II. Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik

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1 II. Wahrschenlchketsrechnung und mathematsche Statstk Prof. Dr. Barbara Grabowsk Hochschule für Technk und Wrtschaft des Saarlandes /0

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3 Inhaltsverzechns - I - Enletung Dese Kursenhet dent der Vermttlung von Grundkenntnssen auf dem Gebet der Wahrschenlchketsrechnung und mathematschen Statstk. Mathematsche Statstk und Wahrschenlchketsrechnung snd zwe unterschedlche Teldszplnen der Mathematk, de ohne enander ncht denkbar snd und unter dem Sammelbegrff Stochastk zusammengefasst werden. Aufgabe der Wahrschenlchketsrechnung st es, Gesetzmäßgketen des Zufalls zu untersuchen, bzw. mathematsche Modelle dafür zu lefern. De Wahrschenlchketsrechnung st zuglech das theoretsche Fundament der mathematschen Statstk. Dese wrd n der Regel n de Teldszplnen Beschrebende Statstk und Schleßende Statstk untertelt. Während es n der Beschrebenden Statstk um Methoden der Aufberetung und Darstellung von Datenmateral geht, stehen m Mttelpunkt der Schleßenden Statstk Verfahren, mt deren Hlfe von Beobachtungsdaten enes Merkmals an n Objekten ener Grundgesamthet, d.h. von der sogenannten Stchprobe, auf de Vertelung der Merkmalswerte n der gesamten Grundgesamthet geschlossen wrd. Deser Schluss wrd mt Hlfe von Methoden der Wahrschenlchketsrechnung durch Irrtums- bzw. Scherhetswahrschenlchketen bewertet. De Stochastk hat längst n vele moderne wssenschaftlche Teldszplnen Enzug gehalten, vor allem auch de Technk. Stochastsche Methoden fnden her zum Bespel Anwendung - n der Qualtätskontrolle und der Prozesskontrolle - be der Planung von Expermenten (DOE bzw statstschen Versuchsplanung) - be der Untersuchung von Zuverlässgketen, Lebensdauern und Ausfallraten - be der Festlegung von Toleranzen - be der Modellerung von zufallsbehafteten Messdaten - be der Analyse von Ursachen und Zusammenhängen zwschen bestmmten Größen, - n der Sgnalverarbetung, be der Mustererkennung und n der Bldverarbetung - be der Smulaton komplexer Systeme, we z.b. Fertgungs-, Informatons-, Verkehrssysteme usw. Darüber hnaus snd Methoden der beschrebenden Statstk fester Bestandtel von Datenbanksystemen geworden und fnden als Data-Mnng-Verfahren Anwendung.

4 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk Wr geben n deser Kursenhet ene Enführung n de Methoden der Stochastk, wobe wr uns aufgrund der beschränkten Setenzahl deser Lehrenhet auf ene Enführung n de Wahrschenlchketsrechnung und enge wenge Methoden der Schleßenden Statstk beschränken. Für weter Methoden der Stochastk, nsbesondere auch der Beschrebenden Statstk verwesen wr auf de m Lteraturverzechns des Anhangs angegebene weterführende Lteratur. Im ersten Kaptel werden Se mt dem Begrff der Wahrschenlchket und mt Grundgesetzen des Rechnens mt Wahrschenlchketen vertraut gemacht. Im Kaptel wrd der Begrff der Zufallsgröße engeführt und de Methodk zur Modellerung der Wahrschenlchketsvertelungen von Zufallgrößen dargestellt. Kaptel 3 enthält Angaben über de Vertelung von Summen und anderen Funktonen von Zufallsgrößen. Im Mttelpunkt von Kaptel 4 steht de Aufgabe der Identfzerung der Vertelung ener Zufallsgröße, nsbesondere de Schätzung von unbekannten Vertelungsparametern und de Ermttlung von Toleranzberechen für unbekannte Parameter anhand ener Stchproben von Beobachtungen deser Zufallsgröße.

5 Inhaltsverzechns - III - Inhaltsverzechns Inhaltsverzechns III Der Wahrschenlchketsraum 5. Der Wahrschenlchketsraum Klener Exkurs zur Mengenlehre Zufällger Versuch und zufällge Eregnsse Das Eregnsfeld Relatve Häufgket von Eregnssen und axomatsche Defnton der Wahrschenlchket Der klasssche Wahrschenlchketsbegrff Bedngte Wahrschenlchket und stochastsche Unabhänggket von Eregnssen De Bedngte Wahrschenlchket Verbundwahrschenlchketen Stochastsche Unabhänggket von Eregnssen Totale Wahrschenlchket und Bayes sche Formel Übungsaufgaben Zufallsgrößen und hre Vertelungen 37. Zufallsgrößen (Wederholung) Wahrschenlchketsvertelung dskreter Zufallsgrößen Parameter dskreter Vertelungen Erwartungswert, Varanz und Vertelungsfunkton Quantle dskreter Vertelungen Stetge Zufallsgrößen und hre Vertelungen, Vertelungsfunkton und Vertelungsdchte Parameter stetger Vertelungen Erwartungswert und Varanz Quantle Egenschaften von Erwartungswerten und Varanz von Zufallsgrößen De Tschebyscheff-Unglechung Übungsaufgaben Spezelle Wahrschenlchketsvertelungen 55

