Verfahren der Investitionsrechnung. Kalkulationszinsfuß unter Sicherheit

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1 Verfahren der Investitionsrechnung Kalkulationszinsfuß unter Sicherheit

2 Ermittlung von Kalkulationszinsfüßen Kalkulationszinsfuß Opportunitätskosten Finanzierungskosten Orientierung an Alternativen am Kapitalmarkt Es gibt aber nicht einen laufzeitunabhängigen Zins; sondern für jede Laufzeit muß aus Kapitalmarktdaten ein Zins ermittelt werden Bei projektindividueller Finanzierung sind die Finanzierungskosten ermittelbar 2

3 Für jede Laufzeit den individuellen Zins ermitteln Die Idee: Für jeden Teil des Zahlungsstromes soll der auf dem Kapitalmarkt jeweils erzielbare Zins als Kalkulationszins verwendet werden. Summe = NPV 3

4 Bestimmung von Kalkulationszinsfüßen unter Sicherheit Verschiedene Zinssätze 3 wesentliche Arten von Zinssätzen Kassazinssatz (spot rate) Terminzinssatz (forward rate) Effektivzinssatz (yield) 4

5 Nullkuponanleihen (Zero Bonds) und Kassazinssatz Nullkuponanleihe: K K ,97 Berechnung des Kassazinssatzes: i K K T, T = T 1 125,97,3 = 1 = 1 i 3 8% 5

6 Terminzinssatz Termingeschäft: Vertragsabschluß K 1 K ,81 Berechnung des Terminzinssatz: = i t2 t1 t1,t2 K K t t ,81 3-1,3 = 1= 1 i 1 9% 6

7 Zusammenhang zwischen Kassa- und Terminzinssatz Beispiel: Kassazinssatz t,1 = 8% Kassazinssatz t,2 = 9%! 2,1 )(1+ i1,2 ) = (1 i,2 ) (1 + i + Terminzinssatz t 1,2 : i (1+ i 1+ i,1 ) 2,2 1,2 = 1 = (1+,9) 1+,8 2 1= 1% 7

8 Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen Kassa- und Terminzinssatz am Zeitstrahl 9 % 8 % 1 % 1 2 Periode 8

9 Kuponanleihe und Effektivzinssatz Kuponanleihe: Z 1 K Z Z 2 K = T t t= 1 (1+ Z i) t 9

10 Zinskurven i i Laufzeit Laufzeit Die flache Zinskurve unrealistisch - kein Unterschied zwischen Kassa- Termin- und Effektivzins 1

11 Kalkulationszinsfüße bei nicht-flacher Zinskurve Verwendung von Kassazinssätzen Verwendung von Kassazinssätzen als Diskontierungsfaktoren (π) = + t t (1 i,t ) Beispielprojekt: Periode NE Kuponanleihen: Preis t t 1 t 2 t 3 t 4 Anleihe 1 98, Anleihe 2 11, Anleihe 3 13, Anleihe 4 17, Quelle: KRUSCHWITZ, L. (1995): S. 335 ff.. 11

12 Lösung des Gleichungssystems durch Matrizeninversion Gleichungssystem: 4π π 2 + π 3 + π 4 = 98,18 6π π 2 + π 3 + π 4 = 11,91 7π 1 + 7π 2 + 7π π 4 = 13,8 8π 1 + 8π 2 + 8π π 4 = 17, = ,18 11,91 13,8 17,31 =,9578,972,8527,

13 Das Gleichungssystem erklärt sich aus den Preisen von elementaren Wertpapieren 3. Gleichung kann verstanden werden 7π 1 + 7π 2 + 7π π 4 = 13,8 als ein Paket aus 7 elementaren Wertpapieren, die zum Zeitpunkt t=1 mit jeweils 1 zurückgezahlt werden, ebenso zu den Zeitpunkten t=2 und t=3 sowie 17 elementaren Wertpapieren, die zum Zeitpunkt t=4 zurückgezahlt werden. 1, 2, 3, 4 sind dann nichts anderes als die Preise dieser vier Wertpapiere, die in t=1 bis t=4 fällig werden = ,18, ,91,972 = 13,8, ,31,

14 Berechnung der Kassazinssätze und des NPV Aus folgt: i t 1 t t = (1+ i,t ) 1,1 = 1=,9578 i 1 1,t = t 4,41% 1,2 = 1 =,972 i 2 4,99% 1,3 = 1 =,8527 i 3 1,4 = 1 =,7923 i 4 5,46% 5,99% NPV = ,441 1,499 1,546 1,599 1 = 1.457,3 14

15 Bestimmung von Kalkulationszinsfüßen Geldentwertung und realer Zinssatz Einkommenserzielung als Ziel des Investors Geldentwertungsrate (g) Realer Zinsfuß (i r ) i g i r = 1+ g 15

16 Bestimmung von Kalkulationszinsfüßen Bewertung und Geldentwertung Prinzipiell gleichwertige Alternativen Nominale Rechnung Reale Rechnung Problematische Bestimmung einer adäquaten Geldentwertungsrate (g) Selten Berücksichtigung notwendig 16

17 Investitionsentscheidung und steuerliche Normen

18 Berücksichtigung von Steuern Warum? Soweit Steuern die Gewinne aus Investitionsprojekten in gleicher Weise mindern, kann auf ihre Berücksichtigung verzichtet werden. Nicht ganz selten werden aber Gewinne aus Investitionsprojekten unterschiedlich besteuert. Die Nichtberücksichtigung von Steuern könnte dann die Vorteilhaftigkeits-Kennzahlen verzerren und es könnte zu Fehlentscheidungen kommen. 18

19 Berücksichtigung von Steuern Warum? Steuern hängen von den Lebensumständen des Steuersubjektes ab. Daher kann dasselbe Investitionsprojekt für unterschiedliche Entscheidungsträger eine unterschiedliche Vorteilhaftigkeit besitzen. Die Besteuerung hängt von der Rechtsform ab. Aus der Perspektive des Unternehmens und der Anteilseigner können sich bei Berücksichtigung von Steuern unterschiedliche Vorteilhaftigkeiten ergeben. Dasselbe sachliche Investitionsprojekt kann bei unterschiedlicher Gestaltung (Kauf, Leasing) nach Steuern unterschiedlich vorteilhaft sein 19

20 Kennzeichen von Steuern Steuersubjekt: Steuerschuldner Bemessungsgrundlage: Quantifizierung des Steuerobjekts Tarif: Anzuwendende Steuersatz auf die Bemessungsgrundlage 2

21 Gewerbeertragsteuer (S GE ) Steuersubjekt: Unternehmer Bemessungsgrundlage: Gewerbeertrag, Kürzungen und Hinzurechnungen (Hälfte der Zinsen für Dauerschulden) Tarif (s GE ): Gewerbeertragsteuer ist Betriebsausgabe, kürzt daher die eigene Bemessungsgrundlage. Abhängig vom Hebesatz (H) der Gemeinde.,5H s GE = 1 +,5H 21

22 Gewerbeertragsteuer (S GE ) - Beispiel Gewerbeertrag (NE) = 8 Abschreibungen (Ab) = 2 Hebesatz (H) = 4% S GE,5 4 = sge (NE - Ab) = (8 2) 1 +,5 4 = =, = 1 22

23 Einkommensteuer (S I ) Steuersubjekt: Natürliche Personen Bemessungsgrundlage: Einkünfte; Unterscheidung in sieben Einkunftsarten: - Einkünfte aus Land und Forstwirtschaft - Einkünfte aus Gewerbebetrieb - Einkünfte aus selbständiger Arbeit - Einkünfte aus nichtselbständiger Arbeit - Einkünfte aus Kapitalvermögen - Einkünfte aus Vermietung und Verpachtung - Sonstige Einkünfte Tarif (s I ): Abhängig von der Einkunftsart und der Höhe des Einkommens 23

