Anzahl der Punkte auf Kreis und Gerade

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1 Anzahl der Punkte auf Kreis und Gerade Ein Kreis hat sicher einen viel kürzeren Umfang als eine unendliche Gerade. Trotzdem besteht ein Kreis (ohne seinen obersten Punkt) aus gleich vielen Punkten wie eine Gerade. Das soll die Skizze demonstrieren. Kannst du den Beweis erklären?

2 Summe der natürlichen Zahlen I Was ist ? Was ist ? Das zu berechnen wird immer mühsamer. Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert: = 6 7 : = 7 8 : = 8 9 : n = n (n + 1) : 2 Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Bei ihr ist die Obergrenze 6. Kannst du den Beweis erklären?

3 Summe der natürlichen Zahlen II Was ist ? Was ist ? Das zu berechnen, wird immer mühsamer. Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert: = 6 7 : = 8 9 : = : n = n (n + 1) : 2 Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Bei ihr ist die Obergrenze 100. Kannst du den Beweis erklären? (Übrigens gibt es ein kleines Problem mit dem Argument. Hast du es entdeckt?)

4 Summe der natürlichen Zahlen III Was ist ? Was ist ? Das zu berechnen, wird immer mühsamer. Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert: = 6 6 : : = 7 7 : : = 8 8 : : = : : n = n n : 2 + n : 2 Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Bei ihr ist die Obergrenze 6. Kannst du den Beweis erklären?

5 Summe der ungeraden Zahlen Was ist ? Was ist ? Das zu berechnen wird immer mühsamer. Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert: = 6 6 = = 7 7 = = 8 8 = (2n 3) + (2n 1) = n n Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?

6 Summe der Quadratzahlen I Was passiert, wenn man die Quadratzahlen aufsummiert? Dafür gibt es eine interessante Formel: ) = 1 3 ( ) = 1 3 ( ) ( ) n 2 = 1 3 (n n n + 1 Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären? Quelle: Man-Keung Siu, University of Hong Kong

7 Summe der Quadratzahlen II Für das mehrfache Multiplizieren gibt es eine Kurzschreibweise mit Potenzen: 4 2 = 4 4 = = = = = 64 Was passiert, wenn man die Quadratzahlen aufsummiert? Dafür gibt es eine interessante Formel: = ( ) ( ) : = ( ) ( ) : n 2 = (2 n + 1) ( n) : 3 Wieso gilt diese Formel? Das sollen die Skizzen beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

8 Summe der Kubikzahlen I Für das mehrfache Multiplizieren gibt es eine Kurzschreibweise mit Potenzen: 4 2 = 4 4 = = = = = 64 Was passiert, wenn man die Kubikzahlen aufsummiert? Dafür gibt es eine interessante Formel: = ( ) = ( ) = ( ) n 3 = ( n) 2 Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

9 Summe der Kubikzahlen II Für das mehrfache Multiplizieren gibt es eine Kurzschreibweise mit Potenzen: 4 2 = 4 4 = = = = = 64 Was passiert, wenn man die Kubikzahlen aufsummiert? Dafür gibt es eine interessante Formel: = ( ) 2 : = ( ) 2 : = ( ) 2 : = ( ) 2 : = ( ) 2 : n 3 = ( n 2 + n ) 2 : 4 Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

10 Für das mehrfache Multiplizieren gibt es eine Kurzschreibweise mit Potenzen: 4 2 = 4 4 = = = = = 64 Was passiert, wenn man die Dreier-Potenzen aufsummiert? Dafür gibt es eine kurze Formel: = (3 5 1) : = (3 6 1) : = (3 7 1) : 2 Summe der Dreierpotenzen n = (3 n+1 1) : 2 Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

11 Ungerade Zahlen I Es gilt 1 3 = = = =... = (2n 1) (2n + 1) + (2n + 3) (4n 1) Warum ist das so? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

12 Es gilt Ungerade Zahlen II 1 3 = = = =... = (2n 1) (2n + 1) + (2n + 3) (4n 1) Warum ist das so? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

13 Unendliche Summe der Potenzen von 1 2 I Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 1 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären? Übrigens: Im Dualsystem hat die Reihe eine interessante Interpretation. Sie ist dann analog zur Zahl 0, im Zehnersystem.

14 Unendliche Summe der Potenzen von 1 2 II Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 4 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

15 Unendliche Summe der Potenzen von 1 3 Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 1 2 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

16 Unendliche Summe der Potenzen von 1 4 I Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 1 3 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

17 Unendliche Summe der Potenzen von 1 4 II Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben: = 1 3 Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

18 Satz des Pythagoras I Der Satz des Pythagoras besagt: Errichtet man auf den drei Kanten eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat, so sind die beiden kleineren Quadrate zusammengenommen genauso groß wie das größte Quadrat (siehe Skizze rechts). Als Formel: a a + b b = c c. Wieso ist das so? Das sollen die beiden anderen Skizzen beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?

19 Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks I Es seien a, b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks und r der Inkreisradius wie im Bild. Dann gilt r = (a + b c) : 2. Wieso ist das so? Das soll die Skizze beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?

20 Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks II Es seien a, b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks und r der Inkreisradius wie im Bild. Dann gilt r = ab : (a + b + c). Wieso ist das so? Das soll die Skizze beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?

21 Summe der quadrierten Fibonacci-Zahlen Bei den Fibonacci-Zahlen ergibt die Summe zweier benachbarter Zahlen die nächste: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Die Quadrate der Fibonacci-Zahlen erfüllen eine interessante Rechenregel: = = = Erkennst du das Muster? Wieso die Formeln stimmen, soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?

22 Ein Kästchen verschwindet Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b ist a b. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit Grundseite a und Höhe h ist a h 2 (siehe Skizze rechts). Diese beiden Formeln helfen dir vielleicht für die Aufgabe (oder auch nicht, es gibt mehrere Lösungswege). In den unteren beiden Skizzen ist irgendwo der Wurm drin. Denn die beiden Figuren scheinen denselben Flächeninhalt zu haben, doch die linke scheint offensichtlich aus einem Kästchen mehr als die rechte zu bestehen! Kannst du erklären, was schief läuft? a h

23 Drei Kreise und Tangentenschnittpunkte Zeichnet man drei beliebige Kreise und zugehörige Tangenten wie in der Skizze, so liegen die drei Tangentenschnittpunkte auf einer gemeinsamen Gerade (blau markiert). Wieso ist das so? Um das zu erklären, versuche, dir die Situation dreidimensional mit Kugeln statt Kreisen vorzustellen!