Kapitel 2 Kovariante vierdimensionale Formulierungen

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1 Kapitel Kovariante vierdimensionale Formulierungen

2 Kovariante vierdimensionale Formulierungen.1 Ko- und kontravariante Tensoren Definitionen Rehenregeln Differentialoperatoren Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik Eigenzeit, Welt-Geshwindigkeit Kraft, Impuls, Energie Der elastishe Stoß Kovariante Formulierung der Elektrodynamik Kontinuitätsgleihung Elektromagnetishe Potentiale Feldstärke-Tensor Maxwell-Gleihungen Transformation der elektromagnetishen Felder Lorentz-Kraft Formeln der relativistishen Elektrodynamik Kovariante Lagrange-Formulierung Aufgaben Kontrollfragen

3 39 Kovariante vierdimensionale Formulierungen.1 Ko- und kontravariante Tensoren Definitionen Wir haben in Abshn. 1.4 die korrekte Transformation zwishen Inertialsystemen kennen gelernt, die Postulat 1.3. aus Abshn. 1.3 erfüllt. Es muss nun darum gehen, sämtlihe physikalishen Gesetze in kovarianter Form aufzushreiben, d. h. so zu formulieren, dass sie bei Lorentz-Transformationen forminvariant bleiben. Das entspriht der Äquivalenz aller Inertialsysteme gemäß Postulat Die Newton shen Gesetze der Klassishen Mehanik sind lediglih forminvariant gegenüber Galilei-Transformationen, die, wie wir nun wissen, nur in der Grenze v << korrekt sind. Folglih werden die Grundgesetze der Mehanik und auh der Elektrodynamik im relativistishen Bereih niht mehr die vertrauten Formen haben. Unsere nähste Aufgabe muss also darin bestehen, die Forminvarianz der physikalishen Gesetze gegenüber Lorentz-Transformationen zu überprüfen. Diese Kontrolle findet zwekmäßig im vierdimensionalen Minkowski-Raum statt. Dort stellt die Lorentz-Transformation eine Drehung der Vierer-Vektoren dar, die deren Längenquadrate 1.11 invariant lässt. Forminvarianz der physikalishen Gesetze gegenüber normalen räumlihen Drehungen im dreidimensionalen Raum musste bereits für die niht relativistishe Physik gefordert werden, ist dort in der Regel jedoh trivialerweise erfüllt. Ein physikalishes Gesetz ist eine mathematishe Gleihung. Ein skalares Gesetz : a = b ist natürlih invariant gegenüber Drehungen, da sih weder a noh b dabei ändern. Ein vektorielles Gesetz : a = b a j = b j ; j =1,,3 ist kovariant gegenüber Drehungen, d. h., die Komponenten ändern sih zwar, aber so, dass a j = b j für alle j gilt und damit a = b. Analoge Aussagen gelten für Tensoren beliebiger Stufe. Damit ist das Rezept klar: Forminvarianz gegenüber Lorentz-Transformationen ist für ein physikalishes Gesetz genau dann gegeben, wenn das Gesetz in kovarianter vierdimensionaler Form vorliegt, d. h., wenn alle Terme der Gleihung W. Nolting, Grundkurs Theoretishe Physik 4. DOI / _ Springer-Verlag Berlin Heidelberg 01

4 40. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Vierer-Tensoren gleiher Stufe sind. Unter diesem Gesihtspunkt werden wir in Abshn.. die Grundgesetze der Mehanik und in Abshn..3 die der Elektrodynamik aufarbeiten. Zunähst müssen wir aber das obige Rezept noh etwas genauer erläutern. Dazu stellen wir einige formale Betrahtungen über das Rehnen im vierdimensionalen Minkowski-Raum an, wobei wir uns insbesondere den in Abshn , Bd. 1 eingeführten Tensorbegriff in Erinnerung rufen müssen. Es handelt sih dabei eigentlih um nihts anderes als eine Erweiterung des Vektorbegriffs. Ein n k -Tupel von Zahlen in einem n-dimensionalen Raum stellt einen Tensor k-ter Stufe dar, falls sih diese Zahlen beim Wehsel des Koordinatensystems Σ Σ nah bestimmten Gesetzen transformieren. Der hier interessierende Raum ist der Minkowski-Raum mit n =4. Der Koordinatenwehsel erfolgt durh eine Lorentz-Transformation, die wir letztlih aus der Invarianz des Längenquadrats des Vierer-Vektors 1.4, s = x 0 x = t x y z x μ t, x, abgeleitet haben. Die Transformation ist linear x μ = L μλ x λ, wobei die Matrixelemente L μλ durh 1.16 definiert sind. Man beahte die Summenkonvention 1.5. Ein mit dem Raum-Zeit-Punkt x μ verknüpfter Tensor k-terstufe wird nun durh sein Transformationsverhalten beim Übergang x μ x μ definiert. Für den Minkowski-Raum handelt es sih also um ein 4 k -Tupel von Zahlen, die sih bei der Koordinatentransformation x μ x μ = L μλ x λ nah bestimmten Gesetzen transformieren. Die Zahlen heißen Komponenten des Tensors. Sie haben k Indizes, von denen jeder von n =0bis n =3läuft. Für uns sind k =0,1 und interessant. 1 Tensor nullter Stufe = Vierer-Skalar Dieser Tensor hat 4 0 =1Komponente Welt-Skalar. Es handelt sih um eine einzelne Größe, die bei einer Lorentz-Transformation invariant bleibt. Ein Beispiel dafür ist das Längenquadrat s.

5 .1 Ko- und kontravariante Tensoren 41 Tensor erster Stufe = Vierer-Vektor Dieser Tensor besitzt 4 1 = 4 Komponenten. Man untersheidet zwei Typen von Vektoren Welt-Vektoren: a Kontravarianter Vierer-Vektor Wir kennzeihnen diesen Typ durh hoh-gestellte Indizes: a μ a 0, a 1, a, a 3..1 Die Komponenten transformieren sih beim Wehsel des Inertialsystems x μ x μ wie folgt: ā μ = x μ x λ a λ.. Da der Koordinatenwehsel durh eine Lorentz-Transformation bewirkt werden soll, gilt insbesondere: ā μ = L μλ a λ..3 Beispiele sind: α der Ortsvektor x μ t, x, y, z, β das Differential dx μ ; denn für dieses gilt nah der Kettenregel: d x μ = 3 λ =0 x μ x λ dx λ. b Kovarianter Vierer-Vektor Dieser Typ Vierer-Vektor ist durh tief-gestellte Indizes gekennzeihnet: b μ = b 0, b 1, b, b 3..4 Die Komponenten transformieren sih wie folgt: b μ = x λ x μ b λ..5 Dies bedeutet im Spezialfall der Lorentz-Transformation: b μ = L 1 λμ b λ..6 Ein wihtiges Beispiel ist der Gradient einer skalaren Funktion ϕ: ϕ b μ = x,..., ϕ 0 x 3, ϕ ϕ b μ =,..., x 0 x 3,.7 x ν = x ν x μ.