24 Körperschaftsteuer (S K ) - Halbeinkünfteverfahren Steuersubjekt: Kapitalgesellschaften Bemessungsgrundlage: körperschaftsteuerlich zu versteuerndes Einkommen Tarif (s K ): 25% Bei Dividendenausschüttung: Zusätzliche Versteuerung auf Anteilseignerebene mit Einkommensteuertarif (s I ); Hälfte der Dividende wird in der Bemessungsgrundlage der Einkommensteuer (S I ) erfaßt 24

25 Körperschaftsteuer (S K ) - Graphische Darstellung des Halbeinkünfteverfahrens Unternehmensebene Eigentümerebene KSt (25%) Gewinn der Körperschaft Gewinnthesaurierung Jahresüberschuß Ausschüttung Gewinnverwendung Als Einkommen zu versteuern Einkünfte aus Kapitalvermögen 25

26 Vorgehensweisen zur Berücksichtigung von Steuern in Modellen zur Beurteilung von Investitionen Es sind grundsätzlich folgende Vorgehensweisen zur Modifizierung der Kapitalwertmethode vorgeschlagen worden: 1. Korrektur des Zinsfußes 2. das sogenannte Standardmodell 3. Erweiterungen des Standardmodells, insbesondere Berücksichtigung von projektbezogenen Finanzierungen, Investitionshilfen, Substanzsteuern 26

27 Annahmen im sogen. Standardmodell Die Zahlungsreihe selbst wird durch die Steuerzahlungen nicht verändert. Die Höhe der Steuer ist proportional zum Gewinn. Die Steuer fällt an jedem Periodenende zeitgleich mit der Entstehung der Steuerschuld an. Mit Ausnahme der Anschaffungsauszahlung und ggf. des Liquidationserlöses sind alle Einzahlungen und Auszahlungen gleichzeitig Erträge und Aufwendungen. Die Anschaffungsauszahlung führt zu steuermindernden Abschreibungen. In jeder Periode wird unabhängig von dem Investitionsprojekt ein Gewinn erwirtschaftet, der einen sofortigen Verlustausgleich in den Perioden ermöglicht, in denen durch das Investitionsprojekt Verluste entstehen. Sollzinsen mindern vollständig den steuerpflichtigen Gewinn Habenzinsen erhöhen den steuerpflichtigen Gewinn 27

28 Zwei Schritte zur Korrektur der Kapitalwertberechnung Modifikation der ursprünglichen Zahlungsreihe um die Zahlungen, die durch die Besteuerung anfallen. Anpassung des Kalkulationszinssatzes, um die Besteuerung der Erträge aus Finanzanlagen sowie die Abzugsfähigkeit von Fremdkapitalzinsen zu berücksichtigen. 28

29 Veränderung der Zahlungsreihe Die zusätzliche Steuerzahlung in einer Periode ist abhängig davon, ob in der Periode ein zusätzlicher Gewinn erwirtschaftet wird. Im Falle eines Verlustes in der Periode tritt die gegenteilige Wirkung ein: eine Steuerminderung. Die Zahlungsreihe ist in einen erfolgswirksamen Teil und einen erfolgsunwirksamen Teil aufzuspalten, um die Höhe der Steuerzahlungen zu ermitteln. 29

30 Veränderung der Zahlungsreihe Im einfachsten Fall sind bei der Veränderung der Zahlungsreihe zu berücksichtigen 1. Die Anschaffungsauszahlung als erfolgsunwirksam 2. Die Abschreibungen als zusätzliche erfolgswirksame Beträge 3. Der Steuersatz Zeit Anschaffungsauszahlung 2 jährliche Netto-Zahlungen = Zahlungsreihe 4 Abschreibungen = Gewinn(änderung) 6 5 * Steuersatz = Steuerzahlung = Zahlungen nach Steuern 3

31 Modifizierung des Kalkulationszinsfußes Wenn die Zinserträge von Finanzanlagen besteuert werden, dann muß der Kalkulationszins um den Steuersatz modifiziert werden. Es gilt: Zins nach Steuern = Zins vor Steuern Steuersatz x Zins vor Steuern Analog gilt für die Kosten der Finanzierung Zins nach Steuern = Zins vor Steuern Steuersatz x Zins vor Steuern Im Standardmodell ist es also ausreichend, mit einem Kalkulationszins zu rechnen, es kommt für die Modifikation also nicht darauf an, ob der Zins als Kosten der Finanzierung oder als Opportunitätskosten aufgefaßt wird. Der Kalkulationszins nach Steuern ist niedriger als der vor Steuern! 31

32 Veränderung des Kapitalwertes durch die Annahmen zur Besteuerung niedrigere Werte in der Zahlungsreihe wirken vermindernd Kapitalwert niedrigerer Zins wirkt erhöhend Die Veränderungen können zur Änderung der Beurteilung von Investitionsprojekten führen, sowohl im Hinblick auf die absolute Vorteilhaftigkeit als auch auf die relative Vorteilhaftigkeit 32

33 Veränderung der Kapitalwertfunktion Das Steuerparadox: Der Kapitalwert kann nach Steuern berechnet höher sein als vor Steuern? Worauf ist das zurückzuführen? 33

34 Ein Beispiel Objekt A Objekt B Steuersatz 4 % Kalkulationszinssatz 8 % Nutzungsdauer in Jahren 5 4 Anschaffungsauszahlung Liquidationserlös 5. Rückflüsse t t t t t5 3. Quelle: Götze und Bloech, 24, S

35 Objekt A Zeit Anschaffungsauszahlung -1. Liquidationserlös 5. jährliche Netto-Zahlungen Nettozahlungen insges Abschreibungen Veränderung des Gewinns durch des Projekt Steuerzahlungen Zahlungen nach Steuern Beispiel von Götze und Bloech, 24, S. 135 f. 35

36 Objekt B Zeit Anschaffungsauszahlung -6. Liquidationserlös jährliche Netto-Zahlungen Nettozahlungen Abschreibungen Veränderung des Gewinns durch des Projekt Steuerzahlungen Zahlungen nach Steuern Beispiel von Götze und Bloech, 24, S. 135 f. 36

37 Berechnung des Kalkulationszinssatzes nach Steuern für das Beispiel Zins nach Steuern = Zins vor Steuern Zins vor Steuern x Steuersatz,8,8 x,4 = i*,8,32 =,48 Beispiel von Götze und Bloech, 24, S. 135 f. 37

38 Vergleich der Objekte A und B Zeit NPV Objekt A Zahlungen nach Steuern Diskontfaktoren für 4,8 % 1,,9542,915,8688,829,791 abgezinst mit 4,8 % Objekt B Zahlungen nach Steuern Diskontfaktoren für 4,8 % 1,,9542,915,8688,829 abgezinst mit 4,8 % Beispiel von Götze und Bloech, 24, S. 135 f. 38

39 Berücksichtigung von Steuern in einem vollständigen Finanzplan Die Tabelle des vollständigen Finanzplans ist um jeweils eine Zeile für die Steuerzahlungen und die Steuererstattungen zu erweitern. Die Höhe der Steuerzahlungen bzw. Steuererstattungen ist jeweils in einer Nebenrechnung zu ermitteln. 39

40 Nebenrechnung zur Ermittlung der Steuerzahlungen Zur Vereinfachung wird oft angenommen, der Steuersatz sei unabhängig von der Bemessungsgrundlage. Dadurch braucht man nicht die tatsächliche Bemessungsgrundlage zu kennen, sondern nur deren Veränderung. Durch Multiplikation mit dem Steuersatz läßt sich dann die durch das Investitionsprojekt ausgelöste Steuerzahlung berechnen. Es wird weiterhin regelmäßig unterstellt: 1 Die Steuerschuld entsteht jeweils am Periodenende und auch die Steuerzahlung erfolgt am Periodenende 2 Die ursprüngliche Zahlungsreihe wird durch die Steuerzahlung nicht verändert. 3 Die Ein- bzw. Auszahlungen aus dem Projekt sind Erträge bzw. Aufwendungen. 4

