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1 WS 215/16 Solutions I Publication: Vektor I 4 2 Ein Objekt A befindet sich bei a = 5. Das zweite Objekt B befindet sich bei b = (a) Die Entfernung von Objekt A zum Ursprung ist die Länge (auch Betrag) des Ortsvektors, der den Punkt repräsentiert. Man kann a in rechteckigen Koordinaten auch schreiben als (4, 5, 2), wobei 4, 5 2 die skalare Komponenten des Vektors in der x, y z Richtung sind. Der Betrag dieses Vektors ist gegeben durch: a = a 2 x + a 2 y + a 2 z = = 3 5 Also ist Objekt A 3 5 Einheiten vom Ursprung entfernt. (b) Wie bei Objekt A ist die Entfernung von Objekt B zum Ursprung der Betrag des Ortsvektors, der die Postion B repräsentiert. Der Betrag des Vektors ist gegeben durch: b = b 2 x + b 2 y + b 2 z = ( 2) = 29 Also ist B 29 Einheiten vom Ursprung entfernt. (c) Der Abstand zwischen den zwei Punkten (Punkt A B) ist der Betrag der Differenz der beiden Ortsvektoren. Sei dieser Vektor c = a b. Mit etwas Vektoralgebra findet man c = a b = (6, 1, 1) dies ist die Darstellung im rechteckigen Koordinatensystem. Die Länge von c, welche die Entfernung beider Punkte darstellt, berechnet man folgendermaßen c = c 2 x + c 2 y + c 2 z = ( 1) 2 = 38 Der Abstand zwischen Objekt A B ist 38 Einheiten. 1 / 7

2 WS 215/16 Solutions I Publication: (d) Der Winkel θ zwischen den beiden Ortsvektoren kann mithilfe der Definition des Skalarprodukts berechnet werden. Das Skalarprodukt zweier Vektoren a b ist wie folgt definiert a b = a x b x + a y b y + a z b z = ab cos θ Mit einfacher Algebra findet man θ = arccos(6/ 145) = 6.11 Der Winkel zwischen den beiden Ortsvektoren ist also Vektor II Lasst uns die Flächendiagonalen (dargestellt durch die zwei Pfeile) als a b bezeichnen. An dem Bild erkennt man, dass a durch (1,1,) im rechteckigen Koordinatensystem gegeben ist. Während die andere Flächendiagonale b durch (1,,1) gegeben ist. (a) Der Winkel zwischen den beiden Flächendiagonalen (dargestellt durch die Ortsvektoren a b) kann wieder mithilfe des der Definition des Skalarprodukts bestimmt werden a b = a x b x + a y b y + a z b z = ab cos θ wobei θ der Winkel zwischen den Flächendiagonalen ist. Mit einfacher Algebra findet man θ = arccos.5 = 6 Der Winkel ist also 6. (b) Betrachte S 1 S 2, die jeweils durch die rechteckigen Koordinaten (1,, ) (,, 1) dargestellt werden können. Der Winkel φ zwischen den beiden Seiten wird wieder mithilfe des Skalarprodukts berechnet. S 1 S 2 = S 1x S 2x + S 1y S 2y + S 1z S 2z = S 1 S 2 cos φ 2 / 7

3 WS 215/16 Solutions I Publication: nach kurzer Umformung erhält man cos φ = Daraus folgt, dass der Winkel φ zwischen den beiden Seiten 9 beträgt. Die zwei Seiten des Würfels stehen also senkrecht aufeinander. (c) Das Kreuzprodukt zweier Vektoren, z.b U = (U x, U y, U z ) V = (V x, V y, V z ), ist im rechteckigen Koordinatensystem gegeben durch U V = (U y V z U z V y, U z V x U x V z, U x V y U y V x ) Wendet man diese Definition an, findet man, dass das Kreuzprodukt zwischen der Seite des Würfels (1,,) der Flächendiagonalen (1,1,) gleich (,,1) ist. An diesem Ergebnis sieht man, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren senkrecht auf der von den zwei Vektoren aufgespannten Fläche steht. Abbildung 1: Skizze 3 Gradient Der Gradient Operator grad oder in rechteckigen Koordinaten ist definiert als = ˆx x + ŷ y + ẑ z wobei ˆx, ŷ ẑ jeweils die Einheitsvektoren in x, y z Richtung sind. (a) Gemäß dieser Definition r = ˆx r x + ŷ r y + ẑ r z 3 / 7

