Erfolg im Mathe-Abi 2014

Transkript

1 Grubr I Numann Erfolg im Math-Abi 2014 Prüfungsaufgabn Hssn Übungsbuch für dn Listungskurs mit Tipps und Lösungn

2 Vorwort Vorwort Diss Übungsbuch ist spzill auf di Anfordrungn ds zntraln Mathmatik-Abiturs im Listungskurs für dn Taschnrchnr abgstimmt und nthält Übungsaufgabn auf Prüfungsnivau aus alln Gbitn, sowi di Original-Prüfungsaufgabn. Wi arbitt man mit dism Buch? Am Anfang bfindn sich di Aufgabn aus dn dri Thmnbrichn Analysis, Linar Algbra/ Analytisch Gomtri und Stochastik. Di Aufgabn sind in dr Rgl in ihrr Schwirigkit gstafflt. In dr Mitt ds Buchs bfindt sich dr blau Tipptil mit Dnk- und Lösungshilfn. Di Lösungn mit ausführlichm Lösungswg bildn dn drittn Til ds Übungsbuchs. Hir findt man di notwndign Formln, Rchnvrfahrn und Dnkschritt sowi sinnvoll altrnativ Lösungswg. Das Stichwortvrzichnis bfindt sich auf Sit 95, am End ds Lösungstils. Dr blau Tipptil Hat man kin Id, wi man in Aufgab anghn soll, hilft dr blau Tipptil in dr Mitt ds Buchs witr: Zu jdr Aufgab gibt s dort Tipps, di hlfn, inn Ansatz zu findn, ohn di Lösung vorwgzunhmn. MinMathAbi.d Als Ergänzung zum Buch findn Si im Intrnt untr nicht nur di altn zntraln Abituraufgabn ds Lands Hssn, sondrn auch Lrnkartn, Taschnrchnranlitungn zu vrschidnn Taschnrchnrtypn, Vidotutorials und in Forum, das bi dr Vorbritung auf di Prüfung hilft. Einig Übungsaufgabn sind als Mustrbispil für di Abiturprüfung von öffntlichn Stlln vröffntlicht wordn. Di Urhbr- und Nutzungsrcht für dis Aufgabn lign bi dm jwilign Kultusministrium bzw. Landsinstitut. Di Tipps und di Lösungn hirzu stammn wi bi alln andrn Aufgabn von dn Autorn. Alln Schülrinnn und Schülrn, di sich auf das Abitur vorbritn, wünschn wir vil Erfolg. Hlmut Grubr und Robrt Numann

3 Vorwort Di Abiturprüfung Sit 2007 wrdn di Mathmatikaufgabn für di schriftlich Abiturprüfung in Hssn zntral gstllt. Dabi gibt s das sognannt «Abschlussprofil», wlchs rgänznd zum Lhrplan di grundlgndn Anfordrungn für di Prüfung auflistt: Analysis Diffrntialrchnung und Intgralrchnung Grnzwrt, Diffrnznquotint, Ablitung an inr Stll Ablitungsrgln: Summnrgl, Produktrgl, Quotintnrgl, Kttnrgl Ablitungsfunktionn und ihr gomtrischn Dutungn Untrsuchungn von Funktionn und ihrr Graphn: Achsnsymmtri, Punktsymmtri, Nullstlln, rlativ und absolut Extrmalpunkt, Wndpunkt, Monotonivrhaltn, Krümmungsvrhaltn Tangntnglichungn Umkhrfunktion, Ablitung dr Umkhrfunktion Bstimmung von Funktionn odr Funktionnscharn zu vorggbnn Bdingungn Extrmwrtaufgabn Bstimmts Intgral, Stammfunktion, unigntlichs Intgral, Summn- und Faktorrgl, Volumnintgral Hauptsatz dr Diffrntial- und Intgralrchnung Brchnung ds Inhalts ins bgrnztn Flächnstücks Intgration durch linar Substitution, partill Intgration Auswahl dr Funktionsklassn Ganzrational Funktionsscharn mit Paramtr Exponntialfunktionn mit Paramtr Logarithmusfunktion mit Paramtr Einfach rational Funktionn Trigonomtrisch Funktionn mit Paramtr