6 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk 3. Spezelle dskrete Vertelungen Zwepunktvertelung Dskrete Glechvertelung Bnomalvertelung De Possonvertelung Spezelle stetge Vertelungen De stetge Glechvertelung De Exponentalvertelung De Normalvertelung (Gauß-Vertelung) Bestmmung der Vertelungsparameter nach der Momentenmethode Übungsaufgaben Vertelungsfunkton der Standardnormalvertelung... 80

7 Wahrschenlchketsrechnung Der Wahrschenlchketsraum In desem Abschntt werden der Wahrschenlchketsbegrff für Eregnsse defnert und de Grundgesetze des Rechnens mt Wahrschenlchketen dargestellt. Se lernen, hre Chancen n Glücksspelen, den sogenannten Laplace-Versuchen, mttels klassscher Wahrschenlchket zu berechnen. Weterhn werden de bedngte Wahrschenlchket, de stochastsche Unabhänggket von Eregnssen und das Rechnen mt der Bayesschen Formel dargestellt.. Der Wahrschenlchketsraum De Wahrschenlchketstheore untersucht mathematsche Modelle für reale Vorgänge, n denen der Zufall ene Rolle spelt. Wr nennen se Vorgänge mt zufällgem Ergebns und bezechnen se als zufällgen Versuch. Bespel: Der Betreber ener Autowaschanlage nteressert sch für de Wartezet von Kunden vor sener Anlage. Er lässt se beobachten. Das Ergebns her de Wartezet - st ncht vorhersagbar. En Vorgang mt zufällgem Ergebns läuft ab. Mt dem Vorgang snd Eregnsse verbunden: - De Wartezet st klener als Mnute - De Wartezet beträgt mndestens Mnuten - De Wartezet legt zwschen und 5 Mnuten Für de Beurtelung der Qualtät des Servces der Waschanlage st es vellecht notwendg, dass das Eregns: De Wartezet beträgt höchstens Mnute ene Wahrschenlchket von mndestens 0,95 bestzt. Das mathematsche Modell für enen Vorgang mt zufällgem Ergebns st der Wahrschenlchketsraum [Ω, E, P]. Herbe repräsentert Ω de Menge der möglchen Ergebnsse des Vorgangs. E enthält dejengen Telmengen von Ω, de wr Eregnsse nennen und wrd als Eregnsfeld zu unserem zufällgen Versuch bezechnet. P schleßlch st de sogenannte Wahrschenlchketsvertelung, de jedem Eregns aus E ene als Wahrschenlchket des Eregnsses bezechnete Zahl zwschen 0 und zuordnet. Dese Wahrschenlchket soll den Grad der Gewsshet über das

8 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk Entreten des Eregnsses ausdrücken. In den folgenden Abschntten werden de Begrffe Eregns, Grundmenge Ω, Eregnsfeld E und Wahrschenlchketsmaß P näher erklärt... Klener Exkurs zur Mengenlehre Mengen Es st n der Wahrschenlchketsrechnung üblch, Eregnsse durch Mengen darzustellen. Auf dese Wese kann man mt Eregnssen we mt Mengen rechnen. Ene Menge wrd angegeben, ndem man alle hre Elemente angbt, z.b. - durch Aufzählung oder - durch Angabe ener de Elemente charakterserenden Egenschaft Dabe st zu beachten, dass jedes Element n der Menge nur enmal vorkommt. Mengen werden mt Großbuchstaben, und hre Elemente mt klenen Buchstaben bezechnet. x A bedeutet: x st Element der Menge A x A bedeutet: x st ken Element von A A = Anzahl der Elemente n A. Bespele: A={,,7}, B = {x R x < 0}, A, B, A = 3. Telmengen, leere Menge, Potenzmenge Mengen stehen n Relatonen zuenander. Es bedeutet: A = B : De Elemente von A und B snd glech A B : De Elemente von A snd auch n B enthalten (A st Telmenge von B) A B : De Elemente von A snd auch n B enthalten und B enthält mndestens en Element, welches ncht n A enthalten st (A st echte Telmenge von B). De Menge Φ={}, de ken Element enthält, wrd als leere Menge bezechnet. Offenschtlch glt für jede Menge A: Φ A. De Menge, de alle möglchen Telmengen ener Menge A enthält, wrd als Potenzmenge von A bezechnet: (A) = {M M A}. Bespel: Se A = {,,7}. Dann st (A) = { Φ, {},{},{7}, {,}, {,7}, {,7}, {,,7} }.

