9 Rotation und Divergenz

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1 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. $Id: ot.tex,v.5 23//22 5:5:22 hk Exp $ 9 Rotation und Divegenz 9. Die Geensche Fomel In diesem Kapitel wollen wi die veschiedenen zwei- und deidimensionalen Integalsätze behandeln und die fü diese notwendigen Begiffe einfühen. Dabei haben wi beeits mit de Untesuchung de Rotation eines Vektofelds im zweidimensionalen Fall begonnen. Die Rotation eines solchen Vektofelds soll die Zikulationsdichte, ode auch Wibeldichte, dieses Vektofelds sein. Um zu sagen was dies ist, hatten wi est einmal die Zikulation C() des stetig diffeenziebaen Vektofelds F um eine Teilmenge R 2 definiet. Setzt man diese in Relation zu Fläche, so egibt sich die elative Wibeldichte C()/ vol(). Haben wi dann einen Punkt p R 2, so bilden wi den Genzwet ot F (p) = lim p C() vol() de elativen Wibeldichte, wobei de Genzwet übe sich auf den Punkt p zusammenziehende Mengen gebildet wid. Da die Zikulation im Gegenuhzeigesinn gezählt wid, wid auch bei de Rotation die Zikulation im Gegenuhzeigesinn als positiv gewetet. Dies alles ist alledings noch keine Definition, sonden soll est einmal nu die anschauliche Bedeutung de Rotation vemitteln. Um dies genaue zu untesuchen, geben wi den hie betachteten Mengen est einmal einen Namen. Definition 9.: Eine Teilmenge R 2 heißt ein einfaches Flächenstück wenn sie die folgenden dei Eigenschaften besitzt: (a) Die Menge ist kompakt und Jodan-meßba. (b) Es gibt a, b R mit a < b und eine stückweise C -Kuve γ : [a, b] R 2 mit γ(a) = γ(b) und = {γ(t) a t b} so, dass γ [a, b) injektiv ist. (c) Jede Punkt im Inneen von γ liegt in und γ umläuft im Gegenuhzeigesinn. Sind dann f : R eine stetige Funktion beziehungsweise F : R 2 ein stetiges Vektofeld, so scheiben wi f(t) dt := f(t) dt und F (t) dt := F (t) dt. γ γ uch diese Definition ist steng genommen noch etwas lückenhaft, da wi nicht definiet haben was es bedeutet die Punkte von im Gegenuhzeigesinn zu umlaufen 23-

2 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. beziehungsweise was die Punkte im Inneen von γ sind. Da diese Begiffe abe anschaulich unpoblematisch sind, und eine genaue Einfühung fü unsee Zwecke zu aufwändig ist, wollen wi auf eine genauee Definition vezichten. Das die am Ende de Definition eingefühte Scheibweise sinnvoll, also unabhängig von de speziell gewählten Kuve γ ist, folgt aus de Invaianz des skalaen und vektoiellen Kuvenintegals unte Umpaametisieungen 7.Lemma 3.(e) beziehungsweise 7.Lemma 4.(c). Mit diesen Bezeichnungen wid die Zikulation des Vektofelds F um ein einfaches Flächenstück zu C() = F (t) dt. Wi wollen jetzt den Genzwet de elativen Wibeldichte untesuchen, und de Einfachheit halbe betachten wi nu Keise anstelle allgemeine einfache Flächenstücke. Gegeben seien also eine offene Menge U R 2, ein stetig diffeenziebaes Vektofeld F : U R 2 F = f x + g auf U und ein Punkt p U. Da U offen ist, können wi ein ɛ > mit B ɛ () U wählen. Fü jedes < ɛ betachten wi dann den Keis B := B (p) U, und paametisieen seinen Rand duch die Kuve κ p,. ls die Zikulation von F um die Keisscheibe B egibt sich dann C(B ) := F (t) dt und somit C(B ) κ p, vol(b ) = F (t) dt. π 2 κ p, Wi wollen den Genzwet dieses usducks fü beechnen. F F B B p p C(B ) > C(B ) < 23-2

