Fundamentale Sätze. versuche folgendes: gib eine Formelmenge Φ an, so dass Mod(Φ) = {(N, +, )}

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Birgit Heidrich
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1 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 171 Fundamentale Sätze versuche folgendes: gib eine Formelmenge Φ an, so dass Mod(Φ) = {(R, +, )} gib eine Formelmenge Φ an, so dass Mod(Φ) = {(N, +, )} formalisiere in FO ohne Gleichheit: es gibt genau 3 Elemente im Universum interessante Folgerungen aus Satz von Herbrand: abzählbare Modelle (Satz von Löwenheim-Skolem) Kompaktheit Unbeschränktheit von Modellen (aufsteigender Satz von Löwenheim-Skolem)

2 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 172 Abzählbarkeit Def.: Eine Menge M ist höchstens abzählbar unendlich groß, wenn es eine injektive Abbildung κ : M N gibt. intuitiv: höchstens die Kardinalität von N Bsp.: was sind (über)abzählbare große Mengen? höchstens abzählbar groß sind: (jede Teilmenge von) N, Z, Z (N \{0}), Q, N k für jedes k N, N,... überabzählbar große Mengen sind: (jede Obermenge von) R, 2 N, Σ ω mit Σ 2,... Theorem 26 Die Menge aller Grundterme über einer Signatur mit höchstens abzählbar unendlich vielen Funktionssymbolen ist höchstens abzählbar unendlich groß.

3 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 173 Satz von Löwenheim-Skolem Theorem 27 Jeder erfüllbare FO[=,τ]-Formel hat ein höchstens abzählbar unendlich großes Modell. Beweis: Sei ϕ erfüllbar. Nach Thm. 20 gibt es erfüllbares ψ in Skolem-NF. Sei A = ψ. Nach Beweis von Thm. 25 gibt es erfüllbaren Herbrand-Abschluss Ψ von ψ. SeiI A =Ψ.NachdemanderenTeildiesesBeweiseshat ψ dann auch ein Modell der Form H IA /. Nach Thm. 20 gilt auch H IA / = ϕ. Nach Thm. 26 ist H IA höchstens abzählbar unendlich groß, also insbesondere auch H IA /. Kor.: Es gibt keine endliche Menge Φ von FO[=,τ]-Formeln (für beliebiges τ), so dass Mod(Φ) = {R}

4 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 174 Kompaktheit der Prädikatenlogik Theorem 28 Menge Φ von FO [=,τ]-formeln ist erfüllbar gdw. jede endliche Teilmenge von Φ erfüllbar ist. Beweis: Trivial. Sei Φ unerfüllbare Menge von FO [=,τ]-sätzen. Nach Thm. 25 ist jeder Herbrand-Abschluss davon unerfüllbar. Sei ein solcher. (Beachte: Es gibt mind. einen!) Nach Kompaktheit der Aussagenlogik gibt es unerfüllbares Γ fin.betrachte Ψ := { x ψ Φ es gibt Grundterme t mit ψ[ t/ x] Γ} Offensichtlich ist Ψ fin Φ.Sei Γ := {ϕ[ t / x] es gibt ϕ[ t/ x] Γ, t beliebig } Da Γ Γ, istγ auch unerfüllbar. Nach Thm. 25 ist Ψ unerfüllbar.

5 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 175 Anwendung: Nicht-Standardmodelle der Arithmetik unter Arithmetik versteht man die Theorie der natürlichen Zahlen mit Addition und Multiplikation Standardmodell der Arithmetik ist (N, +, ) ebenso ein Standardmodell ist ({c, f (c), f (f (c)), f (f (f (c))),...}, +, ), wobei für alle x, y: c + y := y und f (x)+y := f (x + y) c y := c und f (x) y := y +(x y) Nicht-Standardmodell ist Struktur, die nicht isomorph zu (N, +, ) ist