9 Wahrschenlchketsrechnung Mengen kann man durch Operatonen mtenander verknüpfen. Dese Operatonen kann man sch n sogenannten Venn-Dagrammen veranschaulchen: Mengenoperatonen Operaton Operator Bedeutung Venn-Dagramm Verengung A B enthält alle Elemente, de n A oder B enthalten snd Durchschntt A B enthält alle Elemente, de n A und B enthalten snd Dfferenz A \ B enthält alle Elemente, de n A aber ncht n B enthalten snd Zwe Mengen A und B heßen dsjunkt, falls se ken gemensames Element bestzen, falls also glt: A B = Φ. dsjunkte Mengen Bespel: Seen A={,,3}, B={,3,7,9}. Dann st: A B={,,3,7,9}, A B={,3}, A\B= {}, B\A = {7,9}. De Mengen A B und B\A snd dsjunkt. Ist A M, also A ene Telmenge ener Obermenge M, so bezechnet man de Menge A M = M\A als Komplementärmenge (bzw. Komplement) von A (bzgl. M). Komplementärmenge Bespel: Se M = {,,3,4,5,6}, A={,4,6}. Dann st A M = {,3,5}. Offenschtlch snd A und A dsjunkt und hre Verengung ergbt M. M Mengenoperatonen bestzen Egenschaften. So zum Bespel snd und kommutatv, aber \ ncht. Weterhn kann man aus den Venn-Dagrammen der Tabelle erkennen, dass glt: (A B) (A\B) = A. Im folgenden Satz snd enge wchtge Egenschaften von Mengenoperatonen aufgelstet: Egenschaften von Mengenoperatonen Satz: (Egenschaften von Mengenoperatonen) Es glt:. A B=B A und A B=B A. (A B) C = (A C) (B C) und (A B) C = (A C) (B C) 3. (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C) 4. A = (A B) (A\B) 5. Wenn A B, so glt A B=A und A B = B und A\B = A

10 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk 6. Wenn A M und B M, so glt: ( A B ) M = AM BM und A B ) M = AM BM Regeln) ( (de Morgansche Übungsaufgaben. Se A = {,,3,4,5,6,7,8,9}, B={,4,6}, C={,4,0,40}. Berechnen Se A B, B\A, C\A, B C, B, ς(b), ς(b). A. * Welches Bld gehört zu welcher Formel? Ordnen Se zu! a)a (B C), b)a (B C), c)a (B C) d)a (B C), e)(a B) C, f)(a B) C.3 * Stellen Se m folgenden Dagramm de Mengen ( B ) M A und AM B M dar. Was stellen Se fest?.4.5 *.6 Machen Se sch analog zu.3* de Aussagen., 5. und 6. des Satzes Egenschaften von Mengenrelatonen klar, ndem Se de Menge der lnken Sete und dejenge der rechten Sete der jewelgen Glechung m Venn-Dagramm darstellen und dese Grafken dann mtenander verglechen. Se A ene Menge mt n Elementen, d.h. se A = n. We vele Telmengen mt k (k n) Elementen enthält A? Se A ene Menge mt n Elementen, d.h. se A = n. Berechnen Se (A)!

11 Wahrschenlchketsrechnung Zufällger Versuch und zufällge Eregnsse Defnton: En unter Bebehaltung enes festen Komplexes von Bedngungen belebg oft wederholbarer Vorgang mt ungewssem Ausgang heßt zufällger Versuch. Wr bezechnen hn mt V. De Menge Ω der möglchen Versuchsergebnsse von V wrd als Grundmenge zu V bezechnet. De Elemente ω von Ω stellen jewels en möglches zufällges Ergebns be Durchführung von V dar. Als Eregnsse zu V bezechnet man Telmengen von Ω. Für Eregnsse verwenden wr Großbuchstaben A,B,C,.... De Aussage Das Eregns A st engetreten bedeutet, dass rgenden Element ω A als Ergebns des zufällgen Versuches beobachtet wurde. zufällger Versuch, Grundmenge, Ergebnsse, Eregnsse.Bespel: Versuch : V = Werfen enes Spelwürfels, enge möglche Ergebnsse: ω = oder ω = 6 Grundmenge: Ω = {,,3,4,5,6} enge möglche Eregnsse: ungerade Augenzahl : A= {,3,5} Augenzahl st größer als 3 : B ={4,5,6} Augenzahl st glech 6 : C={6}. Bespel: Versuch : V = Ermttlung der Wartezet enes Kunden n ener Waschanlage enge möglche Ergebnsse: ω = Mnute oder ω = 5 Mnuten Grundmenge: Ω = {ω R ω 0 } (enthält alle möglchen Wartezeten) enge möglche Eregnsse: Wartezet st klener als Mnute : A= {ω R 0 ω < } Wartezet legt zwschen und 5 Mnuten : B = {ω R ω 5 } Wartezet beträgt 5 Mnuten : C={5} Das Eregns A = Ω\A heßt Komplementäreregns oder Gegeneregns zu A und bedeutet, dass A ncht entrtt. Zwe Eregnsse A und B heßen dsjunkt, wenn se ncht gemensam entreten, d.h., wenn glt: A B = Φ. En Eregns, welches be jeder Durchführung des Versuchs V entrtt, heßt scheres Eregns und enes, welches ne entrtt unmöglches Eregns. Offenschtlch st Ω en scheres und Ω =Φ en unmöglches Eregns. Komplementäreregns, scheres Eregns, unmöglches Eregns

