Was ist Symmetrie? Tobias Dyckerhoff. 21. November Hausdorff Center for Mathematics Universität Bonn

Transkript

1 Was ist Symmetrie? Tobias Dyckerhoff Hausdorff Center for Mathematics Universität Bonn 21. November 2015

2 Was haben und x x + 16 = 0 gemeinsam?

3 Erster Teil Symmetrie im geometrischen Kontext

4 Bin ich normal, wenn ich Symmetrie brauche? - Von Fanny Jimenez (Die Welt)

5 Wes Anderson: The fantastic Mr. Fox (2009)

6 Maurits Cornelis Escher: Convex and Concave (1955)

7 Ustad Ahmad Lahauri: Taj Mahal (1653)

8 Villa Maria (Hausdorff Center for Mathematics)

9 Plato: Timaeus (360 BC)

10 Johannes Kepler: Mysterium Cosmographicum (1596)

11 Wieso fasziniert uns Symmetrie?

12 Wieso fasziniert uns Symmetrie? - Chris Madden

13 Was ist Symmetrie? Eine Symmetrie einer geometrischen Figur F ist eine Abbildung von F auf sich selbst, die Abstände und Winkel erhält. Spiegelung Drehung Verschiebung

14 Wie kann man Symmetrie messen?

15 Symmetrien: Drehsymmetrie: Tetraeder

16 Drehsymmetrie: Tetraeder Symmetrien: Identität e

17 Drehsymmetrie: Tetraeder Symmetrien: Identität e 3 Drehungen a, b, c um 180 um diagonale Achsen

18 Drehsymmetrie: Tetraeder Symmetrien: Identität e 3 Drehungen a, b, c um 180 um diagonale Achsen 4 Drehungen d 1, d 2, d 3, d 4 um 120 um Höhenachsen

19 Drehsymmetrie: Tetraeder Symmetrien: Identität e 3 Drehungen a, b, c um 180 um diagonale Achsen 4 Drehungen d 1, d 2, d 3, d 4 um 120 um Höhenachsen 4 Drehungen d1 2, d 2 2, d 3 2, d 4 2 um 240 um Höhenachsen also insgesamt 12.

20 Symmetrien: Drehsymmetrie: Prisma

21 Drehsymmetrie: Prisma Symmetrien: Identität e

22 Drehsymmetrie: Prisma Symmetrien: Identität e 5 Drehungen v, v 2, v 3, v 4, v 5 um 60, 120, 180, 240, 300 um vertikale Achse

23 Drehsymmetrie: Prisma Symmetrien: Identität e 5 Drehungen v, v 2, v 3, v 4, v 5 um 60, 120, 180, 240, 300 um vertikale Achse 6 Drehungen h 1, h 2, h 3, h 4, h 5, h 6 um 180 um horizontale Achsen also insgesamt 12.

24 Multiplikationstafel: Tetraeder e a b c d 1 d 2 1 d 2 d 2 2 d 3 d 2 3 d 4 d 2 4 e e a b c d 1 d 2 1 d 2 d 2 2 d 3 d 2 3 d 4 d 2 4 a a e c b d 4 d 2 3 d 3 d 2 4 d 2 d 2 1 d 1 d 2 2 b b c e a d 2 d 2 4 d 1 d 2 3 d 4 d 2 2 d 3 d 2 1 c c b a e d 3 d 2 2 d 4 d 2 1 d 1 d 2 4 d 2 d 2 3 d 1 d 1 d 3 d 4 d 2 d 2 1 e d 2 3 b d 2 4 c d 2 2 a d 2 1 d 2 1 d 2 4 d 2 2 d 2 3 e d 1 c d 4 a d 2 b d 3 d 2 d 2 d 4 d 3 d 1 d 2 4 b d 2 2 e d 2 1 a d 2 3 c d 2 2 d 2 2 d 2 3 d 2 1 d 2 4 c d 3 e d 2 b d 4 a d 1 d 3 d 3 d 1 d 2 d 4 d 2 2 c d 2 4 a d 2 3 e d 2 1 b d 2 3 d 2 3 d 2 2 d 2 4 d 2 1 a d 4 b d 1 e d 3 c d 2 d 4 d 4 d 2 d 1 d 3 d 2 3 a d 2 1 c d 2 2 b d 2 4 e d 2 4 d 2 4 d 2 1 d 2 3 d 2 2 b d 2 a d 3 c d 1 e d 4

25 Multiplikationstafel: Prisma e v v 2 v 3 v 4 v 5 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 e e v v 2 v 3 v 4 v 5 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 v v v 2 v 3 v 4 v 5 e h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 1 v 2 v 2 v 3 v 4 v 5 e v h 3 h 4 h 5 h 6 h 1 h 2 v 3 v 3 v 4 v 5 e v v 2 h 4 h 5 h 6 h 1 h 2 h 3 v 4 v 4 v 5 e v v 2 v 3 h 5 h 6 h 1 h 2 h 3 h 4 v 5 v 5 e v v 2 v 3 v 4 h 6 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 1 h 1 h 6 h 5 h 4 h 3 h 2 e v 5 v 4 v 3 v 2 v h 2 h 2 h 1 h 6 h 5 h 4 h 3 v e v 5 v 4 v 3 v 2 h 3 h 3 h 2 h 1 h 6 h 5 h 4 v 2 v e v 5 v 4 v 3 h 4 h 4 h 3 h 2 h 1 h 6 h 5 v 3 v 2 v e v 5 v 4 h 5 h 5 h 4 h 3 h 2 h 1 h 6 v 4 v 3 v 2 v e v 5 h 6 h 6 h 5 h 4 h 3 h 2 h 1 v 5 v 4 v 3 v 2 v e

26 Symmetrie auf mathematisch Definition Eine Gruppe ist eine Menge G mit einem Kompositionsgesetz a, b G a b G mit den folgenden Eigenschaften: 1. Es gilt (a b) c = a (b c) 2. Es gibt ein Identitätselement e G mit a e = a = e a. 3. Jedes a G hat ein Inverses a 1 G mit a a 1 = e = a 1 a.

27 Klassifikation der endlichen Drehgruppen C n (n 3) D n (n 1) S 4 A 5 A 4 A 5 S 4

28 Zweiter Teil Symmetrie im algebraischen Kontext

29 x 2 + px + q = 0 (I) Substitution: x = z p 2 (II) Gleichung wird zu z 2 = p2 4 q. (III) Lösungen für z sind { p 2 p 2 } 4 q, 4 q (IV) Lösungen für x sind { p 2 + p 2 4 q, p 2 p 2 4 q }

30 x 3 + ax 2 + bx + c = 0

31 x 3 + ax 2 + bx + c = 0 Niccolò Tartaglia ( )

32 Ehre sei Gott, 1534, dem 22. Februar, in Venedig. Diese sind die dreißig Aufgaben vorgeschlagen von mir, Antonio Maria Fior, an Sie, Herrn Niccolò Tartaglia: 1. Finde eine Zahl, die mit ihrer dritten Wurzel addiert sechs ergibt, Finde zwei Zahlen in doppeltem Verhältnis, so dass wenn das Quadrat der grösseren mit der kleineren multipliziert und dieses Produkt zu den ursprünglichen Zahlen addiert wird, das Ergebnis vierzig ist,

33 Ehre sei Gott, 1534, dem 22. Februar, in Venedig. Diese sind die dreißig Aufgaben vorgeschlagen von mir, Antonio Maria Fior, an Sie, Herrn Niccolò Tartaglia: 1. Finde eine Zahl, die mit ihrer dritten Wurzel addiert sechs ergibt, 6. x 3 + x = 6 2. Finde zwei Zahlen in doppeltem Verhältnis, so dass wenn das Quadrat der grösseren mit der kleineren multipliziert und dieses Produkt zu den ursprünglichen Zahlen addiert wird, das Ergebnis vierzig ist,

34 Ehre sei Gott, 1534, dem 22. Februar, in Venedig. Diese sind die dreißig Aufgaben vorgeschlagen von mir, Antonio Maria Fior, an Sie, Herrn Niccolò Tartaglia: 1. Finde eine Zahl, die mit ihrer dritten Wurzel addiert sechs ergibt, 6. x 3 + x = 6 2. Finde zwei Zahlen in doppeltem Verhältnis, so dass wenn das Quadrat der grösseren mit der kleineren multipliziert und dieses Produkt zu den ursprünglichen Zahlen addiert wird, das Ergebnis vierzig ist, 40. 4x 3 + 3x =

35 Tartaglias Formel (1535): Wenn der Kubus und die Dinge zusammen Gleich einer diskreten Zahl sind, Finde zwei Zahlen mit dieser als Differenz. Dann mache es zur Gewohnheit Dass deren Produkt immer soll gleich sein Genau zum Kubus einem Drittel der Dinge. Der Rest, als allgemeine Regel, Der Subtraktion deren Kubikwurzeln Ist gleich Deiner Unbekannten.

36 Tartaglias Formel (1535): Wenn der Kubus und die Dinge zusammen Gleich einer diskreten Zahl sind, Finde zwei Zahlen mit dieser als Differenz. Dann mache es zur Gewohnheit Dass deren Produkt immer soll gleich sein Genau zum Kubus einem Drittel der Dinge. Der Rest, als allgemeine Regel, Der Subtraktion deren Kubikwurzeln Ist gleich Deiner Unbekannten. } x 3 + px = q

37 Tartaglias Formel (1535): Wenn der Kubus und die Dinge zusammen Gleich einer diskreten Zahl sind, Finde zwei Zahlen mit dieser als Differenz. Dann mache es zur Gewohnheit Dass deren Produkt immer soll gleich sein Genau zum Kubus einem Drittel der Dinge. Der Rest, als allgemeine Regel, Der Subtraktion deren Kubikwurzeln Ist gleich Deiner Unbekannten. } x 3 + px = q } u v = q

38 Tartaglias Formel (1535): Wenn der Kubus und die Dinge zusammen Gleich einer diskreten Zahl sind, Finde zwei Zahlen mit dieser als Differenz. Dann mache es zur Gewohnheit Dass deren Produkt immer soll gleich sein Genau zum Kubus einem Drittel der Dinge. Der Rest, als allgemeine Regel, Der Subtraktion deren Kubikwurzeln Ist gleich Deiner Unbekannten. } x 3 + px = q } u v = q uv = ( p 3 )3

39 Tartaglias Formel (1535): Wenn der Kubus und die Dinge zusammen Gleich einer diskreten Zahl sind, Finde zwei Zahlen mit dieser als Differenz. Dann mache es zur Gewohnheit Dass deren Produkt immer soll gleich sein Genau zum Kubus einem Drittel der Dinge. Der Rest, als allgemeine Regel, Der Subtraktion deren Kubikwurzeln Ist gleich Deiner Unbekannten. } x 3 + px = q } u v = q uv = ( p 3 )3 x = 3 u 3 v

40 Tartaglias Formel (1535): Wenn der Kubus und die Dinge zusammen Gleich einer diskreten Zahl sind, Finde zwei Zahlen mit dieser als Differenz. Dann mache es zur Gewohnheit Dass deren Produkt immer soll gleich sein Genau zum Kubus einem Drittel der Dinge. Der Rest, als allgemeine Regel, Der Subtraktion deren Kubikwurzeln Ist gleich Deiner Unbekannten. x = 3 q 2 } x 3 + px = q } u v = q uv = ( p 3 )3 x = 3 u 3 v q p q 2 + q p3 27

41 x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0

42 x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Cardano und Ferrari (Ars magna 1545):

43 x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0

44 x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 Evariste Galois ( )

45 x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 Wie symmetrisch ist diese Gleichung?

46 Symmetrie von polynomialen Gleichungen Jede polynomiale Gleichung x n + a n 1 x n a 0 = 0 ( ) mit Koeffizienten in Q hat Lösungen x 1, x 2,..., x n in C, so dass x n + a n 1 x n a 0 = (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Eine Symmetrie der Gleichung ( ) ist eine Vertauschung der Lösungen die alle polynomialen Relationen zwischen x 1,..., x n mit Koeffizienten in Q erhält.

47 Beispiel: x 4 2 = 0 Lösungen: a = 4 2, b = i 4 2, c = 4 2, d = i 4 2. Polynomiale Relationen: Wegen x 4 2 = (x a)(x b)(x c)(x d) gelten die Gleichungen abcd = 2 abc + abd + acd + bcd = 0 ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 a + b + c + d = 0. Zusätzlich gelten a 2 b 2 = 2 b 2 c 2 = 2 a 2 c 2 = 2 c 2 d 2 = 2 b 2 d 2 = 2 d 2 a 2 = 2. a d b c Symmetriegruppe = D 4

48 Beispiel: x 3 + x 2 2x + 1 = 0 Lösungen: a = 2 cos( 2π 7 ), b = 2 cos( 4π 7 ), c = 2 cos( 6π 7 ). Polynomiale Relationen: Wegen x 3 + x 2 2x + 1 = (x a)(x b)(x c) gelten die Gleichungen abc = 1 ab + ac + bc = 2 a + b + c = 1. Zusätzlich gelten b = a 2 2 c = b 2 2 a = c 2 2. a b c Symmetriegruppe = C 3

49 Galois fundamentale Einsicht: Komplexität einer Gleichung Komplexität ihrer Symmetriegruppe Wenn die Symmetriegruppe zu kompliziert ist, dann können die Lösungen nicht durch eine explizite Formel beschrieben werden.

50 Was haben und x x + 16 = 0 gemeinsam?

51 Die Symmetriegruppe A 5. Dies ist die kleinste Gruppe die zu kompliziert ist. Deshalb hat die Gleichung x x + 16 = 0 keine explizite Lösungsformel, die nur die vier Grundrechenarten und Wurzeln einbezieht.

52 Danke!