Numerisches Verfahren für Eigenwert-Probleme aus der Instabilitätstheorie der Plasma-Rand-Wechselwirkung

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Bella Meinhardt
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1 Numerisches Verfahren für Eigenwert-Probleme aus der Instabilitätstheorie der Plasma-Rand-Wechselwirkung D. Löchel Betreuer: M. Hochbruck und M. Tokar Mathematisches Institut Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Kompaktseminar 2007

2 Outline Motivation Anomaler Transport Diskretisierung Lösen der Eigenwert-Aufgabe Linearisieren allgemeine Eigenschaften polynomialer EW Probleme Jacobi-Davidson-Verfahren Ergebnisse Zusammenfassung und Ausblick

3 Energie Problem Energiegewinnung durch Fusion Wasserstoff (Deuterium) zu Helium verschmelzen und die Bindungsenergie nutzen (Strom-Kraftwerk). Prozess benötigt hohe Temperatur Plasma Plasma neutralisiert, sobald es mit Materie in Berührung kommt. magnetischer Einschluss Realisierung im Tokamak oder Stellerator.

4 TEXTOR im Forschungszentrum Jülich Tokamak Experiment for Technology Oriented Research

5 Winkelbezeichnungen am Torus φ ist der toroidale und θ der poloidale Winkel

6 Magnetfeld 1 Poloidale Spulen

7 Magnetfeld 2 Toroidales Magnetfeld

8 Heizen Aufheizen des Plasmas durch Induktion

9 Magnetische Flächen Shafranov Shift verschobene Zentren der magnetische Flächen, poloidale Inhomogenität Limiter in TEXTOR

10 Anomaler Transport Problem: Instabilitäten, Teilchen und Energie diffudiert nach außen Plasma kühlt ab Fusionsrate nimmt ab Heizkosten sind zu hoch ineffizient Ziel: Anomalen Transport verstehen Weg: linearisierte Transportgleichung MARFE

11 Transportgleichung 1 Toroidal ist Plasma homogen. Poloidal ist Plasma inhomogen, da Magnetfeld auf der Innenseite stärker (Shafranov-Shift). radiale (r) Inhomogenität wird gemittelt. eindimensionales linearisiertes Problem mit poloidaler Abhängigkeit (θ): 2 ( ψ(θ) θ 2 + S(ω, K ) ω(k + ω) + 2 L ) n R cos(θ) ψ(θ) = 0 S(ω, K ) = ( qr L n ) 2 ( ω (1 + η)k ) ( 2m e m i K 2 + β ) βk + i Ln λ e me m i K 2 ω(1 + 4K 2 ) K

12 Transportgleichung 2 Mit dem Nenner durchmultipliziert ergibt sich das kubische Eigenwertproblem P(ω)[ψ(θ)] = [ u 3 ω 3 + u 2 ω 2 + (u v 1 cos(θ) + w 1 θ 2 + (v 2 )] 0 cos(θ) + w 0 θ 2 ψ(θ) =! 0. ) ω

13 Zweite Ableitung mit periodischer Randbedingung [0, 2π[ θ, N Gitterpunkte, Gitterkonstante h := 2π/N, θ k := (k 1)h, ψ k := ψ(θ k ) for k = 1,..., N Taylor: 2 θ 2 ψ k = ψ k 1 2ψ k + ψ k+1 h 2 + O(h 2 ) θ 2 ψ( θ) = h ψ + O(h 2 ) } 1 {{ 1 2 } =:D

14 Winkelabhängige Terme cos(θ 1 ) cos( θ)ψ( θ) cos(θ 2 ) =... ψ cos(θn 1) } {{ cos(θ N ) } =:C

15 EW Gleichung in Matritzenform C cos(θ), D 2, I 1 θ 2 [ ] u 3 Iω 3 + u 2 Iω 2 + (u 1 I + v 1 C + w 1 D) ω + (v 0 C + w 0 D) ψ! = 0 kubische EW Aufgabe der Form ( M 3 ω 3 + M 2 ω 2 + M 1 ω + M 0 ) ψ = 0 mit M j dünnbesetzte komplex-symmetrische Matrizen, ω Eigenwert (EW) und ψ Eigenvektor (EV).