12 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk Elementareregns Verknüpfung von Eregnssen Wr unterscheden zwschen Elementareregnssen und zusammengesetzten Eregnssen. Elementareregnsse snd Enermengen, de jewels genau en Ergebns des zufällgen Versuchs enthalten. Damt treten nemals zwe Elementareregnsse glechzetg en, se snd dsjunkt. In unseren Bespelen stellt jewels das Eregns C en Elementareregns dar. Demgegenüber heßen Eregnsse, de durch Verengung mehrerer Elementareregnsse entstehen, zusammengesetzte Eregnsse, n unseren beden Bespelen snd jewels A und B zusammengesetzte Eregnsse. Da Eregnsse durch Mengen dargestellt werden, können de Relatonen und Operatoren der Mengenlehre verwendet werden, um Relatonen zwschen und Verknüpfungen von Eregnssen darzustellen. Dabe bedeutet: A B A = B A B A B A \ B Mt dem Eregns A trtt auch das Eregns B en (A zeht B nach sch). A zeht B nach sch und B zeht A nach sch. A oder B oder bede Eregnsse treten en. (Summe von Eregnssen) A und B treten en. (Produkt von Eregnssen) Das Eregns A aber ncht das Eregns B trtt en. Wr können de Summe und das Produkt von Eregnssen auf mehr als zwe Eregnsse verallgemenern. A A A A n Mndestens enes der Eregnsse A,..., n A A n Alle Eregnsse A,..., n, =,trtt en., =,treten gemensam en. Bemerkung: Der n Abschntt... angegebene Satz über Egenschaften von Mengenoperatonen glt genauso für de entsprechenden Verknüpfungen von Eregnssen. Übungsaufgaben.7 In enem Reaktonszetversuch V seen folgende Eregnsse von Interesse: A= De Reaktonszet st größer oder glech 3 Sekunden, B= De Reaktonszet st ncht größer als 5 Sekunden, C= De Reaktonszet st größer als 7 Sekunden, D= De Reaktonszet legt zwschen 3 und 5 Sekunden (enschleßlch 3 und 5).

13 Wahrschenlchketsrechnung - - a) Stellen Se A,B,C,D als Mengen dar! b) In welcher Relaton stehen A und C zuenander? c) Stellen Se D aus A und B unter Verwendung von Mengenoperatonen dar! d) Welches Eregns wrd durch de Menge A\C beschreben? Geben Se de Menge an! e) Geben Se alle Paare dsjunkter Eregnsse an, de sch aus A,B,C und D blden lassen!.8* Se V der zufällge Versuch Zwemalger Münzwurf. En Versuchsausgang se durch das Paar ω=(m, M ), M {K,Z}, beschreben (M.: Ergebns des.ten Wurfes, =,, K = Kopf (oder Bld), Z = Zahl). a) Geben Se Ω an! b) Beschreben Se de Eregnsse A={(K,K),(Z,K)}, B={(K,K),(Z,Z)}, C={(K,K), (Z,K), (K,Z)} n Worten!.9 Be der Herstellung enes Produktes treten Fehler F= ncht maßhaltg und F= ncht funktonsfähg en. Formuleren Se folgende Eregnsse unter Verwendung von F und F und den Mengenoperatonen,, \, sowe Komplementbldung : a) Das Produkt st mt mndestens enem Fehler behaftet b) Das Produkt hat kenen der beden Fehler c) Das Produkt hat höchstens enen der beden Fehler.0 Se B das Eregns B = Bauelement B st O.K, =,...,n. G se das n folgender Skzze dargestellte Gerät: Das Gerät funktonert, wenn mndestens ene Rehe funktonert. Ene Rehe funktonert, wenn alle Bauelemente der Rehe funktoneren. Stellen Se mt Hlfe der Eregnsse B und den Mengenoperatonen,, \, sowe Komplementbldung folgende Eregnsse dar: a) A= Das Gerät st O.K.

