Lernunterlagen Vektoren in R 2

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1 Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet man auch als Vektor mit den Koordinaten a 1, a 2 oder als Vektor aus R 2. Definition: Gleichheit von Vektoren aus R 2 Sind a 1, a 2 und b 1,b 2 reelle Zahlen, dann gilt: a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 Zwei Vektoren sind also nur dann gleich, wenn die Zahlenpaare die selben Werte enthalten und diese Werte auch in der gleichen Reihenfolge vorkommen. Definition: Summe, Differenz und Vielfache von Vektoren aus R 2 Es seien a a 1 a 2, b b 1 b 2 Vektoren aus R2 und r R. Man setzt: a b a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a b a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 r a r a 1 r a 2 Definition: Nullvektor und Gegenvektor 1. Der Vektor o 0 heißt der Nullvektor in R Ist a a 1 a 2, dann heißt der Vektor a a 1 der inverse Vektor zu a. a 2 der Gegenvektor von a oder

2 Darstellung von Vektoren aus R 2 als Punkte oder Pfeile Man kann Zahlenpaare a 1 a 2 als Punkt in einer Ebene darstellen. Man kann dieses Zahlenpaar aber auch als Pfeil darstellen. Dazu wählt man einen beliebigen Anfangspunkt, bewegt sich dann um a 1 Einheiten in Richtung der x-achse (Vorzeichen beachten) und anschließend um a 2 Einheiten in Richtung der y- Achse (wieder in Abhängigkeit vom Vorzeichen) Da der Anfangspunkt eines Pfeils beliebig gewählt werden kann, gibt es unendlich viele Möglichkeiten, das Zahlenpaar a 1 a 2 durch entsprechende Pfeile darzustellen. Alle diese Pfeile sind gleich lang, zueinander parallel und haben die selbe Richtung. Jedem Vektor (Zahlenpaar) aus R 2 entspricht genau ein Punkt der Ebene. Umgekehrt entspricht jedem Punkt der Ebene genau ein Vektor (Zahlenpaar) aus R 2. Jedem Vektor (Zahlenpaar) aus R 2 entsprechen unendlich viele Pfeile der Ebene, die alle gleich lang, zueinander parallel und gleich gerichtet sind. Umgekehrt entspricht jedem Pfeil der Ebene genau ein Vektor (Zahlenpaar) aus

3 R 2. Berechnung eines Vektors aus Anfangs- und Endpunkt Gegeben seien die Punkte A a 1 a 2 und B b 1 b 2. Aus der nebenstehenden Abbildung ist zu erkennen, dass der Vektor AB dem Zahlenpaar b 1 a 1 b 2 a 2 entspricht. Der Vektor AB ergibt sich also aus der Differenz von Endpunkt B und Anfangspunkt A. Für all A, B R 2 gilt: AB B A Die Operation AB B A ist so zu verstehen, dass sowohl AB, als auch die Punkte A und B als Zahlenpaare zu betrachten sind. Die Differenz von Zahlenpaaren ergibt wieder ein Zahlenpaar. Aus der Beziehung AB B A ergibt sich der folgende Für all A, B R 2 gilt: 1. AB BA 2. A AB B 3. AB BC AC Beweis: ad 1) ad 2) AB B A A B BA

4 ad 3) AB B A A A AB B AB BC B A C B B A C B A C AC Die Addition zweier Vektoren AB und BC kann so interpretiert werden, dass der Vektor BC an den Vektor AB angehängt wird. Der Ergebnisvektor entspricht dem Pfeil vom Anfangspunkt des Vektors AB zum Endpunkt des Vektors BC. Parallelogramm- und Differenzregel Seien a und b Vektoren, die als Pfeile mit gleichem Anfangspunkt dargestellt seien. Parallelogrammregel: die Summe a b entspricht dem vom gemeinsamen Ausgangspunkt ausgehenden Pfeil entlang der Diagonale des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Differenzregel: die Differenz b a entspricht dem Pfeil vom Endpunkt des Vektors zum Endpunkt des Vektors b a

5 Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Der Multiplikation einer Vektors o mit einer reellen Zahl r entspricht eine Streckung (Stauchung) jedes zugehörigen Pfeils mit dem Faktor r. Bei einer Multiplikation eines Vektors a mit einer reellen Zahl r 0 wird der Vektor um den Faktor r gestreckt. Bei einer Multiplikation mit einem Faktor r 0 wird der Vektor ebenfalls um den Faktor r gestreckt, allerdings wird seine Richtung umgekehrt. Bei Multiplikation mit r 0 wird der Vektor a auf den Nullvektor reduziert. Parallele und normale Vektoren in R 2 Definition: parallele Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und b aus R 2 parallel, wenn die zugehörigen Pfeile parallel sind. heißen zueinander

