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1 FEM - Zusammenfassung home/lehre/vl-mhs-1-e/deckblatt.tex. p.1/12

2 Inhaltsverzeichnis 1. Bedingungen an die Ansatzfunktion 2. Randbedingungen (Allgemeines) 3. FEM - Randbedingungen home/lehre/vl-mhs-1-e/deckblatt.tex. p.2/12

3 Bedingungen an die Ansatzfunktion 1. Linear unabhängig (Mathe) Der gewählte Ansatz muss den geometrischen Randbedingungen entsprechen, sonst ist keine Reduktion von singulär auf regulär möglich. 2. Relativ vollständig (Mathe) Die Ordnung des Ansatzes muss so hoch gewählt werden, dass für die höchsten im Energie-Funktional erscheinenden Ableitungen (z.b. Verschiebungsmethode Verzerrungen; Standrohrspiegelhöhe Geschwindigkeit) zumindest konstante Terme im Elementbereich vorhanden sind (nach Weierstraß). Als relativ vollständig bezeichnet man eine Funktion, wenn alle darunter vorhandenen Ableitungen auch vorhanden sind. 3. Invariant gegenüber Koordinatendrehungen (gilt nur für Dreiecks- und Tetraederelemente) Die Ansatzfunktion muss dem PASCAL schen Dreieck/Tetraeder entsprechen. Z.B. Transformation: y = k x x = k 1 y Drehinvarianz: k T = k 1 Symmetrie und Eigenwerte bleiben erhalten! home/lehre/vl-mhs-1-e/ansatzfunktion.tex. p.3/12

4 Bedingungen an die Ansatzfunktion 4. Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Elementraum entsprechend der geometrischen Feldgleichung (Wesentliche Randbedingungen erfüllt) Z.B.: Standrohrspiegelhöhe muss darstellbar sein Freiheitsgrad ĥ ĥ = c 0 + c 1 x Darstellung von zumindest konstanten Geschwindigkeiten (ˆv) (ˆv = k gradĥ) Starrkörperverschiebungen müssen darstellbar sein Freiheitsgrad ŵ, ˆϕ ŵ = c 0 + c 1 x Darstellung von zumindest konstanten Schnittgrößen (Ŝ) home/lehre/vl-mhs-1-e/ansatzfunktion2.tex. p.4/12

5 Bedingungen an die Ansatzfunktion 5. Beschreibung von Symmetrieeigenschaften Es müssen mindestens so viele Ansatzkonstanten vorhanden sein, wie zugelassene Freiheitsgrade pro Knoten mal Anzahl der Knoten pro Element vorhanden sind. Z.B.: Grundwasserströmung 2-D 4-Knoten Element ĥ 4 Variablen Statik 1-D (Balken) ŵ, ˆϕ 4 Variablen 6. Speziell für FEM mit Variationsmethode (RITZ) Erfüllung der wesentlichen (geometrischen) Übergangsbedingungen zwischen den Elementen m ˆ= Ordnung der DGL und n ˆ= Ordnung des Variations Funktionals. home/lehre/vl-mhs-1-e/ansatzfunktion3.tex. p.5/12

6 Bedingungen an die Ansatzfunktion Wesentliche Randbedingungen ˆ= (n 1) Ordnung mit m = 2n Im Sinne der Variationsrechnung sind Ansätze mit nicht kontinuierlicher Querneigung an den Rändern nicht zulässig, weil eine Minimalfolge des Variationsfunktionals nicht mehr vorhanden und damit die energetische Konvergenz nicht gegeben ist. Trotzdem können numerische Berechnungen brauchbare Ergebnisse liefern. Z.B. Platten: Es müssen konstante Verzerrungen dargestellt werden können. Die Lösung muss konvergieren. home/lehre/vl-mhs-1-e/ansatzfunktion4.tex. p.6/12

