horizontale Tangente in x. b) Gilt für einen regulären Punkt (x, y ) g x (x ) und g y (x ) = so besitzt die Lösungskurve eine vertikale Tangente in x. c) Ist x ein singulärer Punkt, so wird die Lösungsmenge bei x in zweiter Näherung durch folgende quadratische Gleichung approximiert. g xx (x )(x x ) 2 + 2g xy (x )(x x )(y y ) + g yy (x )(y y ) 2 = Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 75 / 182 Bemerkungen. Wegen c) erhält man für g xx, g xy, g yy : det Hg(x ) > : x ist ein isolierter Punkt der Lösungsmenge det Hg(x ) < : x ist ein Doppelpunkt det Hg(x ) = : x ist ein Rückkehrpunkt bzw. eine Spitze Geometrische Interpretation: a) Gilt det Hg(x ) >, so sind beide Eigenwerte von Hg(x ) entweder strikt positiv oder strikt negativ, d.h. x ist ein strenges lokales Minimum oder Maximum von g(x). b) Gilt det Hg(x ) <, so haben die beiden Eigenwerte von Hg(x ) ein unterschiedliches Vorzeichen, d.h. x ist ein Sattelpunkt von g(x). c) Gilt det Hg(x ) =, so ist der stationäre Punkt x von g(x) ausgeartet. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 76 / 182

39 Beispiel 1. Betrachte den singulären Punkt x = der impliziten Gleichung g(x, y) = y 2 (x 1) + x 2 (x 2) = Berechnung der partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2: g x = y 2 + 3x 2 4x g y = 2y(x 1) g xx = 6x 4 g xy = 2y g yy = 2(x 1) ( 4 Hg() = 2 ) Also ist x = ein isolierter Punkt. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 77 / 182 Beispiel 2. Betrachte den singulären Punkt x = der impliziten Gleichung g(x, y) = y 2 (x 1) + x 2 (x + q 2 ) = Berechnung der partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2: g x = y 2 + 3x 2 + 2xq 2 g y = 2y(x 1) g xx = 6x + 2q 2 g xy = 2y g yy = 2(x 1) ( 2q 2 Hg() = 2 ) Also ist x = für q ein Doppelpunkt. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 78 / 182

40 Beispiel 3. Betrachte den singulären Punkt x = der impliziten Gleichung g(x, y) = y 2 (x 1) + x 3 = Berechnung der partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2: g x = y 2 + 3x 2 g y = 2y(x 1) g xx = 6x g xy = 2y g yy = 2(x 1) ( Hg() = 2 ) Also ist x = eine Spitze (bzw. ein Rückkehrpunkt). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 79 / 182 Implizite Darstellung von Flächen. Die Lösungsmenge einer skalaren Gleichung g(x, y, z) = ist für grad g lokal eine Fläche im R 3. Für die Tangentialebene in x = (x, y, z ) T mit g(x ) = und grad g(x ) T bekommen wir für x = x x mit Taylor Entwicklung grad g x = g x (x )(x x ) + g y (x )(y y ) + g z (x )(z z ) = d.h. der Gradient steht senkrecht auf der Fläche g(x, y, z) =. Ist zum Beispiel g z (x ), so gibt es lokal bei x eine Darstellung der Form z = f (x, y) und für die partielle Ableitungen von f (x, y) bekommt man grad f (x, y) = (f x, f y ) = 1 ( (g x, g y ) = g x, g ) y g z g z g z mit dem Satz über implizite Funktionen. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 8 / 182

41 Das Umkehrproblem. Frage: Lässt sich ein vorgegebenes Gleichungssystem y = f(x) mit f : D R n, D R n offen, nach x auflösen, also invertieren? Satz: (Umkehrsatz) Sei f : D R n, D R n offen, eine C 1 Funktion. Ist für ein x D die Jacobi Matrix J f(x ) regulär, so gibt es Umgebungen U und V von x und y = f(x ), so dass f den Bereich U bijektiv auf V abbildet. Die Umkehrfunktion f 1 : V U ist ebenfalls eine C 1 Funktion und es gilt für alle x U: J f 1 (y) = (J f(x)) 1, y = f(x) Bemerkung: Man nennt dann f lokal einen C 1 Diffeomorphismus. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 81 / 182 Kapitel 2. Anwendungen der Differentialrechnung mehrerer Variablen 2.3 Extremalprobleme unter Nebenbedingungen Frage: Welche Abmessungen sollte eine Metalldose haben, damit bei vorgegebenem Volumen der Materialverbrauch am geringsten ist? Lösungsansatz: Sei r > der Radius und h > die Höhe der Dose. Dann gilt V = πr 2 h O = 2πr 2 + 2πrh Setze bei vorgebenem Volumen c R +, und mit x := r, y := h, f (x, y) = 2πx 2 + 2πxy g(x, y) = πx 2 y c = Bestimme das Minimum der Funktion f (x, y) auf der Menge G := {(x, y) R 2 + g(x, y) = } Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 82 / 182