6 4. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Es gilt offenbar: b μ = ϕ x μ = ϕ x ν x ν x μ = xν x μ b ν. Dies entspriht der Definitionsgleihung.5. 3 Tensor zweiter Stufe Dieser Tensortyp besitzt 4 =16Komponenten. Man untersheidet nun drei Arten von so genannten Welt-Tensoren: 3a Kontravarianter Tensor Die Komponenten F αβ ändern sih bei einer Lorentz-Transformation wie folgt: F μν = x μ x α x ν x β F αβ,.8 F μν = L μα L νβ F αβ..9 Zeilen und Spalten transformieren sih also wie kontravariante Vektoren. Ein Beispiel ist das Tensorprodukt aus zwei kontravarianten Vierer-Vektoren a μ und b μ, das aus insgesamt 16 Zahlen Komponenten besteht: Für dieses gilt nämlih: F μν = a μ b ν ; μ, ν =0,...,3..10 F μν = ā μ bν = x μ x α x ν x β aα b β = L μα L νβ F αβ. 3b Kovarianter Tensor Das ist nun ein System von 16 Komponenten F αβ,diesihgemäß F μν = xα x β x μ x ν F αβ,.11 F μν = L 1 αμ L 1 βν F αβ.1 transformieren. Zeilen und Spalten transformieren sih in diesem Fall wie kovariante Vektoren. Das Tensorprodukt aus zwei kovarianten Vierer-Vektoren wäre ein nahe liegendes Beispiel. 3 Gemishter Tensor Die 16 Komponenten Fα β transformieren sih in diesem Fall wie F ν μ = xα x μ x ν x β F β α,.13 F ν μ = L 1 αμ L νβ F β α..14

7 .1 Ko- und kontravariante Tensoren 43 Man beahte, dass sih Tensoren zweiter Stufe stets in Matrizenform shreiben lassen. Allerdings transformieren sih die Elemente einer normalen Matrix niht notwendig wie die Komponenten eines Tensors. Die Formel.14 entspriht dagegen der Relation F = S 1 FS der linearen Algebra, die angibt, wie sih eine Abbildungsmatrix F bei einer Koordinatentransformation S zu einer Matrix F ändert. Der gemishte Tensor zweiter Stufe ist deshalb wirklih in strengem Sinne eine Matrix, die kovarianten und kontravarianten Tensoren dagegen niht. Ein Beispiel für einen gemishten Tensor zweiter Stufe stellt das Tensorprodukt aus einem ko- und einem kontravarianten Vierer-Vektor dar: F ν μ = aν b μ. Ganz analog werden Tensoren noh höherer Stufe definiert. So ist z. B. durh Fνρσ μ = x μ x β x γ x δ x α x ν x ρ x σ F βγδ α das Transformationsverhalten eines gemishten Tensors vierter Stufe festgelegt. Hier sind allerdings nur k =0,1,-Tensoren relevant..1. Rehenregeln Welhen mathematishen Gesetzmäßigkeiten unterliegen die soeben eingeführten Tensoren? 1. Man multipliziert einen Tensor mit einer Zahl, indem man jede Komponente mit dieser Zahl multipliziert.. Tensoren werden komponentenweise addiert! 3. Unter der Verjüngung eines Tensors versteht man das Gleihsetzen eines oberen und eines unteren Index, womit automatish eine Summation verknüpft ist. Die Tensorstufe nimmt dabei von k auf k ab. Beispiele a Wir setzen in dem obigen gemishten Tensor vierter Stufe ν = μ: F ν νρσ = xν x α x β x ν x γ x ρ x δ x σ F α βγδ = xβ x α x γ x ρ x δ x σ F α βγδ = = xγ x ρ x δ x σ F α αγδ.

8 44. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Dieser Ausdruk transformiert sih wie ein kovarianter Tensor zweiter Stufe, wie der Vergleih mit.11 zeigt. b Die Spur einer Matrix F μ ν ist definiert als die Summe ihrer Diagonalelemente: F μ ν F ν ν. Das Resultat ist ein Tensor nullter Stufe, also ein Skalar. Die Spur einer Matrix ist somit invariant gegenüber Koordinatentransformationen. Die Verjüngung eines Tensorprodukts a μ b ν a ν b ν ergibt natürlih einen Skalar k = k =0. Sie ist dem Skalarprodukt in rehtwinkligen Koordinaten äquivalent. Man definiert deshalb für Vierer-Vektoren: Skalarprodukt b, a b α a α..15 Als Skalar ist diese Größe lorentzinvariant. Das lässt sih leiht überprüfen: b, ā = bα ā α = x λ x α x α x ρ b λ a ρ = x λ x ρ b λ a ρ = b λ a λ =b, a. d Als Beispiel β unter a hatten wir das Differential dx μ des Ortsvektors im Minkowski-Raum als speziellen kontravarianten Vierer-Vektor kennen gelernt: dx μ dx 0,dx 1,dx,dx 3 = dt,dx,dy,dz..16 Damit bilden wir das lorentzinvariante Längenquadrat, und shreiben: ds = dx 0 dx 1 dx dx 3 = = dt dx dy dz,.17 ds = μ αβ dx α dx β..18 Die Koeffizienten μ αβ sind die Komponenten des metrishen Tensors s..86, Bd., der in der Speziellen Relativitätstheorie symmetrish μ αβ = μ βα und diagonal ist:

9 .1 Ko- und kontravariante Tensoren 45 Kovarianter metrisher Tensor +1 0 μ αβ Will man das invariante Längenquadrat ds als Skalarprodukt shreiben, so muss offensihtlih gelten: ds =dx, dx =dx α dx α,.0 dx α = μ αβ dx β..1 Der kontravariante metrishe Tensor ist dann durh den folgenden Ansatz definiert: Dies bedeutet: dx α = μ αβ dx β.. dx γ = μ γα dx α = μ γα μ αβ dx β. Dieses kann nur rihtig sein, wenn μ γα μ αβ = δ γ β = 1, falls γ = β, 0 sonst..3 gilt. An.19 lesen wir ab, dass in der Speziellen Relativitätstheorie kovarianter und kontravariantermetrishertensoroffenbaridentishsind: μ αβ = μ βα = μ αβ Ohne Beweis verallgemeinern wir.1 bzw.. zu einer Übersetzungsvorshrift, um kovariante in kontravariante Tensoren zu transformieren und umgekehrt. Man spriht vom Herauf- bzw. Herunterziehen eines Index D...α = μ αβ D......β...,.5 D......α... = μ αβ D...β

10 46. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Auf diese Weise kann man mit den Positionen der Indizes ziemlih beliebig spielen.wirmahendieprobe: D......α... = μ αβ D...β = μ αβ μ βγ D......γ... = = δ γ α D......γ... = D......α.... Insbesondere können wir mit der obigen Übersetzungsvorshrift nun jeden kontravarianten Vierer-Vektor a μ a 0, a 1, a, a 3 = a 0, a.7 in den entsprehenden kovarianten Vierer-Vektor umwandeln: Dies bedeutet für das Skalarprodukt.15: a μ a 0, a 1, a, a 3 = a 0, a..8 b, a =b α a α = μ αβ b β a α = b 0 a 0 b a..9 Der letzte Summand stellt das normale dreidimensionale Skalarprodukt zwishen den Raumkomponenten dar. Man beahte, dass das skalare Produkt nur dann als Summe der Produkte der entsprehenden Komponenten geshrieben werden kann, wenn man die kovarianten Komponenten des einen und die kontravarianten Komponenten des anderen Vierer-Vektors miteinander kombiniert. Beispiele s =x, x = t r, ds =dx, dx = dt dr..1.3 Differentialoperatoren Die Transformationseigenshaft der für die Theoretishe Physik so wihtigen Differentialoperatoren erhalten wir durh direktes Anwenden der Kettenregel: x μ = xα x μ x α ; xα = x α x μ. Die Differentiation nah der Komponente eines kontravarianten Vektors transformiert sih also so wie die Komponenten eines kovarianten Vierer-Vektors. Das überträgt sih direkt auf den Nabla-Operator: Gradient: μ 1 x μ t,..30

11 . Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik 47 ist der normale, dreidimensionale Gradient s , Bd. 1. Mit Hilfe der allgemeinen Übersetzungsvorshrift.6 finden wir für die Ableitung nah einer kovarianten Komponente μ 1 x μ t,..31 DieDivergenz s , Bd. 1 ist als Skalarprodukt aus einem kovarianten Gradienten und einem kontravarianten Vierer-Vektor bzw. einem kontravarianten Gradienten und einem kovarianten Vierer-Vektor natürlih lorentzinvariant: Divergenz: μ a μ μ a μ = 1 t a0 + a..3 Insbesondere für die Elektrodynamik ist shließlih noh der wihtig s. 4.30, Bd. 3: d Alembert-Operator μ μ μ μ = 1 t Δ..33 Δ = ist der Laplae-Operator s , Bd. 1. Als Skalarprodukt ist auh der d Alembert-Operator lorentzinvariant.. Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik Wir wollen nun die Grundgesetze der Klassishen Mehanik so umshreiben, dass sie forminvariant gegenüber Lorentz-Transformationen werden. Dazu müssen wir sie in kovarianter vierdimensionaler Form angeben, d. h., alle Terme in einer solhen Gleihung müssen Vierer-Tensoren gleiher Stufe sein. In der Grenze v<<sollten sih die bekannten Gesetzmäßigkeiten reproduzieren....1 Eigenzeit, Welt-Geshwindigkeit Als Weltlinie haben wir in Abshn. 1.5 die Bahn eines materiellen Teilhens im Minkowski-Raum bezeihnet. Es handelt sih also um die Menge aller Ereignisse x μ =t, x, y, z, die das Objekt in diesem Raum im Laufe der Zeit durhläuft. Dann ist dx μ die differentielle Änderung längs der Weltlinie. Das differentielle Längenquadrat ds =dx μ dx μ = dt dr.34