41 Nebenrechnung Gewerbeertragssteuer effektiver Gewerbeertragsteuersatz bei Hebesatz 4 Prozent =, Zeit Gewerbeertragssteuer Zahlungsreihe Abschreibungen (-) Veräußerungserfolg (+) 5. Zinsaufwand (-) Zinsertrag (+) % Dauerschuldzinsen (+) = Veränderung der Bemessungsgrundlage Veränderung der Steuerzahlung Beispiel von Götze und Bloech, 24, S. 141 ff. 41

42 Nebenrechnung Körperschaftssteuer Die Gewerbeertragssteuer muß erst berechnet werden, weil sie hier die Bemessungsgrundlage schmälert. Zeit Körperschaftsteuer Zahlungsreihe Abschreibungen (-) Veräußerungserfolg (+) 5. Zinsaufwand (-) Zinsertrag (+) Gewerbeertragssteuer (-) = Veränderung der Bemessungsgrundlage Veränderung der Steuerzahlung Beispiel von Götze und Bloech, 24, S. 141 ff. 42

43 Gewerbeertrags- + Körperschaftsteuer Zeit Veränderung der Gewerbeertragsteuer Veränderung der Körperschaftsteuer Summe Dies ist in die Tabelle des vollständigen Finanzplanes einzutragen. 43

44 Zeit Zahlungsreihe Eigenkapital Entnahme (-) Einlage (+) 2. Kredit 1 (Ratentilgung) Aufnahme (+) 25. Ratentilgung Tilgung (-) Sollzinsen (-) Kredit 2 Aufnahme (+) 25. Endtilgung Tilgung (-) -25. Sollzinsen (-) Kredit 3 Aufnahme (+) Annuitätentilgung Tilgung (-) Sollzinsen (-) Kredit 4 Aufnahme (+) 3. Kontokorrentkredit Tilgung (-) Sollzinsen (-) Geldanlage Anlage (-) Auflösung (+) Habenzinsen (+) Steuern Steuerzahlung (-) Steuererstattung (+) Finanzierungssaldo 44

45 Zeit Bestandsgrößen Kreditstand Kredit Kredit Kredit 3 Kredit Guthabenbestand Bestandssaldo Beispiel von Götze und Bloech, 24, S. 141 ff. 45

46 Eine sinnvolle Anwendung des Standardmodells Optimale Wahl von Abschreibungsmodalitäten Bei vielen Investitionsprojekten kann der Investor die Abschreibungsmodalitäten in Grenzen wählen. Der Gesetzgeber hat in der Vergangenheit die Regelungen zur Abschreibung mehrmals verändert. Es stellen sich die folgenden Fragen: Wie vorteilhaft ist die Wahl der degressiven Abschreibung? Wenn es möglich ist, von der degressiven Abschreibung zur linearen Abschreibung zu wechseln, welcher Zeitpunkt ist optimal? Ein Rechenmodell steht auf der Internetseite bms-consulting.de zur Verfügung. In dem Beispiel wird die Differenz des Kapitalwerts zur Referenz (lineare AFA) als Rabatt auf die Investitionssumme interpretiert. (Bericht in der FAZ vom , S. 18) 46

47 Höchstbelastung von Aktienanlegern in Ländern des deutschen Sprachraumes pro Jahr A CH D bis 26 D ab 29 Dividendensteuer 25, 19,3-4 22,155 26,375 Kursgewinnsteuer 26,375 Vermögensteuer,16-,97 Erbschaftsteuer 3 3 effektive Gesamtbelastung in Prozent des jährlichen Ertrages 8, ,23 43 Quelle: Wenger: Für deutsche Aktionäre heißt es Koffer packen, FAZ, , S. 22 Bei Erbschaftsteuer Steuersatz einer fiktiven, auf den Gesamtertrag von 7,5% pro Jahr erhobenen einheitlichen Ertragssteuer, die zu demselben Endvermögen führt wie die in der Tabelle angegebenen Steuerarten, wenn jeweils nach Ablauf von 3 Jahren ein Erbfall eintritt. 47

48 Investitionsdauerentscheidungen

49 Arten der Investitionsdauerentscheidungen Investitionsdauerentscheidungen Nutzungsdauerentscheidungen Ersatzzeitpunktsentscheidungen Einmalige Investition Mehrmalige Investition Es ist schon investiert Es ist noch nicht investiert 49

50 Investitionsdauerentscheidungen die betrachteten Varianten Variante Nutzungsdauer bei einmaliger Investition Nutzungsdauer-Kombinationen bei mehrmaliger Investition und endlichem Planungshorizont Nutzungsdauer bei unendlichem Planungshorizont Ersatzzeitpunktentscheidung Kriterium bzw. Verfahren Trägt die nächste Periode zum Gewinn bei? Kapitalwertvergleich aller Alternativen maximale Annuität Kapitalwert der Nutzung einer weiteren Periode > Annuität der neuen Anlage MAPI-Verfahren 5

51 Nutzungsdauerentscheidungen bei einmaliger Investition Entscheidungskriterium: Solange die Verlängerung der Nutzung um die jeweils nächste Periode zum Gewinn beiträgt, ist die Weiternutzung der Anlage sinnvoll. opt. Nutzungsdauer Kosten des Verzicht auf die Liquidation = L n-1 (1+i) Grenzgewinn Zahlungsüberschuß bei Betrieb um eine weitere Periode = NE n + L n Perioden 51

52 Nutzungsdauerentscheidungen bei einmaliger Investition - Beispiel Beispiel: (KRUSCHWITZ, L. (1995): Investitionsrechnung S. 153 f.) Periode (t) NE t L t Daraus ergeben sich folgende alternative Zahlungsreihen: N t N L NE Nutzungsdauer Liquidationserlös Nettozahlung 52

53 Nutzungsdauerentscheidungen bei einmaliger Investition Kriterium des Grenzgewinns n aufgezinst Netto- Zahlung bei Einstellung in der Periode N Liquidations erlös der Vorperiode zeitlicher Grenzgewinn Abzinsungsfaktor zeitlicher Grenzgewinn abgezinst NE n +L n L n-1 L n - 1 *(1+i) (1+i) n 1 2 2*(1+i) * ,91 9, ,83 198, ,75-3, ,68 47, ,62-12, ,56-5,64 Weil der abgezinste zusätzliche Gewinn in Periode 4 den Verlust in Periode 3 überkompensiert, beträgt die optimale Nutzungsdauer 4 Perioden 53

54 Nutzungsdauerentscheidungen bei einmaliger Investition Graphische Darstellung Restkapitalwert 1.9,91 743,8 3,53 273,21 124,18 56,45 Erlöse der Vorperiode 1., 545,45 33,58 225,39 136,6 62,9 Grenzgewinn 9,91 198,35-3,5 47,81-12,42-5,64 54

55 Nutzungsdauerentscheidungen bei mehrmaliger Investition Kombinationsmöglichkeiten Nutzungsdauerentscheidungen bei identischen und nicht identischen Ketten und endlichem und unendlichem Planungshorizont identisch Investitionskette nicht identisch Planungszeitraum endlich unendlich Ketteneffekt nicht sinnvoll Ketteneffekt: die Kettenglieder werden immer länger. 55

56 Nutzungsdauerentscheidungen bei mehrmaliger Investition und endlichem Planungshorizont Vollständige Enumeration aller Alternativen: A B A B C A B Realisierung der Strategie mit dem höchsten Kapitalwert Alternativenbaum Problem: Methode für umfangreiche Problemstellungen ungeeignet Lösung mit Methoden des Operations Research 56

57 Nutzungsdauerentscheidungen bei mehrmaliger Investition und unendlichem Planungshorizont Lösungsverfahren: Optimierung des Kapitalwerts einer periodisch ewigen nachschüssigen Rente NPV = w i, n NPV i n NPV mit: w i,n = i(1+ i) (1+ i) n n 1 opt. Nutzungsdauer N 57