42 Lösung des restringierten Minimierungsproblems. Aus g(x, y) = πx 2 y c = folgt y = c πx 2 Einsetzen in f (x, y) ergibt h(x) := 2πx 2 + 2πx c πx 2 = 2πx 2 + 2c x Bestimme das Minimum der Funktion h(x): h (x) = 4πx 2c 2c ( c ) 1/3 = 4πx = x 2 x 2 x = 2π Hinreichende Bedingung h (x) = 4π + 4c x 3 h ( ( c ) ) 1/3 = 12π > π Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 83 / 182 Allgemeine Formulierung des Problems. Bestimme die Extremwerte der Funktion f : R n R unter den Nebenbedingungen g(x) = wobei g : R n R m. Die Nebenbedingungen lauten also g 1 (x 1,..., x n ) = g m (x 1,..., x n ) =. Alternativ: Bestimme die Extremwerte der Funktion f (x) auf der Menge G := {x R n g(x) = } Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 84 / 182

43 Die Lagrange Funktion und das Lagrange Lemma. Wir definieren die Lagrange Funktion F (x) := f (x) + m λ i g i (x) i=1 und suchen die Extremwerte von F (x) für festes λ = (λ 1,..., λ m ) T. Die Zahlen λ i, i = 1,..., m nennt man Lagrange Multiplikatoren. Satz: (Lagrange Lemma) Minimiert (bzw. maximiert) x die Lagrange Funktion F (x) (für ein festes λ) über D und gilt g(x ) =, so liefert x das Minimum (bzw. Maximum) von f (x) über G := {x D g(x) = }. Beweis: Für ein beliebiges x D gilt nach Vorausetzung f (x ) + λ T g(x ) f (x) + λ T g(x) Wählt man speziell x G, so ist g(x) = g(x ) =, also auch f (x ) f (x). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 85 / 182 Eine notwendige Bedingung für lokale Extrema. Sind f und g i, i = 1,..., m, C 1 Funktionen, so ist eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle x von F (x) gegeben durch grad F (x) = grad f (x) + m λ i grad g i (x) = i=1 Zusammen mit den Nebenbedinungen g(x) = ergibt sich ein (nichtlineares) Gleichungssystem mit (n + m) Gleichungen und (n + m) Unbekannten x und λ. Die Lösungen (x, λ ) sind die Kandidaten für die gesuchten Extremstellen, denn diese erfüllen die o.g. notwendige Bedingung. Alternativ: Definiere eine Langrange Funktion G(x, λ) := f (x) + m λ i g i (x) i=1 und suche die Extremstellen von G(x, λ) bezüglich x und λ. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 86 / 182

44 Einige Bemerkungen zu hinreichenden Bedingungen. 1 Man kann auch eine hinreichende Bedingung aufstellen: Sind die Funktionen f und g C 2 Funktionen und ist die Hesse Matrix HF (x ) der Lagrange Funktion positiv (bzw. negativ) definit, so ist x tatsächlich ein strenges lokales Minimum (bzw. Maximum) von f (x) auf G. 2 In den meisten Anwendungen ist die hinreichende Bedingung allerdings nicht erfüllt, obwohl x ein strenges lokales Extremum ist. 3 Insbesondere kann man aus der Indefinitheit der Hesse Matrix HF (x ) nicht schließen, dass x kein Extremwert ist. 4 Ähnlich problematisch ist die hinreichende Bedingung, die man aus der Hesse Matrix für die Lagrange Funktion G(x, λ) bezüglich x und λ erhält. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 87 / 182 Ein Beispiel zu restringierten Minimierungsproblems. Gesucht seien die Extrema von f (x, y) := xy auf der Kreisscheibe K := {(x, y) T x 2 + y 2 1} Da die betrachte Funktion f stetig und K R 2 kompakt ist, folgt aus der Min Max Eigenschaft die Existenz von globalen Maxima und Minima auf K. Wir betrachten zunächst das Innere K von K, also die offene Menge K := {(x, y) T x 2 + y 2 < 1} Die notwendige Bedingung für einen Extremwert lautet nun grad f = (y, x) = Somit ist der Ursprung x = Kandidat für ein (lokales) Extremum. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 88 / 182