12 48. Kovariante vierdimensionale Formulierungen ist, wie bereits festgestellt, als Skalarprodukt ein Welt-Skalar, d.h. eine Lorentz- Invariante. Das gilt dann aber auh für die Zeit-Größe dτ = 1 ds =dt 1 dr,.35 da die Lihtgeshwindigkeit nah dem grundlegenden Postulat 1.3. aus Abshn. 1.3 in allen Inertialsystemen denselben Wert hat. Die physikalishe Bedeutung von dτ mahen wir uns wie folgt klar. Da dτ invariant ist, können wir zur Interpretation ein besonders zwekmäßiges Bezugssystem wählen. Das wäre z. B. das mitbewegte Inertialsystem, in dem das Teilhen im Koordinatenursprung momentan ruht: Dann folgt für dτ: dx μ dt,0,0,0..36 dτ = 1 dx μ dx μ = dt..37 dτ entspriht also einem Zeitintervall auf einer mitgeführten Uhr, d. h. dem Intervall der in Abshn besprohenen Eigenzeit. Dadτ als Welt-Skalar lorentzinvariant ist, ändert sih das Eigenzeitintervall natürlih auh niht, wenn wir es auf ein gegenüber dem Teilhen bewegtes System Σ transformieren: dτ =dx μ dx μ = dt dx dy dz = = dt 1 v. Das Resultat entspriht der Feststellung aus Abshn , dass die Eigenzeit stets nahgeht: dτ dt = = γ dτ > dτ v v ist die Relativgeshwindigkeit des Teilhens im System Σ. Wir kommen nun zum Begriff der Welt-Geshwindigkeit u μ, die man sinnvollerweise über die Vershiebung dx μ des Teilhens im Minkowski- Raum innerhalb der Eigenzeit dτ definiert: u μ dx μ..39 dτ Es handelt sih um einen kontravarianten Vierer-Vektor, für den wir auh shreiben können: u μ = dx μ dt dt dτ = 1 dx μ = γ dx μ 1 v dt dt, vx, v y, v z = γv, v..40 u μ = 1 1 β

13 . Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik 49 Die Norm von u μ ist als Skalarprodukt lorentzinvariant und besitzt eine einfahe physikalishe Bedeutung:.. Kraft, Impuls, Energie Das Newton she Trägheitsgesetz s..4, Bd. 1, u μ u μ = γ v =..41 F i = m d dt v i ; i = x, y, z,.4 behält bei einem Wehsel des Inertialsystems, wie wir jetzt wissen, nur dann seine Gültigkeit, wenn für die Relativgeshwindigkeit v<<gilt. Es ist damit forminvariant gegenüber einer Galilei-Transformation. Wir suhen nun die relativistishe Verallgemeinerung dieses Gesetzes für den vierdimensionalen Minkowski-Raum. Dabei haben wir natürlih als Randbedingung zu fordern, dass sih für v<<die Beziehungen für die Raumkomponenten auf die Form.4 reduzieren. Nun können aber die Raumkomponenten der zu suhenden Vierer-Kraft niht einfah mit den F i identifiziert werden. Diese haben niht das rihtige Transformationsverhalten. So sind ja auh die Raumkomponenten der Vierer-Geshwindigkeit u μ in.40 niht die v i, die vielmehr mit dem Faktor γv zu multiplizieren sind. Allerdings ist zu fordern, dass sih die Raumkomponenten eines jeden Vierer-Vektors bei gewöhnlihen dreidimensionalen Drehungen wie üblihe Raumvektoren transformieren. Nun wissen wir, dass sih das Transformationsverhalten eines gewöhnlihen dreidimensionalen Raumvektors bezüglih Drehungen niht ändert, wenn man den Vektor mit einem Skalar multipliziert. Die Raumkomponenten der gesuhten Vierer- Kraft werden deshalb Produkte aus den F i mit passenden skalaren Funktionen von β = v sein, die sih für v<<auf 1 reduzieren. Um nun zu der relativistishen Verallgemeinerung des Newton-Gesetzes.4 zu kommen, werden wir zunähst die Geshwindigkeit v durh die Vierer-Geshwindigkeit u μ ersetzen, v u μ, da nur die Raumkomponenten von u μ für β << 1 in die v i übergehen. Ferner werden wir auf der rehten Seite von.4die Zeitt durh die Eigenzeit τ ersetzen, t τ, da nur die Eigenzeit lorentzinvariant ist. Damit hat d dτ u μ die Dimension einer Beshleunigung und ist ein kontravarianter Vierer-Vektor, der sih wie x μ transformiert s. Aufg Wir betrahten shließlih noh die träge

14 50. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Masse m des Teilhens als Lorentz-Invariante, da nur Raum und Zeit in der Speziellen Relativitätstheorie einer kritishen Revision unterworfen werden, niht dagegen Materie. Damit kommen wir zu dem folgenden Ansatz für die relativistishe Verallgemeinerung der Kraftgleihung.4: Der kontravariante Vierer-Vektor K μ heißt m d dτ u μ = K μ..43 Minkowski-Kraft. Beide Seiten der Kraftgleihung sind Welt-Tensoren erster Stufe, sodass die Kovarianz bezüglih Lorentz-Transformationen gewährleistet ist. Wir müssen allerdings die Komponenten der Minkowski-Kraft K μ erst noh bestimmen. Zu deren Festlegung erinnern wir uns an die andere Form des niht relativistishen Trägheitsgesetzes: F i = d dt p i ; i = x, y, z..44 Dieses fordert Impulserhaltung, falls keine äußeren Kräfte auf das Teilhen wirken. Diese Newton she Form der Impulserhaltung ist niht lorentzinvariant. Wir können den Raumanteil des relativistishen Impulses deshalb durh die Forderung nah einer lorentzinvarianten Impulserhaltung für ein kräftefreies Teilhen festlegen. Dazu bringen wir die Kraftgleihung für die Raumkomponenten in eine Form, die äußerlih dem Trägheitsgesetz.44 besonders ähnlih ist: K i = m d dτ u i = m γ d dt γ v i ; i = x, y, z..45 Der Impulserhaltungssatz ist siher dann lorentzinvariant, wenn wir durh Vergleih Impulse und Kräfte wie folgt festlegen: p ri = mv i 1 β = γ mv i,.46 K i = F i 1 β = γf i,.47 i = x, y, z. F i sind nun, anders als in.44, die relativistishen Kraftkomponenten F i = d dt p ri. Wie gefordert reduzieren sih die Ausdrüke für v<<auf die bekannten, niht relativistishen Terme. Durh Diskussion von Stoßprozessen werden wir in Abshn...3 einsehen, dass.46 wohl die einzige shlüssige, relativistishe Verallgemeinerung des mehanishen Impulses ist.

