Investition & Finanzierung. 2. Investitionsrechnung unter Sicherheit

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1 Investition & Finanzierung 2. Investitionsrechnung unter Univ.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler

2 1 Unter Cashflows verstehen wir Ein- sowie Auszahlungen. Wir konzentrieren uns vollkommen auf diese Zahlungswirkungen und abstrahieren von allen anderen Eigenschaften. Wir gehen davon aus, dass die Zahlungen CF t aus einem Projekt sicher und uns bekannt sind. Das Projekt hat eine Laufzeit von T und kostet heute I 0. Investition ist eine Tätigkeit, die zunächst Auszahlungen und später Einzahlungen verursacht. ( + + +) Finanzierung nennen wir dagegen einen Vorgang, der mit Einzahlungen beginnt, auf die später Auszahlungen folgen. (+ ) Alle anderen Aktivitäten haben keine eigenen Bezeichnungen.

3 Übersicht 2 ja Investitionen sind echte Alternativen nein Einzelentscheidungen Programmentscheidungen Verwendungsdauer der Investitionsprojekte liegt fest ja Wahlentscheidungen nein Investitionsdauerentscheidungen

4 Statik und Dynamik 3 t = 0 t = 1 t = 2 A B Statische Sicht Wir verdienen mit beiden Projekten im Durchschnitt dasselbe. Daher A B. Solche werden wir nicht behandeln. Sicht Frühe Einzahlungen sind angenehmer als späte. Daher A B.

5 4 Wir behandeln hier Vollständiger Finanzplan Kapitalwertmethode (NPV, DCF) Interner Zinssatz (IRR) NPV = net present value DCF= discounted cashflow IRR = internal rate of return Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

6 Vollständiger Finanzplan (Bsp. 2.2) 5 Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt A Z t K t Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt B Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Unterlassungs- Entnahmen C t alternative Zinsen Z t Kontostand K t Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz Basiszahlungen und Entnahmen sind unabhängig von den Projekten. Für die Zinssätze gilt i H = 10%, i S = 15%

7 Vollständiger Finanzplan (Bsp. 2.2) 5 Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt A Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt B Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Unterlassungs- Entnahmen C t alternative Zinsen Z t Kontostand K t Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz Basiszahlungen und Entnahmen sind unabhängig von den Projekten. Für die Zinssätze gilt i H = 10%, i S = 15%

8 Vollständiger Finanzplan (Bsp. 2.2) 5 Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt A Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt B Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Unterlassungs- Entnahmen C t alternative Zinsen Z t Kontostand K t Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz Basiszahlungen und Entnahmen sind unabhängig von den Projekten. Für die Zinssätze gilt i H = 10%, i S = 15%

9 Vollständiger Finanzplan (Bsp. 2.2) 5 Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt A Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt B Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Unterlassungs- Entnahmen C t alternative Zinsen Z t Kontostand K t Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz Basiszahlungen und Entnahmen sind unabhängig von den Projekten. Für die Zinssätze gilt i H = 10%, i S = 15%

10 Vollständiger Finanzplan (Bsp. 2.2) 5 Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt A Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt B Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Unterlassungs- Entnahmen C t alternative Zinsen Z t Kontostand K t Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz Basiszahlungen und Entnahmen sind unabhängig von den Projekten. Für die Zinssätze gilt i H = 10%, i S = 15%

11 Vollständiger Finanzplan (Bsp. 2.2) 6 Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt A Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Entnahmen C t Projekt B Cashflows CF t Zinsen Z t Kontostand K t Basiszahlungen M t Unterlassungs- Entnahmen C t alternative Zinsen Z t Kontostand K t Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

12 Rechenregel zur Ermittlung des Endvermögens 7 Beim Finanzplan wird das Endvermögen maximiert. Wie berechnet sich dieses Endvermögen? K 0 = M 0 C 0 I 0 { Mt C K t = t + CF t + (1 + i H ) K t 1, wenn K t 1 0; M t C t + CF t + (1 + i S ) K t 1, wenn K t 1 < 0. Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz (Das Projekt ist nur finanzierbar, wenn K t in keinem Zeitpunkt kleiner als eine untere Schranke ist.) Nachteil des Finanzplans: Man muss die Basiszahlungen M t kennen.