14 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk b) B= Nur B und B4 snd O.K, de anderen Bauelemente ncht c) C= Genau Rehen des Gerätes funktoneren d) D= Mndestens en Bauelement st O.K. e) E= Mndestens en Bauelement st defekt f) F= Höchstens en Bauelement st O.K...3 Das Eregnsfeld Eregnsfeld Zu enem Versuch können wr mmer vele Eregnsse defneren. Alle Eregnsse snd mmer Telmengen der Grundmenge Ω. De be der Durchführung von V praktsch relevanten Eregnsse werden n ener Menge E, dem sogenannten Eregnsfeld von V zusammen gefasst. Wr fordern dabe, dass de Anwendung der Operatonen, und \ auf de Eregnsse des Eregnsfeldes ncht aus desem hnausführt, d.h., wr fordern, dass Eregnsfeld alle Eregnsse enthält, de sch durch Anwendung der Mengenoperatonen, und \ blden lassen. Unser Zel st es, für alle A Eregnsse des Eregnsfeldes ene Zahl P(A) anzugeben, de de Chance des Entretens von A be Durchführung von V charaktersert. Defnton: Se V en zufällger Versuch mt der Grundmenge Ω. En Eregnsfeld E=E (Ω) zu V über Ω st ene Menge von Eregnssen A Ω, de folgende Egenschaft bestzt:. E enthält das unmöglche Eregns Φ und das schere Eregns Ω, also Φ E und Ω E.. Wenn A E und B E, so st auch A B E und A B E. 3. Wenn A E, so st auch das Komplement A E. 4. Mt abzählbar unendlch velen Eregnssen A E, =,,..., snd auch deren Summe A und deren Produkt A = = n E enthalten. Eregnsfelder zu enem zufällgen Versuch snd ncht endeutg bestmmt. Üblcherwese legt man n der Wahrschenlchketsrechnung be Versuchen V mt endlchen Grundmengen Ω de Potenzmenge E = (Ω) als Eregnsfeld zugrunde, da deses Eregnsfeld alle möglchen zu V defnerbaren Eregnsse enthält. Be Versuchen mt reellen Grundmengen (Ω=R) wrd n der Regel als Eregnsfeld ncht de Potenzmenge von R, sondern ene etwas klenere Menge, nämlch de Menge der sogenannten Borel-Mengen zugrunde gelegt, de alle offenen, halboffenen und abgeschlossenen reellen Zahlen-Intervalle,

15 Wahrschenlchketsrechnung sowe deren Summen, Produkte und Komplemente enthält. Auf ene ausführlche Defnton der Borel-Mengen se her verzchtet.. Se V der zufällge Versuch Werfen zweer Münzen. We vele Eregnsse enthält das Eregnsfeld E = (Ω) zu desem Versuch? Geben Se (Ω) an und überzeugen Se sch von der Erfüllthet der Egenschaften.-4- enes Eregnsfeldes...4 Relatve Häufgket von Eregnssen und axomatsche Defnton der Wahrschenlchket Wll man wssen, we groß de Chance des Entretens enes Eregnsses A E be Durchführung enes Versuches V st, so könnte man den Versuch n mal durchführen und dabe beobachten, we oft A engetreten st, d.h., de relatve Häufgket h n(a) von A ermtteln. De relatve Häufgket h n(a) st der Antel der Versuche an den n Versuchswederholungen, n denen A entrtt. Trtt A bespelswese be 50 Versuchen 0 mal en, so st h n(a)=0/50 = /5. Welcher Wert sch für h n(a) n ener konkreten Versuchsrehe ergbt, st vom Zufall abhängg, d.h., kann ncht mt Bestmmthet vorhergesagt werden. Dennoch bestzt de relatve Häufgket allgemengültge Egenschaften, z.b. glt:. 0 h n(a),. h n(ω)=, 3. Wenn A B=Φ, so st h n(a B)= h n(a)+h n(b). Das snd de grundlegenden Egenschaften der relatven Häufgket, aus denen sch wetere ableten lassen. So folgt aus.-3. Z.B. auch, dass glt: 4. h n( A ) = -h n(a), 5. h n(a B)= h n(a)+h n(b) h n(a B). Da de relatve Häufgket vom Zufall abhängt und außerdem mt der Anzahl n der Versuche stark schwankt, st se ken deales Maß für de Quantfzerung der Chance des Entretens von A. Wr kommen deshalb zu enem allgemeneren Begrff, dem der sogenannten Wahrschenlchket P(A) enes Eregnsses A.

16 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk P(A) st en dealsertes ncht vom Zufall abhängendes Modell der relatven Häufgket. Damt de Wahrschenlchket P() en gutes Modell für de relatve Häufgket h n () sen kann, muss se de o.g. Egenschaften der relatven Häufgket erfüllen. Der russsche Mathematker Kolmogorov hat 933 zum ersten mal de mathematsche (sogenannte axomatsche) Defnton der Wahrschenlchket veröffentlcht. Be deser Defnton blden de dre Grundegenschaften -3 der relatven Häufgket 3 von 4 Axomen, de vom hm als charakterstsche Egenschaften ener Wahrschenlchket festgelegt wurden. Axomatsche Defnton der Wahrschenlchket Defnton: (Axomatsche Defnton der Wahrschenlchket) Se V en zufällger Versuch mt der Grundmenge Ω und dem Eregnsfeld E. Dann heßt jede Abbldung P: E [0,] Wahrschenlchketsmaß auf E, falls für alle Eregnsse A, B, A (=,,...) aus dem Eregnsfeld E folgende Egenschaften (Axome) erfüllt snd:. 0 P(A),. P(Ω)=, 3. Wenn A B=Φ, so st P(A B)=P(A)+P(B), 4. P ( A ) = P( A ), falls A A j = Φ für j. = = P(A) wrd als Wahrschenlchket (Chance) des Entretens von A be enmalger Durchführung des Versuchs V bezechnet. Bemerkung: Das Axom 4 st notwendg, um be theoretschen mathematschen Berechnungen kene Probleme zu bekommen. Denn en Eregnsfeld kann durchaus auch unendlch vele Eregnsse enthalten, be denen es theoretsch möglch sen sollte, de Wahrschenlchket dafür, dass mndestens enes davon entrtt, zu berechnen. Egenschaften der Wahrschenlchket Aus den o.g. 4 Axomen folgen ene Rehe weterer Egenschaften der Wahrschenlchket P, de denen der relatven Häufgket entsprechen. Enge davon fassen wr n folgendem Satz zusammen:

17 Wahrschenlchketsrechnung Satz: (Egenschaften der Wahrschenlchket) Se V en zufällger Versuch mt der Grundmenge Ω und dem Eregnsfeld E. Dann bestzt en Wahrschenlchketsmaß P auf E für alle Eregnsse A, B, A (=,,...) aus dem Eregnsfeld E folgende Egenschaften:. 0 P(A),. P(Φ)=0, P(Ω)=, 3. P( A ) = -P(A), n 4. P( A ) = P( A ), für alle n N, falls A A j = Φ für j, (Addtvtät) = n = 5. P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B) 6. Wenn A B, so st P(A) P(B) (Monotone) Bewes: Stellvertretend bewesen wr de Aussage 3. des Satzes. Es glt: Ω = A A und es st A A =Φ. In Anwendung der Axome und 3 der Wahrschenlchketsdefnton erhalten wr: =P(Ω) = P(A A ) = P(A)+P( A ) Stellen wr dese Glechung nach P( A ) um, so erhalten wr de Behauptung 3. des Satzes. Q.e.d. Zegen Se, dass für zwe belebge Eregnsse A und B enes Eregnsfeldes glt: P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B). Mt Hlfe der so defnerten Wahrschenlchket, hren Egenschaften und den Gesetzen der Mengenlehre können wr nun z.b. Wahrschenlchketen für das Entreten von Eregnssen auf der Bass gegebener Wahrschenlchketen für Teleregnsse berechnen. Bespel: De Wahrschenlchket dafür, dass en Bewerber von Frma A angenommen wrd st P(A) = 0,. De Wahrschenlchket von Frma B angenommen zu werden beträgt P(B) = 0,3. Von mndestens ener der beden Frmen wrd man mt der Wahrschenlchket 0, 4 angenommen.

18 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk a) We groß st de Wahrschenlchket dafür, von kener der beden Frmen ene Zusage zu erhalten? b) We groß st de Wahrschenlchket dafür, ausschleßlch von B ene Zusage zu bekommen? Lösung: Gegeben: P(A) = 0,, P(B) = 0,3, P(A Β) = 0, 4. Gesucht: a) P(A B) b) P(B A ) Zu a) Es glt nach Egenschaft 5: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A Β). = 0, + 0,3-0,4 = 0, Zu b) Es glt B = (A B) (B A ) wobe (A B) und (B A ) dsjunkt snd. Nach Axom 3 der Wahrschenlchket glt dann: P(B) =P(A B) + P (B A ) und demnach st P (B A ) = P(B) - P(A B) = 0,3-0, = 0, Wr können nun mt Wahrschenlchketen rechnen, aber nur, wenn bestmmte Wahrschenlchketen für Teleregnsse (m obgen Bespel für A, B und A Β ) berets gegeben snd. De grundlegende Frage st, wo bekommen wr dese gegebenen Wahrschenlchketen her? Dafür gbt es zwe Möglchketen:. Wr können Wahrschenlchketen von Eregnssen A n bestmmten Versuchen V, den sogenannten Glücksspelen oder Laplace-Versuchen exakt als Chance des Entretens von A be Durchführung von V ermtteln. Darauf gehen wr m nächsten Kaptel.. genauer en.. Wr können de Wahrschenlchket P(A) enes Eregnssen mt Hlfe der beobachteten relatven Häufgket h n(a) abschätzen. Das legt an der sogenannten Stabltät der relatven Häufgket. Stabltät der relatven Häufgket Wenn man den Versuchsumfang n ener Versuchsrehe sehr groß macht (m Idealfall gegen gehen lässt), so wrd man feststellen, dass sch de relatve Häufgket h n(a) stets auf en und denselben festen Wert, und zwar gerade P(A), enpegelt. Dese Egenschaft bezechnet man als Stabltät der relatven Häufgket.

19 Wahrschenlchketsrechnung Es glt: stochlm h ( A) = P( A) h n (K) P(A) n > n (Stochastsche Grenzwertbegrff) relatve Häufgketen h n(a) n Abhänggket von n. Konvergert für n -> oo stets gegen P(A) Stabltät der relatven Häufgket n Expermente zum Selbermachen: Bespel: Münzwurf:A = Kopf trtt auf = {K}, P(A) = 0,5 (sehe Kap.,) Stellen wr de relatve Häufgket h n(k) n Abhänggket von n dar, so sehen wr, dass sch dese be wachsendem n stets auf den Wert p = enpegelt. h n (K) 0,5 relatve Häufgketen n Abhänggket von n n Ergebnsfolge: K, Z, Z, K, Z, K, Z, Z, Z, Z,... h ( K) = h ( K) = h 3 3 ( K) = h0( K) = 3 0