15 . Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik 51 Es fehlt noh die Zeit-Komponente der Minkowski-Kraft. Dazu berehnen wir K μ u μ = K 0 u 0 K u = m ddτ u0 u 0 m ddτ u u = = 1 m d u dτ 0 u 0 u u = 1 m d dτ u μ u μ = 1 m d dτ. Hier haben wir.9 und.41 ausgenutzt. Es ist also Andererseits gilt aber auh mit.40 und.47: K μ u μ =0..48 K μ u μ = γk 0 γ F v..49 Der Vergleih mit.48 liefert die nullte Kraftkomponente: K 0 = γ F v..50 Gleihungen.47 und.50 ergeben die vollständige Minkowski-Kraft K μ F v = γ, F x, F y, F z..51 Damit ist das Newton she Trägheitsgesetz in der Form.43 vollständig relativistish verallgemeinert. Als Nähstes untersuhen wir die physikalishe Bedeutung der Zeitkomponente der Minkowski-Kraft: γ F v = m d dτ u0 = m γ d γ dt F v = d dt m 1 β..5 Das Skalarprodukt F v entspriht der Arbeit, die die Kraft F pro Zeiteinheit an dem Teilhen der Masse m leistet. In der niht relativistishen Mehanik ist diese mit der zeitlihen Änderung der kinetishen Energie T identish s..7, Bd. 1. Wir mahen deshalb den Ansatz F v = d dt T r,.53 wobei der Index r für relativistish steht, und erhalten durh Vergleih mit.5 die

16 5. Kovariante vierdimensionale Formulierungen relativistishe kinetishe Energie T r = m 1 v = mγ..54 Auh für diese Größe erwarten wir, dass sie in der Grenze kleiner Geshwindigkeiten v << indenbekanntennihtrelativistishenausdrukt = m v übergeht. Nun gilt aber: 1 T r = m 1 v = m + 1 mv m v Für kleine v reduziert sih also T r in dieser Weise noh niht auf die niht relativistishe kinetishe Energie: T r m + 1 v < 1 mv..55 Der störende Zusatzterm m ist eine Konstante, die für die Kinematik des Massenpunktes eigentlih unbedeutend ist. Man könnte sie z. B. in der Definitionsgleihung.54 für T r auf der rehten Seite abziehen, da der Analogieshluss von.53 auf.54 ohnehin nur bis auf eine additive Konstante bestimmt sein kann. Wir werden jedoh später sehen, dass dieser additiven Konstanten eine tiefergehende physikalishe Bedeutung zukommt: m Ruheenergie des Massenpunktes. Wir behalten sie deshalb bei. Durh Multiplikation der Vierer-Geshwindigkeit u μ.40 mit der Masse m des Teilhens können wir einen neuen kontravarianten Vierer-Vektor definieren, der als Vierer-Impuls Welt-Impuls p μ = mu μ = mγ, v.56 zu interpretieren sein wird. Setzen wir.40 ein, so folgt: p μ = Tr, γ mv Tr x, γ mv y, γ mv z, p r..57 Die Raumkomponenten entsprehen also der relativistishen Verallgemeinerung.46 des mehanishen Impulsvektors p = m v, p r = γ p = m 1 v v,.58

17 . Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik 53 während die Zeitkomponente im wesentlihen mit der kinetishen Energie identish ist. In der bisherigen Shlussfolge ist die Masse m eine skalare, invariante Teilheneigenshaft.In den wihtigen Formeln tauht m aber stets in der Kombination mv =γ v m = m 1 v.59 auf, die man deshalb bisweilen auh als geshwindigkeitsabhängige relativistishe Masse definiert. Die Raumkomponenten des Welt-Impulses, p r = mv v,.60 habendannformaldieselbegestaltwieindernihtrelativistishenmehanik.ansih ist das der einzige Grund für die Einführung von mv.das Symbol m ohne Argument steht dann für m0 und meint die Ruhemasse des Teilhens. Die relativistishe kinetishe Energie T r.54 shreibt sih mit mv einfaher: T r = mv..61 Da mv lediglih eine abkürzende Shreibweise darstellt, werden wir von der Definition.59 keinen Gebrauh mahen. Sie muss auh als eher unglüklih betrahtet werden, da sie die Tatsahe vershleiert, dass Masse als direktes Maß für Menge an Materie vom Koordinatensystem unabhängig sein muss. Die Norm des Vierer-Impulses, p μ p μ = T r p r = m u μ u μ = m,.6 ist als Skalarprodukt natürlih lorentzinvariant. Damit haben wir für die relativistishe Energie eines freien Teilhens eine zu.54 alternative Darstellung gefunden: T r = E = p r + m Aus dem Äquivalenzpostulat Abshn. 1.3 müssen wir folgern, dass die Impulserhaltung : p r = γ m v = onst.64 bei kräftefreier Bewegung in allen Inertialsystemen Gültigkeit hat, d. h. niht von der Wahl des Bezugssystems abhängt. p r besteht aber aus den drei Raumkomponenten des Vierer-Impulses p μ. Daraus müssen wir shließen: p r = onst T r =onst..65

18 54. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Wenn man nämlih den kontravarianten Vierer-Vektor p μ gemäß. auf ein anderes Inertialsystem Σ transformiert, so ergeben sih neue Raumkomponenten p r,dieauh von T r abhängen. Wäre T r =/ onst, so würde demnah die Impulserhaltung in Σ niht mehr gelten: Impulserhaltung Energieerhaltung. In der Speziellen Relativitätstheorie besteht über den Welt-Impuls p μ eine sehr enge Verknüpfung dieser beiden Erhaltungssätze. Wir ziehen hieraus eine sehr wihtige Shlussfolgerung. Nihtrelativistish ist ja bekanntlih p = onst auh bei T =/ onst möglih. Man denke an eine explodierende Granate. Die Impulse der Bruhstüke addieren sih vektoriell zu der Konstanten, die den Impuls vor der Explosion ausmahte, wohingegen sih die kinetishe Energie, wie man weiß, verheerend geändert hat. Die relativististishe kinetishe Energie kann sih dagegen niht geändert haben. Das ist aber wegen T r m + T s..55 nurdannmöglih,wenndieänderungderruheenergiem bei dem Prozess die Änderung von T kompensiert. Da die Lihtgeshwindigkeit eine universelle Konstante ist, führt dies zu Einsteins Äquivalenz von Masse und Energie: ΔE = Δm..66 Die Bedeutung dieser Beziehung wollen wir an einigen Beispielen illustrieren: 1. Massenzuwahs, wenn man 100 kg um 1 km in die Höhe hebt: Δm =10 10 kg.. Paarerzeugung: Der Zerfall eines masselosen Photons ν in ein Elektron e und ein Positron e + ist möglih, falls Die Energiedifferenz, E ν m e = 1,0 MeV. E ν m e = T e + T e +, ersheint als Summe der kinetishen Energien von Elektron und Positron. Die Umkehrung Paarvernihtung, e + + e ν, ist natürlih ebenfalls möglih. 3. Masseverlust der Sonne durh Energieabstrahlung: Δm Δt kg s.

19 . Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik Atombombe: Der Gesamtimpuls bleibt nah der Explosion unverändert. Es ergibt sih aber eine grausam hohe kinetishe Energie der Bruhstüke durh einen Masseverlust von etwa 0,1%. 5. Kernspaltung, Kernfusion...3 Der elastishe Stoß Im letzten Abshnitt wurde die relativistishe Form p r des mehanishen Impulses mehr oder weniger über Analogiebetrahtungen eingeführt. Das galt auh für die relativistishe kinetishe Energie T r. Wir versuhen jetzt eine direktere Ableitung dieser Größen unter der Annahme von Impuls- und Energieerhaltung in abgeshlossenen Inertialsystemen! Gemeint sind hier natürlih die noh zu findenden relativistishen Energien und Impulse. Der vertraute niht relativistishe Impulssatz zum Beispiel ist ja niht lorentzinvariant. Wir starten mit den folgenden Ansätzen, p r = mvv ; T r = εv,.67 wobei mv, wie zu.61 erläutert, als Abkürzung zu verstehen ist. Dasselbe gilt für εv.sowohlεv als auh mv sind zunähst als Unbekannte anzusehen, die die Randbedingungen m0 = m ; dε dv 0 = m.68 erfüllen müssen. Sie sollen über den elastishen Stoß zweier identisher Teilhen abgeleitet werden. Wir können siher davon ausgehen, dass ε eine monotone Funktion von v ist. Wir betrahten den Stoß zunähst im der beiden Teilhen. Es seien Shwerpunktsystem Σ v a, v b : Geshwindigkeiten vor dem Stoß, v, v d : Geshwindigkeiten nah dem Stoß. Dabei muss in dem Shwerpunktsystem natürlih v a = u ; v b = u gelten, wobei wir ohne Beshränkung der Allgemeingültigkeit annehmen können, dass u die Rihtung der z-ahse in Σ definiert. Aus dem Energiesatz in Σ, εu =ε v + ε v d, muss εv =εv d folgen, da es sih um identishe Teilhen handelt. Wegen der Monotonie von εv bedeutet dies aber auh v = v d = u.alleviergeshwindigkeiten

