M Lernzusammenfassung - Vektoren -

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1 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 1 ABI M Lernzusammenfassung - Vektoren - Christian Voigt Version: 1.11

2 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 2 Inhaltsübersicht Allgemein... Namen... Addition... Vervielfachen... Rechengesetze... Linearkombination... Lineare Abhängigkeit... Lineare Unbhängigkeit...4 Punktprobe...4 Ortsvektor...4 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Parameterdarstellung...5 Lage von Punkt und Gerade zweier Geraden...6 Ebenen...7 Festlegung...7 Parameterdarstellung...7 Koordinatendarstellung...7 Umrechnung (Parameterdarstellung >> Koordinatendarstellung)...8 Winkel...9 Lage von Gerade und Ebene:...9 Zweier Geraden:...1 Gerade und Ebene:...11 Ebene und Ebene:...12 Abstand...1 Punkt Punkt...1 Gerade Punkt...14 Gerade Gerade (windschief)...15 Gerade Gerade (parallel)...16 Ebene Punkt...16 Ebene Ebene (parallel)...16 Lizens und Copyright...17 Copyright...17

3 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung Allgemein Namen v :Vektor v k :Skalar k Addition AC = AB BC s=a b Vervielfachen r aa :Vektor ;r R Vielfaches von a Eigenschaften: -Pfeile a und r a sind parallel und r mal so lang wie a -für r gleichgerichtet -für r gegengerichtet -für r= : a= 1 r a a 2 2 a =r a1 s= AC a= AB b= BC A B C Rechengesetze r ar b=ra b r as a=ars r s a =r s a Linearkombination k 1 a 1 k 2 a 2 k a k 4 a 4...k n a n Liniarkombination der Vektoeren a 1,..., a n Lineare Abhängigkeit Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist: r a= b oder die Linearkombination r as b= [r, s ] n Vektoren sind linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches der anderen ist: k 1 ak 2 bk c= [k 1,k 2 ; k ]

4 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 4 Lineare Unbhängigkeit n Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner ein Vielfaches eines anderen ist: k 1 ak 2 bk c= Die einzige Lösung der linearkombination ist dann: [k 1 =k 2 =k =...=k =] Punktprobe Das Einsetzten eines Punktes in die Gleichung einer Ebene oder einer Geraden. Ortsvektor Der Vektor p, der den Ursprung auf den Punkt P abbildet ( p= P ) Skalarprodukt u=u 1 u 2 u v=v1 v 2 v v u=u1 u 2 v 2 u v1 Vektoren sind orthogonal, wenn v u= Regeln: v =u 1 v 1 u 2 v 2 u v (1) v u=u v (2) u v±w =u v±u w () r u s v=r su v

5 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 5 Geraden y: x=pt u Parameterdarstellung Um eine Gerade im Raum zu beschreiben benötigt man einen beliebigen Geradenpunkt P und die Richtung der Geraden v. Ortsvektor jedes beliebigen Geradenpunktes Stützvektor Parameter Richtungsvektor y +5 f x= 2 x1 alte Schreibweise x -1 g :x= 1 t 2 1 Vektorielle Schreibweise -5

6 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 6 Lage...von Punkt und Gerade Punktprobe (Punkt P; Gerade g) wahr P g s. Abstand (Punkt-Gerade) falsch P g...zweier Geraden Geraden im Raum: 4 Möglichkeiten echtparallel identisch windschief schneident u 1 =k u 2 u 1 =k u 2 u 1 k u 2 u 1 k u 2 Es gibt mehrere t 1, t 2 R, sodass p 1 t 1 u 1 = p 2 t 2 u 2 g 2 :x= p 2 t u 2 g 1 :x= p 1 t u 1 Es gibt ein t 1,t 2 R, sodass p 1 t 1 u 1 = p 2 t 2 u 2 Schnittpunkte Schnittpunkte Schnittpunkte 1 Schnittpunkt Vorgehensweise identisch u 1 =k u 2 wahr falsch gem. Punkt gem. Punkt wahr falsch wahr falsch parallel schneident windschief

7 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 7 Ebenen Festlegung...von Ebenen ist möglich durch: 2 sich schneidente Geraden ODER 2 parallele Geraden ODER 1 Gerade und 1 Punkt ODER Punkte (die nicht auf einer Geraden liegen) Parameterdarstellung v 1 Die Parameterdarstellung geht von einem Ursprungspunkt P (Ortsvektor p ) und 2 Verktoren, v 1 und v 2 als Richtungsvektoren, aus. v 2 P E :x=pr v 1 s v 2 E Koordinatendarstellung Anhand von den Spurpunkten kann man einfach die Koordinatengleichung ablesen: k 1 x 1 k 2 x 2 k x =1 Für k 1 bis k setzt man nun Rezibrokenwerte aus den Spurpunkten ein. Dazu wählt man von jedem Spurpunktsvektor den passenden Wert als Skalar (den einzigen, der nicht ist). E

8 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 8 Umrechnung (Parameterdarstellung >> Koordinatendarstellung) Umrechnung der Parameterdarstellung in die Koordinatendarstellung mit Hilfe des Kreuzproduktes. g :x= 4 7 r 6 1 s Kreuzprodukt Merkregel: a 2 b a b 2 =1 2 = 1 a b 1 a 1 b =1 6= a 1 b 2 a 2 b 1 =6 2 =12 1 x 1 x 2 12 x = x 1 12 x =2 x