58 Nutzungsdauerentscheidungen bei mehrmaliger Investition und unendlichem Planungshorizont Beispiel: (KRUSCHWITZ, L. (1995): Investitionsrechnung S. 165 f.) Alternative Zahlungsreihen: N t

59 Nutzungsdauerentscheidungen bei mehrmaliger Investition und unendlichem Planungshorizont Berechnung der Kapitalwerte n NPV n Annuitätenfaktor (w i,n ) w i,n NPV n i NPV 1 9,91 1,1 1, 1% 1, 2 289,26,58 166,67 1% 1666, ,2,4 14,23 1% 142, ,1,32 96,85 1% 968, ,6,26 77,71 1% 777, ,95,23 66,35 1% 663,45 Bei unendlicher Wiederholung ist nun eine Nutzungsdauer von 2 Perioden optimal Warum ist die opt. Nutzungsdauer kürzer als bei einmaliger Investition? 59

60 Ersatzzeitpunktentscheidungen Bei einmaliger Investition existiert das Problem nicht. Die alte Anlage ist stillzulegen, wenn die zeitlichen Grenzgewinne nachhaltig unter Null sinken Mehrmalige Investition bei endlichem Planungshorizont. Dies entspricht dem Nutzungsdauerproblem und ist mit den dafür geeigneten Verfahren (OR) zu lösen. Mehrmalige Investition mit unendlichem Planungshorizont. Das ist das hier behandelte Problem. Die existierende Anlage soll durch eine unendliche Kette identischer Anlagen abgelöst werden. 6

61 Beispiel einer Ersatzzeitpunktsentscheidung Ausgangsdaten Lösungsansatz ähnlich der Optimierung eines einmaligen Projekts Beispiel: (KRUSCHWITZ, L. (1995): Investitionsrechnung S. 169 f.) i=7% Die alte Anlage (A) weist folgende Zahlungsströme auf: Periode (t) NE(A) t L(A) t Die neue Anlage (N) weist folgende Zahlungsströme auf: Periode (t) NE(N) t

62 Optimaler Ersatzzeitpunkt Entscheidungskriterium: opt. Ersatzzeitpunkt Solange der Kapitalwert der Verlängerung der Nutzung um die jeweils nächste Periode größer ist als die Annuität der neuen Anlage, ist die Weiternutzung der Anlage sinnvoll. Zahlungsüberschuß bei Ersatz der alten Anlage: Annuität der neuen Anlage Grenzgewinn Kosten des Verzichts auf den Ersatz der alten Anlage, Kapitalwert bei Weiterbetrieb um 1 Periode Perioden 62

63 Beispiel einer Ersatzzeitpunktsentscheidung Grenzgewinn der alten Anlage 1.Schritt: Ermittlung der zeitlichen Grenzgewinne der alten Anlage (A) n Nettozahlungen der letzten Periode NE(A) n +L(A) n Liquidationserlös der Vorperiode L(A) n-1 Liquidationserlös der Vorperiode (1Periode aufgezinst) L(A) n-1 (1+i) zeitlicher Grenzgewinn (aufgezinst) (NE(A) n +L(A) n )-L(A) n-1 (1+i)

64 Beispiel einer Ersatzzeitpunktentscheidung Annuität der neuen Anlage 2.Schritt: Ermittlung der der Annuität der neuen Anlage (N) NPV(N)= 3.79,3 Annuität(N) = NPV(N) T i(1+ i) = T (1+ i) 1,7(1+,7) = 3.79,3 5 (1+,7) 1 = 75,95 5 = 64

65 Beispiel einer Ersatzzeitpunktsentscheidung Entscheidung anhand Differenzkapitalwerte 3.Schritt: Berechnung und Analyse der Differenzkapitalwerte n zeitlicher Grenzgewinn der alten Anlage (E(A) n +L(A) n )-L(A) n-1 (1+i) Annuität der neuen Anlage w 7%,5 NBW(N) Differenzkapitalwert (aufgezinst) Abzinsungsfaktor (1+i) -n Differenzkapitalwert (1) (2) (3) (4)=(2)-(3) (5) (6)=(4)*(5) ,95-2,95, , ,95 146,55, , ,95-46,45, , ,95-185,95, ,86 Optimaler Ersatzzeitpunkt nach 2 Jahren der negative Kapitalwert für den Ersatz in der ersten Periode wird durch den positiven Kapitalwert in der zweiten Periode mehr als ausgeglichen. Also nicht sofort ersetzen, sondern noch zwei Perioden nutzen. 65

66 Verständnisfrage Wieso ist die optimale Nutzungsdauer kürzer, wenn eine Investition einen Nachfolger hat? 66

67 MAPI- Verfahren zur Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunkts MAPI- Verfahren: Spielart des Rentabilitätsvergleichsverfahren Erfassung möglichst vieler Faktoren, die die Rentabilität beeinflussen Notwendige Vereinfachungen für die Anwendbarkeit in der Praxis durch: MAPI- Formular (erfaßt alle relevanten Größen) MAPI- Diagramme (Kapitalverzehr unter bestimmten Annahmen) MAPI- Formel (ermittelt die relative Rentabilität des durch die zusätzliche Investition gebundenen Kapitals für das nächste Jahr) 67

68 Die MAPI- Formel Vermiedener Kapitalverzehr des nächsten Jahres Entstehender Kapitalverzehr des nächsten Jahres (MAPI- Diagramm) Laufender Betriebsgewinn des nächsten Jahres B + C D - E Ertragssteuern aaaaaaaaaaaaa Machinery and Allied Products Institute (TERBORGH) A Nettoausgaben für das Investitionsobjekt 68

69 Programmentscheidungen

70 Probleme der Programmplanung Aufgabe der Betrachtung von Investitionseinzelentscheidungen Vielzahl von möglichen Programmalternativen Programmplanung Unabhängige Projekte Aktien, Immobilien Abhängige Projekte Stufen einer industriellen Fertigungsstraße 7

71 Einfaches Modell des Einperiodenfalls Betrachtung unabhängiger Projekte Lösung: Rangordnungsverfahren Kriterium: Interner Zinsfuß (eindeutig, da einperiodig! Rendite) Ordnung aller Investitionsprojekte nach der internen Verzinsung größte interne Verzinsung an erste Stelle Ergebnis der Prioritätenliste: Kapitalnachfragefunktion Ordnung aller Finanzierungsprojekte nach der internen Verzinsung Niedrigste Kapitalkosten an erste Stelle Ergebnis der Prioritätenliste: Kapitalangebotsfunktion 71

72 Optimales Investitionsprogramm im Einperiodenfall Realisierung aller Investitionsprojekte, solange die interne Verzinsung die Kapitalkosten übersteigt. Rendite (im Mehrperiodenfall Interne Verzinsung) Kapitalkosten 1 1,2,...,8 Investitionen I,II,...,VI Finanzierungen Gewinn III II I 5 IV Optimales Finanzierungsund Investitionsvolumen 72 6 V 7 VI Finanzierung 8 Investition Kapitalinanspruchnahme

73 Endogener Kalkulationszinsfuß Endogener Kalkulationszinsfuß: Zinsfuß am Schnittpunkt von Kapitalangebots und Kapitalnachfragekurve Besondere Eigenschaft: Die Kapitalwerte aller lohnenden Projekte nehmen auf der Basis des endogenen Kalkulationszinsfußes positive Werte an. Ließe sich der endogene Kalkulationszinsfuß (cut off rate) für ein Unternehmen abschätzen, würde man über einen Zinsfuß verfügen, der als Zins in der Kapitalwertberechnung verwendet, nur solche Projekte vorteilhaft erscheinen läßt, die in das optimale Programm fallen. 73