13 Kapitalwert: Annahmen 8 Um den Kapitalwert zu verwenden setzt man einen perfekten Kapitalmarkt voraus. Definition: Ein Kapitalmarkt heißt perfekt, wenn er vollkommen ist (Habenzinsen i H gleich Sollzinsen i S = i), unbeschränkt ist (kein Finanzierungslimit), reibungsfrei ist (keine Transaktionskosten, Steuern). Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

14 Kapitalwert: Definition und Entscheidungsregel 9 Definition: Der Kapitalwert oder NPV ist NPV = I 0 + T t=1 CF t (1 + i) t Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz Die Entscheidungsregel beim Kapitalwert lautet Wähle die Investition mit dem höchsten Kapitalwert! Unterlasse Investitionen mit negativem NPV!

15 Kapitalwert und vollständiger Finanzplan, I 10 Was haben Kapitalwert und Endvermögensmaximierung gemeinsam? Sind es verschiedene Zielsetzungen? Nein. Dazu schauen wir uns die Budgetgleichungen genauer an: K 0 = M 0 C 0 I 0 Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz K t = M t C t + CF t + (1 + i) K t 1

16 Kapitalwert und vollständiger Finanzplan, II 11 K 1 = M 1 C 1 + CF 1 + (1 + i) K 0 Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

17 Kapitalwert und vollständiger Finanzplan, II 11 K 1 = M 1 C 1 + CF 1 + (1 + i) K 0 = M 1 C 1 + CF 1 + (1 + i) (M 0 C 0 I 0 ) Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

18 Kapitalwert und vollständiger Finanzplan, II 11 K 1 = M 1 C 1 + CF 1 + (1 + i) K 0 = M 1 C 1 + CF 1 + (1 + i) (M 0 C 0 I 0 ) K 2 = M 2 C 2 + CF 2 + (1 + i) K 1 Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

19 Kapitalwert und vollständiger Finanzplan, II 11 K 1 = M 1 C 1 + CF 1 + (1 + i) K 0 = M 1 C 1 + CF 1 + (1 + i) (M 0 C 0 I 0 ) K 2 = M 2 C 2 + CF 2 + (1 + i) K 1 = M 2 C 2 + CF 2 + (1 + i) (M 1 C 1 + CF 1 ) Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz + (1 + i) 2 (M 0 C 0 I 0 )

20 Kapitalwert und vollständiger Finanzplan, II 11 K 1 = M 1 C 1 + CF 1 + (1 + i) K 0 = M 1 C 1 + CF 1 + (1 + i) (M 0 C 0 I 0 ) K 2 = M 2 C 2 + CF 2 + (1 + i) K 1 = M 2 C 2 + CF 2 + (1 + i) (M 1 C 1 + CF 1 ) = + (1 + i) 2 (M 0 C 0 I 0 ) 2 (1 + i) 2 t (M t C t ) t=0 (1 + i) 2 I (1 + i) 2 t CF t t=1 Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

21 Kapitalwert und vollständiger Finanzplan, III 12 Es ergibt sich nach beständigem Einsetzen der Zusammenhang K T = T (1 + i) T t (M t C t ) t=0 } {{ } projektunabhängig { }} { ( T ) + (1 + i) T I 0 + (1 + i) t CF t t=1 Kapitalwert } {{ } projektabhängig ( ) Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

22 Kapitalwert und vollständiger Finanzplan, IV 13 Satz Wir betrachten zwei Projekte A und B. Dann gilt: Endkontostand bei A größer als bei B Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz NPV von A > NPV von B Wir stellen fest: Wenn ein perfekter Kapitalmarkt vorliegt, führen Kapitalwert und vollständiger Finanzplan zu identischen Entscheidungen.

23 Kapitalwert: Tabellarische Berechnung (Abb. 4) 14 A B Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Abzinsungsfaktoren Cashflows, diskontiert... und addiert Cashflows, diskontiert... und addiert Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

24 Kapitalwert: Tabellarische Berechnung (Abb. 4) 14 A B Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Abzinsungsfaktoren Cashflows, diskontiert... und addiert Cashflows, diskontiert... und addiert Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

25 Kapitalwert: Tabellarische Berechnung (Abb. 4) 14 Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Abzinsungsfaktoren Cashflows, A... diskontiert und addiert Cashflows, B... diskontiert und addiert Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

26 Kapitalwert: Tabellarische Berechnung (Abb. 4) 14 Zeitpunkte t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 Abzinsungsfaktoren Cashflows, A... diskontiert und addiert Cashflows, B... diskontiert und addiert Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz Anmerkung: B ist besser als A, weil jetzt der Soll-Zinssatz 10% beträgt.