3 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. Fü jedes < ɛ scheiben wi die Definition des Linienintegals aus, und ehalten C(B ) vol(b ) = π 2 = π 2 2π = π κ p, F (t) dt [g(p + cos t, p 2 + sin t) cos t f(p + cos t, p 2 + sin t) sin t] dt 2π g(p + cos t, p 2 + sin t) cos t f(p + cos t, p 2 + sin t) sin t De Konvegenzsatz fü Riemannintegale ist hie nicht anwendba, da de Integand fü übehaupt nicht konvegieen muss. Glücklicheweise können wi das Integal abe noch etwas umfomen indem wi einmal patiell integieen 2π π = π g(p + cos t, p 2 + sin t) cos t f(p + cos t, p 2 + sin t) sin t dt [ g x (p + cos t, p 2 + sin t) sin 2 t g 2π (p + cos t, p 2 + sin t) sin t cos t + f x (p + cos t, p 2 + sin t) sin t cos t f ] (p + cos t, p 2 + sin t) cos 2 t dt. Jetzt existiet de Genzwet des Integanden fü, wi behaupten das unse Integand fü gleichmäßig gegen ( ) g f x (p) g sin2 t + (p) x (p) sin t cos t f (p) cos2 t konvegiet. Dies leicht zu sehen. ngenommen wi geben uns ein δ > vo. Da die Funktion g/ x stetig ist, gibt es nach 4.Lemma 3 ein α > so, dass fü alle u, v B ɛ (p) mit u v < α stets g/ x(u) g/ x(v) < δ ist. Fü alle R mit < < α und alle t 2π gilt dann (p + cos t, p 2 + sin t) p = < α, also auch g x (p + cos t, p 2 + sin t) sin 2 t g x (p) sin2 t δ sin2 t δ. Dies beweist die gleichmäßige Konvegenz des esten Summanden unsees Integanden, und die andeen dei Teme können analog behandelt weden. Mit 6.Satz folgt jetzt lim C(B ) vol(b ) = 2π ( ) g f π x (p) g sin2 t + (p) x (p) sin t cos t f (p) cos2 t dt, und vewenden wi die schon fühe beechneten Integale dt. 2π sin t cos t dt =, 2π sin 2 t dt = 2π cos 2 t dt = π, 23-3

4 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. so ehalten wi schließlich lim C(B ) vol(b ) = g x (p) f (p). Da dieses Egebnis einfache als die oben gegebene Definition übe den Genzwet de elativen Wibeldichte ist, vewenden wi es jetzt als unsee exakte Definition. Definition 9.2 (Rotation eines ebenen Vektofelds) Seien U R 2 eine offene Menge und F ein stetig diffeenziebaes Vektofeld auf U. Die Rotation von F ist dann die stetige Funktion ot F := F 2 x F. Das Potentialkiteium fü F können wi dann auch als ot F = scheiben. Ist jetzt R 2 ein einfaches Flächenstück, so sollte sich duch Integation de Wibeldichte von γ F übe die Zikulation von F um die Menge egeben, wi ewaten also die Gültigkeit de Fomel ( F2 x F ) d(x, y) = F (t) dt. Dies ist eine de divesen Geenschen Fomeln. uf einen exakten Beweis weden wi vezichten, schon weil wi fü einen solchen est einmal eine exaktee Definition eines einfachen Flächenstücks benötigten. Wi weden uns mit dem Beweis eines Spezialfalls begnügen bei dem die Menge stenfömig zu einem Punkt z ist, und sich in de Fom = { z + t ( cos φ sin φ ) φ 2π, t b(φ)} scheiben läßt, wobei b : [, 2π] R eine stückweise stetig diffeenziebae Funktion mit b(φ) > fü alle φ [, 2π] ist. Die Randkuve γ von kann man dann als γ(φ) = z + b(φ) (cos φ, sin φ) b(φ ) scheiben. Man kann das Zentum z nach z = veschieben und dann bietet es sich an die Fomel in Polakoodinaten nachzuechnen. Dazu muss φ z zunächst einmal beechnet weden, wie die Rotation eines Vektofelds in Polakoodinaten aussieht. Seien also V R 2 offen mit / V und bezeichne ϕ : R 2 R 2 die Tansfomation duch Polakoodinaten. Weite sei U R 2 offen mit ϕ(u) V. Sei F ein stetig diffeenziebaes 23-4

5 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. Vektofeld auf V. Wie in 7.5 gesehen, ist das entspechende Vektofeld F in Polakoodinaten gegeben als F = G + G 2 φ mit G (, φ) = F (, φ) cos φ + F 2 (, φ) sin φ, G 2 (, φ) = cos φ F 2 (, φ) sin φ F (, φ) wobei F i := F i (ϕ U) fü i =, 2 definiet ist. Es ist ( (ot F ) (ϕ U) = F 2 x F ) (ϕ U) = cos φ F 2 sin φ F 2 φ sin φ F cos φ F φ, und wegen ist G 2 G φ = cos φ F 2 + cos φ F 2 F = sin φ F + cos φ + sin φ F sin φ F, φ + cos φ F 2 + sin φ F 2 φ G 2 G φ = cos φ F 2 sin φ F 2 φ sin φ F cos φ also ehalten wi als Rotation von F in Polakoodinaten als ot ϕ F = G 2 G φ + 2G 2. Damit kommen wi zu Geenschen Fomel. ( F cos φ φ 2 F 2 sin φ ) F = (ot F ) (ϕ U) 2G 2, Satz 9. (Geensche Fomel) Sei R 2 ein einfaches Flächenstück Weite seien U R 2 offen mit U und F : U R 2 ein stetig diffeenziebaes Vektofeld auf U. Dann gilt die Geensche Fomel ( F2 x F ) d(x, y) = F (x) dx. Wie schon bemekt wollen wi dies nu im oben beschiebenen stenfömigen Spezialfall beweisen. Seien also {( ) cos φ = φ 2π, b(φ)} sin φ 23-5

6 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. und γ : [, 2π] R 2 ; φ ( b(φ) cos φ b(φ) sin φ mit eine stetigen, stückweise stetig diffeenziebaen Funktion b : [, 2π] R. Weite tansfomiee F in Polakoodinaten zu G = ϕ + ψ φ. Da de Integand geade die Rotation des Vektofelds F ist, egibt die Tansfomation auf Polakoodinaten ( F2 x F ) 2π b(φ) ( d(x, y) = 2 ψ ) ϕ (, φ) (, φ) + 2ψ(, φ) d dφ. φ Mit patielle Integation egibt sich fü jedes φ [, 2π] b(φ) 2 ψ (, φ) d = 2 ψ(, φ) b(φ) b(φ) ) 2ψ(, φ) d, also haben wi b(φ) ( 2 ψ ) (, φ) + 2ψ(, φ) d = b(φ) 2 ψ(b(φ), φ). Wi fühen jetzt eine weitee Hilfsfunktion ein, nämlich Φ : [, 2π] R; φ b(φ) ϕ(s, φ) ds. Da die Funktion b als stückweise stetig diffeenzieba voausgesetzt ist, gibt es eine Zelegung (φ,..., φ ) von [, 2π] so, dass b [φ i, φ i ] fü jedes i stetig diffeenzieba ist. Damit ist auch die Funktion Φ [φ i, φ i ] fü jedes i nach stetig diffeenzieba mit Φ (φ) = b(φ) fü alle φ [φ i, φ i ]. Wi ehalten ϕ φ (s, φ) ds + ϕ(b(φ), φ) b (φ) 2π b(φ) ϕ 2π (, φ) d dφ + φ φi = i= φ i Φ (φ) dφ = ϕ(b(φ), φ)b (φ) dφ (Φ(φ i ) Φ(φ i )) = Φ(2π) Φ() =, i= 23-6

7 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. und insgesamt egibt sich mit de Fomel fü das Kuvenintegal in Polakoodinaten ( F2 x F ) 2π d(x, y) = (b(φ) 2 ψ(b(φ), φ) + ϕ(b(φ), φ)b (φ)) dφ = F. γ Damit haben wi die Geensche Fomel in diesem Spezialfall nachgeechnet. ls ein kleines Beispiel wollen wi einmal die sogenannte Leipnitzsche Flächenfomel heleiten. Betachte das Vektofeld F (x, y) := x y mit ot F (x, y) = 2. x Die Geensche Fomel wid dann zu vol() = d(x, y) = x dy y dx. 2 Man kann den Satz von Geen auch auf etwas allgemeinee Flächenstücke anwenden. Dies wollen wi hie nicht systematisch duchfühen, sonden nu ein Beispiel bespechen. Man nennt ein Flächenstück glatt beandet, wenn sein Rand sich als Veeinigung endliche viele disjunkte Teile C,..., C scheiben läßt, die jeweils von eine Kuve einfach duchlaufen weden können. Im nebenstehend abgebildeten Flächenstück zefällt de Rand beispielsweise in = 3 Kuven. Dabei lassen wi die äußee Randkuve γ im Gegenuhzeigesinn um laufen, und die beiden innen gelegenen Randkuven α und β sollen im Uhzeigesinn duchlaufen weden. In andeen Woten wid jede Randkomponente so duchlaufen, das die Menge in Bewegungsichtung imme zu linken Seite liegt. Wi nennen die beiden inneen Keise B und B, und dann ist D := B B die ganz ausgefüllte Ellipse. Sind f, g weite zwei stetig diffeenziebae Funktionen, so ehalten wi mit deifache nwendung de Geenschen Fomel ( g x f ) d(x, y) ( g = D x f ) ( g d(x, y) B x f ) ( g d(x, y) B x f ) d(x, y) = f dx + g dy + f dx + g dy + f dx + g dy γ wobei die Minuszeichen veschwunden sind da wi α und β im Uhzeigesinn duchlaufen. Mit solchen Übelegungen kann man dann ganz allgemein auch noch eine Geensche Fomel fü glatt beandete Flächenstücke heleiten, abe dies wollen wi hie nicht meh duchfühen α β

8 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag De Satz von Stokes Im voigen bschnitt hatten wi die Rotation eines Vektofelds im R 2 eingefüht. Haben wi ein stetig diffeenziebaes Vektofeld F in R 2 und einen Punkt p in dem es definiet ist, so wa die Rotation ode Wibeldichte ot F (p) von F in p eine Zahl, die die Wibeldichte von F im Punkt p mißt. Dabei wuden Dehungen im Gegenuhzeigesinn positiv gezählt und im Uhzeigesinn negativ. ls heuistische Definition konnten wi beispielsweise den Genzwet ot F (p) = lim p vol() F (t) dt vewenden, wobei de Genzübegang nach sich auf den Punkt p zusammenziehenden, einfachen Flächenstücken duchgefüht wude. Wi wollen den Begiff de Rotation eines Vektofelds jetzt auch im deidimensionalen Fall einfühen. Hie stellt sich nun eine kleine zusätzliche Komplikation ein, wi können nicht meh einfach von de Dehung um den Punkt p eden. Im deidimensionalen Fall finden Dehungen um eine chse heum statt, und entspechend können wi die Wibeldichte im Punkt p nicht meh duch eine einzelne Zahl bescheiben. Totzdem weden wi gleich sehen, das die Rotation auch im deidimensionalen Fall im wesentlichen ein zweidimensionales Phänomen ist. Gegeben seien eine offene Menge U R 3 und ein auf U definietes, stetig diffeenziebaes Vektofeld F : U R 3. Wi wollen die Rotation von F in einem Punkt p U definieen. Wi beeits gesagt finden Dehungen im R 3 imme um eine Dehachse heum statt, und dahe betachten wi zunächst eine solche Dehachse, die wi duch einen Nomalenvekto n R 3, n = bescheiben. Sei ein oientietes Flächenstück duch p, das im Punkt p den Nomalenvekto n(p) = n hat, d.h. die Fläche ist im Punkt p senkecht zu Dehachse. Nehmen wi die Fläche als klein genug an, so können wi übe ihe Paametisieung so tun, also wäe sie ein offene Teil des R 2. Daduch das de Nomalenvekto in p gleich n ist, ist die Oientieung von festgelegt, wi wissen also was Dehungen im Gegenuhzeigesinn und im Uhzeigesinn in bedeuten. Duch Othogonalpojektion auf den Tangentialaum können wi uns F eingeschänkt auf als ein zweidimensionales Vektofeld denken. Die Rotation dieses zweidimensionalen Vektofeldes in um den Punkt p nennen wi dann die Rotation von F im Punkt p bezüglich de Dehachse gegeben duch den Nomalenvekto n, und scheiben diese Zahl als ot n F (p). Tatsächlich ist diese Wet von de speziell gewählten Fläche unabhängig. Setzen wi die Definition de Rotation eines zweidimensionalen Vektofelds ein, so ehalten wi die Fomel ot n F (p) = lim B p n B (p)=n F (t) dt (B) B wobei de Genzübegang diesmal nach sich auf p zusammenziehenden, oientieten Flächenstücken B duchgefüht wid, deen Nomalenvekto n B (p) im Punkt p gleich 23-8

9 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. de vogegebenen Dehachse n ist. Die Notation (B) bezeichnete dabei den Flächeninhalt von Flächenstücken im Raum, dies ist de Tem den wi im zweidimensionalen Fall noch als vol(b) scheiben konnten. Beachte das wi dabei keine explizite Othogonalpojektion des Vektofelds F auf die Fläche B duchfühen müssen, da die zu B othogonalen nteile des Vektofelds F im Kuvenintegal auf de echten Seite sowieso veschwinden. Damit haben wi die Rotation von F um eine Dehachse n definiet. Diese hängt noch von n ab, wechseln wi beispielsweise zu n, so deht sich die Oientieung unsee Flächenstücke B um, also weden Gegenuhzeigesinn und Uhzeigesinn vetauscht und wi ehalten ot n F (p) = ot n F (p). Die bhängigkeit de Rotation von de Dehachse n stellt sich jetzt als estaunlich einfach heaus, es handelt sich um eine lineae bbildung, ode genaue die Einschänkung eine solchen auf Einheitsvektoen. uf einen Beweis diese Tatsache wollen wi hie vezichten. Weite kann die so ehaltene lineae bbildung nach I. 2.3 als das Skalapodukt mit einem eindeutigen Vekto ot F (p) R 3 geschieben weden, d.h. wi können die Rotation duch ot F (p) n = ot n F (p) = lim B p n B (p)=n (B) B F (t) dt fü jeden Einheitsvekto n R 3 definieen. Um die geometische Bedeutung des Vektos ot F (p) zu sehen, einnen wi uns an die Cauchy-Schwatz Ungleichung II. 6.Satz. Diese wa die Ungleichung v w v w fü alle v, w R 3 wobei genau dann v w = v w ist wenn v und w linea abhängig sind. In unsee Situation haben wi damit fü jeden Einheitsvekto n ot n F (p) = ot F (p) n ot F (p) n ot F (p) n = ot F (p), und genau dann ist ot n F (p) = ot F (p) wenn ot F (p) in die Richtung von n zeigt. Die Rotation ot F (p) zeigt also in diejenige Richtung um die heum die von F bewikte Dehung maximal und im Gegenuhzeigesinn ist und die Länge de Rotation ist diese maximale bewikte Dehung. Wähend die obige Definition de Wibeldichte zwa koodinatenunabhängig ist und die geometische Bedeutung de Rotation hevohebt, so ist sie doch zum Rechnen nicht besondes gut geeignet. Wi können abe leicht eine explizite Fomel fü ot F heleiten. Im zweidimensionalen Fall wissen wi beeits ot F = F 2 x F wenn F, F 2 die Komponenten von F sind. Um diese Fomel auf den deidimensionalen Fall auszudehnen, entwickeln wi die Rotation unsees deidimensionalen Vektofelds F bezüglich de Standadbasis e, e 2, e 3 des R 3, also ot F (p) = ot F (p) e e + ot F (p) e 2 e 2 + ot F (p) e 3 e 3 = ot e F (p)e + ot e2 F (p)e 2 + ot e3 F (p)e

10 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. Um die Rotation mit Dehachse in Richtung von e zu beechnen nehmen wi die (y, z)-ebene als das zu e senkechte Flächenstück. Von de x-chse aus gesehen wid die y-chse im Gegenuhzeigesinn in die z-chse gedeht, die Koodinaten in de (y, z)-ebene sind also y, z. Mit de Fomel fü die Rotation in zwei Dimensionen folgt ot e F (p) = F 3 (p) F 2 z (p). Fü ot e2 F (p) vewenden wi die (x, z)-ebene, und hie deht sich von de y-chse aus gesehen die x-chse im Uhzeigesinn in die z-chse, wi müssen also z, x als die Koodinaten in de (x, z)-ebene benutzen und ehalten ot e2 F (p) = F z (p) F 3 x (p). Im letzten Fall ot e3 F (p) nehmen wi die (x, y)-ebene in de sich die x-chse im Gegenuhzeigesinn in die y-chse deht, wi haben also die Koodinaten x, y in de (x, y)-ebene und somit ot e3 F (p) = F 2 x (p) F (p). Dieses Egebnis vewenden wi jetzt als die fomale Definition. Definition 9.3: Seien U R 3 offen und F : U R 3 ein stetig diffeenziebaes Vektofeld auf U. Die Rotation von F ist dann das Vektofeld ( ot F = F3 = F ) ( 2 z x + F z F ) ( 3 x + F2 x F ) z. F 3 F 2 z F F 3 z x F 2 F x Um sich diese Fomel zu meken, vewendet man gene den in 7.5 eingefühten - Vekto. Mit diesen scheibt sich die Rotation fomal als ein Vektopodukt ot F = F. Beachte weite das genau wie im zweidimensionalen Fall sich das Potentialkiteium des 7.Koolla 6 im R 3 als eine einzige Bedingung ot F = scheiben läßt. ls ein Beispiel behandeln wi einmal das auf dem ganzen R 3 definiete Vektofeld Dann sind F (x, y, z) := y(z + ) z(x + 2) x(y ) = y(z + ) x + z(x + 2) + x(y ) z. ot e F = x (x + 2) = 2, ot e2 F = y (y ) =, ot e3 F = z (z + ) =, 23-

11 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. also ist die Wibeldichte des Vektofelds F konstant gleich ot F = ( 2,, ). De Satz von Stokes ist ein Integalsatz de es elaubt gewisse vektoielle Kuvenintegale mit einem deidimensionalen Vektofeld F als Integanden in vektoielle Flächenintegale übe die Rotation von F umzuscheiben. Genau wie die Rotation ist auch de Satz von Stokes in gewissen Sinne eine zweidimensionale ussage, und wi weden ihn zumindest heuistisch auf die Geensche Integalfomel zuückfühen. Seien U R 3 eine offene Menge und B U ein oientietes Flächenstück, dessen Rand wi als eine einfach geschlosse Kuve umlaufen können. Diese Kuve laufe bezüglich de auf B gewählten Nomalenvektoen im Gegenuhzeigesinn um B heum. Da es auf die konkete Paametisieung de Randkuve nicht ankommt, geben wi ih keinen eigenen Namen sonden scheiben einfach B. Wähle eine zu Oientieung passende Paametisieung ϕ : B des oientieten Flächenstücks B. Weite sei auf U ein stetig diffeenziebaes Vektofeld F : U R 3 gegeben. Wi wollen jetzt das vektoielle Flächenintegal ot F (x) dx beechnen. Scheiben wi n(q) fü den B Nomalenvekto von B im Punkt q B, so ist ( ϕ ot F (p) dp = ot F (ϕ(x, y)) B x ϕ ) d(x, y) = ot F (ϕ(p)) n(ϕ(p)) ϕ x ϕ dp = ot n(ϕ(p)) F (ϕ(p)) ϕ x ϕ dp. Dieses Integal wollen wi nicht meh exakt ausweten, sonden uns mit einem ehe heuistischen gument begnügen. De Tem ot n(ϕ(p)) F (ϕ(p)) wa gleich de Rotation des Vektofelds F betachtet auf de Fläche B, und das gesamte Integal ist das skalae Flächenintegal diese Rotation übe B. Wenden wi also die Geensche Fomel in B an, so egibt sich B ot F (x) dx = ot n(ϕ(p)) F (ϕ(p)) ϕ x ϕ d(x, y) = ot n(q) F (q) dq = B B F (t) dt. Steng genommen haben wi die Geensche Fomel nicht in diese allgemeinen Situation auf eine Fläche im R 3 fomuliet, abe wi wollen ihe nwendbakeit auch in diesem Fall einmal glauben. Weite kann man diese Fomel dann auch noch auf aus meheen Flächenstücken zusammengesetzte allgemeine Flächen im R 3 ausdehnen, und ehält den folgenden Integalsatz: Satz 9.2 (De Satz von Stokes) Seien U R 3 offen und F : U R 3 ein stetig diffeenziebaes Vektofeld auf U. Weite sei U eine oientiete Fläche deen Rand eine einfach geschlossene Kuve ist, die wi bezüglich de auf gegebenen Nomalenvektoen im Gegenuhzeigesinn 23-