16 Linearisierung ( ω 3 M 3 + ω 2 ) M 2 + ωm 1 + M 0 ψ = 0 M 1 M 2 M 3 0 ψ ω M 2 + M M 2 ω ψ = 0 M 3 M 3 ω }{{}}{{} 2 ψ }{{} B A x ωb x = A x veralgemeinertes Eigenwertproblem (A 1 B) x = 1 ω x = λ x standard Eigenwertproblem

17 allgemeine Eigenschaften polynomialer EW Probleme Sei g der Grad des Eigenwertpolynoms P und n n die Dimension der Matrizen M. Dann gilt 1. P besitzt g n Eigenpaare (ω k, ψ k ). 2. Nur bei g = 1 sind die EV linear unabhängig. Locking und purging ist nur in der linearisierten Form möglich. 3. Matrizen der Linearisierung sind gn gn groß. 4. ω k = möglich, falls Kern(M g ) { 0}. (M 2 ω 2 + M 1 ω + M 0 ) ψ = 0 ω = α β, α 0 (M 2 ( α β ) 2 + M1 α β + M 0) ψ = 0 (M 2 α 2 + M 1 βα + β 2 M 0 ) ψ = 0 (o.b.d.a. α = 1)

18 Jacobi-Davidson-Verfahren geg.: P(ω) = l j=0 ωj M j, M j C n n, V = [ v 1,..., v k ] C n k loop (1.) Orthonormalisiere V mit modifiziertem Gram-Schmidt (2.) Berechne W j M j V und H j V W j für j = 0,..., l. (3.) Berechne das gesuchte Eigenpaar (ν, y) von l j=0 νj H j y = 0 mit y = 1. (4.) Berechne u V y, w P (ν) u = l j=1 jνj 1 H j u und r P(ν) u. if Residuum r klein genug then Stop end if (5.) ( Berechne (näherungsweise) I w u u w ) P(ν)(I u u ) t = r (z.b. mit GMRES). (6.) Erweitere Suchraum V mit Korrekturvektor t: V [V, t]. end loop

19 Auswahl eines EW Eigenpaar das I(ω) maximiert ist von Interesse. Intensität ψ ψ soll glatt sein: ψ ψ TV minimieren. EV soll niederfrequent sein: ψ TV minimieren. Intensität ψ ψ soll zur Inhomogenität passen: Idee ψ Inhomogenität TV. ψ TV := 1 2π d 2π 0 dθ ψ(θ) dθ kontinuierlich u TV := 1 N u j u j 1 N θ j θ (θ j θ j 1 ) diskret j 1 j=1

20 Wahl des Start-Suchraumes V Black-Box Löser: V := Zufallsvektor EV-Näherung bekannt: diese ist in V EV besteht aus niederfrequenten Sinuswellen: V = [sin(θ), sin(2θ), sin(3θ)] EV besteht aus niedrigen Frequenzen V = [exp( miθ), exp( (m 1)iθ),..., exp( 2iθ), exp( iθ), 1, exp(iθ), exp(2iθ),..., exp(miθ)]

21 Bsp. 1: Homogene Plasmaparameter: n = /cm 3, T = 50eV

22 Bsp. 1: Homogene Plasmaparameter: n = /cm 3, T = 50eV

23 Bsp. 2: stark inhomogene Plasmaparameter mit entwickeltem MARFE

24 Zusammenfassung und Ausblick Eigenwertproblem der linearisierten Transportgleichungen für Kleinfluktuationen lässt sich numerisch lösen, sogar mit stark inhomogenen Plasmaparametern. Die Wahl des wichtigsten Eigenpaares ist noch nicht endgültig geklärt. Durch Kleinfluktuationen bestimmter Anomaltransport von Teilchen und Energie wird in Zukunft für die selbst-konsistente Berechnung von veränderten Temperatur-Dichte-Profilen benutzt.

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