27 Kapitalwert: Interpretation 15 Wie kann man den Kapitalwert ökonomisch interpretieren? NPV = I }{{} 0 + Preis Investition T t=1 Preis eines CF { }} { CF t (1 + i) t } {{ } Preis aller CF am Kapitalm. Der Kapitalwert beschreibt also die Preisdifferenz einer Investition im Verhältnis zum Kapitalmarkt! Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

28 Interner Zinssatz: Entscheidungskriterium 16 Die Frage: Wie hoch ist die Rendite der Investition? NPV = I 0 + T t=1 CF t (1 + i z ) t! = 0 Mögliche Entscheidungsregel: Wähle die Investition mit dem höchsten internen Zinssatz i z! Unterlasse Investitionen, bei denen der interne Zins kleiner als der Marktzins ist (i z < i)! Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz

29 Interner Zinssatz: Berechnung 17 I 0 = 70 CF 1 = 50 CF 2 = 70 CF 3 = 0 = i z = 41.9 % Wir zeichnen NPV als Funktion des Zinssatzes und suchen die Nullstelle. NPV (Zinssatz) Interner Zinssatz Vollständiger Finanzplan Kapitalwert Interner Zinssatz Zinssatz Hinweis: Man bedient sich der Excel-Zielwertsuche (hilfreich: Tage360(, )) oder eines Näherungsverfahrens.

30 Das Problem 18 f (i) i 0 i 2 i 1 i Wie findet man eine Nullstelle i einer Funktion f (i)? Man verbindet die Funktionswerte der ersten beiden geschätzten Werte i 0 und i 1. Der Schnittpunkt mit der i-achse ist der neue Wert i 2. Problem Herleitung Beispiel

31 Iteration 19 Für den neuen Wert i 2 gibt es drei Möglichkeiten f (i 2 ) = 0 Dann haben wir die Lösung! f (i 2 ) < 0 i 2 ersetzt i 1 f (i 2 ) > 0 i 2 ersetzt i 0, Problem Herleitung Beispiel wobei in den letzten beiden Fällen die Rechnung erneut beginnt. Nach genügend vielen Schritten konvergiert das für jede stetige Funktion f.

32 Herleitung der Gleichung für i 2 Die Gleichung einer Geraden lautet Dabei wissen wir bereits y = a i + b f (i 0 ) = a i 0 + b f (i 1 ) = a i 1 + b und daraus lassen sich a und b bestimmen: a = f (i 0) f (i 1 ) i 0 i 1, b = i 0f (i 1 ) i 1 f (i 0 ) i 0 i 1. i 2 ist derjenige Punkt, an dem die Gerade die i-achse schneidet, also 20 Problem Herleitung Beispiel 0 = a i 2 + b = i 2 = i 1f (i 0 ) i 0 f (i 1 ) f (i 0 ) f (i 1 ).

33 Ein Beispiel 21 Wir suchen den internen Zins einer Investition mit I 0 = 100 und Cashflows CF 1 = 30, CF 2 = 20 und CF 3 = 70. Das ergibt die Iterationsregel i 2 = i 1f (i 0 ) i 0 f (i 1 ) f (i 0 ) f (i 1 ) Problem Herleitung Beispiel mit f (i) := i + 20 (1 + i) (1 + i) 3

34 Ein Beispiel 22 Wir beginnen mit i 0 = 0 und i 1 = 10%, da beide NPVs verschiedenes Vorzeichen aufweisen. Wir erhalten schrittweise mit der Gleichung aus der vorigen Folie i 0 = 0 i 1 = 0.1 i 2 = i 3 = i 4 = i 5 = Problem Herleitung Beispiel