74 Programmentscheidung im Mehrperiodenfall Kriterium des internen Zins versagt im Mehrperiodenfall Gefahr von Fehlentscheidungen Lösung mit Hilfe der linearen Programmierung vgl. z.b. Kruschwitz (1995): S. 197 ff. 74

75 Annahmen (grundlegende) für die simultane Planung von Investitionen und Finanzierung Die Zielsetzung des Investors ist Vermögensmaximierung oder Einkommensmaximierung Jedes Projekt kann durch eine eindeutige Zahlungsreihe beschrieben werden. Investitionsprojekte beginnen mit einer Auszahlung, dann folgen Einzahlungen, bei Finanzierungsprojekten umgekehrt. Die Projekte sind voneinander unabhängig (keine projektabhängigen Kreditzusagen). Der Investor kennt Investitionsprojekte und Finanzierungsprojekte, deren Dauer und Starttermin unterschiedlich sein kann, die ggf. erst in späteren Perioden begonnen werden können. Alle Projekte sind beliebig teilbar (oder der Anteil der Projekte am Gesamtvolumen ist klein). Der Investor muß zu jedem Zeitpunkt im Planungszeitraum liquide sein. nach KRUSCHWITZ 23, S. 229 ff. 75

76 Annahmen (weitere) für die Lösung von Joel Dean (1951) Der Planungszeitraum ist länger als eine Periode, danach wird der Betrieb liquidiert. Jedes Projekt kann maximal einmal in das Programm aufgenommen werden. Die Investitionen verursachen in t= Auszahlungen, in den späteren Perioden entweder Einzahlungen oder Auszahlungen, mindestens eine Einzahlung. Bei den Finanzierungsprojekten ist es genau umgekehrt. nach KRUSCHWITZ 23, S. 229 ff. 76

77 Der Vorschlag von Dean für die simultane Investitionsund Finanzplanung im Mehrperiodenfall Rangordnung nach dem internen Zinsfuß bilden! aber 3 Kritikpunkte: 1. Fehlende Eindeutigkeit des internen Zinsfußes 2. Die Liquidität ist nur für den Zeitpunkt t= gesichert 3. Das Vorgehen führt auch bei Eindeutigkeit der internen Zinsfüße und bei Einhaltung der Liquidität nicht immer zu optimalen Lösungen nach KRUSCHWITZ 23, S. 229 ff. 77

78 Beispiel Es sind zwei Investitionsprojekte möglich: 1 2 interner Zins Investition A % Investition B % Dazu gibt es zwei Finanzierungsmöglichkeiten: Kredit zu 5 % bei einem max. Volumen von 2 (Finanzierung C) Kredit zu 12 % bei einem max. Volumen von 3 (Finanzierung D) beliebige Tilgungsbedingungen 78

79 Beispiel grafische Lösung 25% Investition A scheinbar optimales Programm: führe Investition A durch, finanziere mit Finanzierung C Gefahr von Fehlentscheidungen 1 % 5 % Finanzierung C Finanzierung D Investition B 2 79

80 vollständiger Finanzplan für die scheinbar optimale Lösung Zeitpunkt 1 2 Investition A (25%) Finanzierung C (5%) Entnahmen Endvermögen 54 8

81 vollständiger Finanzplan für die scheinbar nicht optimale Lösung Zeitpunkt 1 2 Investition A (25%) -2, 19, 75, Investition B (1 %) -12, 12, 132, Finanzierung C (5%) 2, -67,6-149,52 Finanzierung D (12%) 12, -134,4 Entnahmen Endvermögen 57,48 Die Kapitalkosten von D werden nur in der ersten Periode wirksam! Der Kredit kann sofort wieder vollständig getilgt werden. 81

82 Lösung mit Hilfe der linearen Programmierung Zielfunktion: Endvermögen Nebenbedingungen Liquiditätsbedingung Projektmengenbedingungen (Lösungen nur innerhalb sinnvoller, vom Investor vorgegebener Größen, keine negativen Projekte, keine Überschreitung von Obergrenzen) 82

83 Beispiel für ein LP-Modell (Vermögensmaximierung) Gegeben sei ein Beispiel, in dem zwei Finanzierungen und vier Investitionsprojekte zur Verfügung stehen. Außerdem müssen Entnahmen berücksichtigt werden. Zeitpunkt t Liquide Mittel 5 Finanzierung Finanzierung Investition Investition Investition Investition Entnahmen Zu maximieren ist das Endvermögen. 83

84 Beispiel für ein LP-Modell (Vermögensmaximierung) Zeitpunkt t Liquide Mittel 5 Finanzierung Finanzierung Investition Investition Investition Investition Entnahmen Als weitere Bedingungen sind zu berücksichtigen: Es kann jederzeit Geld zu 6 Prozent angelegt werden. Es kann jederzeit Kredit zu 1 Prozent aufgenommen werden. Dies kann in eine Tabelle für einen vollständigen Finanzplan wie folgt eingebaut werden 84

85 ergänzt um Geldaufnahme und Geldanlage Zeitpunkt t Liquide Mittel 5 Finanzierung Finanzierung Investition Investition Investition Investition Finanzierung Finanzierung Finanzierung Finanzierung Investition Investition Investition Investition Entnahmen

86 Lösung mit linearer Programmierung Es sind folgende Restriktionen zu berücksichtigen: Die Investitionen 1,2 und 3 können maximal einmal getätigt werden Investition 4 kann maximal zweimal getätigt werden. Die Finanzierungen 1 und 2 können maximal einmal getätigt werden. Liquiditätsrestriktion Nichtnegativitätsbedingung Für die Geldaufnahme zu 1 Prozent und die Geldanlage zu 6 Prozent gibt es keine Obergrenze. 86

87 Lösung mit linearer Programmierung Die Lösung kann technisch mit dem EXCEL-SOLVER erfolgen. Dazu ist ein Excel-Blatt zu erstellen. Es erscheint als zweckmäßig, links die Möglichkeiten einzutragen, dann eine Spalte mit veränderlichen Werten, dann rechts die Ergebnis-Daten, wie sie sich aus den veränderlichen Werten (Durchführung der Projekte) und den Ausgangs-Daten ergeben. Dazu ist jeweils unten das Jahresergebnis zu berechnen und oben als Kassenstand vorzutragen. 87

88 Das Excel-Blatt Ausgangsdaten Lösungsvektor (veränderliche Zellen) Ergebnisdaten Endvermögen 88

89 Formeln des Excel-Blatts Zeitpunkt t Liquiden Mittel 5 =J23 =K23 =L23 =M23 Finanzierung 1 =C7*$H7 =D7*$H7 =E7*$H7 =F7*$H7 =G7*$H7 Finanzierung 2 =C8*$H8 =D8*$H8 =E8*$H8 =F8*$H8 =G8*$H8 Investition 1 =C9*$H9 =D9*$H9 =E9*$H9 =F9*$H9 =G9*$H9 Investition 2 =C1*$H1 =D1*$H1 =E1*$H1 =F1*$H1 =G1*$H1 Investition 3 =C11*$H11 =D11*$H11 =E11*$H11 =F11*$H11 =G11*$H11 Investition 4 =C12*$H12 =D12*$H12 =E12*$H12 =F12*$H12 =G12*$H12 Finanzierung 3 =C13*$H13 =D13*$H13 =E13*$H13 =F13*$H13 =G13*$H13 Finanzierung 4 =C14*$H14 =D14*$H14 =E14*$H14 =F14*$H14 =G14*$H14 Finanzierung 5 =C15*$H15 =D15*$H15 =E15*$H15 =F15*$H15 =G15*$H15 Finanzierung 6 =C16*$H16 =D16*$H16 =E16*$H16 =F16*$H16 =G16*$H16 Investition 5 =C17*$H17 =D17*$H17 =E17*$H17 =F17*$H17 =G17*$H17 Investition 6 =C18*$H18 =D18*$H18 =E18*$H18 =F18*$H18 =G18*$H18 Investition 7 =C19*$H19 =D19*$H19 =E19*$H19 =F19*$H19 =G19*$H19 Investition 8 =C2*$H2 =D2*$H2 =E2*$H2 =F2*$H2 =G2*$H2 Entnahmen Liquide Mittel =SUMME(J6:J21) =SUMME(K6:K21) =SUMME(L6:L21) =SUMME(M6:M21) =SUMME(N6:N21) 89

