Mathematische Randbemerkungen 1. Binomialkoeffizienten

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1 Mathematische Radbemeruge Biomialoeffiiete Der biomische Lehrsat ist eies der etrale Resultate der Aalysis I meier Vorlesug über Differetial- ud Itegralrechug habe ich ih daher gleich u Begi ausführlich behadelt Ich bi davo ausgegage, dass ( + ei Polyom te Grades ist ud daher eie Darstellug der Gestalt ( + = 0 ( mit gewisse Koeffiiete besitt ud habe da die Frage gestellt, wie ma diese Koeffiiete bestimme a Durch Koeffiietevergleich erhält ma aus ( + + = ( + ( + die Reursio + = + ( Die offesichtliche Radbediguge 0 = [ = 0] ud = lege da für alle 0, eideutig fest ud gestatte die Kostrutio des Pascal sche Dreiecs Es bleibt also die Frage, ob es eie Formel für gibt Diese wird üblicherweise eifach higeschriebe ud mit Idutio bewiese Diese Vorgagsweise gefällt mir icht Ich möchte umidest adeute, wie ma eie solche Formel fide a Ich habe daher darauf higewiese, dass ma aus dem Pascal sche Dreiec vermute a, dass = ist ud das da mit Idutio bewiese Aus der Reursiosformel ergibt sich weiters = ( + = = ( + ( + + =, was geau so verifiiert werde a Das führt ur Vermutug, dass = p ( ei 0 Polyom te Grades sei öte Da = = = = 0 ist, hätte p die Nullstelle 0,,, Es wäre also p ( = a( 0( ( ( mit eier Kostate a Da = ist, ergibt sich a =! ud daher ( ( + = Im Nachhiei a das mit Idutio verifiiert werde Viel eifacher wird atürlich alles, we ma scho differeiere a Aber das ommt a i der Vorlesug erst später dra Mir geht es hier vor allem um die Tatsache, dass ma aus der Reurre ( die Formel für icht umittelbar errate oder ableite a

2 Die Situatio wird paradoerweise viel eifacher, we ma eie leie Verallgemeierug vorimmt Betrachte wir statt ( a+ b für reelle oder omplee Zahle ab, de Ausdruc ( A+ B für Elemete AB, eier Algebra über, die BA= AB mit eier positive reelle Zahl erfülle So etwas gibt es Ma a etwa für A de Multipliatiosoperator mit ud für B de lieare Operator Bp( = p ( auf dem Vetorraum der Polyome p( ehme De da ist BAp( = Bp( = p( = Ap( = ABp( Da gibt es eideutig bestimmte Koeffiiete, die ma Biomialoeffiiete et, so dass gilt ( A+ B = A B 0 (3 Aus ( A B ( A B( A B + = + + ergibt sich AB ( A B AB 0 = + 0, = + weil BA = A B ist Durch Koeffiietevergleich folgt Aalog folgt aus ( A+ B = ( A+ B ( A+ B, dass AB = AB ( A+ B ist Daraus ergibt Koeffiietevergleich = + (5 Im Uterschied um Fall = gibt es hier wege der Nichtommutativität wei verschiedee Reurrerelatioe für die Biomialoeffiiete Aus diese lässt sich auch sofort eie Formel ableite Ma braucht ur aus de beide Idetitäte (4 ud (5 elimiiere ud erhält = oder [ ], = = [ ] we ma [ ] = = als Aalogo der atürliche Zahl eiführt Somit ergibt sich [ ][ ] [ + ] [ ][ ] [ + ] = [ ][ ] [ ] 0 = (6 [ ][ ] [ ] Für de Speialfall = ergibt sich wieder die obige Formel (4

3 Es gilt also der Allgemeie -biomische Lehrsat Seie A, B Elemete eier Algebra über de omplee Zahle, welche die - Kommutativitätsrelatio BA= AB erfülle Da gilt ( A+ B = A B 0 (7 Die Reurrerelatioe sid ei Speialfall der -Vadermode sche Formel m+ m = ( m( 0 (8 m+ m Diese ergibt sich durch Koeffiietevergleich aus ( A+ B = ( A+ B ( A+ B We ma m ud vertauscht, ergibt sich die weite Versio Ei wichtiger Speialfall ergibt sich für m= = : = = ( ( (9 0 0 Ma a bei diese Resultate auf wei Arte iterpretiere: Etweder als reelle oder omplee Zahl oder als Ubestimmte Im erste Fall a ma = sete oder de Grewert für betrachte Da ergibt sich lim = Im weite Fall a ma i viele Fälle Greübergäge durchführe, die im Fall = icht möglich sid ZB a ma i der Formel + ( ( ( = ( ( ( auch gehe lasse Die rechte Seite ist ei Polyom i ud a daher auch als formale Potereihe i über agesehe werde Für formale Potereihe i mit omplee Koeffiiete versteht ma uter lim a, = a, dass für edes K ei 0 0 Ide N eistiert, so dass für alle > N gilt a, = a für alle mit 0 K Das heißt, für geüged große wird der Begi der Reihe icht beeiflusst 3

4 Da ergibt sich lim = ( ( ( (0 De ist K fest gewählt ud > K +, da stimme alle Koeffiiete vo 0 K + ( ( ( des Polyoms ud der formale Potereihe ( ( ( ( ( = ( ( ( mit, +, auf diese eie Eifluss hat Aus der Formel (9 ergibt sich beispielsweise für überei, da die Multipliatio = = 3 ( ( ( ( 0 ( ( ( ( Für i ist ( s i( s+ i + i i ( i+ + i i s i s i = = + s i 0 eie Verallgemeierug vo (9 We wir hier gehe lasse, so folgt für edes i s i ( s i( s+ i = s i s i ( ( ( + ( Die beateste Awedug vo (7 ist die Formel ( + ( + ( + = (3 für Diese ergibt sich, we ma ( AB, = ( ε, aε für a wählt, wobei ε der lieare Operator auf dem Vetorraum der Polyome ist, der durch ε p( = p( defiiert ist De ( ( ( ( ε + aε = + a + a + a ε ud daher ist ( + a( + a ( + a ε = a ε (3 ergibt sich, we ma diese Idetität auf das ostate Polyom awedet 4

5 Wir wolle eie Formel, die de Parameter ethält ud sich für auf eie lassische Formel reduiert, ei Aalogo dieser Formel ee I diesem Si ist (3 ei Aalogo des biomische Lehrsates ( + = = 0 We ma i (3 gehe lässt, wobei ma beide Seite als formale Potereihe i de Ubestimmte ud auffasst, so erhält ma ( + ( + ( + = 0 ( ( ( (4 Ersett ma dari (, so ergibt sich 0 E ( = = ( + ( ( + ( (5! [ ] Da lim = 0 [ ] = e ist, ist (! 0! E ei Aalogo der Epoetialfutio Der Greübergag für stellt i gewisser Weise ei Aalogo der Formel lim + = e für formale Potereihe dar Wählt ma i (7 A = B, = ( ε, da erhält ma auf dieselbe Weise ( ; = ( = (6 Hier bedeutet ( ; ( ( ( = Diese Schreibweise hat sich für die Theorie der hypergeometrische Reihe als sehr vorteilhaft erwiese Für die elemetare Überleguge dieses Essays sete ich lieber daraus die Aalogie u ( a diret ersichtlich ist We wir i der Formel (6 um Grewert übergehe, erhalte wir ( ( ( a a a = ( a, weil = 0 ( ( ( ( ( ( (7 Für ( ergibt sich hier e ( = =! ( ( ( ( 0 [ ] (8 Das ist ebefalls ei Aalogo der Epoetialfutio 5

6 Ei Vergleich der beide Formel liefert sofort ei Aalogo der Formel ee = ee ( ( =, (9 I der Aalysis wird geeigt, dass der biomische Lehrsat i der Form ( eie atürliche Erweiterug auf egative Idies besitt Es gilt ämlich im Sie vo formale Potereihe + ( + = = ( 0 0 (0 Um ei Aalogo dieser Formel abuleite, bemere wir uächst, dass der allgemeie biomische Lehrsat (7 mit der Formel äuivalet ist De eaeb ( ( = e(( A+ B ( A B eaeb ( ( = ( (( [ ] =! [ ] AB A B e A B! [ ]! = + = + = 0 [ ]! Diese Formel eigt, dass die charateristische Eigeschaft der Epoetialfutio + y y e = e e für die Epoetialfutio e ( durch ( ersett werde muss Aus ( ergibt sich sofort auch wieder (9, we ma ( AB, = (, ε wählt De da ( ε ( ( ε ist ee ( ( ε = e ( ( ε Das bedeutet =!!! [ ] [ ] [ ] Wedet ma diese Idetität auf das ostate Polyom a, so ergibt sich wege ( ε = ε ud ( ε ( = 0 (!! [ ] [ ] =, Wählt ma A = ε, B= aε, da ergibt sich e( ε e( aε = e(( a ε Daraus folgt so wie obe ea ( ( a = eae ( ( = e ( (! [ ] Das ist atürlich ei Aalogo der Formel e e a ( a = e 6

7 Ersett ma so bedeutet das Für a = ud ( ( ( ( a = ( a( a( a 0 ( = ergibt sich daraus (3 ( + = = ( ( ( 0 ( = 0 0 ( ( (4 Damit habe wir das gesuchte Aalogo der Formel (0 gefude Auch hier eigt sich, dass der Beweis wesetlich eifacher als im lassische Fall ist m+ m Währed im lassische Fall für alle m, die Idetität ( + = ( + ( + erfüllt ist, gilt hier m+ m m ( = ( ( (5 Speiell ist m m ( ( = = m m+ ( ( ( Als weitere Folgerug des biomische Lehrsates wolle wir die folgede Idetität vo Cauchy eige: = = = 0 ( (6 Diese ist ei Aalogo der triviale Formel Wir wisse, dass ( + ( + ( + = ist Sett ma ε, da ist = + = ( ( ε ( ε ( ε ( ε ( = Die rechte Seite ergibt = 0 ( 7

8 Für die lie Seite verwede wir Idutio Wir behaupte ( ε ( ε ( ε ( = ( + ε ( + ε ( = = Für = stimmt das, weil ( + ε ( = + = ist Ist es für bereits geeigt, so erhalte wir ( + ε = + = + + = = = = = = Für ergibt sich daraus = ( ( ( 0 (7 als Verallgemeierug vo ( Die Formel (6 bleibt auch für egative gae Zahle richtig ud lautet da = 0 = = 0 ( (8 Aus (4 folgt = 0 = ( + ( + Daher ist ε ε ε = 0 = = + + ( = 0 ( ( ( ( ( Beide Seite vo (8 geüge daher, wie ma leicht sieht, der Gleichug f ( = f ( ( ( + + f f ( + = + ε + ( + mit f ( =, durch 0 die f ( eideutig festgelegt ist Für = ergibt sich speiell ( = 0 ( 8