Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)
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- Falko Grosse
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1 Gewöhnliche Differenialgleichungen (DGL) Einführende Beispiele und Definiion einer DGL Beispiel 1: 1. Die lineare Pendelbewegung eines Federschwingers führ uner Zuhilfenahme des Newonschen Krafgesezes und des Hooke schen Gesezes zu der DGL s() + ω 2 s() = s Abbildung 1: Federschwinger. Die Funkion s() beschreib die Auslenkung des Massenpunkes aus der Ruhelage zum Zeipunk und ω 2 is eine Federkonsane (siehe Abb. 1). 2. Die Sromsärke I() in einem RL-Sromkreis (R Ohmscher Widersand, L Indukiviä) wird miels Kirchhoff scher, Ohm scher und Faraday scher Geseze aus der Modellgleichung L I() + RI() = U() (U() angelege Spannung) berechne (siehe Abb. 2) U() R I() L Abbildung 2: RL-Kreis. 3. Die logisische Funkion p() beschreib die zeiliche Enwicklung einer (biologischen oder ökonomischen) Populaion mi beschränkem Lebensraum: ṗ() = p()(a bp()), a, b > 0 und konsan. 1
2 Anhand der Beispiele wird klar, was gesuch wird bzw. was man uner einer Lösung einer DGL verseh: Definiion: Eine Lösung is in Beispiel 1 eine 1- bzw. 2-mal differenzierbare Funkion, die, in die jeweilige DGL eingesez, die Gleichung idenisch erfüll. Treen in einer DGL auch höhere Ableiungen auf, ewa bis zur n-en Ordnung, so sprich man von einer DGL n-er Ordnung. Sie läß sich immer in der Form F (, x, ẋ,..., x (n 1), x (n) ) = 0 (1) schreiben. Eine Lösung is hier eine n-mal differenzierbare Funkion ϕ(), welche in F eingesez, die Gleichung (1) idenisch erfüll. Man nenn eine DGL n-er Ordnung explizi, wenn sie nach der höchsen Ableiung aufgelös is, also die Form x (n) = f(, x, ẋ,..., x (n 1) ) (2) besiz, sons implizi. Die Lösung einer DGL (1) bzw. (2) wird mi ϕ(), I, I R Inervall, bezeichne und die Lösungsideniä in der Form bzw. F (, ϕ(), ϕ(),..., ϕ (n 1) (), ϕ (n) ()) 0 ϕ (n) () f(, ϕ(), ϕ(),..., ϕ (n 1) ()) geschrieben. Naürlich is ses zu beachen, dass (, ϕ(), ϕ(),..., ϕ (n) ()) bzw. (, ϕ(),..., ϕ (n 1) ()), I im Definiionsbereich von F bzw. f liegen. 2
3 Bei einer Gleichung der Form ẋ = f(, x) (3) mi (, x) D R 2, f : D R, f seig auf D, kann man sich auch geomerisch veranschaulichen, was es bedeue, dass (3) eine Lösung ϕ : I R besiz. Die Abbildung 3 mach klar (zumindes anschaulich), dass es gewiß nich offensichlich is, ob es zu einer beliebig vorgegebenen Funkion f : D R 2 R eine auf einem Inervall I erkläre Funkion ϕ : I R gib, die (3) idenisch erfüll. f(, x) 1 f(, x) 0 x I ϕ() = f(, ϕ()) D ϕ() Abbildung 3: Geomerische Inerpreaion der Lösung ϕ : I R von (3). Beispiel 2: 1. Für die völlig harmlos wirkende DGL ẋ = x 2 läß sich keine Lösung explizi angeben, die sich als endliche Kombinaion von elemenaren Funkionen und deren Inegralen schreiben läß. Diese ewas vage formuliere Aussage wurde von J. Liouville 1 gezeig. 2. Es gib einfache Beispiele von implizien DGLn, die keine reellwerige Lösung ϕ( ) besizen, z. B. ẋ = 0. 1 Joseph Liouville ( ), bedeuender französischer Mahemaiker, liefere Beiräge zur Algebra, Zahlenheorie, Geomerie und Analysis 3