4 Vorwort Linar Algbra/Analytisch Gomtri Vktorn Gradn und Ebnn Paramtr- und Koordinatndarstllung von Grad und Ebn im Raum Lagbzihungn von Punktn, Gradn und Ebnn im Raum Gradnschar, Ebnnschar Skalarprodukt, Btrag ins Vktors, Winkl zwir Vktorn Abstandsbstimmungn Schnittwinkl Anwndungn ds Vktorprodukts Linar Glichungssystm: Homogn und inhomogn linar Glichungssystm, Lösungsvrfahrn, Lösungsmng Linar Abbildungn und Matrizn Stochastik Ergbnis und Erignis: Rlativ Häufigkit, Empirischs Gstz dr großn Zahln, Wahrschinlichkit ins Erignisss, Laplac-Wahrschinlichkit Brchnn von Laplac-Wahrschinlichkitn: Gordnt Stichprob mit und ohn Zurücklgn), Ungordnt Stichprob ohn Zurücklgn) Baumdarstllungn, Summn- und Produktrgl Bdingt Wahrschinlichkit Baumdarstllung), Unabhängigkit Brnoulli-Ktt, Binomialvrtilung, Wahrschinlichkitsfunktion inr Zufallsgröß, Erwartungswrt, Varianz und Standardabwichung Normalvrtilung Einsitigr und zwisitigr Hypothsntst: Annahmbrich, Ablhnungsbrich, Fhlr rstr und zwitr Art

5 Vorwort Dr Ablauf dr Abiturprüfung Im Abitur sind, nbn inr mathmatischn Formlsammlung und inm Wörtrbuch dr dutschn Rchtschribung, ntwdr in Taschnrchnr TR), in grafikfähigr Taschnrchnr GTR) odr in Computr-Algbra-Systm CAS) rlaubt. Tablln zur Stochastik wrdn vor dr Prüfung zur Vrfügung gstllt. Di Schul rhält für jdn Kurs inn Aufgabnsatz angpasst an dn Taschnrchnrtyp). Di Schülrin/ dr Schülr wählt am Anfang dr Prüfung aus dn zur Vrfügung gstlltn Aufgabn jwils in Aufgab aus: Analysis Linar Algbra / Analytisch Gomtri Stochastik Di Abiturprüfung bstht also aus dri Tilaufgabn: Einr Analysisaufgab, inr Aufgab dr Analytischn Gomtri und inr Stochastikaufgab. Di Prüfungszit bträgt 240 Minutn.

6 Inhaltsvrzichnis Inhaltsvrzichnis Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln Exponntialfunktion Funktionnschar... 9 Exponntialfunktion Mdikamnt Logarithmusfunktion Schal Logarithmusfunktion Schadstoffmssung Trigonomtrisch Funktion Sonnnschin Linar Algbra / Analytisch Gomtri 7 Plantarium Antnnnmast Kist Dachschattn Stochastik 11 Cornflaks Intrntnutzung Rinigungsmittl Tipps Lösungn... 8 Stochastiktablln Stichwortvrzichnis Abituraufgabn Abituraufgabn Abituraufgabn

7 1. Ganzrational Funktion Windln Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln Tipps ab Sit 25, Lösungn ab Sit 8 Ggbn ist di Funktionnschar f a durch f a x) = 1 a 2 x + x; x IR, a > 0 a) Untrsuchn Si di Graphn dr Funktionnschar auf Symmtri, Schnittpunkt mit dr x-achs, Extrm- und Wndpunkt, Asymptotn sowi das Vrhaltn für x ±. b) Skizzirn Si für a = 1 dn Graphn von f a. Ein Firma stllt Babywindln hr. Dis bsthn aus übrinandrglgtn Schichtn, drn Matrialdicht all 0,1mm linar zunimmt. Durch di Funktion f a wird dr Vorgang dr Flüssigkitsaufnahm in Abhängigkit von dr Matrialkonstantn a im Intrvall I = [x E ; x N ], x > 0 in gutr Nährung bschribn dabi ist x E Extrmstll und x N Nullstll von f a ). Es gilt für di Längninhitn auf dn Koordinatnachsn: x-achs: Anzahl dr Schichtn y-achs: Saugfähigkit innrhalb inr Schicht in ml pro Flächninhit. c) Für wlchn Wrt dr Matrialkonstantn a xistirn di mistn Schichtn? d) Für wlchn Wrt dr Matrialkonstantn a kann im Intrvall I di mist Flüssigkitsmng pro Flächninhit aufgnommn wrdn? 8