7 Randbedingungen (Allgemeines) DIRICHLET sche (wesentliche oder geometrische Randbedingungen) NEUMANN sche (natürliche, restliche oder Kraft-Randbedingungen) Gesamtpotential Π ˆ= Funktional des Problems RITZ (Verschiebungsansatz) Gewichtetes Residuum Definition: Wenn in einem Funktional die höchste Ableitung einer Zustandsgröße nach einer Raumordnung von m-ter Ordnung ist, d.h. wenn der Operator höchstens Ableitungen m-ter Ordnung enthält, spricht man von einem C m 1 Variationsproblem. Die Ordnung der Ableitungen in den wesentlichen Randbedingungen beträgt bei einem C m 1 Problem höchstens (m 1) Ordnung und nur diese Randbedingungen müssen befriedigt werden. (Wenn die Stationarität von Π gefordert wird (Mathe).) home/lehre/vl-mhs-1-e/randbedingungen.tex. p.7/12

8 Randbedingungen (Allgemeines) Die natürlichen Randbedingungen entsprechen den - in der Strömungsmechanik vorgeschriebenen Durchflüssen: zum Beispiel Zuund Abflüssen (Q), - in der Strukturmechanik den vorgeschrieben Randkräften: zum Beispiel den Querkräften (Q) und Momenten (M). Die höchsten Ableitungen in diesen Randbedingungen sind m-ter bis (2m 1)-ter Ordnung. Beispiele: 1. f 1 û + f 2 û + f 3 û = 0 Selbst adjungiertes Problem (LAGRANGE): g 1 (û ) + g 2 (û ) + g 3 û = 0 m = 2 C m 1 = C 1 Kontinuität home/lehre/vl-mhs-1-e/.texrandbedingungen2. p.8/12

9 Randbedingungen (Allgemeines) 2. Grundwassergleichung div(k grad h) = 0 Selbst adjungierte Form: K h = 0 K (h ) = 0 m = 1 C m 1 = C 0 Kontinuität Die Standrohrspiegelhöhe h ist eine DIRICHLET sche Randbedingung (wesentliche Randbedingung). Die Geschwindigkeit v = K grad h ist eine NEUMANN sche Randbedingung (natürliche Randbedingung), da (2m 1) = 1 erste Ableitung von h. home/lehre/vl-mhs-1-e/randbedingungen3.tex. p.9/12

10 Randbedingungen (Allgemeines) 3. Balken w IV = p(x) EI Selbst adjungierte Form: (w ) = p(x) EI m = 2 C m 1 = C 1 Kontinuität Die Verschiebung w und w = ϕ (Verdrehung) sind die wesentlichen Randbedingungen (geometrische Randbedingungen). Das Moment M = EIw, die Querkraft Q = EIw und die Streckenlast p(x) = EIw IV sind natürliche Randbedingungen (2m 1) = 3. home/lehre/vl-mhs-1-e/randbedingungen4.tex. p.10/12

11 FEM Randbedingungen 1. Die wesentlichen Randbedingungen müssen vorgegeben werden! Z.B.: Grundwasser z h 1 h 2 x (h i ˆ= DIRICHLETsche Randbedingung mit i = 1, 2,..., n) home/lehre/vl-mhs-1-e/fem randbe.tex. p.11/12

12 FEM Randbedingungen Z.B.: Balken (Normalkraft wird nicht berücksichtigt) ω 1 = 0 ω 2 = 0 φ 1 = 0 (w i, ϕ i ˆ= geometrische Randbedingung mit i = 1, 2,..., n) 2. Die natürlichen Randbedingungen gehen in den Lastvektor ein oder können im Anschluß berechnet werden. Z.B.: Grundwasser q in den Lastvektor v aus DARCY Gesetz Wichtig: C m 1 gibt Auskunft über die Höhe der Ansatzfunktion. Z.B.: Grundwasser C 0 DerAnsatz muß mindestens linear sein. home/lehre/vl-mhs-1-e/fem randbe2.tex. p.12/12

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