Die Lösung der Rekursion. mit a, c, d R >0, b N >0 verhält sich so:

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1 Asymptotische Notatio Ladaus asymptotische Notatio O, Ω, o, ω, Θ, wird vorausgesetzt siehe Folie auf webseite oder eischlägige Literatur (z.b. Corme, Leiserso, Rivest) Geometrische Reihe α 0 folgt aus der Polyomgleichug { α + α falls α + falls α ( + X + X 2 + X X )( X ) X + Awedug: das Master-Theorem für divide-ad-coquer- Reursioe (eifachste Versio) Die geometrische Reihe { α overgiert gege α für α < divergiert für α 0 Die Lösug der Reursio T () a T ( ) + c, T () d b mit a, c, d R >0, b N >0 verhält sich so: Θ() falls a < b T () Θ( log ) falls a b Θ( log b a ) falls a > b

2 Zum Beweis: ma lässt sivollerweise die Reursio über Poteze vo b laufe. Mit b ud t : T (b ) erhält ma t a t + c b ( > 0), t 0 d Dies ist eie ihomogee lieare Reursio erster Ordug für die (t ) 0. Rücwärtsetwicel der Reursio (Idutio!) liefert t a l t l + c (a l b + a l 2 b a 0 b l ) (0 l ) ud somit für l : ( ( a ) ( a ) 2 ( a ) ) 0 t a t 0 + c b b b b a d + c b ( a b ) falls a b a b b d + c b falls a b Damit ist c b b a b t c b (d + c b a b ) a falls a < b falls a b falls a > b Jetzt muss ma das ur och auf die T () umforme ud dabei b, log b ud a b log b a beachte. Biomialformel, Biomialoefiziete Für x C (allgemeier: ommutativer Rig) gilt wobei ( + x) 0 ( ) x ( )!! ( )! ( )( 2) ( + )! Beachte: ( ) ist ei Polyom -te Grades i. Vereibarug: ( ) 0 falls < 0 oder >. (0 ) Eiige Formel ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) m m ( ) ( )

3 Bedeutug Pascalsches Dreiec (Omar Khayyám (050 23), Yuag Hui (26), Chu ( Shih-Chieh (303), Blaise Pascal (623) ) ) ist die Azahl der -elemetige Teilmege eier -elemetige Mege die Azahl der Bitvetore der Läge mit Hammig-Gewicht die Azahl der diagoale Gitterwege i eiem ( )-Gitter Abbildug: aus Ssu Yua Yu (303) vo Chu Shih-Chieh Biomialreihe (Newto) Für α C hat die Futio x ( + x) α die für x < overgierede Reiheetwiclug ( + x) α ( ) α x 0 wobei ( ) α α(α )(α 2) (α + )! Die Biomialreihe ergibt sich als Tayloretwiclug i x 0 wege ( ) d (+x) α α(α )(α 2) (α +)(+x) α ( N) dx ( ) d ( + x) α x0! dx ( ) α ( N) Für α hat ma die die geometrische Reihe. Für α N bricht die Reihe ach dem Term... + x α ab. Das ist die Situatio der Biomialformel. Für α C \ N hat die Reihe uedlich viele Terme.

4 Für α R möchte ma das asymptotische Verhalte vo Potezsumme ee. S α (N) N α α + 2 α + 3 α + + N α 0 Beispiele: S (N) N N(N + ) 2 Θ(N 2 ) S 2 (N) N 2 N(N + )(2N + ) 6 Θ(N 3 ) S 3 (N) N 3 S (N) 2 Θ(N 4 ) S (N) N? Θ(?) Für die Futio x x α ergibt das: für α > 0: Z b b f (x)dx f (i) a ia+ b Z b f (i) f (x)dx ia a + S α (N ) x α dx S α (N) x α dx S α (N) + x α dx für α < 0: a a+ a+2 a+3... b-2 b- b a a+ a+2 a+3... b-2 b- b Abbildug: Abschätzug durch Ober- ud Utersumme S α (N) + x α dx S α (N) + x α dx S α (N ) x α dx