45 Fortsetzung des Beispiels. Die Hesse Matrix im Ursprung, gegeben durch ( ) 1 Hf () = 1 und ist indefinit. Daher ist x ein Sattelpunkt. Die Extrema der Funktion müssen also auf dem Rand liegen, der eine Gleichungsnebenbedingung darstellt: g(x, y) = x 2 + y 2 1 = Wir suchen also die Extremwerte von f (x, y) = xy unter der Nebenbedingung g(x, y) =. Die Lagrange Funktion lautet F (x, y) = xy + λ(x 2 + y 2 1) Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 89 / 182 Komplettierung des Beispiels. Damit ergibt sich das (nichtlineare) Gleichungssystem mit den vier Lösungen y + 2λx = x + 2λy = x 2 + y 2 = 1 λ = 1 2 λ = 1 2 : x (1) = ( 1/2, 1/2) T x (2) = ( 1/2, 1/2) T : x (3) = ( 1/2, 1/2) T x (4) = ( 1/2, 1/2) T Minima und Maxima lassen sich nun einfach aus den Funktionswerten ablesen f (x (1) ) = f (x (2) ) = 1/2 f (x (3) ) = f (x (4) ) = 1/2 d.h. Minima sind x (1) und x (2), Maxima sind x (3) und x (4). Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 9 / 182

46 Lagrange Multiplikatoren Regel. Satz: Seien f, g 1,..., g m : D R jeweils C 1 Funktionen, und sei x D ein lokales Extremum von f (x) unter der Nebenbedingung g(x) =. Weiterhin gelte die Regularitätsbedingung ( ) rang J g(x ) = m Dann existieren Lagrange Multiplikatoren λ 1,..., λ m, so dass für die Lagrange Funktion m F (x) := f (x) + λ i g i (x) i=1 die folgende notwendige Bedingung erster Ordnung gilt: grad F (x ) = Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 91 / 182 Notwendige Bedingung zweiter Ordnung und hinreichende Bedingung. Satz: 1) Ist x D ein lokales Minimum von f (x) unter der Nebenbedingung g(x) =, ist die Regularitätsbedingung erfüllt und sind λ 1,..., λ m zugehörige Lagrange Multiplikatoren, so ist die Hesse Matrix HF (x ) der Lagrange Funktion positiv semidefinit auf dem Tangentialraum TG(x ) := {y R n grad g i (x ) y = für i = 1,..., m} d.h., es gilt y T HF (x ) y für alle y TG(x ). 2) Ist für einen Punkt x G die Regularitätsbedingung erfüllt, existieren Lagrange Multiplikatoren λ 1,..., λ m, so dass x ein stationärer Punkt der zugehörigen Lagrange Funktion ist, und ist die Hesse Matrix HF (x ) positiv definit auf dem Tangentialraum TG(x ), d.h., gilt y T HF (x ) y > y TG(x ) \ {}, so ist x ein strenges lokales Minimum von f (x) unter der Nebenbedingung g(x) =. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 92 / 182

47 Beispiel. Man bestimme das globale Maximum der Funktion f (x, y) = x 2 + 8x y unter der Nebenbedingung g(x, y) = x 2 + y 2 1 = Die Lagrange Funktion ist F (x) = x 2 + 8x y λ(x 2 + y 2 1) Aus der notwendigen Bedingung ergibt sich das nichtlineare System 2x + 8 = 2λx 2y = 2λy x 2 + y 2 = 1 Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 93 / 182 Fortsetzung des Beispiels. Aus der notwendigen Bedingung ergibt sich das nichtlineare System 2x + 8 = 2λx 2y = 2λy x 2 + y 2 = 1 Aus der ersten Gleichung folgt λ 1. Verwendet man dies in der zweiten Gleichung, so gilt y =. Aus der dritten Gleichung erkennt man sofort x = ±1. Demnach sind die beiden Punkte (x, y) = (1, ) und (x, y) = ( 1, ) Kandidaten für das globale Maximum. Wegen f (1, ) = 16 f ( 1, ) = wird das globale Maximum von f (x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = im Punkt (x, y) = (1, ) angenommen. Jens Struckmeier (Mathematik, UniHH) Analysis III für Ingenieure 94 / 182