Matrixalgebra. Kapitel 2. Ein sehr einfaches Leontief-Modell. Matrix. Ein sehr einfaches Leontief-Modell. Vektor. Spezielle Matrizen I

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1 Ein sehr einfaches Leontief-Modell Eine Stadt betreibt die Unternehmen ÖFFENTLICHER VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS Kapitel 2 Matrixalgebra Technologiematrix und wöchentliche Nachfrage (in Werteinheiten): für Verbrauch an Verkehr Elektrizität Gas Konsum Verkehr,,2,2 7, Elektrizität,4,2, 2,5 Gas,,5, 6,5 Wie groß muss die wöchentliche Produktion sein, damit die Nachfrage befriedigt werden kann? Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra / 49 Ein sehr einfaches Leontief-Modell Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 2 / 49 Matrix Wir bezeichnen die unbekannte Produktion von VERKEHR, ELEKTRIZITÄT und GAS mit x, bzw x Für die Produktion muss dann gelten: Nachfrage = Produktion interner Verbrauch 7, = x (, x +,2 +,2 x ) 2,5 = (,4 x +,2 +, x ) 6,5 = x (, x +,5 +, x ) Durch Umformen erhalten wir das lineare Gleichungssystem:, x,2,2 x = 7,,4 x +,8, x = 2,5, x,5 +,9 x = 6,5 Wie müssen wir x, und x wählen? Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra / 49 Vektor Eine m n-matrix ist ein rechteckiges Schema bestehend aus m Zeilen und n Spalten a a 2 a n a A = 2 a 22 a 2n = (a ij) a m a m2 a mn Die Zahlen a ij heißen Elemente oder Koeffizienten der Matrix A, die Zahl i der Zeilenindex, die Zahl j der Spaltenindex Matrizen werden mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, deren Koeffizienten mit den entsprechenden Kleinbuchstaben In der Literatur werden auch eckige Klammern [a ij ] verwendet Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 4 / 49 Spezielle Matrizen I Ein (Spalten-) Vektor ist eine n -Matrix: x = Ein Zeilenvektor ist eine n-matrix: x t = (x,, x n ) Der i-te Einheitsvektor e i ist der Vektor, in dem die i-te Komponente gleich und alle anderen gleich sind Vektoren werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet Wir schreiben A = (a,, a n ) für eine Matrix mit den Spalten(vektoren) a,, a n x x n Eine n n-matrix heißt quadratische Matrix Eine obere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Elemente unterhalb der Hauptdiagonale alle Null sind U = 2 2 Eine untere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Elemente oberhalb der Hauptdiagonale alle Null sind Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 5 / 49 Spezielle Matrizen II Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 6 / 49 Transponierte Matrix Eine Matrix, in der alle Koeffizienten gleich Null sind, heißt Nullmatrix und wird mit O n,m oder kurz bezeichnet Die Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, bei der die Hauptdiagonalelemente gleich sind Sie wird mit I n oder kurz I bezeichnet (In der deutschsprachigen Literatur auch mit E) I = Die Transponierte A t (oder A ) einer Matrix A erhalten wir, wenn wir aus Zeilen Spalten machen und umgekehrt: ( ) aij t = ( ) a ji ( ) t 4 2 = Hinweis: Sowohl die Einheitsmatrix I n als auch die symmetrische Nullmatrix O n,n sind ebenfalls Beispiele für Diagonalmatrizen, obere und untere Dreiecksmatrizen Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 7 / 49 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 8 / 49

