Üben. Binomische Formeln. Lösung. Binomische Formeln. Wende die binomischen Formeln an: c) (b + c)(b c) f) (a x)(a + x) a) (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

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Irma Bäcker
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1 X 1a a) (x + y) b) (u v) c) (b + c)(b c) d) (r + s) e) (g f) f) (a x)(a + x) X 1a a) (x + y) = x + xy + y b) (u v) = u uv + v c) (b + c)(b c) = b c d) (r + s) = r + rs + s e) (g f) = g gf + f f) (a x)(a + x) = a x

2 X 1b a) (z + a) b) (w t) c) (q + s)(q s) d) (h + p) e) (b x) f) (v z)(v + z) X 1b a) (z + a) = z + az + a b) (w t) = w wt + t c) (q + s)(q s) = q - s d) (h + p) = h + hp + p e) (b x) = b bx + x f) (v z)(v + z) = v z

3 X 1c a) (a + 1) b) (a 4) c) (r + 3)(r 3) d) (x + 3) e) (4 a) f) (x 7)(x + 7) X 1c a) (a + 1) = a + a + 1 b) (a 4) = a 8a + 16 c) (r + 3)(r 3) = r - d) (x + 3) = x + 6 x + e) (4 a) = 16 8a + a f) (x 7)(x + 7) = x - 4

4 X 1d a) (5 + y) b) (u 0,5) c) (5 + y)(5 y) d) (0,5 + z) e) (0,5 v) f) (z + 0,5)(z 0,5) X 1d a) (5 + y) = y + y b) (u 0,5) = u - u + 0,5 c) (5 + y)(5 y) = 5 y d) (0,5 + z) = 0,5 + z + z e) (0,5 v) = 0,5 v + v f) (z + 0,5)(z 0,5) = z 0,5

5 X a a) (c + 5) b) (3f 6) c) ( + 5k)( 5k) d) (4 + 3r) e) ( 4t) f) (3p 7)(3p + 7) X a a) (c + 5) = 4c + 0c + 5 b) (3f 6) = f 36f + 36 c) ( + 5k)( 5k) = 81 5k d) (4 + 3r) = r + r e) ( 4t) = 81 7t + 16t f) (3p 7)(3p + 7) = p - 4

6 X b a) (5u + v) b) (w a) c) (8v + w)(8v w) d) (7x + 8y) e) (5x 7z) f) (4x 6y)(4x + 6y) X b a) (5u + v) = 5u + 10uv + v b) (w a) = 4w 4aw + a c) (8v + w)(8v w) = 64v w d) (7x + 8y) = 4x + 11xy + 64y e) (5x 7z) = 5x - 70xz + 4z f) (4x 6y)(4x + 6y) = 16x 36y

7 3a a) ( + 8a) b) (4a 5x) c) (7 3z 3 ) d) (4 + 3u )(4 3u ) 3a a) ( + 8a) = 4 + 3a + 64a b) (4a 5x) = 16a 4 40a x + 5x c) (7 3z 3 ) = 4 4z 3 + z 6 d) (4 + 3u )(4 3u ) = 16 u 4

8 3b a) (c + 7) b) (a 8a) c) ( 4t 3 ) d) (6 t )( + t ) 3b a) (c + 7) = c c + 4 b) (a 8a) = 81a 4 144a a c) ( 4t 3 ) = 81 7t t 6 d) (6 t )(6 + t ) = 36 4t 4

9 3c a) (1,5a + 4) b) c) æ 1 1 ö ç u - v è 4 3 ø æ ö ç0,8x - a è ø æ p q öæ p q ö d) ( ç - ç + è 5 4 øè 5 4 ø 3c a) (1,5a + 4) =,5a + 1a + 16 æ 1 1 ö b) ç u - v = u - uv + v è 4 3 ø 16 6 c) æ a ö a ç0,8x - = 0,64x - 0,8ax + è ø 4 æ p qöæ p qö d) ( ç - ç + = è 5 4 øè 5 4 ø p q

10 3d a) b) c) æ 3 ö ç v + 1,1 w è 4 ø æ 3 ö ç v -1,1 w è 4 ø æ x ö ç1 - è 8 ø æ 5 öæ 5 ö d) ç x - y ç x + y è 5 øè 5 ø 3d æ 3 ö a) ç v + 1,1 w = v + 1,65vw+ 1,1w è 4 ø 16 æ 3 ö b) ç v - 1,1 w = v -1,65vw+ 1,1w è 4 ø 16 c) æ xö ç1 - è 8 ø x x = d) æ 5 x - 5 è ç y ö ø æ 5 x + 5 è ç y ö ø = 4 5 x y

11 3e a) (x +) b) ( k ) c) (4a b ) d) (c d)(c + d) 3e a) (x +) = x 4 + 4x + 4 b) ( k ) = 4 4k + k 4 c) (4a b ) = 16a 8ab + b 4 d) (c d)(c + d) = 81c 4 d

12 3f a) (u + v ) b) (u w ) c) æ 3 ç è 4 f 1 + g 4 ö ø æ 1 öæ 1 ö d) ç p + q ç p - q è 3 øè 3 ø 3f a) (u + v ) = u 4 + u v + v 4 b) (u w ) = u 4 u w + w 4 æ 3 1 ö c) ç f + g = f + f g + g è 4 4 ø æ 1 öæ 1 ö d) ç p + q ç p - q = p - q è 3 øè 3 ø

13 4a a) (ab + ) b) (3 bc) c) (pq rs) d) (uv + vw)(uv vw) 4a a) (ab + ) = a b + 4ab + 4 b) (3 bc) = 6bc + b c c) (pq rs) = p q pqrs + r s d) (uv + vw)(uv vw) = u v v w

14 4b a) (eg + 1,5eh) b) (fg 0,hf) c) æ ö ç uv - vw è 3 ø æ y x öæ y x ö d) ç x - y ç x + y è øè ø 4b a) (eg + 1,5eh) = 4e g + 6e gh +,5e h b) (fg 0,hf) = f g 0,4f gh+ 0,04h f c) æ uv vwö ç - è 3 ø u v = 4 uv w v w æ y x öæ y x ö d) ç x - y ç x + y = 0 è øè ø

15 4c a) (a + 1) b) (1 ax ) c) (a x ax ) d) (x 3 y xy 3 ) (x 3 y + xy 3 ) 4c a) (a + 1) = a 4 + a + 1 b) (1 ax ) = 1 ax + a x 4 c) (a x ax ) = a 4 x a 3 x 3 + a x 4 d) (x 3 y xy 3 ) (x 3 y + xy 3 ) = x 6 y x y 6

16 5a Vereinfache: a) (a + b) (a + b ) b) (u + v) + (u v) c) (p + q) (p q) d) (x y) (x y ) 5a a) a + b) (a + b ) = a + ab + b a b = ab b) (u + v) + (u v) = u + uv + v + u uv + v = u + v c) (p + q) (p q) = p + pq + q (p pq + q ) = = p + pq + q p + pq - q = 4pq d) (x y) (x y ) = x xy + y x + y = -xy+ y

17 5b Vereinfache: a) (r s )(r + s ) (r s ) b) (ax + y )(ax y ) + (ax + y ) c) (a + b) (a b) 4ab d) (a b) (a + b) 4ab 5b a) (r s )(r + s ) (r s ) = r 4 s 4 (r 4 r s + s 4 ) = r 4 s 4 r 4 + r s - s 4 = r s s 4 b) (ax + y )(ax y ) + (ax + y ) = a x 4 y 4 + a x 4 + ax y + y 4 = a x 4 + ax y c) (a + b) (a b) 4ab = a + ab + b (a ab + b ) 4ab = a + ab + b a + ab - b 4ab = 0 d) (a b) (a + b) 4ab = a ab + b - (a + ab + b ) 4ab = a ab + b - a - ab - b 4ab = - 8ab

