b 1 b 2 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 a 2 b 2 a b a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3

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1 1. Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt a b a b cos a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 a 2 b 2 b a 1. Betrag Länge eines Vektors: a a a a 2 1 a 2 2 a Winkel zwischen 2 Vektoren: cos a b a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 a 1 2 a 2 2 a 3 2 b 1 2 b 2 2 b 3 2 Sonderfall: Ist a b 0 a b Vektorprodukt a b a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 a b a, a b b a b b a 1.Fächeninhalt des on a und b aufgespannten Parallelogramms: P a b 2. Fächeninhalt des on a und b aufgespannten Dreiecks: D 1 2 a b 3. Normalenektor einer Ebene Spatprodukt ( a b ) c 1. Volumen des Spats: V S ( a b ) c c b a

2 2. Rauminhalt des Tetraeders: V T 1 6 ( a b ) c c b a 3. ( a b ) c 0 a, b und c sind oneinander linear abhängig 2. Vektoren und Punkte Ortsektor a 1 Punkt: a 1 a 2 a 3 Ortsektor: O a 2 a 3 Verbindungsektor zwischen zwei Punkten b 1 a 1 B B Verbindungsektor zweier Punkte: B B b 2 a 2 b 3 a 3 Länge einer Strecke oder bstand zweier Punkte b 1 a 1 B B B b 2 a 2 (b 1 a 1 ) 2 (b 2 a 2 ) 2 (b 3 a 3 ) 2 b 3 a 3 B

3 Winkel im Dreieck cos B C B C cos B BC B BC cos C CB C CB Mittelpunkt einer Strecke C B M 1 2 B M B 3. Geraden Parametergleichung einer Geraden a 1 1 g : X a 2 2 a 3 X 3 Zeichnerische Darstellung - Spurpunkte Ein Schnittpunkt einer Geraden mit einer Koordinatenebene heißt Spurpunkt in dieser Ebene. Spurpunkt in der Bedingung x 1 x 2 -Koordinatenebene x 3 0 x 1 x 3 -Koordinatenebene x 2 0 x 2 x 3 -Koordinatenebene x 1 0 Existiert kein Spurpunkt in einer Korordinatenebene, dann ist die Gerade zu dieser Koordinatenebene parallel.

4 x 3 x 2 x 1 Zweipunkteform B : X ( B ) B B B Parallele, sich schneidende und windschiefe Geraden g : X h : g : X B u k u g h h Ist zusätzlich h, dann sind g und h identisch. nsonsten gilt die Schnittpunktsbedingung B u. Ist das sich ergebende Gleichungssystem nicht lösbar, dann sind g und h windschief. 4. Ebenen Parametergleichung einer Ebene a 1 u 1 1 E : X u a 2 u 2 2 u a 3 u 3 3 X

5 Normalenform einer Ebenengleichung n X n X Normalenform: n X 0 n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 ( n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 ) 0 n 4 Zeichnerische Darstellung - Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen - Spurgeraden Schnittpunkt mit der Bedingung x 1 -chse x 2 x 3 0 x 2 -chse x 2 x 3 0 x 3 -chse x 2 x 3 0 Existiert kein Schnittpunkt mit einer Koordinatenachse, dann ist die Ebene zu dieser Koordinatenachse parallel. Hat die Ebene mit einer Koordinatenachse mehr als einen Punkt gemeinsam, dann erläuft sie durch diese chse. Die Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen heißen Spurgeraden. Spurgerade in der Bedingung x 1 x 2 -Koordinatenebene x 3 0 x 1 x 3 -Koordinatenebene x 2 0 x 2 x 3 -Koordinatenebene x 1 0 x 3 x 2 x 1

6 Lagebeziehung zwischen Ebenen und Geraden g : X und E : n X 0 g h E n 0 Die Gerade g liegt in der Ebene, wenn zusätzlich ihr ufpunkt in E liegt. nsonsten erhält man den zum Schnittpunkt gehörenden Parmeter durch Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts in eine Normalenform on E. Sonderfall: g E k n Lagebeziehung zwischen Ebenen Zwei Ebenen E und F mit den Normalenformen E : n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n 4 0 und F : m 1 x 1 m 2 x 2 m 3 x 3 m 4 0 n 1 m 1 sind parallel, wenn die Normalenektoren n n 2 und m m 2 linear abhängig sind. n 3 m 3 n 1 m 1 Das heißt, es gibt ein k R, so dass n 2 km 2 ist. n 3 m 3 Gilt zusätzlich, dann sind die Ebenen identisch. n 4 km 4 nsonsten schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden. Die parametrisierte Lösung des Gleichungssystems (1) n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n 4 0 ist der allgemeine Geradenpunkt der Schnittgeraden s. (2) m 1 x 1 m 2 x 2 m 3 x 3 m 4 0

7 Hessesche Normalenform n 1 x 1 n 2 x 2 n 3 x 3 n 4 n 1 2 n 2 2 n Setzt man die Koordinaten eines Punktes P in die HNF einer Ebene ein, dann erhält man eine Zahl, deren Betrag gleich dem bstand des Punktes on der Ebene ist. Diese Zahl ist positi, wenn der Punkt auf der dem Ursprung abgewandten Seite on E ist. Ist sie negati, dann liegt P auf der Ursprungsseite. 5. Kugel X M M X 2 MX r X M r 2 (x 1 m 1 ) 2 (x 2 m 2 ) 2 (x 3 m 3 ) 2 r 2 6. bstände bstand eines Punktes on einer Geraden d(p; g) PF n

8 bstand eines Punktes on einer Ebene d(p; E) PF n bstand paralleler Geraden d(g; h) d(; h) mit g bstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene d(g;e) d(; E) mit g 7. Winkel ================================================================= Schnittwinkel sich schneidender bzw. Kreuzungswinkel windschiefer Geraden cos u u u Neigungswinkel bzw. Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene 90 mit n cos oder sin n n n n

9 Schnittwinkel zweier Ebenen cos n E n F n E n F n F n E Sonderfall: Zueinander senkrechte Ebenen 90