2 Multiplikation mit einer Konstanten Zwei Matrizen heißen gleich, A = B, wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten übereinstimmen und die Matrizen koeffizientenweise gleich sind, dh a ij = b ij Eine Matrix A wird mit einer Konstanten α R komponentenweise multipliziert: α A = ( α a ij ) ( ) ( ) 2 6 = Addition zweier Matrizen Zwei m n-matrizen A und B werden komponentenweise addiert: A + B = ( a ij ) + ( bij ) = ( aij + b ij ) Die Addition zweier Matrizen ist nur möglich, wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten der beiden Matrizen übereinstimmen! ( ) ( ) ( ) ( ) = = Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 9 / 49 Multiplikation zweier Matrizen Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra / 49 Falksches Schema Das Produkt zweier Matrizen A und B ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist Dh, wenn A eine m n-matrix ist, so muss B eine n k-matrix sein Die Produktmatrix C = A B ist dann eine m k-matrix Zur Berechnung des Elements c ij der Produktmatrix wird die i-te Zeile der ersten Matrix mit der j-ten Spalte der zweiten Matrix multipliziert (im Sinne eines Skalarprodukts): c ij = n s= a is b sj Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ! A B c c 2 c 2 c 22 c c 2 c 2 = = A B = = Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra / 49 Nicht-Kommutativität Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 2 / 49 Potenz einer Matrix Achtung! Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ! Im Allgemeinen gilt: A 2 = A A A = A A A A n = A } {{ A} n mal A B = B A Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra / 49 Inverse Matrix Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 4 / 49 Rechengesetze für Matrizen Falls für eine quadratische Matrix A eine Matrix A mit der Eigenschaft A A = A A = I existiert, dann heißt A die inverse Matrix von A Die Matrix A heißt invertierbar falls sie eine Inverse besitzt, andernfalls heißt sie singulär Achtung! Die inverse Matrix ist nur für quadratische Matrizen definiert A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + = A (A B) C = A (B C) I A = A I = A (α A) B = α(a B) A (α B) = α(a B) C (A + B) = C A + C B (A + B) D = A D + B D A und B invertierbar A B invertierbar (A B) = B A (A ) = A (A B) t = B t A t (A t ) t = A (A t ) = (A ) t Achtung! Im Allgemeinen gilt A B = B A Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 5 / 49 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 6 / 49

3 Rechnen mit Matrizen Für geeignet dimensionierte Matrizen gelten ähnliche Rechengesetze wie für reelle Zahlen Wir müssen dabei aber beachten: Die Nullmatrix spielt dabei die Rolle der Zahl Die Einheitsmatrix I entspricht dabei der Zahl Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ! Im Allgemeinen gilt A B = B A (A + B) 2 = A 2 + A B + B A + B 2 A (A + B) B x = (A A + A B) B x = (I + A B) B x = = (B + A B B )x = (B + A )x = B x + A x Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 7 / 49 Geometrische Interpretation I Matrixgleichungen Wird eine Matrixgleichung mit einer Matrix multipliziert, so muss dies auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens von derselben Seite (entweder von links oder von rechts ) erfolgen! Sei B + A X = 2A, wobei A und B bekannte Matrizen sind Wie lautet X? B + A X = 2 A A A B + A A X = 2 A A A B + I X = 2 I A B X = 2 I A B In dieser Gleichung ist natürlich darauf zu achten, dass die Matrizenoperationen tatsächlich definiert sind Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 8 / 49 Geometrische Interpretation II Wir haben Vektoren als Spezialfälle von Matrizen kennen gelernt Wir können aber Vektoren auch geometrisch interpretieren Wir können uns den Vektor ( x ) denken als Punkt (x, ) in der xy-ebene Pfeil vom Ursprung zum Punkt (x, ) (Ortsvektor) Pfeil mit gleicher Länge, Richtung und Orientierung wie dieser Ortsvektor ( Klasse von Pfeilen ) (2,) Wir wählen uns immer die Interpretation aus, die uns am besten passt x Vektoraddition x x + y y x x Multiplikation mit Skalar 2y y 2 y x Mit diesen Bildern können wir denken ( Denkkrücke ) Rechnen müssen wir aber mit den Formeln! Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 9 / 49 Skalarprodukt Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 2 / 49 Norm Das innere Produkt (oder Skalarprodukt) zweier Vektoren x und y ist x t y = n i= x i y i Die Norm x eines Vektors x ist x = x t x = n xi 2 i= Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn x t y = Sie stehen dann normal (senkrecht, im rechten Winkel) aufeinander 4 Das innere Produkt von x = 2 und y = 5 lautet 6 x t y = = 2 Ein Vektor x heißt normiert, falls x = Die Norm von x = 2 lautet x = = 4 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 2 / 49 Geometrische Interpretation Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 22 / 49 Eigenschaften der Norm Die Norm eines Vektors kann als Länge interpretiert werden: (i) x (ii) x = x = x 2 2 Pythagoräischer Lehrsatz: x 2 = + x2 2 (iii) αx = α x für alle α R (iv) x + y x + y (Dreiecksungleichung) Das innere Produkt misst den Winkel zwischen zwei Vektoren cos (x, y) = xt y x y Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 2 / 49 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 24 / 49