4 3. Auch bei explizien DGLn komm dieser Sachverhal vor: Berache wird ẋ = d() mi d() := { 0, irraional 1, raional, R. Die Funkion d( ) wird Dirichle 2 -Funkion genann. Häe diese DGL eine Lösung, dann müße die Ableiung genau so aussehen, wie die Dirichle- Funkion. Die Ableiung einer differenzierbaren Funkion muß zwar nich nowendig seig sein, aber sie besiz die Zwischenwereigenschaf (siehe Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis. Bd. I, S. 285, Teubner Sugar 1980) Wir haben in den voransehenden Beispielen gesehen, dass bei der Unersuchung von DGLn die Frage nach der Exisenz und Eindeuigkei der Lösung eine wichige Rolle spiel. In diesem Zusammenhang muß hier auf den Begriff eines Anfangswerproblems (AWP) eingegangen werden. Definiion(Anfangswerproblem): Gegeben is eine Menge D R n, D := {x R n x x 0 d}, I := { R 0 a} wobei d und a posiive Konsanen sind, eine auf I D erkläre Funkion f : I D R n+1 R n und ein feser Punk ( 0, x 0 ) I D. Gesuch is eine in einem Inervall J (mi 0 J) differenzierbare Funkion ϕ : J R n für die ϕ() = f(, ϕ()), J und ϕ( 0 ) = x 0 (4) gil. Für diese Aufgabensellung benuzen wir das Symbol ẋ = f(, x), x( 0 ) = x 0, (5) wobei x( 0 ) = x 0 die Anfangsbedingung bezeichne. Naürlich is in (4) wieder verlang, dass graph ϕ I D is (anderenfalls is f in (5) nich definier). Die Bezeichnung AWP samm von Anwendungen, in denen ϕ() und dami der Zusand des Sysems (5) aus dem Anfangszusand x( 0 ) = x 0 und einer DGL für die Zusandsänderung besimm werden soll. Für unseren Federschwinger (Beispiel 1, 1.) ergib sich das AWP ẍ + ω 2 x = 0, x(0) = x, ẋ(0) = x 02. Die eindeuige Lösung is durch ϕ(; 0, x 0 ) := x cos ω + x 02 ω sin ω, (x 0 := (x, x 02 )) gegeben. Die Lösung eines AWP (5) exisier nich nowendig für alle Zeien 0. 2 Peer Gusav Lejeune-Dirichle ( ) war Nachfolger von Carl Friedrich Gauß in Göingen, liefere Beiräge zur Mahemaik und mahemaischen Physik 4
5 Geomerische Inerpreaion einer DGL Wir berachen hier die explizie DGL 1. Ordnung ẋ = f(, x). (6) Dabei sei f : D R als seige Funkion auf D R 2 erklär. Die Funkion ϕ : I R R sei eine Lösung von ((6)), d. h. ϕ is auf I differenzierbar, graph ϕ D für alle I und es gil ϕ() f(, ϕ()). Die geomerische Deuung von ((6)) is nun einfach. Geh eine Inegralkurve ϕ durch den Punk ( 0, x 0 ) D, d. h. is ϕ( 0 ) = x 0, so is der Ansieg an dieser Selle ϕ( 0 ) = f( 0, x 0 ). Durch die DGL ((6)) wird also die Seigung α der durch den Punk ( 0, x 0 ) gehenden Lösungskurve vorgeschrieben: an α = f( 0, x 0 ). Diese Berachung läß sich für jeden Punk aus D ansellen. Sie führ auf die Begriffe Linienelemen und Richungsfeld (siehe Abb. 4). x x 0 α D ϕ() x D Abbildung 4: Seigung und Linienelemen (links). Richungsfeld (rechs). Ein Zahlenripel (, x, p) wird geomerisch so gedeue, dass p den Ansieg einer durch den Punk (, x) gehenden Geraden angib (α mi an α = p is der Ansiegswinkel dieser Geraden). Dieses Tripel heiß Linienelemen. Gezeichne wird dieses Linienelemen als ein (kleines) Geradensück mi den genannen Eigenschafen. Die Gesamhei aller Linienelemene der Form (, x, f(, x)) is ein Richungsfeld. Der Zusammenhang zwischen dem Richungsfeld (, x, f(, x)) und der DGL ((6)) ergib sich wie folg: Eine Lösung ϕ der DGL pass auf das Richungsfeld, d. h. in jedem Punk des Graphen von ϕ simm die Tangenenrichung von ϕ mi der Richung des Linienelemenes überein. Ob durch jeden Punk ( 0, x 0 ) D genau eine Lösungskurve ϕ geh, wird im nächsen Abschni erörer. Die soeben durchgeführe geomerische Berachungsweise is umkehrbar. Is eine Schar von differenzierbaren Kurven gegeben, deren Graphen paarweise 5
6 disjunk sind und die die Vereinigung D haben, so läß sich dieser Kurvenschar eine DGL ẋ = f(, x) zuordnen, für die diese Kurven Lösungen der DGL sind. 20 x() Abbildung 5: Richungsfeld und Kurvenschar der DGL ẋ = x cos sin. 6
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