20 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk Bespel: Würfeln A = { 6 }, es st P(A) = /6 (sehe auch Kap..) h n (A),,, 5, 3, 6,, 6,... 6 n h n ({ 6} ) p = n 6 Her pegelt sch h n(a) auf den Wert p=/6 en So st z.b. P(A) = 0,5 de Wahrschenlchket dafür, bem Münzwurf Kopf zu werfen. Glechzetg bedeutet deser Wert aber auch, dass be n malgem Münzwurf (n groß) n ungefähr 50 Prozent aller Würfe Kopf geworfen wrd. Umgekehrt lefert ene beobachtete relatve Häufgket enen Schätzwert für de Wahrschenlchket des betrachteten Eregnsses. Je größer dabe n st, desto genauer st deser Schätzwert für P(A). Fassen wr deses zusammen, so haben wr. Enen Schätzwert für P(A): P(A) h n(a) für große n. Ene wetere Interpretaton der Wahrschenlchket: a) P(A) = Chance des Entretens von A be enmalger Durchführung von V b) P(A) = h (A) = Antel der Versuche, n denen A engetreten st unter allen möglchen (unendlch velen) Versuchen. So bedeutet P(A) = 0,, dass n 0% aller Fälle (Versuche) A beobachtet wurde. In unseren Aufgaben zur Wahrschenlchketsrechnung können wr nun auch unsere Sprachwese anpassen und de. Interpretaton der Wahrschenlchket dazunehmen. Bespel: De technsche Begabung von Kndern ener bestmmten Alterstufe wrd mt zwe Testverfahren ermttelt. Bestehen de Knder bede Tests, so werden se als begabt engestuft. Es se bekannt, dass % der Knder der betrachteten Altersstufe Test (T) besteht. De Wahrschenlchket, dass en Knd den zweten Test (T) besteht, st 0,0. Insgesamt bestehen 99% weder den ersten noch den zweten Test. Mt welcher Wahrschenlchket wrd en Knd als begabt engestuft?

21 Wahrschenlchketsrechnung Lösung: Es glt: P(T)=0,0, P(T)=0,0 und P( T T ) =0,99. Gesucht st P(T T). Aus den Egenschaften von P folgt: P(T T) = P(T)+P(T)-P(T T). Da T T das Komplement von T T st, glt weterhn P(T T)=-P( T T ) = 0,0. Daraus folgt für de gesuchte Wahrschenlchket P(T T) = P(T)+P(T)-P(T T) = 0,0+0,0-0,0 = 0,0. Das heßt, dass Prozent der Knder der betreffenden Altersklasse als begabt engestuft werden. Übungsaufgaben.3* Be der Herstellung enes Produktes treten Fehler F= ncht maßhaltg und F= ncht funktonsfähg mt den Wahrschenlchketen P(F)=0,0 und P(F)=0,04 en. Mt mndestens enem Fehler behaftet snd nsgesamt 5 % aller Produkte. En Produkt st nur dann verkäuflch, wenn es kenen der beden Fehler bestzt. Mt welcher Wahrschenlchket st en Produkt verkäuflch?.4* In deutschsprachlchen e-mals trtt das Wort Vagra mt der Wahrschenlchket 0,0 auf. Das Wort Rolex trtt n % aller Fälle auf. Mt mndestens enem deser beden Worte snd,5 % aller e-mals behaftet. Ene e-mal wrd nur dann ncht als spamverdächtg klassfzert, wenn se kenes der beden Worte enthält. Mt welcher Wahrschenlchket wrd ene e-mal ncht als spamverdächtg engestuft?.5 Se B das Eregns B = Bauelement B st O.K, =,...3. G se das n folgender Skzze dargestellte Gerät:

22 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk Das Gerät funktonert, wenn mndestens ene Rehe funktonert. Ene Rehe funktonert, wenn alle Bauelemente der Rehe funktoneren. Es se folgendes bekannt: 5 % aller Bauelemente vom Typ B snd defekt, be 90% aller Geräte snd sowohl B als auch B3 OK und be 87% aller Geräte snd alle 3 Bauelemente B, B, B3 OK. We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass G funktonert und wevel % aller Geräte snd defekt?. Der klasssche Wahrschenlchketsbegrff Berets m 7. Jahrhundert nteresserte man sch für de Berechnung von Gewnn-Wahrschenlchketen n Glücksspelen. Charakterstsch für Glücksspele st es, dass hnen zufällge Versuche zugrunde legen, be denen es nur endlch vele glechwahrschenlche Versuchsausgänge gbt. Dese Versuche bezechnet man als Laplace-Versuche. De Wahrschenlchket n Laplace-Versuchen wrd als klasssche Wahrschenlchket bezechnet. Se st glech dem Quotenten aus der Anzahl der für deses Eregns günstgen Versuchsausgänge und der Gesamtzahl der möglchen Versuchsausgänge, Im folgenden werden wr sehen, dass sch dese Formel als Spezalfall aus den 4 Axomen der Wahrschenlchket ergbt. Laplace-Versuch Defnton: Se V en zufällger Versuch mt. ener endlchen Grundmenge Ω = ω,..., ω } und { m. P( ω ) = p für alle =,...,m. (glechwahrschenlche Elementareregnsse). Dann heßt V Laplace-Versuch oder Glücksspel. Klasssche Wahrschenlchket Satz: (Klasssche Wahrschenlchket n Laplace-Versuchen) Se V en Laplace-Versuch mt der Grundmenge Ω = ω,..., ω }. Dann glt. P({ ω }) = m und { m A. P(A)= Ω für jedes Eregns A = ς(ω).