90 Die Angaben in der Maske des Excel-Solver Zielfunktion Lösungsvektor Restriktionen 9

91 Die optimale Lösung Lösung Zeitpunkt t Liquiden Mittel 5,,,,, 1 Finanzierung 1 1., -8, -388, -388, -388, Finanzierung 2,,,,,,914 Investition 1, -457, -822, ,5 319,9 1 Investition 2-8, 8, 16, 32, 52, 1 Investition 3-7, 5, 3, -2, 22, Investition 4,,,,,,2 Finanzierung 3 2, -22,,,, Finanzierung 4,,,,, 7,726 Finanzierung 5,, 772,6-849,86, Finanzierung 6,,,,, Investition 5,,,,, Investition 6,,,,, Investition 7,,,,,,164 Investition 8,,, -1,64 1,74 Entnahmen -2, -21, -22, -23, -24, Liquide Mittel,,,, 649,64 91

92 Investitionsentscheidungen bei Unsicherheit Entscheidungsprinzipien

93 Entscheidungsmatrix Sind alle Umweltzustände bekannt? Sind die Wirkungen der Umweltzustände bekannt? Sind die Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt? Umweltzustände Z1 Z2 Z3 Z4 Alternativen A1 A2 A3 Gewinn 1,1 93

94 Unsicherheitssituationen Unsicherheitssituationen Risikosituationen Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt Ungewißheitssituationen Eintrittswahrscheinlichkeiten unbekannt Objektive Wahrscheinlichkeit Subjektive Wahrscheinlichkeit 94

95 Klassische Entscheidungsprinzipien für Unsicherheitssituationen Erwartungswert (Bayes-Regel, oder Bayes-Kriterium Erwartungswert und Streuung (µ σ-prinzip) Individualistischer Ansatz (Bernoulli- Prinzip) 95

96 Erwartungswert (Bayes-Kriterium) Präferenzkriterium: Erwartungswert (µ) der unsicheren Nettoeinzahlungen (NE j ) dient als Präferenzwert. p j ist die subjektive Eintrittswahrscheinlichkeit für den Umweltzustand j. J = p NE i j ij ij Beispiel: i j p 1 =,3 p 2 =,6 p 3 =,1 µ i Alternative A Alternative B

97 Bayes-Kriterium und Nutzen der Entscheidung Soll nach dem Bayes-Kriterium die Alternative mit dem höchsten Erwartungswert des Gewinnes gewählt werden, gilt offenbar, daß der Nutzen für den Investor durch den Gewinn gemessen wird. Das Risiko im Sinne einer Verlustgefahr geht offenbar nicht in die Entscheidung ein. Eine sehr geringe Wahrscheinlichkeit für einen sehr hohen Gewinn kann den Erwartungswert sehr hoch werden lassen, obwohl gleichzeitig die Verlustwahrscheinlichkeit recht hoch ist. Daher muß überlegt werden, wie die ganze Breite der Verteilung berücksichtigt werden kann. 97

98 Erwartungswert (µ) und Streuung (σ) Erwartungswert (µ) informiert nicht über Risiken und Chancen Beispiel: Daher Berechnung der Varianz (σ 2 ): J 2 NE ~ = p j j= 1 j i p 1 =,5 p 2 =,5 µ i Alternative A Alternative B j [ ] 2 NE j i i p 1 =,5 p 2 =,5 µ i 2 σ i Alternative A Alternative B

99 Das Sankt Petersburger Spiel Das St. Petersburger Spiel: Eine Münze wird geworfen bis Kopf fällt. Der Spieler erhält einen Gewinn von 2 hoch der Zahl der Würfe. Fällt also erst beim zehntenmal Kopf, erhält der Spieler 2 1 GE. Wie hoch ist der Gewinn-Erwartungswert des Spiels? Wieviel Einsatz ist den Spielern das Mitspielen wert? Vor etwa 25 Jahren beobachtete der Schweizer Mathematiker Daniel Bernoulli, daß die Spieler weniger bieten als den Erwartungswert. 99

100 Das Sankt Petersburger Spiel Eine Münze wird geworfen bis Kopf fällt. Der Spieler erhält einen Gewinn von 2 hoch der Zahl der Würfe. Wurf, bei dem zum erstenmal Kopf fällt Gewinn Wahrscheinlichkeit,5,25,125,625,3125 Gewinn x Wahrscheinlichkeit Der Erwartungswert ist unendlich Aber niemand wird einen sehr hohen Betrag für das Mitspielen bieten. 1

101 Verlustwahrscheinlichkeit als Entscheidungskriterium Verlustwahrscheinlichkeit p(npv<): Wahrscheinlichkeit eines negativen Kapitalwerts Annahme: Kapitalwerte sind normalverteilt Φ ist die Verteilungsfunktion der Normalverteilung p(npv < ) = 1 i i 11

102 Verteilungsfunktion der Normalverteilung Ausschnitt aus der Standardnormalverteilungstabelle z -2,5-2 -1,5-1, -,5,5 1 1,5 2, 2,5 Φ (z),1,2,7,16,31,5,69,84,93,98,99 z standardisierte Zufallsvariable, z = Φ (z) z = Dichte der Normalverteilung an der Stelle z wieviel Standardabweichungen liegen zwischen und µ? Weiß man das, läßt sich aus der Tabelle ablesen, wieviel Prozent der Werte links von Null liegen. 12

103 standardisierte Normalverteilung Mittelwert = Standardabweichung = 1 ca. 68 % der Werte ca. 99 % der Werte 13

104 Verlustwahrscheinlichkeit - Beispiel Beispiel: Berechnung der Verlustwahrscheinlichkeiten für A und B i j µ i σ i Alternative A 5 15 Alternative B p(nkw(a) < ) = 1 = 1 = 15 i j µ i σ i Verlustwahrscheinlichkeit Alternative A 5 15,4% Alternative B ,28%,4% Alternative A hat die geringere Verlustwahrscheinlichkeit, aber auch den geringeren Kapitalwert. Ist nicht Alternative B mit dem deutlich höheren Gewinn bei auch kleiner Verlustwahrscheinlichkeit besser? 14

105 Berechnung der Verlustwahrscheinlichkeit Für die Alternative B wäre ein Nachschauen in der Tabelle praktisch nicht nötig, denn es ist klar, daß zwischen Null und dem Erwartungswert des NPV gerade zwei Normalverteilungen liegen. Deshalb müssen links von Null etwa 2,5 Prozent der Werte liegen (links und rechts von ± 2 Standardabweichungen um den Mittelwert liegen zusammen rund 5 % der Werte). 15

106 Vorteilhaftigkeit beim µ-σ-prinzip abhängig von der Risikoeinstellung Vorteilhaftigkeit abhängig von der Risikoeinstellung des Entscheidungsträgers Risikoscheuer Investor: Mit steigender Streuung (Risiko) verlangt der Investor eine höhere Rendite Risikoneutraler Investor: Trotz steigender Streuung verlangt der Investor nur eine unveränderte Rendite Risikofreudiger Investor: Für eine größere Streuung (Chance) nimmt der Investor eine niedrigere Rendite in Kauf 16