20 56. Kovariante vierdimensionale Formulierungen haben also dieselben Beträge. An dem Impulssatz in Σ, muu muu = mu v + d v, lesen wir noh v = v d ab. Dies ergibt mit den in der Abbildung benutzten Bezeihnungen: v x v a α α v b z v d Abb..1. Geshwindigkeiten beim elastishen Stoß v a = 0, 0, u ; v b = 0, 0, u, v =usin α,0,uos α ; v d = usin α,0, uos α. Der Winkel α bleibt unbestimmt. Wir stellen jetzt die analogen Überlegungen für das Inertialsystem Σ an, das sih gegenüber Σ mit der Geshwindigkeit u bewegt. Für die Teilhengeshwindigkeiten in Σ benutzen wir die Transformationsformeln 1.39 bis 1.41: v a = u 0, 0, 1+ u, v = v d = 1 γ 1 γ v b = 0, 0, 0, u sin α 1+ u os α,0, u1 + os α, 1+ u os α u sin α 1 u os α,0, u1 os α, 1 u os α 1 u γ = 1. Der Impulssatz, den wir für Σ bereits ausgenutzt haben und der ja nah Voraussetzung in allen Inertialsystemen gültig ist, m v a va + m v b vb = m v v + m v d vd,

21 . Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik 57 muss für jede Komponente erfüllt sein, also insbesondere für die x-komponente: 0= u m sin α v γ 1+ u os α m sin α vd. 1 u os α Daraus folgt: m 1+ u v = os α 1 u os α m vd..69 Diese Formel muss für alle Streuwinkel α rihtig sein, also auh für α 0.Indiesem Spezialfall sind aber sodass aus.69 v v a und v d 0, m 1+ u v a = m u wird. Den Vorfaktor formen wir noh etwas um: 1 u 1+ u = 1+ u 4 u 1 4 u =1 1+ u = 1+ u =1 v a = 1 γa. Dies ergibt in.70 mv a =γ a m0. Wir können nun den Index a weglassen und m0 = m setzen, der Randbedingung.68 entsprehend: m mv = 1 v..71 Das ist exakt das frühere Ergebnis.59. Durh Einsetzen dieser Beziehung in den Ansatz.67 erhalten wir den gesuhten relativistishen Impuls eines Teilhens der Masse m und der Geshwindigkeit v: m p r = 1 v v..7 Das ist in der Tat der vorher durh Analogieshlüsse gewonnene Ausdruk.58. Wir wollen nun noh über die Theorie des elastishen Stoßes der beiden identishen Teilhen die kinetishe Energie T r = εv bestimmen. Im Inertialsystem Σ gilt, da das Teilhen b vor dem Stoß ruht: ε v a + ε0 = ε v + ε vd. Wir untersuhen wiederum den Fall α 0, wovon lediglih die rehte Seite der Energiegleihung betroffen ist. Dort gehen nur die Beträge der Geshwindigkeiten

22 58. Kovariante vierdimensionale Formulierungen v und v d ein, für die gilt: v = v d = 1 1+ u os α 1 1 u os α u γ sin α + u 1 + os α u γ sin α + u 1 os α Man erkennt, dass v und v d gerade Funktionen von α sind. Reihenentwiklungen nah Potenzen von α, diefürα 0 siher konvergieren, enthalten ausshließlih gerade Potenzen von α. Das überträgt sih auf die Energien εv und εv d,diewir deshalb nah Potenzen von α entwikeln können: ε v a + ε0 = ε v α dε =0 + α v dv dα + α =0 Wegen dv + ε v d α =0 + α dε vd dv d v α =0=v a ; v d α =0=v b =0 bleibt zu analysieren: 0 =! dε v dv dα + α =0 dv dε vd dv d dvd dα +0 α 4. α =0 dvd dα. α =0 Wir können shließlih noh die Randbedingung.68 ausnutzen: 0= dε v a dv dva dα + m dv d α =0 dα..73 α =0 Um weiter zu kommen, müssen wir nun die Geshwindigkeitsquadrate v und v d nah Potenzen von α entwikeln: [ vd = 1 u os α u ] γ sin α + u 1 os α = = 1 u + 1 u α +0 α 4 u γ α +0 α 4 = γ u α γ +0 α 4 u γ α +0 α 4 = γ 4 1 u α γ +0 α 4 u γ α +0 α 4 = = γ u α +0 α 4. = =

23 . Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik 59 Daraus folgt: dv d dα α =0 = γ u = u 1 u..74 Wir haben für die obige Entwiklung 1 + x n m =1+ n m x +0 x.75 benutzt. Diese Formel hilft uns auh bei der Entwiklung von v : [ v = 1+ u os α u ] γ sin α + u 1 + os α = = 1+ u 1 = 1+ u 1 1 u α +0 α 4 [ u γ α + u 1 α +0 α 4] = u α +0 α 4 1+ u u γ α +4u α u +0 α 4 = = v a 1+ u 4u α v a u +0 α 4 [ 1 4u + u α γ +0 α 4] = [ = v a u {4u 4u + α 3 ] 1 v a + u γ +0 α 4}. Dies führt zu: dv dα = 1 u α =0 4 v a v a + 1 γ = 1 4 u 4 v a 1+ u = 1 1 u 4 v 1 a = 1+ u 4 v a 1+ u 1 u 1+ u u 1 =. Den letzten Faktor haben wir bereits im Zusammenhang mit.70 ausgewertet: dv dα = 1 v a 1+ u α =0 4 γa..76

24 60. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Wir setzen.76 und.74 in.73 ein: dε v a dva = m u 1 u v a 4γ a 1+ u = m 1+ u γ a = 1 u = m 1 γ3 a = d m dva 1 v a. Wenn wir diesen Ausdruk integrieren und fortan den Index a weglassen, so bleibt: T r = εv = m 1 v + d..77 Bis auf die Konstante d, d = ε0 m,.78 haben wir durh die Analyse des elastishen Stoßes zweier identisher Teilhen die im letzten Abshnitt mehr oder weniger durh Analogieshlüsse gewonnene relativistishe Energie des freien Teilhens.54 reproduzieren können. Wir werden am Ende dieses Abshnitts explizit beweisen, dass d =0ist, so dass ε0 = m Ruheenergie.79 sein muss. Um unnötige Shreibarbeit zu sparen, wollen wir aber bereits jetzt für die folgenden Betrahtungen d =0setzen. Gemäß der Beweisführung in diesem Abshnitt wissen wir an dieser Stelle noh nihts von einem Vierer-Vektor p μ. Es ist also die Frage interessant: Wie verhalten sih Energie T r und Impuls p r bei einer Lorentz-Transformation? 1 Σ v Σ ; γ v = 1 v. In Σ habe das Teilhen die Geshwindigkeit den relativistishen Impuls u = u x, u y, u z, p r = p rx, p ry, p rz = m γu ux, u y, u z, γu = 1 u und die relativistishe Energie: T r = m γ u. 1

25 . Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik 61 Die entsprehenden gestrihenen Größen u, p r, T r kennzeihnen die Eigenshaften des Teilhens im System Σ.FürdenÜbergangu u, p r p r und T r T r benutzen wir wieder die Transformationsformeln 1.39 bis 1.41: u x, y = 1 γ v Damit berehnen wir zunähst γ u : u = = u x, y 1 vu z ; u z = u z v 1 vu. z 1 vu [ z 1 γv u x + u y + u z v [1 v = = Daraus folgt über 1 vu z vu z vu z u v u [ u γ v ] = ] u u z + u z + v vu z = + v u z + vu z = vu z γ u. v der gewünshte Ausdruk für γ u : 1 u = 1 1 vu z + v vu z = ] = γ u = γ uγ v 1 vu z..80 Damit sind nun die transformierten Impulse leiht bestimmbar: p rx, y = m γ u u x, y = m γ uγ v 1 vu z 1 u x, y γ v 1 vu = z γ v 1 γ v 1 γ u = m γ u u x, y = p rx, y, p rz = m γ u u z = m γ uγ v 1 vu z uz v 1 vu = z = γ v m γu u z m γ u v = γ v p rz v T r.