35 Interner Zinssatz: mehrdeutige Lösung 23 I 0 = 1 CF 1 = 6 CF 2 = 11 CF 3 = 6 NPV Problem Herleitung Beispiel Zinssatz

36 Interner Zinssatz: mehrdeutige Lösung 23 I 0 = 1 CF 1 = 6 CF 2 = 11 CF 3 = 6 i z,1 = 0 % i z,2 = 100 % i z,3 = 200 % NPV Problem Herleitung Beispiel Zinssatz

37 Interner Zinssatz: keine (reelle) Lösung 24 I 0 = 1000 CF 1 = 2090 CF 2 = 1093 NPV Problem Herleitung Beispiel Zinssatz

38 Interner Zinssatz: keine (reelle) Lösung 24 I 0 = 1000 CF 1 = 2090 CF 2 = 1093 NPV i z = ± Problem Herleitung Beispiel Zinssatz

39 Interner Zinssatz: Kritik 25 Kapitalwertfunktion ist eine Polynomfunktion T ten Grades. Daher gibt es grundsätzlich T reelle oder komplexe Lösungen. Zudem kann die Entscheidung auch ökonomisch falsch sein: Wegen t = 0 t = 1 Projekt A 1 5 Projekt B i z,a = 400 % > i z,b = 100 % Problem Herleitung Beispiel entscheidet man mit dem internen Zinssatz zu Gunsten von Projekt A. Bei einem Kalkulationszinssatz von i = 10 % ist jedoch Investition B besser als Projekt A. Äußerste Vorsicht bei der Anwendung des internen Zinses! Immer zusätzlich den Kapitalwert ermitteln.

40 Der effektive Jahreszins 26 Die Preisangabenverordnung verlangt, dass bei Krediten an Privatpersonen ein effektiver Jahreszins (= interner Zins) anzugeben ist. Kann man diesen internen Zins immer eindeutig ermitteln? Der interne Zinssatz ist eindeutig und positiv, wenn eine Normalinvestition vorliegt (ein Vorzeichenwechsel), die das Deckungskriterium erfüllt (mehr Einzahlungen als Auszahlungen).

41 Renditen zur Beurteilung von Geldanlagen 27 Unsere Aussagen zur (mehr oder weniger) eindeutigen Festlegung des Internen Zinses durch die Preisangabenverordnung gelten nicht für Geldanlagen. Hier sind andere Rendite-Definitionen üblich. V t sei der Wert einer Investition in t. Definition Diskrete Rendite einer Investition Definitionen Verwandschaft Durchschnitte Log-Rendite einer Investition r diskret t := V t+1 V t 1 r Log t := ln(v t+1 ) ln(v t ).

42 Typische Anwendungsfälle 28 Diskrete Renditen verwendet man typischerweise in Modellen mit diskreter Zeit (links), Log-Renditen finden sich oft in Modellen mit stetiger Zeit Zeit Zeit Definitionen Verwandschaft Durchschnitte

43 Verwandschaft der Renditen 29 Sind beide Renditen verwandt? Ja: Wir nutzen dazu die Taylorreihenentwicklung für f ( ) = ln( ) mit x = V t+1 V t an der Stelle 1: f (x) f (1) + f (1) (x 1) Definitionen Verwandschaft Durchschnitte

44 Verwandschaft der Renditen 29 Sind beide Renditen verwandt? Ja: Wir nutzen dazu die Taylorreihenentwicklung für f ( ) = ln( ) mit x = V t+1 V t an der Stelle 1: ln ( Vt+1 f (x) f (1) + f (1) (x 1) ) ln(1) + 1 ( ) 1 Vt+1 1 V t V t Definitionen Verwandschaft Durchschnitte

45 Verwandschaft der Renditen 29 Sind beide Renditen verwandt? Ja: Wir nutzen dazu die Taylorreihenentwicklung für f ( ) = ln( ) mit x = V t+1 V t an der Stelle 1: r log t = ln ( Vt+1 f (x) f (1) + f (1) (x 1) ) ln(1) + 1 ( ) 1 Vt+1 1 V t V t = r diskret t Definitionen Verwandschaft Durchschnitte

46 Verwandschaft der Renditen 29 Sind beide Renditen verwandt? Ja: Wir nutzen dazu die Taylorreihenentwicklung für f ( ) = ln( ) mit x = V t+1 V t an der Stelle 1: f (x) f (1) + f (1) (x 1) r log t r diskret t Für kleine Werte weichen beide Renditen nicht stark voneinander ab. Definitionen Verwandschaft Durchschnitte

47 Zweckmäßige Durchschnittsbildung 30 Will man Durchschnitte vergangener Renditen bilden, welches Vorgehen ist dann zweckmäßig? R R R r 0 r r Zeit Definitionen Verwandschaft Durchschnitte Die Einzelrenditen r 0 bis r 2 weisen eine unterschiedliche Stärke auf (illustriert durch die Höhe der Pfeile), die zweckmäßige R ist dagegen konstant. R soll so definiert sein, dass sich der gleiche Endwert ergibt.