18 6 Ersetze in den folgnenden Gleichungen die Zeichen,,, so, dass die Terme links und rechts des Gleichheitszeichens äquivalent sind. a) ( + b) = + 4ab + b) ( - ) = x - + y c) (6q + ) = + 48q + 6 a) ( + b) = + 4ab + (a + b) = 4a + 4ab + b b) ( - ) = x - + y (x 3y) = x 6xy + y c) (6q + ) = + 48q + (6q + 4) = 36q q + 16

19 7a Faktorisiere folgende Terme mit Hilfe der binomischen Formeln (klammere gegebenenfalls zuerst einen Faktor aus) : a) 4m 4 n 4 1 b) 16 4a + 0,5a c) x + 1x + 18 d) a 4 x + a 3 xb + a b 7a a) 4m 4 n 4 1 = (m n 1)( m n + 1) b) 16 4a + 0,5a = (4 0,5a) c) x + 1x + 18 = (x + 6x + ) = (x+3) d) a 4 x + a 3 xb + a b = a (a x + axb + b ) = a (ax + b)

20 7b Faktorisiere folgende Terme mit Hilfe der binomischen Formeln (klammere gegebenenfalls zuerst einen Faktor aus) : a) 144u 4 v 4 64u v b) x + xy + y c) ab abc + ac d) 1 + 8a + 8a 7b a) 144u 4 v 4 64u v = (1u v 8uv) (1u v + 8uv) b) x + xy + y = 1 (x +18xy + 81y ) = 1 (x + y) c) ab abc + ac = a(b bc + c ) = a(b-c) d) ist nicht faktorisierbar

21 7c Faktorisiere folgende Terme mit Hilfe der binomischen Formeln (klammere gegebenenfalls zuerst einen Faktor aus) : a) a 4 x + x x a b) z c) uz - u d) x 4 - x 4 7c a) a 4 x + x x a = x (a 4 -a + 1) = x (a -1) b) z = 1 3 (z -1) = 1 3 (z-1)(z+1) c) uz - u = u (z - 4) = u (z- )(z+ ) d) x 4 - x 4 = ( x )

22 7d Faktorisiere folgende Terme mit Hilfe der binomischen Formeln (klammere gegebenenfalls zuerst einen Faktor aus) : a) p 4 q 4 r 4 + p q r + 1 b) x 0,5 c) 8a b 4 a x d) u 4 y 4 u 5 y + 0,5u 6 7d a) p 4 q 4 r 4 + p q r + 1= (p q r +1) b) x 0,5 = (x 0,5) = (x-0,5)(x+0,5) c) 8a b 4 a x = a (4b 4 x ) = a (b -x)(b +x) d) u 4 y 4 u 5 y + 0,5u 6 = u 4 (y 4 uy + 0,5u ) = u 4 (y -0,5u)

23 8a Beispiel: x + 4x + = x + 4x + 16 = (3x + 4) Verfahre ebenso und ergänze zu einer binomischen Formel: a) x 6x + b) y 3y + c) z z + d) u + 1,6u + 8a a) = ; (x-3) b) = 4 ; (y - 3 ) c) = 1 4 ; (z+ 1 ) d) = 0,64 ; (x y)

24 8b Beispiel: x + 4x + = x + 4x + 16 = (3x + 4) Verfahre ebenso und ergänze zu einer binomischen Formel: a) 4x 4x + b) 4x 4xy + c) z + az + d) 0,5u uv + 8b a) = 1 ; (x 1) b) = y ; (x y) c) = 0,5a ; ( z + 0,5a) d) = v ; (0,5u v)

25 8c Beispiel: x + 4x + = x + 4x + 16 = (3x + 4) Verfahre ebenso und ergänze zu einer binomischen Formel: a) a x abx + b) u v + 1uv + c) r s - rs + d) r 4 s 4 r s + 8c a) = b ; (ax b) b) = 4 ; (3uv + ) c) = 0,5 ; ( rs 0,5) d) = 0,5 ; (r s 0,5)

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