26 6. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Ebenso leiht finden wir mit.80 die transformierte Energie: T r = m γ u = m γ u γ v 1 vu z = = γ v m γ u m γ u u z v = γ v Tr vp rz. Wir stellen die Ergebnisse zusammen: T r = γ v Tr β p rz p rx = p rx, p ry = p ry, p rz = γ v p rz β T r..81 Fassen wir diese vier Größen als Komponenten des Vektors p μ auf, so erkennen wir, dass sie sih wie die Komponenten eines kontravarianten Vierer-Vektors transformieren: p μ = p 0, p 1, p, p 3 Tr =, p rx, p ry, p rz = = γ u m, u x, u y, u z = mu μ..8 Für die Komponenten des transformierten Vierer-Vektors p μ gilt nämlih mit.16 und.81: p μ = L μλ p λ..83 Dies ist aber die Definitionsgleihung.3 für einen kontravarianten Vierer-Vektor. Wir haben damitden Vierer-Vektor Welt-Impuls, den wir bereits in.57 über Analogieshlüsse eingeführt hatten, nun explizit abgeleitet. Der nähste Programmpunkt betrifft die Transformation der Kräfte. Fürdie Raumkomponenten benötigen wir die zeitlihe Ableitung der relativistishen Impulse: F = d dt p r ; F = d dt p r. u und u seien weiterhin die Teilhengeshwindigkeiten in Σ bzw. Σ,wobeisihΣ relativ zu Σ mit der Geshwindigkeit v parallel zur z-ahse bewegt. Die Zeit transformiert sih gemäß 1.1: t = γ v t v z. Dies bedeutet für das Zeitdifferential dt, wenn wir noh.80 ausnutzen: dt = γ v dt 1 vu z = γ u dt. γ u

27 . Kovariante Formulierung der Klassishen Mehanik 63 Daran lesen wir d dt γ u γ u d dt ab, was uns unmittelbar auf die transformierten Kräfte führt: F x = d dt p rx = γ u d γ u dt p rx = γ u F γ x. u.84 Dabei haben wir aus.81 p rx = p rx übernommen. Ganz analog ergibt sih die y-komponente der Kraft: γ u F x = γ uf x ; γ u F y = γ uf y..85 Für die z-komponente gilt: F z = d dt p rz = γ u d [γ γ v p rz β T ] r. u dt Daraus folgt mit.53: γ u F z = γ F u v γ u F z βγ u..86 Shließlih bleibt noh: F u = d T r dt = γ [ ] u d Tr γ γ u v dt β p rz. Daran lesen wir ab: γ u F u [ = γ v γ u F u ] βγ u F z..87 Wenn wir nun definieren, K 0 F u = γ u K 1 = γ u F x,, K = γ u F y, K 3 = γ u F z,.88 dann gilt nah.85 bis.87: K 0 = γ v K 0 β K 3 ; K 1 = K 1 ; K = K ; K 3 = γ v K 3 β K 0..89

28 64. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Das sind aber wieder die Transformationsformeln, eines kontravarianten Vierer-Vektors: K μ = L μλ K λ,.90 Minkowski-Kraft : K μ K 0, K 1, K, K Mit.38, d dτ = γ d u τ = Eigenzeit,.9 dt folgt unmittelbar die Kraftgleihung.43: K μ d dτ p μ = m d dτ u μ..93 Damit sind sämtlihe Beziehungen des Abshn... durh Diskussion des Stoßprozesses explizit verifiziert. Ein letzter Programmpunkt bleibt noh abzuarbeiten. Wir haben noh zu beweisen, dass die Integrationskonstante d in.77 tatsählih, wie in.78 behauptet, vershwindet. In allen anshließend abgeleiteten Beziehungen ist nämlih eigentlih T r durh T r d zu ersetzen. Wir definieren über den Stoßprozess einen neuen Vierer-Vektor wobei Δp μ = Δp 0, Δp r,.94 Δp r = i p i r f p f r.95 die Differenz der Summe der relativistishen Anfangsimpulse i für initialundder Summe der Endimpulse f für final darstellt.δp 0 ist der entsprehende Ausdruk für die Zeitkomponenten: p 0 i p 0 f..96 Δp 0 = i f Δp μ ist deshalb ein kontravarianter Vierer-Vektor, weil alle beteiligten p μ kontravariante Vierer-Vektoren sind..95 nimmt als in allen Inertialsystemen gültiger Impulssatz eine sehr einfahe Gestalt an: Das hat unmittelbar auh Δp r =0..97 Δp 0 =0.98

29 .3 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 65 für alle Inertialsysteme zur Folge. Aus Δp 3 = γδp 3 β Δp 0 ergibt sih wegen.97 0= γβδp 0 und damit.98. Δp μ ist also der Vierer-Nullvektor: i f Tr Tr ε0 m i + 0! = Δp 0 = i f i + f ε0 m f. Die ersten beiden Summanden heben sih auf, da auh der Energiesatz nah Voraussetzung in allen Inertialsystemen gültig sein soll. Es bleibt damit: ε0 m f! = ε0 m i..99 f Diese Beziehung sollte für beliebige Stoßprozesse, z. B. mit untershiedlihen Teilhenzahlen und Teilhentypen Teilhenumwandlung vorher und nahher, erfüllt sein. Das ist aber nur möglih, wenn generell ε0 = m angenommen wird. Dies bedeutet, dass die Konstante d wirklih Null ist. Die relativistishe kinetishe Energie T r hatalsoindertatdiegestalt.54. i.3 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik Wir haben im vorigen Abshnitt erkennen können, dass die Abweihungen der relativistishen Mehanik von der vertrauten Newton-Mehanik besonders drastish werden, wenn die Geshwindigkeiten mit der Lihtgeshwindigkeit vergleihbar werden. Es ist deshalb durhaus als Überrashung zu werten, dass die.3 Maxwell-Gleihungen der Elektrodynamik auh bei hohen Geshwindigkeiten unverändert gültig bleiben! Sie sind nämlih bereits forminvariant gegenüber Lorentz-Transformationen, was wir in diesem Abshnitt durh Umshreiben auf Vierer-Tensoren explizit demonstrieren werden. Für die Newton-Mehanik war dieses Umshreiben nur durh Neudefinieren einiger physikalisher Begriffe wie Impuls, Energie und Kraft möglih, die lediglih in der Grenze v<<die aus Band 1 bekannten niht relativistishen Gestalten annehmen. Ein solhes Neudefinieren ist in der Elektrodynamik niht notwendig. In der vierdimensionalen Formulierung sind die Maxwell-Gleihungen besonders einfah und symmetrish. Sie zeigen dann insbesondere die enge Korrelation zwishen elektrishen und magnetishen Feldern, die für ein vertieftes Verständnis elektromagnetisher Vorgänge von besonderer Bedeutung ist. Was in dem einen Inertialsystem als Magnetfeld ersheint, manifestiert sih in einem anderen Inertialsystem als elektrishes Feld und umgekehrt.

30 66. Kovariante vierdimensionale Formulierungen.3.1 Kontinuitätsgleihung Die experimentelle Beobahtung lehrt uns, dass die elektrishe Ladung q eine Lorentz-Invariante ist. Es gibt keinerlei Hinweise darauf, dass die Ladung eines Teilhens von dessen Geshwindigkeit abhängt. Dies gilt jedoh niht für Größen wie die oder die Ladungsdihte ρ Stromdihte j = ρ v. Der Grund ist einleuhtend und hängt letztlih mit der Längenkontraktion zusammen. Σ 0 sei ein mitbewegtes Inertialsystem, in dem die betrahtete Ladung ruht: dq = ρ 0 dv 0. ρ 0 ist also die mitbewegte Ladungsdihte. Σ sei ein anderes Inertialsystem, das sih relativ zu Σ 0 mit der Geshwindigkeit v parallel zur z-ahse bewegt. Da sih die Ladungsmenge im vorgegebenen Volumenelement niht geändert haben kann, können wir ansetzen: dq = ρ dv. Für das Volumenelement dv gilt mit der Längenkontraktion 1.8: dv =dx dy dz =dx 0 dy 0 dz 0 1 v = 1 γ dv 0. Aus ρ dv = ρ 0 dv 0 folgt dann für die Ladungsdihte, wie sie von Σ aus gesehen wird: ρ = ρ 0 γ..100 In ihrer Bedeutung als Ruheladungsdihte ist ρ 0 eine Lorentz-Invariante. Die Ladungsdihte ρ bewirkt in Σ eine Stromdihte j: j = γρ 0 v..101 An den Gleihungen.100 und.101 erkennt man einen kontravarianten Vierer- Vektor, die so genannte Vierer-Stromdihte j μ = ρ, j x, j y, j z ρ, j =γρ0, v =ρ 0 u μ..10