6 Sind die Vektoren a und b zueinander parallel, schreiben wir a b Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und b aus R 2 zueinander parallel, wenn es ein r R gibt, sodass b r a. sind genau dann Sind zwei Vektoren zueinander parallel, dann bilden, wie in der nebenstehenden Abbildung gezeigt, ihre Pfeile ähnliche Dreiecke. Aus der Ähnlichkeit folgt: Damit gilt: b 1 : a 1 b 2 : a 2 r b 1 r a 1 b 2 r a 2} v b r v a Definition: normale Vektoren (Normalvektor) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und b aus R 2 heißen zueinander normal, wenn die zugehörigen Pfeile aufeinander normal stehen. Sind die Vektoren a und b zueinander normal, schreiben wir a b Ist a ein vom Nullvektor verschiedener Vektor aus R 2, dann sind die Vektoren a 2 a 1 und a 2 a 1 Normalvektoren dieses Vektors.

7 Wie aus nebenstehender Abbildung zu erkennen ist, gehen die zu den Normalvektoren n 1 und n 2 gehörigen Dreiecke aus dem zum Vektor a gehörigen Dreieck durch eine Drehung um -90 bzw. um +90 hervor. Betrag eines Vektors, Abstand zweier Punkte Definition: Unter dem Betrag eines Vektors a a 1 a 2 R2 a a 1 2 a 2 2. Der Betrag des Vektors entspricht der Länge des Pfeils. versteht man Der Vektor a bildet mit seinen Komponenten a 1 und a 2 ein rechtwinkeliges Dreieck, wobei die Komponenten a 1 und a 2 die Katheten und der Pfeil a die Hypothenuse bilden. Entsprechend des Satzes von Pythagoras errechnet sich die Länge der Hypothenuse (also der Pfeil a ) aus a 1 2 a 2 2

8 Seien A und B zwei Punkte der Ebene, dann gilt: AB AB B A Für alle a R 2 Beweis: und alle r R gilt: r a r a r a r a 1 a 2 r a 1 r a 2 r a 1 2 r a 2 2 r 2 a 1 2 a 22 r a a 2 a r a Mit der Definition des Vektorbetrages und der Parallelogrammregel für die Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion folgt der Dreiecksungleichung für die Vektoraddition: a b a b Dreiecksungleichung für die Vektorsubtraktion: a b a b Einheitsvektor Definition: Einheitsvektor Der Vektor a 0 1 a a heißt der zu a gehörige Einheitsvektor. Der Einheitsvektor hat stets die Länge 1. Dies ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Einheitsvektors. a 0 1 a a 1 a a 1

9 Skalares Produkt von Vektoren Definition: Für zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a und b aus R 2 heißt die Zahl a 1 b 1 a 2 b 2 das skalare Produkt der Vektoren a und b. Wir schreiben: a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 a b Orthogonaltätskriterium für Vektoren Zwei Vektoren a und b sind genau dann zueinander orthogonal (sind normal zueinander), wenn ihr skalares Produkt verschwindet, d.h.: a b a b 0 Rechengesetze für das Skalarprodukt Für alle Vektoren a, b und c R 2 1. a b b a 2. a b c a c b c 3. r a b r a b und alle r R gilt: Beweis: ad 1) ad 2) a b a 1 b 1 a 2 b 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b a

10 ad 3) a b c a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 b 1 a 2 b 2 c 1 c 2 c 1 a 1 c 1 b 1 c 2 a 2 c 2 b 2 c 1 a 1 c 2 a 2 c 1 b 1 c 2 b 2 a c b c r a b r a 1 r a 2 b 1 b 2 r a 1 b 1 r a 2 b 2 r a 1 b 1 a 2 b 2 r a b a b Auf der Basis dieser Rechengesetze für das Skalarprodukt lassen sich die folgenden Rechengesetze ableiten: Für alle Vektoren a, b c, d R 2 1. a b c a b a c 2. a b c a b a c 3. r a b a r b r a b 4. r a s b r s a b und alle r, s R gilt: 5. a b 2 a 2 2 a b b 2 6. a b 2 a 2 2 a b b 2 7. a a 2 8. a 2 a 2 Vorzeichen des Skalarproduktes a b 0 cos

11 a b 0 cos 0 90 a b 0 cos Winkel zwischen zwei Vektoren Der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b ist gegeben durch: cos a, b a b a b a a b b a 0 b 0 Normalprojektion eines Vektors auf einen anderen Vektor Die Normalprojektion ba des Vektors b auf den Vektor a hat die orientierte Länge Der Vektor selbst hat die Darstellung p b a b cos a, b b a 0 b a p b a a 0