8 Tipps 2. Exponntialfunktion Funktionnschar Tipps Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln a) Bi dr Untrsuchung ds Graphn von f a auf Symmtri bachtn Si, dass s sich um in ganzrational Funktion handlt, di nur ungrad Exponntn bsitzt; stzn Si x) in f a x) in. Gilt f a x) = f a x), ist dr Graph punktsymmtrisch zum Ursprung. Um di Schnittpunkt mit dr x-achs zu bstimmn, brchnn Si di Lösungn von f a x) = 0. Zur Bstimmung dr Extrm- und Wndpunkt litn Si di Funktion f a drimal ab und stzn di rst bzw. zwit Ablitung glich Null. Prüfn Si jwils auch di hinrichnd Bdingung. Bstimmn Si di Grnzwrt, falls möglich, von f a x) für x ±. b) Bnutzn Si di charaktristischn Punkt aus Aufgabntil a), um dn Graphn zu skizzirn. Insbsondr di Symmtri kann bi dr Zichnung hilfrich sin. c) Bstimmn Si di Grnzn ds Intrvalls I; bachtn Si, dass x > 0 ist. Damit di Anzahl dr Schichtn im Intrvall I möglichst groß ist, muss dr Abstand zwischn dr positivn Extrmstll und dr positivn Nullstll möglichst groß sin. Stlln Si in Funktion Da), di von a abhängt, auf und bstimmn Si drn Maximum mit Hilf dr 1. und 2. Ablitung von Da). d) Di mist Flüssigkit kann aufgnommn wrdn, wnn dr Flächninhalt Fa) dr Fläch zwischn dm Graphn von f a und dr x-achs im Intrvall I möglichst groß ist. Brchnn Si Fa) mit Hilf ins Intgrals in Abhängigkit von a und bstimmn Si das Maximum von Fa) mit Hilf dr 1. und 2. Ablitung vo Fa). 2 Exponntialfunktion Funktionnschar a) Dn Schnittpunkt mit dr y-achs rhaltn Si, indm Si x = 0 in f k x) instzn. Schnittpunkt mit dr x-achs rhaltn Si, indm Si f k x) glich Null stzn. Zur Bstimmung dr Extrmpunkt bnötign Si di 1. und 2. Ablitung von f k x), di Si mit Hilf dr Produktrgl rhaltn. Stzn Si di 1. Ablitung glich Null, lösn Si di Glichung und stzn Si dn rhaltnn x-wrt in di 2. Ablitung in; ist f k x) größr als Null, handlt s sich um inn Tifpunkt, ist f k x) klinr als Null, handlt s sich um inn Hochpunkt. Dn zughörign y-wrt rhaltn Si, indm Si dn x-wrt in f k x) instzn. Zur Bstimmung ds Wndpunkts stzn Si di 2. Ablitung von f k x) glich Null, lösn di Glichung und stzn dn rhaltnn x-wrt in di. Ablitung von f k x) in; ist das Ergbnis unglich Null, handlt s sich um inn Wndpunkt. Dn zughörign y-wrt rhaltn Si, indm Si dn x-wrt in f k x) instzn. 25

9 1. Ganzrational Funktion Windln Lösungn Lösungn Analysis 1 Ganzrational Funktion Windln Es ist f a x) = 1 x + x; x IR, a > 0 a 2 a) Da s sich um in ganzrational Funktion handlt, di nur ungrad Potnzn von x und kin Konstant nthält, ist dr Graph dr Funktion f a punktsymmtrisch zum Ursprung. Altrnativ kann man di Symmtri wi folgt nachwisn: f a x) = 1 a 2 x) + x) = 1 a 2 x x = 1 ) a 2 x + x = f a x) Wgn f a x) = f a x) ist dr Graph von f a punktsymmtrisch zum Ursprung. Um di Schnittpunkt mit dr x-achs zu bstimmn, stzt man dn Funktionstrm von f a glich Null: f a x) = 0 führt zu 1 a 2 x + x = 0 x 1a ) 2 x2 + = 0 8 mit dn Lösungn x 1 = 0 und x 2; = ± a 2 = ±a. Damit sind di Schnittpunkt mit dr x-achs: N a,1 0 0), N a,2 ) 0 und N a, a ) 0. Zur Bstimmung dr Extrm- und Wndpunkt bnötigt man di rstn dri Ablitungn von f a : f a x) = a 2 x2 + f a x) = 6 a 2 x f a x) = 6 a 2 Für di Extrmpunkt gilt als notwndig Bdingung f a x) = 0: a 2 x2 + = 0 x 1;2 = ± a 2 = ±a Di zughörign y-wrt sind f a ) = 1 ) ) ) a 2 a + a = + a ) 2 ) = a = a = a 2 = 2 a = 2 a