31 .3 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 67 Dass es sih um einen kontravarianten Vierer-Vektor handelt, folgt aus der Tatsahe, dassρ 0 einvierer-skalar ist. j μ transformiert sihalsowie die Welt-Geshwindigkeit u μ, von der wir bereits wissen, dass sie ein solher kontravarianter Vierer-Vektor ist. Wir mahen trotzdem die Probe. Im Ruhesystem Σ 0 der Ladung gilt: j 0 = ρ 0 v 0 = 0 ; j 0 0 = ρ 0 j μ 0 = ρ 0,0,0,0. Die Lorentz-Transformation 1.16 liefert dann für die Komponenten der Vierer- Stromdihte in Σ: j 0 = ρ = γ j 0 0 βγ j3 0 = γρ 0, j 1 = j x = j 0x =0, j = j y = j 0y =0, j 3 = j z = βγ j γ j3 0 = γρ 0 v = ρv. Das ist offensihtlih das korrekte Ergebnis, wenn man bedenkt, dass v = 0, 0, v die Geshwingigkeit der Ladung in Σ ist. Wir betrahten nun die Kontinuitätsgleihung s..10, Bd. 3: ρ +divj =0. t Wir erkennen in der linken Seite die Divergenz des Vierer-Vektors. Nah.3 gilt nämlih: μ j μ = 1 t j 0 +divj =divj + t ρ. Die Kontinuitätsgleihung shreibt sih also kurz: μ j μ = Beide Seiten der Gleihung sind Vierer-Skalare. Die Kontinuitätsgleihung ist demnah lorentzinvariant..3. Elektromagnetishe Potentiale Wir diskutieren nun die Wellengleihungen der elektromagnetishen Potentiale, ϕr, t : skalares Potential ; Ar, t : Vektorpotential, und wiederholen dazu einige Überlegungen aus Abshn , Bd. 3. Wir wollen auh hier das Maßsystem SI verwenden, obwohl das Gauß she System der Speziellen Relativitätstheorie eigentlih besser angepasst ist. Die Maxwell-Gleihungen lassen

32 68. Kovariante vierdimensionale Formulierungen sih bekanntlih in zwei homogene und zwei inhomogene Differentialgleihungen gruppieren: homogen : divb = 0, rot E + Ḃ = 0, inhomogen : divd = ρ, rot H Ḋ = j. Wir beshränken unsere Betrahtungen auf das Vakuum, in dem D = ε 0 E ; B = μ 0 H gesetzt werden muss. Das Vektorpotential ist durh den Ansatz 3.34, Bd. 3, B =rota, definiert. Aus der zweiten homogenen Maxwell-Gleihung folgt dann rot E + Ȧ = 0, was zu dem folgenden Ansatz für das elektrishe Feld E führt: E = gradϕ Ȧ 4.1, Bd. 3. ϕ und A sind dadurh niht eindeutig bestimmt. Man hat noh eine Funktion χr, t frei, falls diese so gewählt wird, dass ϕ ϕ χ ; A A +gradχ gewährleistet ist 4. und 4.3, Bd. 3. Wegen rot grad χ = 0 ändert diese Eihtransformation die Felder E und B niht. Man kann sie also nah Zwekmäßigkeitsgesihtspunkten festlegen. Durh Einführung der elektromagnetishen Potentiale ϕ und A sind die homogenen Maxwell-Gleihungen automatish erfüllt. Die beiden inhomogenen Gleihungen werden zu Differentialgleihungen zweiter Ordnung für die Potentiale ϕ und A. Diese wiederum nehmen eine besonders symmetrishe Gestalt an, wenn man die Eihfunktion χr, t so wählt, dass die Lorenz-Bedingung div A + 1 ϕ =diva t ϕ =0.104 erfüllt ist s. 4.37, Bd. 3. Mit = μ 0 ε 0 1 bestimmen sih ϕ und A aus den folgenden

33 .3 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 69 Wellengleihungen A Δ 1 t 1 ϕ = Δ 1 t A = μ 0 j, ϕ = 1 ρ = μ ε 0 ρ s und 4.39, Bd. 3. Auf den rehten Seiten dieser Wellengleihungen erkennen wir die Raum- und Zeitkomponenten der Vierer-Stromdihte j μ. Da der d Alembert- Operator.33 ein skalarer Operator ist, legen die Gleihungen.105 und.106 die Einführung eines weiteren Vierer-Vektors nahe: Vierer-Potential A μ 1 1 ϕ, A x, A y, A z ϕ, A..107 Damit lassen sih die Wellengleihungen für ϕ und A zu der Vierer-Wellengleihung A μ = μ 0 j μ.108 zusammenfassen, die kovariant ist, da beide Seiten Vierer-Tensoren derselben, nämlih der ersten Stufe sind. Die Lorenz-Bedingung.104 lässt sih shließlih noh als Vierer-Divergenz.3 des Potentials A μ shreiben. Die Beziehung μ A μ = 1 t A0 +diva ist offenbar mit der linken Seite von.104 identish. Die Lorenz-Eihung ist als Welt-Skalar lorentzinvariant. μ A μ Feldstärke-Tensor Die Feldstärken E und B lassen sih in der relativistishen Elektrodynamik niht als Vierer-Vektoren shreiben. Wir werden stattdessen für sie einen Vierer-Tensor zweiter Stufe einführen, der die Felder E und B gleihermaßen erfasst. Ausgangspunkt sind wiederum die Zusammenhänge zwishen Feldern und Potentialen: B =rota ; E = gradϕ Ȧ.

34 70. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Den Vierer-Gradienten haben wir in Abshn..1.3 eingeführt: Es gilt offensihtlih: μ = μ = 1 1 t, = 0, 1,, 3,.110 t, = 0, 1,, Damit shreiben wir zunähst das B-Feld um: 0 = 0 ; 1,, 3 = 1,, B x = y A z z A y = A 3 3 A = A 3 3 A. Analog ergibt sih für die anderen beiden kartesishen Komponenten: B y = 3 A 1 1 A 3 ; B z = 1 A A 1. Das E-Feld lässt sih ganz ähnlih shreiben: E x = x ϕ [ 1 t A x = x ϕ + 1 = 1 A 0 0 A 1. ] t A x = Entsprehende Ausdrüke ergeben sih für E y und E z : E y = A 0 0 A ; E z = 3 A 0 0 A 3. Wir führen durh F μν μ A ν ν A μ.113 einen neuen Vierer-Tensor zweiter Stufe ein. Er ist als Tensorprodukt zweier kontravariantervierer-vektoren ebenfallskontravariant und offensihtlih antisymmetrish: F μν = F νμ..114 Man kann diesen Tensor als vierdimensionale Verallgemeinerung der Rotation des Vektors A μ auffassen:

35 .3 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 71 Feldstärke-Tensor 0 1 E x 1 E y 1 E z F μν 1 E x 0 B z B y 1 E y B z 0 B x 1 E z B y B x Das elektromagnetishe Feld wird im Minkowski-Raum also niht mehr durh zwei Felder, sondern durh einen Tensor zweiterstufe beshrieben. Wirwerden imnähsten Abshnitt den Feldstärke-Tensor zur kovarianten Formulierung der Maxwell- Gleihungen benutzen. Der kovariante Feldstärke-Tensor ergibt sih leiht mit Hilfe der allgemeinen Übersetzungsvorshrift.6 aus Abshn..1.: F μν = μ μα μ νβ F αβ..116 Da der metrishe Tensor μ αβ in der Speziellen Relativitätstheorie diagonal ist.19, folgt einfah: F 0ν = F 0ν ; F ν0 = F ν0 ; F μν = F μν ; μν {1,, 3}..117 Wir haben in.115 also lediglih E durh E zu ersetzen, um von F μν zu F μν zu kommen. Wir erkennen an.115 eine wihtige Invariante des elektromagnetishen Feldes F μν F μν = B 1 E,.118 die als Vierer-Skalar von Lorentz-Transformationen unbeeinflusst bleibt. Man kann offensihtlih nie ein reines B-Feld auf ein reines E-Feld transformieren. Wir werden auf diese Tatsahe später noh einmal zurükkommen..3.4 Maxwell-Gleihungen Wir wollen jetzt mit Hilfe des Feldstärke-Tensors.115 die Maxwell-Gleihungen in explizit kovarianter Form ableiten. Beginnen werden wir mit den inhomogenen Gleihungen, die mit =ε 0 μ 0 1 wie folgt geshrieben werden können: 1 div E = μ 0 ρ = μ 0 j 0,.119 rot B 1 1 t E = μ 0 j..10

