Anwendungen der Linearen Algebra

Transkript

1 Anwendungen der Linearen Algebra mit MATLAB Bearbeitet von Günter M. Gramlich 1. Auflage Buch. 179 S. Hardcover ISBN Format (B x L): 14,5 x 21 cm Gewicht: 265 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Algebra > Lineare und multilineare Algebra, Matrizentheorie Zu Inhaltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 CARL HANSER VERLAG Günter M. Gramlich Anwendungen der Linearen Algebra mit MATLAB

3 2.2 Computertomographie 37 >> pretty(i(2)) >> pretty(i(3)) R3 U R2 R1 + R2 R4 + R3 R1 + R3 R4 + R3 R2 R2 U R2 R1 + R2 R4 + R3 R1 + R3 R4 + R3 R2 Wie zu erwarten, kann die Lösung für solch ein kleines System symbolisch berechnet und übersichtlich dargestellt werden. 2.2 Computertomographie Das Bild 2.2 zeigt einen Querschnitt durch das menschliche Gehirn, der mit einem Computertomographen angefertigt wurde. Der Schädelknochen zeigt Bild 2.2: Computertomographischer Querschnitt der Hirnregion eines Menschen

4 38 2 Wo kommen lineare Gleichungssysteme vor? sich als breites weißes Oval. Er umschließt das Hirn, dessen Gewebestruktur deutlich hervortritt. Die Tomographie ist eine schmerzfreie Untersuchungsmethode. Sie liefert Bilder des Körperinnern ohne operativen Eingriff. Bei der Herstellung dieser Bilder spielen Computer und Mathematik eine wesentliche Rolle, denn die Bilder werden berechnet. Im Prinzip besteht diese Rechnung darin, dass ein großes lineares Gleichungssystem aufgelöst wird. Wir zeigen nun, wie man auf dieses System kommt und wie am Schluss solch ein Bild entsteht. Zunächst werden Messungen durchgeführt. Hierzu muss der liegende Patient in die Maschine geschoben werden, die die Messungen durchführt. Dies braucht viel Anteilnahme des betreuenden Personals. Es ist keine angenehme Sache, in einer engen Apparatur zu liegen und kaum die Arme bewegen zu können. Die Aussicht, dass die Diagnose ein bedenkliches Ergebnis liefern könnte, beschwert das Gemüt des Patienten zusätzlich. Durch die Position des Patienten wird die Schicht festgelegt, die dargestellt werden soll. Eine Strahlenquelle sendet Strahlen (Röntgen-Strahlen) aus. Diese durchqueren die gewählte Körperschicht und treten wieder aus dem Körper aus. Nun treffen die Strahlen auf einen Empfänger, der misst, wie stark diese jetzt noch sind. Das ist aber noch nicht genug! Es müssen noch mehr Messungen gemacht werden. Deshalb wird die Strahlenquelle in kleinen Schritte gedreht und jedesmal wird der Messvorgang wiederholt. So kommt man schließlich zu einer großen Anzahl von Messungen. Wir möchten das Prinzip an einem einfachen Modell erklären. Hierzu unterteilen wir die betrachtete Schicht zwischen Strahlenquelle und -empfänger in neun Quadrate und zeichnen einen Strahl ein, siehe Bild 2.3. S e n d e r Em p f ä n ger Bild 2.3: Zur Berechnung der CT-Bilder Nehmen wir an, dass der Strahl beim Verlassen der Quelle eine Stärke von 20 Einheiten hat. Er durchquert die Quadrate 1, 2 und 3. Beim Durchgang durch das erste Quadrat wird er um einen gewissen Betrag abgeschwächt, sagen

5 2.2 Computertomographie 39 wir um x 1 Einheiten. Im zweiten Quadrat wird er weiter um x 2 Einheiten abgeschwächt und im dritten nochmals um x 3 Einheiten. Nun tritt der Strahl aus der Schicht heraus. Die Stärke, die der Strahl jetzt noch hat, wird vom Strahlenempfänger gemessen. Sie betrage noch 2 Einheiten. Wir können diese Abschwächung von 20 auf 2 Einheiten mit einer Gleichung beschreiben: 20 x 1 x 2 x 3 =2 oder in Normalform ausgedrückt x 1 + x 2 + x 3 =18. Der Wert der rechten Seite ist durch Messung bestimmt worden; die Größen x 1, x 2 und x 3 sind unbekannt. Wir haben eine lineare Gleichung mit drei Unbekannten vor uns. Nun wird ja nicht nur eine Messung durchgeführt. Weitere, parallele Strahlen werden durch die Schicht geschickt und gemessen, siehe Bild 2.4. S e n d e r Em p f ä n ger Bild 2.4: Zur Berechnung der CT-Bilder Der zweite Strahl durchquert die Quadrate 4, 5 und 6 und wird von 20 auf 6 Einheiten abgeschwächt. Der dritte Strahl geht durch die Quadrate 7, 8 und 9. Er wird von 20 auf 2 Einheiten abgeschwächt. Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen: x 4 + x 5 + x 6 =14 x 7 + x 8 + x 9 =18 (für den mittleren Strahl) (für den unteren Strahl). Aus den drei Messungen erhalten wir also drei lineare Gleichungen mit allerdings neun Unbekannten, also das unterbestimmte lineare Gleichungssystem x 1 +x 2 +x 3 =18 x 4 +x 5 +x 6 =14 x 7 +x 8 +x 9 =18.