6 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 176 Existenz von Nicht-Standardmodellen Theorem 29 Sei Φ Menge von FO[=, +, ]-Formeln, so dass (N, +, ) Mod(Φ). Dannenthält Mod(Φ) Strukturen, die nicht isomorph zu (N, +, ) sind. Vorbereitung: 0 ist definierbar: schreibe ϕ(0) für x.x + x. = x ϕ(x) jedes weitere k ist definierbar: schreibe ϕ(k + 1) für x y.(y < x z(y < z z < x) x. =k) ϕ(x)

7 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 177 Existenz von Nicht-Standardmodellen Beweis von Thm. 29: Sei solch ein Φ gegeben. Sei c neues Konstantensymbol. Betrachte Ψ := Φ {0 < c, 1 < c, 2 < c,...} klar: jede endliche Teilmenge von Ψ ist erfüllbar (in welchem Modell z.b.?) nach Thm. 28 hat auch Ψ ein Modell A. OffensichtlichistA nicht isomorph zu (N, +, ) sein, denn in A ist c echt größer als 0, 1, 2,...

8 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 178 Aufsteigender Satz von Löwenheim-Skolem Theorem 30 Sei ϕ FO[τ]-Satz, A =(U,τ A ) = ϕ und V so, dass es surjektives ι : V U gibt. Dann gibt es B =(V,τ B ),sodassb = ϕ. Beweisidee: Sei ι 1 : U V,sodassι(ι 1 (u)) = u für alle u U. Konstruiere B durch (b 1,...,b n ) R B gdw. (ι(b 1 ),...,ι(b n )) R A f B (b 1,...,b n )=ι 1 (f A (ι(b 1 ),...,ι(b n ))) Per Induktion über ψ zeigt man, dass für alle ψ und alle ϑ gilt: B,ϑ = ψ gdw. A,ι ϑ = ψ. Daraus folgt die Behauptung.

9 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 179 Keine Einschränkung der Modellgrößen beachte: obiger Satz gilt nur für FO ohne Gleichheit Übung: wo scheitert der Beweis, wenn Gleichheit vorhanden ist? Kor.: Es gibt kein endliches Φ über beliebigem τ, sodass Mod(Φ) = {(A,τ) A =3}.

10 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 180 Aufsteigender Löwenheim-Skolem-Satz mit Gleichh Theorem 31 Sei ϕ FO[=,τ]-Satz, der in einem unendlichen Modell erfüllt ist. Dann gibt es zu jeder Menge M eine Struktur A M mit einem Universum M,sodassA M = ϕ und M M. Beweis: Sei M gegeben und sei {c m m M} Menge von paarweise verschiedenen Konstantensymblen, die nicht in ϕ auftreten. Betrachte die Formelmenge Φ := {ϕ} { (c n. = cm ) n, m M, m = n} Beachte: Thm. 31 ist bewiesen, wenn gezeigt werden kann, dass Φ erfüllbar ist. Wegen Kompaktheit reicht es aus zu zeigen, dass jede endliche Teilmenge erfüllbar ist. Jede Teilmenge, die ϕ nicht enthält, ist offensichtlich erfüllbar.

11 Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.7 Prädikatenlogik Fundamentale Sätze 181 Beweis des aufst. Löwenheim-Skolem-Satzes Es reicht aus, sich auf solche Teilmengen Φ N zu beschränken, die ϕ enthalten und für die es ein N fin M gibt, so dass Φ N := {ϕ} { (c n. = cm ) n, m N, m = n} Nach Voraussetzung hat ϕ ein unendliches Modell A. Wähle nun in diesem N paarweise verschiedene Elemente b m für jedes m N. Da N < ist dies möglich. Sei A N nun definiert wie A, wobei zusätzlich die Konstante c m durch das Element b m interpretiert wird. Offensichtlich ist A N Modell von Φ N. Also ist jedes solche Φ N erfüllbar und mit der Kompaktheit dann auch Φ. SeinunB ein Modell von Φ. Beachte: B muss alle c m, m M verschieden interpretieren. Also hat das Universum mindestens die Kardinalität von M.

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