36 7. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Auf der rehten Seite dieser Gleihungen erkennen wir die Komponenten des Vierer- Stroms j μ.10. Die linken Seiten sollten deshalb ebenfalls Komponenten eines Vierer-Vektors sein, wenn, wie eingangs behauptet, das System der Maxwell- Gleihungen tatsählih kovariant ist. Wir versuhen, die linken Seiten durh den Feldstärke-Tensor auszudrüken: μ =0 μ =1 μ = μ =3 1 μ 0 j 0 =div E = 1 x E x + y E y + z z E = = 1 F 10 + F F 30 = α F α0. μ 0 j 1 = μ 0 j x = y B z z B y t E x = = F F F 01 = α F α1. μ 0 j = μ 0 j y = z B x x B z t E y = = 3 F F F 0 = α F α. μ 0 j 3 = μ 0 j z = x B y y B x t E z = = 1 F 13 + F F 03 = α F α3. Diese Beziehungen lassen sih zu einem kompakten Ausdruk zusammenfassen: inhomogene Maxwell-Gleihungen α F αβ = μ 0 j β ; β =0,1,,3..11 Links steht ein verjüngter Tensor dritter Stufe, demnah ein Vierer-Vektor wie auf der rehten Seite. Kovarianz ist damit gewährleistet. In dieser Form gelten die inhomogenen Maxwell-Gleihungen in allen Inertialsystemen. Wir kommen nun zu den homogenen Maxwell-Gleihungen: div B = 0,.1 1 rot E + 1 B =0. t.13

37 .3 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 73 Für.1 können wir auh shreiben: 0=divB = x B x + y B y + z B z = 1 F 3 + F F 1 = 1 F 3 + F F 1. Die drei Komponenten der Vektorgleihung.13 lassen sih wie folgt umformen: 0= rot 1 E + 1 x t B x = 1 y E z 1 z E y + 1 t B x = = F F 0 0 F 3 = F F F 3, 0= rot 1 E + 1 y t B y = 1 z E x 1 x E z + 1 t B y = = 3 F F 03 0 F 31 = 3 F F F 31, 0= rot 1 E + 1 z t B z = 1 x E y 1 y E x + 1 t B z = = 1 F 0 + F 01 0 F 1 = 1 F 0 + F F 1. AuhdieseGleihungenlassensihineinemkompaktenAusdrukzusammenfassen, wobei wir noh.11 ausnutzen: homogene Maxwell-Gleihungen α F βγ + β F γα + γ F αβ =0, α, β, γ beliebig aus 0,1,,3..14 Alle additiven Terme dieses Ausdruks, die sih durh zyklishe Vertaushung der Indizes α, β, γ voneinander untersheiden, sind Vierer-Tensoren gleiher Stufe. Die Kovarianz ist somit evident. Sind zwei Indizes in.14 gleih, so wird die linke Seite identish Null. Es folgt zum Beispiel aus α = β.114: α F αγ + α F γα + γ F αα = α F αγ F αγ =0. Interessant sind also nur die Kombinationen 0,,3, 0,1,3, 0,1,, 1,, 3.Dies sind aber gerade die oben diskutierten vier homogenen Maxwell-Gleihungen. Das System der Maxwell-Gleihungen lässt sih also in Form von.11 und.14 durh Vierer-Tensoren sehr knapp und symmetrish ausdrüken, wobei die Kovarianz bezüglih Lorentz-Transformationen unmittelbar deutlih wird. Eine noh kompaktere Darstellung der homogenen Maxwell-Gleihungen als.14 erreiht man durh Einführung des so genannten dualen Feldstärke-Tensors: F μν = 1 ε μνρσ F ρσ..15

38 74. Kovariante vierdimensionale Formulierungen Dabei ist +1, falls μ, ν, ρ, σ gerade Permutation von 0,1,,3, ε μνρσ = 1, falls ungerade Permutation, 0, falls zwei oder mehrere Indizes gleih,.16 der total antisymmetrishe Einheitstensor vierter Stufe. Die Elemente F μν des kovariantenfeldstärke-tensorssindüber.117mitdenendeskontravariantentensors.115 verknüpft. An der Definition.15 liest man zunähst unmittelbar F μν = F νμ.17 ab. Die Diagonalelemente sind also null. Wir berehnen als Beispiel unter Beahtung von.117: F 1 = 1 ε1ρσ F ρσ = 1 ε 130 F 30 + ε 103 F 03 = = 1 F30 + F 03 = F 30 = 1 E z. Ganz analog findet man s. Aufg..5.5, nur die Elemente mit μ < ν brauhen berehnet zu werden: F 13 = F 0 ; F 04 = F 3 ; F 3 = F 10 ; F 0 = F 31 ; F 03 = F 1. Man erhält demnah die Komponenten des dualen Feldstärke-Tensors F μν aus denen des kovarianten Tensors F μν durh die Ersetzung: B 1 E..18 Dies ergibt mit.115: 0 B x B y B z F μν 1 = B x 0 E z 1 E y B y 1 E z E x B z 1 E y 1 E x 0 Man rehnet nun leiht die folgenden Beziehungen nah: α F α0 = 0 F F 10 + F F 30 = = 1 F 3 + F F 1 = 1 F 3 + F F 1, α F α1 = 0 F 3 + F F 0 = 0 F 3 + F F 0, α F α = 0 F F F 10, α F α3 = 0 F F 0 + F 01.

39 .3 Kovariante Formulierung der Elektrodynamik 75 Wir können anstelle von.14 also auh shreiben: homogene Maxwell-Gleihungen α F αβ =0; β =0,1,, Man erkennt shließlih noh an.115 und.19 eine weitere Invariante des elektromagnetishen Feldes F αβ F αβ = 4 E B..131 Links steht ein Vierer-Tensor nullter Stufe, also ein Welt-Skalar. Das Skalarprodukt aus elektrishem und magnetishem Feld E B ändert sih bei einer Lorentz- Transformation demnah niht, ist somit in allen Inertialsystemen gleih..3.5 Transformation der elektromagnetishen Felder Mit den im letzten Abshnitt abgeleiteten Beziehungen können wir nun leiht berehnen, wie sih die elektrishen und magnetishen Felder bei einer Lorentz- Transformation im Einzelnen verhalten. Das Transformationsverhalten eines kontravarianten Tensors zweiter Stufe kennen wir aus Abshn..1. Die Gleihungen.8 und.9, F μν x μ x ν = x α x β F αβ = L μα L νβ F αβ, führen mit 1.16 zu dem transformierten Feldstärke-Tensor. Wegen F αβ = F βα folgt unmittelbar auh F μν = F νμ. Dies bedeutet insbesondere, dass die Diagonalelemente des transformierten Tensors vershwinden. Es bleiben deshalb sehs Elemente explizit zu berehnen: F 01 = L11 L00 F 01 + L 03 F 31 = γ 1 E! x + βb y = 1 E x, F 0 = L L00 F 0 + L 03 F 3 = γ 1 E! y βb x = 1 E y, F 03 = L00 L30 F 00 + L 33 F 03 + L 03 L30 F 30 + L 33 F 33 = = γ 1 β 1 E z = 1 E z! = 1 E z, F 1 = L11 L F 1! = B z = B z, F 13 = L11 L30 F 10 + L 33 F 13 = γ B y β E! x = B y, F 3 = L L30 F 0 + L 33 F 3 = γ β E! y B x = B x.