9 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 9 Winkel Lage von Gerade und Ebene: Definition: Bevor man den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmt sollte man überprüfen, wie die oberhalb von E Gerade zur Ebene liegt. Satz: Für g :x=pr u und E :x=qs vt w gilt: g und E scheiden sich in einem Punkt, wenn pr u=qsvt w genau eine Lösung hat g liegt in E, wenn pr u=qsvt w unendlich viele Lösungen hat g ist echtparallel zu E, wenn pr u=qsvt w keine Lösungen hat h g oberhalb von E E unterhalb von E

10 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 1 Zweier Geraden: Definition: Der Schnittwinkel zweier Geraden ist per Definition der kleinere Winkel zwischen diesen. Vorgehensweise: 1. Richtungsvektoren auf Gleichung ablesen, immer von einander weg. 2. In Formel einsetzten. Der Winkel ist der eingeschlossene Winkel der 2 Vektoren, ist dieser größer als 9, so ist der andere Winkel gesucht, das Ergebnis ist dann 18 -Winkel Formel: cosα= u u u v g :x= 9 6 r 8 h:x= r 4 v u Richtungsvektoren als u und v u= 8 v= 4 cosα= u u u v Formel einsetzten: 8 4 cosα= 8 4 cosα 12 8,54 5,8 =.241 α=1,95

11 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 11 Gerade und Ebene: Definition: Der Schnittwinkel einer Ebene und einer Geraden ist per Definition der kleinstmögliche Winkel zwischen diesen. Vorgehensweise: 1. Richtungsvektoren aus Geradengleichung ablesen, und der Normalenvektor der Ebene (Achtung: in gleiche Richtung wie der Geradenvektor von der Ebene aus) 2. In Formel einsetzten Formel(2 Schritte): cos β= u u u v α=9 β E :x= 1 1 r 7 s 1 2 h :x= r 4 Richtungsvektoren als n und v ( n ist der Normalenvektor der Ebene) n= v= 4 cosα= u u u v Formel einsetzten: cosα= cos β 7 147,166 =.476 α=9 β=9 87,27 =2,7

12 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 12 Ebene und Ebene: Definition: Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist per Definition der kleinere Winkel zwischen diesen. Vorgehensweise: 1. Normalenvektoren der Ebenengleichungen ermitteln (Kreuzprodukt) 2. In Formel einsetzten Formel(2 Schritte): cos β= u u u v s.o.

13 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 1 Abstand Punkt Punkt Satz: Den Abstand von zwei Punkten bekommt man, indem man den Verbindungsvektor aufstellt und die Länge errechnet. Vorgehensweise: 4. Punkt P Punkt Q (Ortsvektoren) ==> Vektor n 5. Länge von n Formel: distance P,Q= p 1 q 1 ² p 2 q 2 ² p q ² P Q 5 6 in Formel: distance P,Q=2 5²12 ²1 6 ² distance P,Q=25²9²16² distance P,Q=962 distance P,Q 1,1

14 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 14 Gerade Punkt Satz: g Jeder Punkt hat einen Abstand zu einer beliebigen Geraden Vorgehensweise: 1. Bestimmung der Ebene E, die orthogonal zur Geraden g P F ist und den Punkt P enthält 2. Schnittpunkt von F von g und E E. BR Bsp.: R 2 5 g :x= t Ebene als Koordinatenform aus dem Richtungsvekter von g: x 1 1 x 2 1 x =r Punktprobe mit R: = 2 Ebene mit dem Ergebnis der Punktprobe x 1 1 x 2 1 x = 2 2. Einsetzten der Geradengleichung in die Ebene: 2t12t 14 t = 2 t= 6 11 = g :x= Punkt P t in die Geradengleichung einsetzen:. Länge der Strecke PR distancer ; g= PR = ,77

15 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 15 Gerade Gerade (windschief) Satz: Sind g :x=pr u und h :x=gs v windschiefe Geraden und n ein Einheitsvektor mit n u und n v, dann gilt: Formel: distance g, h= g p n Beispiel: Voraussetzungen: g :x= 4 Rechnung: 2 r 2 aus Richtungsvektoren: 1 h:x= s n 1 1 n 2 n = n 12 5n 2 1n = auflösen und gegeneinander einsetzten: n 1 = 2 5 n n 2 = 1 5 n definieren: n =5 ==> n 1 =2 n 2 = Länge n aufstellen: berechnen: 2²1²5²= n = Der Vektor multipliziert mit dem Rezibrokenwert der Länge (um ihn auf 1 zu normalisieren) Einsetzen: distance g,h= g p n = ,278

16 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 16 Gerade Gerade (parallel) Man wählt einen beliebigen Punkt der einen Gerade aus und sieht dann diesen Fall als Gerade Punkt an. Ebene Punkt Satz: Sind eine Ebene E :x=pr usv und ein Punkt A x 1 x 2 x gegeben und der Punkt befindet sich nicht auf der Ebene, so gibt es einen Abstand zu dieser Ebene. Um diesen auszurechnen, sollte man die Ebene in die Koordinatenform bringen: a 1 x 1 a 2 x 2 a x =d Formel: distance P ; E= a 1 x 1 a 2 x 2 a x d a 1 ²a 2 ²a ² Ebene Ebene (parallel) Hierzu sucht man sich einen beliebigen Punkt aus der einen Ebene und wählt den fall Ebene Punkt.

17 Christian Voigt M-Lernzusammenfassung 17 Lizens und Copyright Copyright Copyright (c) Christian Voigt 28. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front- Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is here: