Funktionale und prädikative Denkstrukturen in der SEK 1

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1 Funktionale und prädikative Denkstrukturen in der SEK 1 Autor: Christoph Eidenberger Matrikelnummer: Studienkennzahl: 406 / 412 Lehrveranstaltung Mathematik und Geschlecht Leiterin: Mag. a Dr. in Evelyn Stepancik Sommersemester 2012, JKU Linz Juli

2 Inhaltsverzeichnis 1) Einleitung.. 3 2) Hauptteil 3 2.1) Direktes und indirektes Verhältnis (7. Schulstufe) 3 2.2) Ähnlichkeit (7. Schulstufe) 5 2.3) Flächeninhalt des Trapezes 6 3) Schlussteil. 6 4) Literatur- und Abbildungsverzeichnis

3 1) Einleitung Als zukünftiger Lehrer bin ich natürlich daran interessiert, wie Kinder und Jugendliche denken. Im Seminar Mathematik und Geschlecht haben wir zwei unterschiedliche Denkstrukturen kennengelernt: prädikatives und funktionales Denken. Während prädikativ denkenden Menschen die Schlagwörter Denken in Beziehungen und Untersuchen auf charakteristische Eigenschaften zugeordnet werden, stehen bei funktional denkenden Menschen Prozesse, Wirkungsweisen, dynamische Lösungsstrategien und Operatoren (gewisse Handlungen bewirken Veränderungen) im Vordergrund (vgl. Schwank, 1998). Diese Unterscheidung wurde unter anderem deswegen in dieser Lehrveranstaltung besprochen, weil man festgestellt hat, dass Mädchen eher prädikativ und Burschen eher funktional denken. Das hat für Lehrkräfte des Unterrichtsfachs Mathematik weitreichende Konsequenzen, denn manche Beispiele bzw. Aufgaben bevorzugen eine der beiden genannten Denkstrukturen, sodass die Chancengleichheit schon aufgrund biologischer Faktoren nicht immer gegeben ist. In dieser (wie gefordert) sehr kurzen Arbeit möchte ich Aufgaben, Beweise und Ideen aus der Schulbuchliteratur der SEK 1 vorstellen, bei denen eine der beiden Denkstrukturen stärker berücksichtigt wird. Zu manchen Beispielen habe ich eigene Ideen aufgeschrieben, wie andere Zugänge andere Denkstrukturen fördern könnten. 2) Hauptteil 2.1) Direktes und indirektes Verhältnis (7. Schulstufe) Dieses Thema bereitet vielen SchülerInnen große Probleme. Dabei ist es eines der wenigen mathematischen Stoffgebiete, welche für die Jugendlichen im späteren Alltagsleben unmittelbar von Bedeutung ist. Mir sind bei der Literatursuche sofort die Schlussbemerkungen bzw. Zusammenfassungen der beiden Schulbücher von Lewisch und Floderer aufgefallen, die das Kapitel Direktes und indirektes Verhältnis sehr unterschiedlich abschließen. 3

4 Lewisch (1987, S. 215): Gegenüberstellung Unterhalb dieser Gegenüberstellung ist folgende Unterscheidung zu sehen: Abb.1 Abb.2 Diese Unterscheidung bzw. Merkregel von Ingrid Lewisch bevorzugt das prädikative Denken (Beziehungen zwischen Elementen). Vor allem für funktional denkende Menschen mag diese Zusammenfassung unbefriedigend oder merkwürdig sein. Für sie könnte folgende Zusammenfassung des Kapitels von größerem Nutzen sein: Floderer (2007, S. 159): Zusammenfassung Abb. 3 4

5 Da ich persönlich eher funktional denke, kann ich mit dieser Zusammenfassung mehr anfangen, obwohl sie mathematisch nicht so exakt erscheint wie die vorherige. Vor allem die erste Zeile: je mehr desto mehr, je weniger desto weniger usw. drückt genau das aus, was ich mir selbst bei den Begriffen Proportionalität bzw. Antiproportionalität intuitiv vorstelle. Außerdem wird in Abb. 3 die grafische Veranschaulichung genannt, die schon ein wenig das wichtige Thema Funktionale Abhängigkeiten vorwegnimmt. 2.2) Ähnlichkeit (7. Schulstufe) Bei diesem Themengebiet konzentrierte ich mich besonders auf die Einführung bzw. die Definition der Ähnlichkeit in der Geometrie. Floderer (2007, S. 141): Einführung und Definition Abb. 4 Danach findet sich in einer Randnotiz folgende Bemerkung: Abb. 5 Diese Definition bevorzugt wiederum prädikative Denkstrukturen, da sie Vergleiche zwischen charakteristischen Eigenschaften bzw. Bestimmungsstücken von Figuren anstellt. Natürlich ist der Merksatz aus Abb. 5 in allen Schulbüchern der 7. Schulstufe enthalten und bei der Beschäftigung mit der geometrischen Ähnlichkeit unumgänglich. In manchen Fachbüchern findet man allerdings eine andere Idee, die Ähnlichkeit einzuführen bzw. zu definieren: Die zentrische Streckung. Zwei Figuren sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (zentrische Streckung + (evtl.) Kongruenzabbildungen) ineinander übergeführt werden können. 5

6 Diese Definition klingt sehr technisch und kompliziert. Deswegen soll diese Aussage in der Schule unbedingt grafisch veranschaulicht werden, z. B. mithilfe eines dynamischen Arbeitsblattes. Abb. 6 Ich glaube, dass vor allem funktional denkende SchülerInnen von dieser Einführung profitieren können. 2.3 Flächeninhalt des Trapezes Für diesen Beweis bzw. Herleitung gibt es sehr viele verschiedene Denkweisen und Realisierungsmöglichkeiten. Stellvertretend dafür soll hier eine eher prädikative und eine eher funktionale Lösung gezeigt werden: Abb. 8 Abb. 7 Zwei Dreiecke heruntergeklappt aus dem Trapez entstehen zwei Rechtecke (A = l. b) 3) Schlussteil Ich habe während meiner Recherchen festgestellt, dass die Unterscheidung prädikativ und funktional manchmal nicht ganz streng vorgenommen werden kann und durchaus Mischformen der beiden Denkstrukturen auftauchen. Trotzdem finde ich es wichtig, diese interessante Einteilung ein ganzes Lehrerleben lang im Hinterkopf zu behalten und sich immer wieder bewusst zu machen, dass Mathematik auf verschiedene Arten erlebt werden kann. Das Ziel sollte stets sein, möglichst vielen Jugendlichen - Mädchen und Burschen gleichermaßen - die Chance zu geben, diese spannende Wissenschaft für sich zu entdecken. 6

7 4) Literatur- und Abbildungsverzeichnis Floderer, M. et al. (2007). Mach mit Mathematik Auflage. Wien: öbvhpt. Lewisch, I. (1987). Mathematik 3. Verstehen Üben Anwenden. 7. Auflage. Linz: Veritas. Schwank, I. (1998). Kognitive Mathematik. Theorie prädikativer und funktionaler kognitiver Strukturen. Universität Osnabrück. Zugriff am unter Abbildungen: Bemerkung: Ich habe die Abbildungen zu den Beispielen aus den Schulbüchern nicht eingescannt, sondern wortwörtlich abgeschrieben und das Layout so gut es ging übernommen. Abb. 1, 2: vgl. Lewisch (1987, S. 215) Abb. 3: vgl. Floderer (2007, S. 159) Abb. 4, 5: vgl. Floderer (2007, S. 141) Abb. 6, 7, 8: vom Autor erstellte Abbildungen (Software: GeoGebra 4) 7