107 Darstellung der Risikoeinstellung durch Indifferenzkurven Darstellung der Präferenzfunktion Φ(µ,σ) mittels Indifferenzkurven µ µ µ Φ 3 Φ2 Φ 3 Φ 3 Φ 1 Φ 2 Φ 1 Φ 2 Φ 1 Risikoscheuer Investor σ σ Risikoneutraler Investor σ Risikofreudiger Investor Ist der Erwartungswert gleich, wird das niedrigere Risiko vorgezogen, also die höhere Isoquante. Ist der Erwartungswert gleich, wird das höhere Risiko vorgezogen, also die höhere Isoquante. 17

108 Die Präferenzen des risikoscheuen Investors µ Bei gleichem Risiko wird die Investition mit dem höheren Erwartungswert vorgezogen, also die auf der höheren Isoquante. Φ 3 Φ 2 Risikoscheuer Investor Φ 1 σ Bei gleichem Erwartungswert wird die Investition mit dem geringeren Risiko vorgezogen, also die auf der höheren Isoquante 18

109 Vorteilhaftigkeit beim µ-σ-prinzip abhängig von der Risikoeinstellung - Beispiel µ µ Projekt B Projekt A Projekt A Projekt B Investor ist risikoscheu σ Investor ist risikofreudig σ Die Projekte liegen jeweils auf derselben Isoquante, die Investoren sind folglich indifferent zwischen den Projekten 19

110 Beispiel einer Präferenzfunktion Präferenzfunktion Φ(µ,σ) = µ +,2σ i Ergebnis: j p 1 =,3 p 2 =,6 p 3 =,1 µ i σ i Φ i Alternative A ,697 74,94 Alternative B ,678 75,94 p µ Rendite σ Subjektive Wahrscheinlichkeit Streuung Trotz größerer Streuung Entscheidung für Projekt B Achtung: die Präferenzfunktion ist die eines risikoliebenden Investors. Der Funktionswert steigt mit steigendem sigma. 11

111 Individualistischer Ansatz - Sicherheitsäquivalente Problem: µ σ-prinzip kann unbefriedigende Ergebnisse liefern, da nur die Standardabweichung und nicht die ganze Verteilung berücksichtigt wird Berechnung des NPV mit Hilfe von Sicherheitsäquivalenten (SÄQ) Definition: Das Sicherheitsäquivalent ist der sichere Betrag, für den der Investor eine Verteilung von Nettoeinzahlungen verkauft. 111

112 Individuelle Risikoneigung und Sicherheitsäquivalent Wahrscheinlichkeit Nettoeinzahlungen Sicherheitsäquivalent risikoscheu Sicherheitsäquivalent risikofreudig Erwartungswert risikoneutral 112

113 Risikoscheu als dominierende Eigenschaft Bei Risikoscheu beinhaltet das Sicherheitsäquivalent einen Risikoabschlag (RA) auf die erwarteten Nettoeinzahlungen SÄQ ~ = E NE t RA t SÄQ ~ E NE Sicherheitsäquivalent erwartete Nettoeinzahlungen T NPV = SÄQ t(1+ i) t= 1 t 113

114 Individualistischer Ansatz Beispiel scheinbarer Vorteilhaftigkeit Verteilung der Überschüsse Projekt A Projekt B Überschüsse p µ σ 2 Überschüsse p µ σ 2 9,1 6,6 9 88,29 999,9 1.35, Projekt A scheint vorteilhafter, da B gemessen an der Varianz riskanter ist. Entscheidend ist aber der Grad der Risikoaversion des Investors Risikoabschläge (Sicherheitsäquivalente) müssen auf Konsistenz überprüfbar sein Bestimmung der Risikonutzenfunktion u(ne j ) des Investors 114

115 Berechnung des Sicherheitsäquivalents Annahme: Risikonutzenfunktion = ln(ne) Für A: ln 9 = 2,1972 ln 999 = 6,968 Erwartungsnutzen = 2,1972,1 + 6,968,9 = 6,4358 Sicherheitsäquivalent = e 6,4358 = 623,78 Für B: ln 6 = 6,39693 ln 1.35 = 7,2786 Erwartungsnutzen = 6,39693,6 + 7,2786,4 = 6,7213 Sicherheitsäquivalent = e 6,7213 = 829,9 Präferenz für B 115

116 Sicherheitsäquivalent impliziert Zuschlag zum sicheren Zinssatz Berechnung einer Risikoprämie (z*) in Form eines Zuschlags zum risikofreien Zinssatz (i) (einperiodiger Fall): NPV = + = ( ) 1+ i + z 1 1 SÄQ 1(1 i) E NE1 * ~ z* = ~ E NE 1 (1+ SÄQ 1 i) (1+ i) 116

117 Sicherheitsäquivalent impliziert Zuschlag zum sicheren Zinssatz - Beispiel Beispiel: Berechnung des impliziten Zinszuschlags (z*) aus dem SÄQ Sicherheitsäquivalent (SÄQ) 1 ~ Erwartete Nettoeinzahlung ( E NE ) 11 Sicherer Zinssatz (i) 6% ~ E NE (1+ i) z* = (1+ i) SÄQ 11 (1+,6) z* = (1+,6) = 1 4% 117

118 Probleme des individualistischen Ansatzes Probleme: - Wessen Risikonutzenfunktion ist entscheidungsrelevant? - Zeitliche Stabilität der Risikonutzenfunktion? - Herleitung der Risikonutzenfunktion zu filigran? Alternative: Marktmäßig objektivierte Risikoprämie 118

119 Ermittlung einer Risikonutzenfunktion einfache Gewinn in Höhe 5 mit p=,1 Los Lotterie Niete mit p=,99 Der Entscheidungsträger wird aufgefordert, zwischen einer einfachen Chance und einem sicheren Gewinn zu wählen. 3 Möglichkeiten: Chance, sicherer Gewinn, Indifferenz 119

120 Ermittlung der Risikonutzenfunktion Es wird versucht, die sogen. Indifferenzwahrscheinlichkeiten zu finden. Das sind die Wahrscheinlichkeiten, bei denen der Entscheidungsträger zwischen sicherem Gewinn und einfacher Chance indifferent ist. Wie hoch muß die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn sein, damit der Entscheidungsträger gerade auf einen sicheren Gewinn verzichtet? Bei geeigneter Normierung können die Indifferenzwahrscheinlichkeiten direkt als Nutzenwerte verwendet werden. 12

121 Risikonutzenfunktion Nutzen in Abhängigkeit vom Gewinn Beispiel risikoaverser Investor Ergebnis bzw. Gewinn Mit der Risikonutzenfunktion lassen sich Ergebnisse in Nutzengrößen überführen. Dann kann der Erwartungswert der Nutzen berechnet werden. 121

122 Marktmäßig objektivierter Ansatz Idee: Risikozuschlag (z) zur sicheren Alternativrendite (i) wird über am Markt erzielbare Renditen (und in diesem Sinne objektiviert) ermittelt. T ~ NPV = E NEt (1+ i + z) t= 1 t ~ E NE t i z Erwartete Nettoeinzahlungen sicherer Zinssatz Risikozuschlag zum sicheren Zinssatz 122

123 Investition unter Risiko Spezielle Verfahren zur Investitionsbeurteilung unter Risiko

124 Übersicht zu speziellen Verfahren zur Investitionsbeurteilung unter Risiko Häufig verwendete Verfahren Korrekturverfahren Sensitivitätsanalyse Risikoanalyse (Monte Carlo Simulation) Sequentielle Investitionsentscheidung (roll-back-verfahren) Portefeuille- Theorie 124

125 Korrekturverfahren Ablauf: 1. Risikozuschläge oder -abschläge zu sämtlichen Schätzwerten 2. Investitionsrechnung mit den quasi-sicheren Eingabedaten 3. Realisierung vorteilhafter Projekte Kritik: in der Praxis sehr beliebt aber theoretisch höchst bedenklich Risiko läßt sich nur durch Transparenz einschätzen Beschränkung auf denkbar schlechteste Zukunftsentwicklung jedes Projekt läßt sich totrechnen 125

