Datenstrukturen & Algorithmen

Transkript

1 Datenstrukturen & Algorithmen VO

2 Um was geht es? Datenstrukturen Algorithmen

3 Algorithmus Versuch einer Erklärung: Ein Algorithmus nimmt bestimmte Daten als Input und transformiert diese nach festen Regeln in einen sinnvollen Output. Versuch einer Definition: Ein Algorithmus ist eine endliche Folge von Anweisungen, die die Lösung eines bestimmten Problems erlaubt. Jede Anweisung hat eine klare Bedeutung und kann mit endlichem Aufwand und in endlicher Zeit ausgeführt werden.

4 Algorithmus - Beispiele - Bedienungsanleitung zum Zusammenbau eines Möbels (Teilschritte auch wieder Algorithmen!) - detailliertes Kochrezept - einfache mathematische Funktionen (addieren, subtrahieren, sin, exp, logische Vergleiche ) - Komplexere Operation: Sortieren, Suchen, Kodieren, Optimieren, - Kombination daraus (z.b. zuerst ordnen und dann suchen)

5 Algorithmus Wichtige Eigenschaft: modular können daher kombiniert werden. Basis von Algorithmen (Bausteine) in D&A Sortieralgorithmen Suchalgorithmen Algorithmen zur Manipulation von Datenstrukturen und andere

6 Datenstruktur Eine Datenstruktur ist eine bestimmte Art Daten zu verwalten und zu verknüpfen, damit man in geeigneter Art und Weise auf sie zugreifen und diese manipulieren kann. Immer verbunden mit speziellen Operationen (z.b.: Einfügen, Entfernen, Sortieren, Maximum, Nachfolger, ) = wieder Algorithmen

7 Datenstrukturen - Beispiele Lineare Felder (arrays) Stapel (stacks) Schlangen (queue) Halden (heaps) Hashtabellen Bäume (Graphen) Sonderformen Komplexe Kombinationen möglich: Baum aus Halden Eine Schlange aus Bäumen

8 Um was geht es? Wir wollen Algorithmen und Datenstrukturen systematisch analysieren und vergleichen. Was ist ein guter Algorithmus? Er muss das richtige Ergebnis für alle möglichen Inputs liefern. Er muss schnell sein. Er soll wenig Ressourcen (Speicher, Bandbreite, CPUs, logische Gatter,Zeit, ) benötigen.

9 Analyse von Algorithmen Wir wollen wissen wie viel Zeit (allg.ressourcen) der Algorithmus in Abhängigkeit der Inputgröße benötigt. Abstraktion des Algorithmus (und der Datenstruktur) (Unabhängig von der eigentlichen Implementation Sprache, OS, Protokolle, Hardware etc.) Mathematische Werkzeuge: O-Notation, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie, etc.

10 Analyse - Vorgehensweise 1 Annahmen (Input, ) 2 Verbale Formulierung (Idee) 3 Abstraktion - Pseudocode 4 Schrittweise Analyse 5 Fallunterscheidung

11 Ein erstes Beispiel Durchschnittwerts von Zahlen Annahme: Daten liegen als lineares Feld A[n] vor. Die Länge n ist bekannt. (Nur Integerzahlen) Verbale Formulierung: In einer Schleife gehe ich alle Daten durch und summiere diese auf. Zum Schluss dividiere ich durch die Anzahl der Werte. Pseudocode: DURCHSCHNITT (A) 1: Summe = 0 2: FOR i = 1 TO n 3: Summe = Summe + A[i] 4: RETURN (Summe/n)

12 Analyse der Laufzeit Zählen der elementaren Schritte: Zuweisung a = b, c = 3.0 Arithmetische Operation +,-,*,/ Einfache Funktionen sqrt(x), ln(x), swap(x,y) Vergleiche =, <, >,, Indirekte Adressierung A[i], B[k+1] Alle Schritte brauchen dabei bestimmte, aber konstante Zeiten.

13 Ein zweites Beispiel Sortieren durch Einfügen (Insertion-Sort) Pseudocode: INSERTION-SORT(A) 1: FOR i=2 TO n 2: h=a[i] 3: j=i-1 4: WHILE A[j]>h AND j>0 DO 5: A[j+1]=A[j] 6: j=j-1 7: A[j+1]=h

14 Sortieren durch Einfügen Pseudocode Zeit-Kosten Anzahl INSERTION-SORT (A) 1: FOR i=2 TO n 2: h=a[i] 3: j=i-1 4: WHILE A[j]>h AND j>0 DO 5: A[j+1]=A[j] 6: j=j-1 7: A[j+1]=h c1 n-1 c2 n -1 c3 n -1 c4 n i = 2 t i n c5 i = ( t 2 i c6 n = ( t i 2 i c7 n -1 1) 1)

15 Fallunterscheidungen Gründe für worst case Analyse: Entspricht der oberen Schranke keine Überraschungen worst case kommt häufig vor (z.b. Suchen nach nicht gespeicherten Daten) Mittlerer Fall oft ordnungsmäßig nicht besser. oft sehr einfach am Pseudocode ablesbar Gründe für eine best case Analyse: Entspricht der unteren Schranke sinnvoll, wenn der beste Fall wahrscheinlicher ist Gründe für eine average case Analyse: um eine durchschnittliche Performace zu analysieren zusätzliches Wissen über die Inputwahrscheinlichkeitsverteilung nötig meist komplizierter in der Analyse

16 Vergleich zweier Ordnungen Sortieren des Grazer Telefonbuchs: Einträge Alter PC: 1 MIPS Insertion Sort n 2 = 90 Milliarden Schritte sec. = 25 h > 1 Tag Andere Sortieralgorithmen n ld n 5,5 Mio. Schritte 5.5 sec. Supercomputer : 500 Mflops (IBM ) n 2 = 180 sec!!!

17 Vergleich zweier Ordnungen Sortieren des NYC Telefonbuchs: Einträge Alter PC: 1 MIPS Insertion Sort n 2 = 6.4*10 13 Schritte Tage Andere Sortieralgorithmen n ld n 183 Mio.Schritte 183 sec. Supercomputer : 500 Mflops (IBM ) n 2 = 35 Stunden!!

18 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Bis zum nächsten Mal. ( Donnerstag, 11.Okt.2007, 11:15, i13 )