48 Diskrete Rendite = geom. Mittel 31 Satz: Die zweckmäßige durchschnittliche diskrete Rendite R diskret ist das geometrische Mittel der r diskret t. Hinweis: Dabei sind alle Renditen für die Berechnung um Eins zu erhöhen. Beweis: Endvermögen nach T Perioden V T = V 0 (1 + r diskret 0 ) (1 + r diskret 1 ) (1 + r diskret T 1 ). Mit einer zweckmäßigen R diskret soll sich ebenfalls V T ergeben: Definitionen Verwandschaft Durchschnitte Daraus folgt sofort V T = V 0 (1 + R diskret ) T. 1 + R diskret = T (1 + r diskret 0 ) (1 + r diskret 1 ) (1 + r diskret T 1 )

49 Log-Rendite = arithm. Mittel 32 Satz: Die zweckmäßige durchschnittliche Log-Rendite R Log ist das arithmetische Mittel der r Log t. Beweis: Zuerst einmal gilt V T V 0 = V T V T 1 VT 1 V T 2 VT 2 V T 3 V1 V 0, Logarithmus auf beiden Seiten liefert ( ) ( ) VT VT ln = ln + ln V 0 = T 1 t=0 V T 1 r Log t. ( VT 1 V T 2 ) ln ( V1 V 0 ) Definitionen Verwandschaft Durchschnitte

50 Log-Rendite = arithm. Mittel II 33 Mit zweckmäßiger T Mal gilt Daraus folgt dann ( ) T VT 1 ln = R Log = TR Log. V 0 t=0 R Log = 1 T T 1 t=0 r Log t Definitionen Verwandschaft Durchschnitte

51 Beispiel 34 Was passiert, wenn man dies durcheinander bringt? Beispiel einer Wertentwicklung t = 0 t = 1 t = Definitionen Verwandschaft Durchschnitte Außer Spesen nichts gewesen!

52 Beispiel 34 Was passiert, wenn man dies durcheinander bringt? Beispiel einer Wertentwicklung t = 0 t = 1 t = Außer Spesen nichts gewesen! Definitionen Verwandschaft Durchschnitte Diskrete Renditen sind hier +100% und -50%. Der arithmetische Durchschnitt ist 100% 50% 2 = 25%!!

53 Beispiel 34 Was passiert, wenn man dies durcheinander bringt? Beispiel einer Wertentwicklung t = 0 t = 1 t = Außer Spesen nichts gewesen! Definitionen Verwandschaft Durchschnitte Diskrete Renditen sind hier +100% und -50%. Der geometrische Durchschnitt ist dagegen ( %)(1 50%) = 1 + 0%

54 Beispiel 34 Was passiert, wenn man dies durcheinander bringt? Beispiel einer Wertentwicklung t = 0 t = 1 t = Außer Spesen nichts gewesen! Definitionen Verwandschaft Durchschnitte Die Log-Renditen betragen +69,31% und -69,31%. Der arithmetische Durchschnitt ist offensichtlich 0%.

55 Zusammenfassung 35 Vollständiger Finanzplan und Kapitalwert führen zu identischen Entscheidungen, Kapitalwert setzt perfekte Märkte voraus (Sollzins=Habenzins, keine Steuern und Transaktionskosten, kein Kreditlimit) Kapitalwert vergleicht Investition mit Kapitalmarktanlage interner Zins muss mit Näherungsverfahren bestimmt werden, stellt eine problematische Größe dar Ein zweckmäßiger Durchschnitt diskreter Renditen ist das geometrische Mittel; ein zweckmäßiger Durchschnitt von Log-Renditen ist das arithmetische Mittel.

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