4 WS 215/16 Solutions I Publication: Kann man einfach bestimmen, dass r x = x r, r y = y r, r z = z r daher ist r = xˆx + yŷ + zẑ r = r r (b) Der Gradient der anderen skalaren Funktion f lässt sich genauso berechnen f = ˆx x + ŷ y + ẑ z Erst werden wieder die partiellen Ableitungen bestimmt x = 2x, y = 5y4, z = 9z2. Der Gradient der Funktion f nimmt also folgende Form an: f = 2xˆx + 5y 4 ŷ + 9z 2 ẑ (c) Wie bei Aufgabe (a) (b), ist der Gradient der skalaren Funktion f gegeben durch f = ˆx x + ŷ y + ẑ z wieder werden die partiellen Ableitungen bestimmt x = 4e4x cos(2y) ln(z), Damit ergibt sich: y = 2e4x sin(2y) ln(z), z = 1 z e4x cos(2y) f = 4e 4x cos(2y) ln(z)ˆx 2e 4x sin(2y) ln(z)ŷ + 1 z e4x cos(2y)ẑ 4 Integral (a) Eine Möglichkeit Integrale zu lösen, ist die Methode der partiellen Integration. Mathematisch geschrieben heißt das udv = uv vdu 4 / 7

5 WS 215/16 Solutions I Publication: Bei diesem Integral nehmen wir u = x dv = e x dx. Demzufolge können wir das Integral wie folgt schreiben: xe x dx = xe x + Dieses Integral lässt sich dann einfach lösen man erhält xe x dx = 1 e x dx (b) Um das Integral sin(5x)dx + cos(2x)dx zu lösen, kann man einfach die Lösungen beider Integrale getrennt bestimmen diese dann addieren. sin(5x)dx = 1 5 cos(5x) π/2 = 1 5 cos(2x)dx = 1 2 sin(2x) π/2 = Daher ist sin(5x)dx + cos(2x)dx = 1 5 (c) Da das Integral der Summe von Funktionen gleich der Summe der Integrale jeder einzelnen Funktion ist, kann man schreiben (x 2 + 2x + 3)dx = = x3 3 8, 47 π/2 x 2 dx + + x 2 π/2 + 3x 2xdx + π/2 3dx 5 Komplexe Zahlen Die zwei Komplexen Zahlen Z 1 Z 2 sind gegeben durch Z 1 = 3 + 4i Z 2 = 1 2i 5 / 7

6 WS 215/16 Solutions I Publication: (a) Die Summe der beiden Zahlen ergibt sich zu Z = Z 1 + Z 2 = (3 + 1) + (4 2)i = 4 + 2i (b) Das Produkt der beiden Zahlen ist gegeben durch Z = Z 1 Z 2 = (3 + 4i)(1 2i) = 3(1 2i) + 4i(1 2i) = 11 2i (c) Eine komplexe Zahl Z = x + iy kann auch in exponentieller Schreibweise geschrieben werden Z = Z e iφ wobei Z = x 2 + y 2 φ = arctan(y/x) Benutzt man diese Definition findet man Z 1 = = 5 φ 1 = arctan(4/3) = somit ist Z 1 = 5e iφ 1 Ähnlich Z 2 = ( 2) 2 = 5 φ 2 = arctan( 2) = Demzufolge kann Z 2 in exponentieller Schreibweise geschrieben werden als Z 2 = 5e iφ 2 6 / 7

7 WS 215/16 Solutions I Publication: Polar Koordinaten Die kartesischen (rechteckigen) Koordinaten (x, y) können auch in Polarkoordinaten (r, θ) dargestellt werden. Dabei gilt r = x 2 + y 2 θ = arctan(y/x) Ebenso gut können Polarkoordinaten (r, θ) wieder in kartesische Koordinaten (x, y) überführt werden. Dann gilt x = r cos θ y = r sin θ (a) Mit diesen Definitionen lassen sich die kartesischen Koordinaten (3, 4) in Polarkoordinaten (r, θ) transformieren r = = 5 θ = arctan(4/3) = Also transformieren sich die kartesischen Koordinaten (3, 4) in die Polarkoordinaten (5, ). (b) Ähnlich wie bei (a) verwendet man wieder einfach die Definitionen von oben um die Polarkoordinaten (12, 45 ) in kartesische Koordinaten (x, y) zu transformieren: x = 12 cos 45 = 6 2 y = 12 sin 45 = 6 2 So werden aus den Polarkoordinaten (12, 45 ) die kartesischen Koordinaten (6 2, 6 2). 7 / 7

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