12 Parameterdarstellung einer Geraden Definition: Sind P und Q zwei verschiedene Punkte einer Geraden g, dann nennt man den Vektor g PQ einen Richtungsvektor von g. Ist g eine Gerade in R 2. P ein Punkt auf g und g ein Richtungsvektor von g, dann gilt: X g t R : X P t g Die Vektorgleichung g. X P t g nennt man eine Parameterdarstellung der Geraden Jedem Parameterwert t R entspricht genau ein Punkt auf der Geraden. Umgekehrt kann zu jedem Punkt auf der Geraden g ein Parameterwert gefunden werden. Da die Punkte P und Q beliebig gewählt werden können, gibt es beliebig viele Möglichkeiten, eine Parameterdarstellung für die Gerade g zu finden. Lagebeziehungen zweier Geraden parallele Geraden g h : g h {} G h H g s R : v g s v h Kein Punkt von g liegt in h und umgekehrt. Der Richtungsvektor von h lässt sich als Vielfaches von v g darstellen, d.h. die Richtungsvektoren sind zueinander parallel.

13 identische Geraden g h : g h g h G h H g s R : v g s v h Jeder Punkt von g liegt auch in h und umgekehrt. Der Richtungsvektor von h lässt sich als Vielfaches von v g darstellen, d.h. die Richtungsvektoren sind zueinander parallel. schneidende Geraden g h : g h {S} s R : v g s v h Der Richtungsvektor von h lässt sich nicht als Vielfaches von v g darstellen, d.h. die Richtungsvektoren sind nicht parallel zueinander. Es gibt nur einen Punkt S, der auf beiden Geraden liegt. Beschreibung von Geraden durch Punkt und Normalvektor Definition: Ein Vektor n heißt ein Normalvektor der Geraden g, wenn n zu allen Richtungsvektoren von g normal ist. Der Richtungsvektor v g der Geraden g ist gegeben durch v g X P. Für den Richtungsvektor v g und den Normalvektor nv g gilt die Beziehung: nv g X P 0 nv g X nv g P 0 nv g X nv g P Setzen wir für X x 1 x 2 und P p 1 p 2 dann erhalten wir:

14 n 1 n 2 x 1 x 2 n 1 n 2 p 1 p 2 n 1 x 1 n 2 x 2 n 1 p 1 n 2 p 2 n 0 Verwenden wir für n 1 p 1 n 2 p 2 n 0, dann vereinfacht sich die obige Gleichung zu n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 Damit gilt der folgende Ist g eine Gerade in R 2, die den Punkt P p 1 p 2 enthält und den Vektor n n 1 n als Normalvektor hat, dann gilt: X g n X n P bzw. x y g n 1 x n 2 y n 0 mit n 0 n 1 p 1 n 2 p 2 Die Gleichung n X n P bzw. n 1 x 1 n 2 x 2 n 0 nennt man die Normalvektordarstellung der Geraden g. Parameterdarstellung allgemeine Geradengleichung Eine Gerade, gegeben durch die Parameterdarstellung X p 1 p 2 t g 1 g 2 beiden linearen Gleichungen: x 1 p 1 t g 1 x 2 p 2 t g 2, liefert die Durch Elimination des Parameters t erhalten wir: x 1 p 1 t g 1 g 2 x 2 p 2 t g 2 g 1 g 2 a g 2 x 1 g 2 p 1 t g 1 g 2 g 1 x 2 g 1 p 2 t g 1 g 2 b c x 1 g 1 x 2 g 2 p 1 g 1 p 2 Setzen wir a g 2, b g 1 und c g 2 p 1 g 1 p 2 dann erhalten wir eine lineare Gleichung der Form:

15 a x 1 b x 2 c Allgemeine Geradengleichung Hauptform Ist die Gleichung einer Geraden in der allgemeinen Form a x b y c kann sie wie folgt in die Hauptform y k x d überführt werden: a x b y c ax b y a x c b y a x b c b k d Indem man für k a b und für d c setzt lässt sich eine Gerade in der allgemeinen b Form a x b y c auf die Hauptform y k x d bringen. Hauptform Parameterdarstellung Steigungs- Richtungsregel: Zwischen der Steigung k und jedem Richtungsvektor a einer Geraden besteht der Zusammenhang: a s 1 mit s R {0} k Abstand eines Punktes von einer Geraden

16 Unter dem Abstand eines Punktes von einer Geraden versteht man den Normalabstand d. Dieser Abstand ergibt sich als Projektion des Vektors AP auf einen Normalvektor n g und lässt sich wie folgt berechnen: HESSE'sche Formel für den Abstand eines Punktes von der Geraden g : d P, g AP n 0

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