126 Sensitivitätsanalyse Prinzip: Analyse der Empfindlichkeit von Outputgrößen (z.b. NPV) der Investitionsrechnung auf die Veränderung von einer oder mehreren Inputgrößen (z.b. Preise) Kritik: Ungeeignet zur Lösung von Entscheidungsproblemen unter Unsicherheit Liefert jedoch Informationen, ob die Unsicherheit überhaupt für die Lösung relevant ist. Konzentration der weiteren Betrachtung auf ausschlaggebende Inputgrößen 126

127 Sensitivitätsanalyse - Beispiele NPV Preis NPV> Veränderung einer Inputgröße Preis Absatzmenge Veränderung zweier Inputgrößen 127

128 Sensitivitätsanalyse - Zahlenbeispiel Ein Supermarkt mit einer Fläche von 7 m 2 soll gebaut und auf 2 Jahre vermietet werden. Als Baukosten werden 75. veranschlagt. Je m 2 wird mit jährlichen Einnahmen zwischen 12 und 15 gerechnet. Als Kalkulationszinsfuß werden 1% angenommen. NPV Einnahmen je m NPV

129 Risikoanalyse Auswahl der Inputgrößen Risikoanalyse ist ein computergestütztes Simulationsverfahren Ablauf in 6 Schritten: Schritt (1): Auswahl der als unsicher angesehenen Inputgrößen z.b. Absatzmenge, Verkaufspreise etc. Quelle: KRUSCHWITZ, L.(1995): S. 277 ff.. 129

130 Risikoanalyse Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung Schritt (2): Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für unsichere Inputgrößen über Gewichtung der einzelnen Klassen a) Diskrete Inputgrößen w i = Beispiel: gi g i Lebensdauer (i) (Perioden) Gewicht (g i ) Wahrscheinlichkeit (w i ),67,2,333,267,133 13

131 Risikoanalyse Bildung von Intervallklassen für stetige Inputgrößen b) Stetige Inputgrößen Bildung von Intervallklassen Intervall für Preise (p) 2,5 3,2 3,2 4, 4, 4,5 Gewicht Wahrscheinlichkeit,167,5,

132 Risikoanalyse Monte-Carlo-Simulation Schritt (3): Generierung der Eingabedaten Erzeugung mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation a) Erzeugung von Pseudo-Zufallszahlen r im Bereich [;1] b) Umwandlung mit geeigneter Formel in benötigte Inputgröße Beispiel: Generierung von 1 Verkaufspreisen Umwandlung der Zufallszahlen: 167 nach der Formel p i = 2,5 +,7r i 5 nach der Formel p i = 3,2 +,8r i 333 nach der Formel p i = 4, +,5r i Intervallklassenbreite 132

133 Risikoanalyse Monte-Carlo-Simulation Schritt (4): Berechnung der interessierenden Outputgröße (z.b. Kapitalwert) Schritt (5): Fortsetzung der Schritte (3) und (4) bis sich das Ergebnis stabilisiert hat 133

134 Risikoanalyse Ergebnisse der Simulation Schritt (6): Ermittlung der relativen Häufigkeiten für die Outputgröße ggf. auch µ und σ 2 der Outputgröße relative Häufigkeit 35% 3% 25% 2% 15% 1% 5% % NPV 134

135 Vorteile der Risikoanalyse Vorteile: Orientierung am Grundmodell der Entscheidungstheorie Berücksichtigung einer sehr großen Anzahl von alternativen Zukunftslagen bei geringem Aufwand Ergebnisse ermöglichen Entscheidungen auf der Basis klassischer Entscheidungsprinzipien oder des Bernoulliprinzips Verarbeitung sowohl abhängiger als auch unabhängiger Inputgrößen möglich In der Praxis zunehmend beliebtes Verfahren 135

136 Monte Carlo-Simulation mit Excel Die Monte Carlo-Simulation mit Excel läßt sich realisieren mit Hilfe der Funktion NORMINV (Arg. 1, Arg. 2, Arg. 3) Die Funktion NORMINV gibt den Wert der Inversen der Standardnormalverteilung. Es muss als erstes Argument die Funktion ZUFALLSZAHL ( ) eingesetzt werden. Dann müssen der Mittelwert und die Standardabweichung eingesetzt werden. Man erhält dann einen mit der eingesetzten Standardabweichung um den eingesetzten Mittelwert streuenden Wert. 136

137 Beispiel Monte Carlo Simulation 137

138 Beispiel Monte Carlo-Simulation mit Excel Der einfachste Aufbau des Blattes kann dadurch erfolgen, daß man Eingabe- Felder für die Daten definiert und dann die Berechnung des Kapitalwertes in einer Anzahl Zeilen wiederholt. Im folgenden Beispiel wird die Berechnung 1mal wiederholt. Dann wird der Mittelwert des Kapitalwertes gebildet, und es werden die Kapitalwerte gezählt, die Null und kleiner als Null sind. Die Berechnung kann natürlich auch durch Nutzung von Schleifen vorgenommen werden. Darauf wird wegen der Anschaulichkeit hier verzichtet. 138

139 Beispiel Monte Carlo Simulation 139

140 Beispiel Monte Carlo Simulation 14

141 rollback-verfahren Sequentielles Entscheidungsproblem: Ziel: Lösung: Betrachtung aller Handlungsalternativen unter Risiko unter Berücksichtigung der Reaktion auf unterschiedliche Zukunftsentwicklungen Ermittlung der optimalen zeitlich zuerst liegenden Handlungsalternative Rekursive Optimierungstechnik, z.b. rollback-verfahren Rollback-Verfahren: Darstellung der Zufallsereignisse mit Hilfe des Zustandsbaums und der Handlungsalternativen in Form eines Entscheidungsbaums Beginnend mit der Analyse der zeitlich zuletzt liegenden Entscheidungen 141

142 Ablauf des rollback-verfahrens Nachfrageentwicklung: Nachfrage in Periode 1 p(n) = 6% p(h) = 4% Nachfrage in Periode 2 p(n,n) = 5% p(n,h) = 5% p(h,n) = 2% p(h,h) = 8% Quelle: KRUSCHWITZ, L.(1995): S. 287 ff.. Beispiel p(h) = Wahrscheinlichkeit einer hohen Nachfrage in Periode 1 p(h,n) = Wahrscheinlichkeit einer niedrigen Nachfrage in Periode 2, nachdem die Nachfrage in Periode 1 hoch war bedingte Wahrscheinlichkeit 142

143 Darstellung der Nachfrageentwicklung am Zustandsbaum Zustandsbaum: 5% N 5% 6% N,N N,H,5,6 =,5,6 =,3,3 4% H 2% H,N,4,2 =,8 8% H,H,4,8 =,32 Zustandsknoten: repräsentieren mögliche Umweltzustände (z.b. Nachfrage) Kanten: repräsentieren Abhängigkeiten (Wahrscheinlichkeiten) zwischen Umweltzuständen verschiedener Perioden 143

144 rollback-verfahren bei starrer Planung Starre Planung: Eine Reaktion auf wechselnde Umweltzustände ist nicht möglich Der Investor hat 4 Alternativen: Bau einer kleinen Anlage in t= ohne Erweiterung in t=1 Bau einer kleinen Anlage in t= mit Erweiterung in t=1 Bau einer großen Anlage in t= ohne Reduzierung der Kapazität in t=1 Bau einer großen Anlage in t= mit Reduzierung der Kapazität in t=1 144

145 rollback-verfahren bei starrer Planung Starre Planung: Eine Reaktion auf wechselnde Umweltzustände ist nicht möglich Vorgehen: 1. Berechnung der unbedingten Wahrscheinlichkeiten aller Zustandsabfolgen 2. Berechnung der Kapitalwerte aller möglichen Zustandsabfolgen 3. Ermittlung der erwarteten Nettoerlöse in Abhängigkeit der Zufallsereignisse (= Kapitalwert multipliziert mit unbedingter Wahrscheinlichkeit) 145