10 Lösungn 1. Ganzrational Funktion Windln und wgn dr Punktsymmtri ds Graphn von f a zum Ursprung: ) f = 2 a Für di hinrichnd Bdingung stzt man di bidn rrchntn x-wrt in f a x) in: und f a f a a ) ) = 6 a 2 = 6 a 2 a Damit sind di bidn Extrmpunkt: T a 2 a ) = 6 a > 0 Tifpunkt ) = 6 a < 0 Hochpunkt ) und H a a 2 a ) Zur Bstimmung dr Wndpunkt führt di notwndig Bdingung f a x) = 0 zu 6 a 2 x = 0 x = 0 Mit f a 0) = 1 a = 0 und f a 0) = 6 a 2 0 hat dr Graph von f a dn Wndpunkt W0 0). Bim Btrachn ds Vrhaltns für x + stllt man fst, dass dr rst Summand 1 a 2 x wgn dr drittn Potnz schnllr ggn ght, als x ggn. Dahr gilt f a x) für x und f a x) für x. Altrnativ schribt man: lim f a x) = lim 1 x ± x ± a 2 x + = Somit bsitzt dr Graph von f a kin Asymptotn. Da s kin Dfinitionlückn und Pol gibt, lign auch kin snkrcht Asymptotn vor. b) Um dn Graphn von f 1 zichnn zu könnn, übrlgt man sich di Lag dr Schnittpunkt mit dr x-achs und di Lag dr Extrm- und Wndpunkt ds Graphn von f a für a = 1. Dazu stzt man a = 1 in di brits brchntn Punkt in: N 1,1 0 0), N 1,2 ) ) 1 0 0,61 0) und N 1, 1 0 0,61 0) Di Extrmpunkt sind T ) 0,5 0,086) und H 1 2 ) 0,5 0,086) Dr Wndpunkt hat di Koordinatn W0 0). Mit Hilf disr Punkt kann man dn Graphn von f 1 x) skizzirn: 9

11 1. Ganzrational Funktion Windln Lösungn c) Für x > 0 rhält man im Intrvall I = [x E ; x N ] dn Wrt von a, für dn di mistn Schichtn xistirn, indm man das Maximum dr Strck x E x N brchnt: Mit x E = a und x N = a rgibt sich di «Strcknmaximumsfunktion» Da), di von a abhängt: Da) = x N x E = a a Um das Maximum von Da) zu bstimmn, muss di rst Ablitung von Da) glich Null gstzt wrdn. Zum Ablitn wird Da) zurst umgformt: Da) = a ) ) a 2 = a 1 2 a 1 1 a) 2 = a 1 ) 1 1 a) 2 = 1 )a a Mit Hilf dr Produkt- und Kttnrgl rhält man: D a) = 1 1 ) 1 2 a )a 1 2 ) 1 2 a = D a) = 1 1 ) 1 ) 1 2 a ) 2 a 1 ) ) 12 a 2 = 1 1 ) a 1 ) 1 2 a = 1 1 ) a ) a 1 1 ) 1 12 ) a 1 2 a 40

12 Lösungn 1. Ganzrational Funktion Windln Di notwndig Bdingung D a) = 0 führt zu 1 1 ) 1 12 ) a 2 1 a = a = 0 a = 2 ) Wgn D 2) = ) ) = ,077 < 0 handlt s sich um in Maximum. Damit ist di Läng dr Strck x E x N für a = 2 maximal, d.h. für a = 2 xistirn di mistn Schichtn. d) Um zu bstimmn, für wlchn Wrt von a di mist Flüssigkitsmng pro Flächninhit aufgnommn wrdn kann, brchnt man zurst dn Flächninhalt Fa) dr Fläch zwischn dm Graphn von f a und dr x-achs im Intrvall I, wlchr dr aufgnommnn Flüssigkitsmng pro Flächninhit ntspricht: xn Fa) = f a x)dx = x E xn x E = 1 4a 2 a ) ) [ a 2 x + x dx = 1 4a 2 x x 2 2 a ) 2 1 4a 2 a = 1 4 a2 2a a2 2a a2 2a 1 6 a2 2a = 1 9 a2 2a ] a a ) ) 2 a Zur Brchnung ds Maximums von Fa) bstimmt man mit Hilf dr Produkt- und Kttnrgl di 1. und 2. Ablitung von Fa): F a) = 2 9 a 2a a2 2a 2) = 2 9 a 2a a2 2a = 9 a 2 ) 9 a2 2a 2 F a) = 9 4 ) 2 9 a 2a + 9 a 2 ) 9 a2 2a 2) 2 = a 4 9 a + 4 ) 9 a2 2a 4 = 9 a2 8 9 a + 2 ) 2a 9 41

13 1. Ganzrational Funktion Windln Lösungn Di notwndig Bdingung F a) = 0 führt zu 2 9 a 2 ) 9 a2 2a = a 2 9 a2 = 0 2 a 1 a) = 0 9 mit dn Lösungn a 1 = 0 und a 2 = 1. Wgn a > 0 und F 1) = ) 2 1 = ,0 < 0 handlt s sich bi a 2 = 1 um in Maximum. Für a = 1 kann also von dr Windl di mist Flüssigkitsmng pro Flächninhit aufgnommn wrdn. 42