12 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. duchlaufen und als scheiben. Dann gilt F (t) dt = ot F (p) dp. Entspechend gilt de Satz von Stokes auch wenn de Rand von aus meheen Kuven besteht, übe diese muss dann auf de linken Seite de Fomel summiet weden. ls ein Beispiel nehmen wi eneut das schon oben behandelte Vektofeld F (x, y, z) = y(z + ) x + z(x + 2) + x(y ) z und die Kuve γ(t) = ( cos t, sin t, h) fü t 2π mit >, h R. Die Kuve γ beandet den Keis B := {(x, y, h) R 3 x 2 +y 2 2 } den wi mit nach oben zeigenden Nomalvektoen oientieen. Mit dem Satz von Stokes egibt sich γ F (t) dt = B F (t) dt = 9.3 De Divegenzsatz B ot F (p) dp = B 2 dp = (B) = π 2. Wi kommen jetzt zum letzten de in diesem Kapitel behandelten Integalsätze den sogenannten Divegenzsatz. Wi weden diesem Satz im zwei- und im deidimensionalen Fall vostellen. Den zweidimensionalen Fall wollen wi dabei etwas genaue behandeln und beginnen mit dem Begiff de Divegenz im R 2. Es seien also eine offene Menge U R 2 und ein stetig diffeenziebaes Vektofeld F auf U gegeben. Wie bei unsee Einfühung des Flächenintegals zweite t in 8.3 stellt man sich F am besten als das Geschwindigkeitsfeld eine die Menge U ausfüllenden Flüssigkeit vo. Sei U ein einfaches Flächenstück. ls Fluß des Vektofelds F duch das Flächstück bezeichnet man die Diffeenz des aus ausstömenden Teils de Flüssigkeit und de in einstömenden Flüssigkeit, wi scheiben div F := us ausstömende Fluß Nach einstömende Fluß. Um diesen Fluß zu beechnen, und ihn übehaupt exakt zu definieen, betachten wi fü jeden Randpunkt p den Nomalenvekto von in p. Dies ist de Einheitsvekto n(p) = n (p) R 2 de senkecht auf dem Tangentenvekto von in p steht und dessen Richtung aus heaus zeigt. Hie nehmen wi de Einfachheit halbe est einmal an, dass in jedem Punkt von übehaupt ein von Null veschiedene Tangentenvekto existiet, dass de Rand sich also soga als eine eguläe γ (t) F(p) n(p) p = γ (t) 23-2

13 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. Kuve paametisieen läßt. De Fluß des Vektofelds F duch im Punkt p ist dann, analog zu unseem Vogehen bei de Einfühung des Flächenintegals zweite t, de nteil des Vektos F (p) in Richtung des Nomalenvektos n(p), also das Skalapodukt F (p) n(p). Da de Vekto n(p) aus heaus zeigt wid de Fluß aus heaus dabei positiv gezählt und de nach hinein wid negativ gezählt. Den Fluß von F duch das Flächenstück können wi damit als das skalae Kuvenintegal div F = F (t) n(t) dt definieen. Damit haben wi den Fluß des Vektofelds F duch das Flächenstück hinduch definiet, und diese mißt den Fluß des Vektofelds F duch hinduch. Ist de Fluß div F positiv, so fließt meh aus heaus als heein kommt, und ist e negativ so ist es geade umgekeht. div F > div F < Setzen wi den Fluß duch in Relation zu Fläche von, so egibt sich die elative Flußdichte von F duch, also div F/ vol(). Betachten wi dann imme kleine wedende Flächenstücke, die sich auf einen Punkt p U zusammenziehen, so egibt sich im Genzwet schließlich die Flußdichte ode Divegenz von F in p als div F (p) := lim p div F vol(). Wie bei unsee Behandlung de Rotation als Wibeldichte ist diese usduck abe noch nicht als exakte Definition geeignet, e gibt uns nu die anschauliche Intepetation de Divegenz. Die Beechnung de Divegenz fühen wi auf die schon duchgefühte Beechnung de Rotation zuück. Im zweidimensionalen Fall besteht zwischen Divegenz und Rotation kein goße Unteschied. Wi betachten wiede ein einfaches Flächenstück U und nehmen an, dass de Rand eine eguläe, übeall stetig diffeenziebae Kuve bildet. Nach 7.Satz 2.(b) können wi dann als eine nach Bogenlänge paametisiete, stetig diffeenziebae Kuve γ : [, L] R 2 scheiben, die im γ (t) n(p) p = γ (t) 23-3