5 Beachte Daher x α dx { Θ(N α+ ) S α (N) Θ(log N) overgiert +α (Nα+ ) α l N α für α > für α für α < Beispiele: S 2 (N) S 4 (N) ( Beroulli-Zahle ud -Polyome) π2 6 π4 90 Folgerug: Ist Hiweis: eigehedere Utersuchuge führe auf Riemas Zetafutio ζ(z) z p z p prim Zahletheorie, Riemas Vermutug a(x ) a 0 + a X + a 2 X a m X m (a m 0) ei Polyom m-te Grades, so wächst die Futio N N a() wie ei Polyom (m + )-te Grades, d.h. N a() Θ(Nm+ ).

6 Der Fall α : harmoische Zahle Geauer: es gibt ei Polyom vom Grad m + mit b(x ) b 0 + b X + b 2 X b m+ X m+ (b m+ 0) b(x + ) b(x ) a(x ) ud b(x ) ist bis auf die Summatiosostate b 0 eideutig bestimmt. Ma schreibt b(x ) a(x ) (Differezeoperator). b(x ) ist die disrete Stammfutio vo a(x ). Ma a zeige H N S (N) N H N γ + l N ( ) 0 mit γ Eulersche Kostate. ( x ) ( N ) dx N H N Abschätzug vo Faultäte Wie a ma das asymptotische Wachstum der Faultätsfutio N N! 2 3 (N ) N beschreibe? Abschätzug vo Faultäte Itegralabschätzug für x l x ergibt ud somit N l l x dx N l 2 Wichtige Bedeutug: N! ist die Azahl der Permutatioe vo N Elemete. ud das ergibt [x l x x] N l N! [x l x x]n+ N N! N l N N + l N! (N + ) l(n + ) (N + ) + ud somit l N! Θ(N log N)

7 Abschätzug vo Faultäte Abschätzug vo Faultäte Zusamme mit erhält ma ( e lim + ) N N ( ) N N < N! < N e ( ) N N e Stirligs Formel ( ) (! 2π + e 2 + ) ( ) 2π e α e Bessere Abschätzuge erhält ma, idem ma l x dx mit Polygozüge approximiert. wobei /(2 + ) < α < /(2). Abschätzug vo Faultäte Abschätzug vo Faultäte Folgerug ( )! 2π e log! log o() Eigehedere Utersuchuge führe auf die Gammafutio (Euler) Γ(z) 0 t z e t dt (R z > 0) Dies ist eie i die omplexe Ebee fortgesetzte Faultätsfutio, de es gilt Γ(z + ) z Γ(z) also wege Γ() isbesodere Γ() ( )! ( N >0 ) Gammafutio ud Zetafutio häge eg zusamme.

8 Abschätzug vo Biomialoeffiziete Eifache Abschätzug für Biomialoeffiziete: ( ) ( ) ( ) ( ) ( e (*) wege ( ) + (**) wege e e ( + ) j0 ( j ) ) ( ) j ( ) ( ) ( ) Abschätzug vo Biomialoeffiziete Mit Hilfe der der Etropiefutio H(x) x log x ( x) log( x) (0 x ) erzielt Shao eie sehr geaue Abschätzug: wobei 0 < λ < ud µ λ. Damit gilt isbesodere: 2 H(λ) ( ) 2 H(λ) 8λµ λ 2πλµ lim log ( ) H(λ) λ Abschätzug vo Biomialoeffiziete Abschätzug vo Biomialoeffiziete Beispiel: ( ) 2 2 2H(/2) 2π 2 ( 2 )2 4 π Awedug: die Azahl biärer Bäume mit iere Kote ist c ( ) ( ) 2 4 Θ + π 3 Abbildug: Graph der Etropiefutio H(x) x log x ( x) log( x) c (Catala-Zahle)