6 40 2 Wo kommen lineare Gleichungssysteme vor? Aus diesem unterbestimmten System lassen sich die neun Unbekannten nicht eindeutig bestimmen. Wir brauchen weitere Bedingungen, also weitere Gleichungen. Zur eindeutigen Bestimmung von neun Unbekannten braucht man normalerweise neun Gleichungen. Deshalb wird die Messeinrichtung in zwei Schritten leicht gedreht. Damit können sechs weitere Messungen durchgeführt werden. Zunächst drehen wir die Messeinrichtung um einen bestimmten Winkel, sodass zum Beispiel die in Bild 2.5 dargestellte Position entsteht Bild 2.5: Position nach der ersten Drehung Nun werden die Quadrate 4, 2 und 3 vom oberen Strahl durchdrungen. Nimmt der Empfänger eine Intensität von 3 Einheiten wahr, dann folgt die Gleichung x 2 + x 3 + x 4 =17. Nehmen wir für den mittleren und unteren Strahl gemessene Stärken von 5 und 8 an, dann kommen noch die Gleichungen x 5 + x 6 + x 7 =15 x 8 + x 9 =12 hinzu. Insgesamt besteht das lineare Gleichungssystem nun aus sechs Gleichungen und neun Unbekannten. Es ist immer noch unterbestimmt; eine eindeutige Lösung gibt es nicht. Drehen wir nun den Tomographen noch einmal in die in Bild 2.6 gezeigte Position, dann erhalten wir wieder drei lineare Gleichungen.

7 2.2 Computertomographie Bild 2.6: Position nach der zweiten Drehung Sind die aufgefangenen Intensitäten für die drei Strahlen 8, 7 und 6, dann lauten diese drei Gleichungen x 2 + x 4 =12 x 3 + x 5 + x 7 =13 x 6 + x 8 =14. Nun können wir die drei linearen Systeme, die wir durch die drei Positionen gewonnen haben, zu einem System zusammenfassen; dieses lautet: x 1 +x 2 +x 3 =18 x 4 +x 5 +x 6 =14 x 7 +x 8 +x 9 =18 x 2 +x 3 +x 4 =17 x 5 +x 6 +x 7 =15 x 8 +x 9 =12 x 2 + x 4 =12 x 3 + x 5 + x 7 =13 x 6 + x 8 =14.

8 42 2 Wo kommen lineare Gleichungssysteme vor? Nun haben wir ein quadratisches Gleichungssystem mit neun Gleichungen und neun Unbekannten. Dieses System hat genau eine Lösung; sie lautet: x =(6, 7, 5, 5, 2, 7, 6, 7, 5), siehe Übungsaufgabe 2.2. Was bedeutet diese Lösung? Das erste Quadrat schwächt den Strahl um x 1 = 6 Einheiten ab, das zweite um x 2 = 7, das dritte um x 3 = 5 Einheiten und so weiter. Diese Zahlen werden jetzt mit Hilfe einer Grautonskala umgesetzt, siehe Bild Bild 2.7: Grautonskala Das erste Quadrat wird also mit dem Grauton Nummer 6 eingefärbt, das zweite mit dem Ton Nummer 7 usw. Jedes Bildquadrat wird mit dem entsprechenden Grauton eingefärbt. So entsteht das CT-Bild dieser Schicht, siehe Bild 2.8. Bild 2.8: Die Lösung im Grauton Das rechnerische Verfahren muss noch in vielfältiger Weise verfeinert werden, wenn medizinisch aussagekräftige Bilder entstehen sollen. Aber das Prinzip der Computertomographie kennen Sie nun. Jedes CT-Bild besteht aus Tausenden von Quadrätchen, die in unterschiedlichen Grautönen gefärbt sind. Der Grauton gibt an, wie stark ein Strahl an der entsprechenden Stelle im Körper abgeschwächt wird. Wenn er stark abgeschwächt wird, so erscheint das Quadrat hell; wird er nicht oder nur wenig abgeschwächt, so ist das Quadrat dunkel. Weil verschiedene Gewebearten Strahlen unterschiedlich stark abschwächen, ergeben sich Helligkeitsunterschiede. Deshalb können wir unterschiedliche Gewebearten im CT-Bild unterscheiden.