4 Un/gleichungen Cauchy-Schwarzsche Ungleichung x t y x y Minkowski Ungleichung (Dreiecksungleichung) x + y x + y Satz von Pythagoras Für orthogonale Vektoren x und y gilt x + y 2 = x 2 + y 2 Lineares Gleichungssystem Lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen und n Unbekannten a x + a a n x n = b a 2 x + a a 2n x n = b 2 a m x + a m2 + + a mn x n = b m a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n b 2 = a m a m2 a mn x n b m }{{}}{{}}{{} Koeffizientenmatrix Variablen Konstantenvektor A x = b Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 25 / 49 Matrixdarstellung Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 26 / 49 Leontief Modell Vorteile der Matrixdarstellung: Abgekürzte, kompakte Schreibweise Die Anzahl der Variablen geht in dieser Darstellung nicht mehr ein Die Lösungen können mit Hilfe der Matrizenrechnung berechnet und interpretiert werden Wir können die einzelnen Bestandteile mit Namen versehen, etwa PRODUKTIONSVEKTOR, NACHFRAGEVEKTOR, TECHNOLOGIEMATRIX, etc im Falle des Leontief-Modells Input-Output Modell mit A Technologiematrix x Produktionsvektor b Nachfragevektor Dann gilt: x = Ax + b Für eine vorgegebene Nachfrage b erhalten wir die notwendige Produktion durch x Ax = b x = Ax + b Ax (I A)x = b (I A) x = (I A) b Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 27 / 49 Lösung eines linearen Gleichungssystem Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 28 / 49 Gaußsches Eliminationsverfahren Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten: Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung Das Gleichungssystem ist inkonsistent (nicht lösbar) Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen Aus der Anzahl der Gleichungen und Unbekannten kann noch nicht geschlossen werden, wie viele Lösungen ein Gleichungssystem besitzt Beim Gaußschen Eliminationsverfahren wird die erweiterte Koeffizientenmatrix (A, b) in die Stufenform umgeformt In der Stufenform nimmt die Anzahl der Elemente gleich auf der linken Seite von Zeile zu Zeile um mindestens eins zu Durch Rücksubstitution lässt sich die Lösung bestimmen Es sind (nur) die folgenden Operationen erlaubt: Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten ( = ) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile Vertauschen zweier Zeilen Diese Operationen lassen die Lösung des Gleichungssystems unverändert (Äquivalenzumformungen) Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 29 / 49 Gaußsches Eliminationsverfahren Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra / 49 Gaußsches Eliminationsverfahren,,2,2 7,,4,8, 2,5,,5,9 6,5 Wir addieren zunächst das,4-fache der ersten Zeile zur zweiten Zeile Wir schreiben dafür kurz: Z Z +,5,72 Z2,2,2 7,,72,8 5,,775 27,25 Z2 Z2 +,4 Z,2,2 7,,72,8 5,,5,9 6,5 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra / 49 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 2 / 49