14 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. Gegenuhzeigesinn umläuft. Fü jedes t L ist γ (t) dann de in Duchlaufichtung zeigende tangentiale Einheitsvekto an im Punkt p = γ(t). Den Nomalenvekto an im Punkt p ehalten wi dann indem wi γ (t) um neunzig Gad im Uhzeigesinn dehen, also n(p) = n(γ(t)) = Jγ (t) mit J = ( Nun ist J eine othogonale Matix mit J 2 =, und somit ist ). F (p) n(p) = J 2 F (p) Jγ (t) = JF (p) γ (t). Wiede da γ nach Bogenlänge paametisiet ist, folgt weite div F = F (t) n(t) dt = L L F (γ(t)) n(γ(t)) dt = JF (γ(t)) γ (t) dt = (JF )(t) dt = ot (JF ), wobei letztees fü die Zikulation von JF um steht. Diese Gleichheit übetägt sich dann auch auf die elativen Fluß- und Wibeldichten, und schließlich egibt sich fü jeden Punkt p U ebenfalls div F div F (p) = lim p vol() = lim ot (JF ) p vol() = ot(jf )(p). Rotation und Divegenz gehen im zweidimensionalen Fall also duch Dehung um neunzig Gad auseinande hevo. Wenden wi diese Fomel auf JF statt F an, so folgt wegen J 2 = auch ot F (p) = div(jf )(p). Scheiben wi jetzt F = f x + g, so ist JF = g x f und die schon bekannte Fomel fü die Rotation egibt ( div f x + g ) ( = ot g x f ) ( = f x g ) = f x + g. Dieses Egebnis vewenden wi jetzt als die wikliche Definition de Divegenz, und zwa gleich in beliebige Dimension. Definition 9.4: Seien n N mit n, U R n offen und F : U R n ein stetig diffeenziebaes Vektofeld. Die Divegenz von F ist dann die Funktion div F := n i= 23-4 F i x i.

15 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. uch in beliebige Dimension ist die Divegenz weitehin die Flußdichte des Vektofelds F. Jetzt können wi den sogenannten Gaußschen Divegenzsatz im zweidimensionalen Fall heleiten. Ein kleines technisches Detail übegehen wi dabei, in unsee obigen Übelegung haben wi angenommen das die Randkuve von übeall einen von Null veschiedenen Tangentenvekto hat, im Divegenzsatz wollen wi auf diese nnahme vezichten um fü beispielsweise ein Quadat nehmen zu können. Steng genommen liegt damit hie kein vollständige Beweis des Satzes vo, dies wollen wi abe ignoieen. Satz 9.3 (Gaußsche Divegenzsatz in de Ebene) Seien U R 2 offen und F : U R 2 ein stetig diffeenziebaes Vektofeld in U. Sei U ein einfaches Flächenstück und weite bezeichne n(p) fü alle p in denen einen von Null veschiedenen Tangentenvekto hat den nach außen geichteten Nomalenvekto auf. Dann gilt div F = F (t) n(t) dt = div F (x, y) d(x, y). Beweis: Scheiben wi F = f x + g so liefet die Geensche Fomel Satz div F = ot (JF ) = f g x = und JF = g x f, ( f x + g ) d(x, y) = div F (x, y) d(x, y). De Divegenzsatz gilt entspechend auch im deidimensionalen Fall. Satz 9.4 (Gaußsche Divegenzsatz im R 3 ) Seien B R 3 ein Standadköpe, U R 3 offen mit B U und F : U R 3 ein stetig diffeenziebaes Vektofeld in U. Dann gilt div F (x) dx = F (x) dx. B B Wi wollen noch ein Beispiel echnen. Seien zwei eelle Zahlen R > > gegeben, und betachte den senkecht stehenden Tous de duch Rotation eines Keises mit Radius 23-5

16 Mathematik fü Physike III, WS 22/23 Dienstag 22. > und Mittelpunkt (R,, ) in de xy-ebene um die y-chse entsteht. Sei T de Teil de Randfläche dieses Tous obehalb de xy-ebene, oientiet mit aus dem Tous heauszeigenden Nomalenvektoen. Wi wollen das vektoielle Flächenintegal T yz e x + z d(x, y, z) beechnen. Ist F das Vektofeld im Integanden, so ist offenba div F =. Ist also D de ausgefüllte obee Teil des Tous, so haben wi nach dem Divegenzsatz F (x) dx = div F (p) dp =. D D ndeeseits ist D = T B + B, wobei B ± de Keis mit Radius und Mittelpunkt (±R,, ) in de xy-ebene ist, also F (x) dx + F (x) dx + F (x) dx = F (x) dx =. T B + B D De Nomalenvekto von D ist auf B + und B konstant gleich e 3, also ist F (x) dx = d(x, y) = (B ± ) = π 2, B ± B ± und insgesamt haben wi F (x) dx = T F (x) dx B + F (x) dx = 2π 2. B 23-6

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