5 Rücksubstitution,2,2 7,,72,8 5,,775 27,25 Aus der dritten Zeile erhalten wir direkt:,775 x = 27,25 x = 5 Restlichen Variablen und x durch Rücksubstitution:,72,8 5 = 5, = x,2,2 5 = 7 x = 2 Lösung ist eindeutig: x = (2,,5) t Suche die Lösung des Gleichungssystems: x x = x + x = 2 5 x x = Z2 Z2 Z, Z Z 5 Z Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra / 49 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 4 / 49 Beispiel Z Z 2 Z Aus der dritten Zeile erhalten wir =, ein Widerspruch Das Gleichungssystem ist inkonsistent Suche die Lösung des Gleichungssystems: 2 x x + x 4 = x x + 9 x 4 = x 2 x 6 x 4 = Z2 2 Z2 Z, Z 2 Z + Z Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 5 / 49 Beispiel Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 6 / 49 Beispiel Z Z 2 Z Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen Das können wir daran erkennen, dass nach Erreichen der Stufenform mehr Variablen als Gleichungen übrig bleiben Aus der dritten Zeile erhalten wir direkt: 2 x 4 = 2 x 4 = 6 Durch Rücksubstitution erhalten wir 2 6 x + 8 ( 6) = 2 Wir setzen x gleich einer Pseudolösung α R, x = α, und erhalten α + 4 ( 6) = = 25 + α 2 x + 8 (25 + α) + α + ( 6) = x = 7 7 α Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 7 / 49 Beispiel Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 8 / 49 Äquivalente Lösungen Jede Belegung der Pseudolösung α liefert eine gültige Lösung: x = x x x α 7 7 = 25 + α α = 25 + α, α R 6 6 Wir hätten in Beispiel genauso = α setzen können, und daraus das x ausgerechnet: x = x x x 4 = α 7, α R Die beiden Lösungsmengen sind aber gleich! Es handelt sich dabei nur zwei verschiedene aber äquivalente Parameterdarstellungen derselben Gerade Die Lösungsmenge ist immer eindeutig bestimmt, die Darstellung der Lösung hingegen nicht Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 9 / 49 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 4 / 49

6 Das Gauß-Jordansche Verfahren Berechnung der inversen Matrix: () Stelle die erweiterte Matrix auf, die links die zu invertierende Matrix und rechts die (entsprechend dimensionierte) Einheitsmatrix enthält (2) Formen die erweiterte Matrix mit den Umformungsschritten des Gaußschen Eliminationsverfahrens so um, dass die linke Seite zur Einheitsmatrix wird () Entweder ist das Verfahren erfolgreich, dann erhalten wir auf der rechten Seite die inverse Matrix (4) Oder das Verfahren bricht ab (wir erhalten auf der linken Seite eine Zeile aus Nullen) Dann ist die Matrix singulär Beispiel Wir suchen die inverse Matrix zu 2 6 A = 2 5 () Stelle die erweitere Matrix auf: Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 4 / 49 Beispiel Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 42 / 49 Beispiel (2) Umformen: Z Z, Z2 Z2 Z, Z Z + Z 2 2 Z Z 2 Z2 2 Z2 Z2 Z 2 4 () Die Matrix ist daher invertierbar und ihre Inverse lautet 2 A = 4 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 4 / 49 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 44 / 49 Wir suchen die inverse Matrix zu A = () Stelle die erweitere Matrix auf: (2) Umformen: Z Z, Z2 Z2 2 Z, Z Z 5 Z Z Z Z2, Z2 Z2, Z Z Z (4) Die Matrix A ist nicht invertierbar Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 45 / 49 Leontief Modell Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 46 / 49 Leontief Modell A Technologiematrix x Produktionsvektor b Nachfragevektor p Güterpreise w Arbeitslöhne Kosten der Produktion müssen durch Preise gedeckt sein: p j = n i= a ijp i + w j = a j p + a 2j p a nj p n + w j p = A t p + w Bei fixen Löhnen muss daher gelten: p = (I A t ) w Für das Input-Output Modell gilt weiters: x = Ax + b Nachfrage gegeben durch Löhne für die produzierten Gütermengen: Nachfrage = w x + w w n x n = w t x Angebot gegeben durch Preise der nachgefragten Gütermenge: Angebot = p b + p 2 b p n b n = p t b Falls in einem Input-Output Modell die Gleichungen x = Ax + b und p = A t p + w gelten, dann herrscht Markgleichgewicht, dh w t x = p t b Beweis: w t x = (p t p t A)x = p t (I A)x = p t (x Ax) = p t b Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 47 / 49 Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 48 / 49

7 Zusammenfassung Matrix und Vektor Dreiecks- und Diagonalmatrizen Nullmatrix und Einheitsmatrix Transponierte Matrix Inverse Matrix Matrizenrechnung (Matrixalgebra) Matrixgleichung Norm und inneres Produkt von Vektoren Lineare Gleichungssysteme Gaußsches Eliminationsverfahren Gauß-Jordansches Verfahren Josef Leydold Mathematik für VW WS 27/8 2 Matrixalgebra 49 / 49