23 Wahrschenlchketsrechnung - - Bewes zu. Es st P( Ω) = P({ ω }... { ω }) = P({ ω }) = p = mp. Daraus folgt de Behauptung p=p({ ω }) =. m m m m = = q.e.d.6 Bewesen Se de Behauptung. des Satzes! De Berechnung der klassschen Wahrschenlchket läuft auf de Ermttlung der Anzahl von Elementen ener Menge hnaus. Dazu benötgen wr m wesentlchen zwe kombnatorsche Formeln. Satz: (Kombnatorsche Formeln).) Es gbt genau n! Vertauschungen von n Elementen auf n Plätze. n n!.) Es gbt genau =. k-elementge Telmengen ener n- k k!( n k)! elementgen Menge. Mt desen beden Formeln kann man nahezu belebge Aufgaben zur klassschen Wahrschenlchket lösen. Bespel : V = Werfen ener Münze. We groß st de Wahrschenlchket dafür, x das gleche zu werfen? Ω = K, K, K, Z, Z, K, Z, Z -> Ω = 4. { } Lösung: ( ) ( ) ( ) ( ) A = Zwe mal das gleche = ({( K K ),( Z, Z )}), -> A =. ({ }) -> P( gleche Ergebnsse ) = P ( K K ) ( Z, Z ),, = : 4 =. Bespel : We groß st de Wahrschenlchket für A = 6 Rchtge bem Lotto 6 aus 49? 49 Lösung: Ω = = = Anzahl aller 6-elementgen 6 Telmengen aus der Menge {,,49} und A =. P(A)=

24 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk Bespel 3: En Zahlencode besteht aus 4 Zffern z= z z z 3z 4, z,..., 9 z z für alle j. { } j We hoch st de Wahrschenlchket, desen Code zu erraten? 9! Ω = = 3! A: rchtgen Code raten A = A 3! P( A) = = = = 0, Ω 9! 9! 3! Bespel 4: We groß st de Wahrschenlchket dafür, bem Würfeln mt 5 Würfeln (Knffel) genau mal de Augenzahl 4 und des weteren de Zahlen,,3 gewürfelt werden? Lösung: Wr überlegen uns zunächst, we de Elementareregnsse aussehen. Enen Versuchsausgang kann man offenschtlch durch en 5 Tupel (,,3,4,5) mt j {,,3,4,5,6} beschreben, j st de Augenzahl des j-ten Würfels. Ω st de Anzahl aller 5-Tupel. Da jeder Würfel 6 Möglchketen bestzt und alle 5-Tupel durch ene Kombnaton der 6 Möglchketen aller 5 Würfel entstehen, glt: Ω = =6 5. Das Eregns A st de Menge aller 5-Tupel, n denen mal ene 4 und de Zahlen,, 3 vorkommen. Würden wr alle dese 5 Tupel auflsten wollen, müssten wr aus den 5 Würfeln mmer auswählen, denen wr de 4 zuordnen, der Rest bekommt 5 5! de Zahlen,,3. Es gbt genau = = 0 Möglchketen Würfel aus!3! fünfen auszuwählen. Haben wr zwe Würfel festgelegt, so ordnen wr den restlchen 3 Würfeln de Zahlen,,3 zu. Dafür gbt es genau 3! 5 5! Möglchketen. Folglch st A = 3! = = 60 und es ergbt sch! A 60 0 P(A)= = = = 0, 008. De Chance, mal ene 4 und de Zahlen,,3 5 4 Ω 6 6 zu würfeln, beträgt 8 zu 000. Übungsaufgaben.7 * We groß st de Wahrschenlchket dafür, bem 3 malgen Würfeln mt enem glechmäßgen Würfel mndestens mal ene 6 zu würfeln?

25 Wahrschenlchketsrechnung * Aus den Buchstaben m,,,,, s, s, s, s, p p wrd zufällg der Rehe nach jewels ener ausgewählt und zu enem Wort angelegt. We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass das Wort msssspp entsteht?.3 Bedngte Wahrschenlchket und stochastsche Unabhänggket von Eregnssen.3. De Bedngte Wahrschenlchket Bem Würfeln mt enem Würfel st de Wahrschenlchket ene 6 zu würfeln (A) glech /6. Erhalten wr aber de Zusatznformaton, dass ene gerade Zahl gewürfelt wurde (B), so st de Wahrschenlchket für ene 6 glech /3. Wr gehen be unseren Überlegungen von Ω zu enem kleneren Grundraum B über, der nur gerade Zahlen enthält und berechnen n desem Grundraum de Wahrschenlchket für A B.

26 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk Bedngte Wahrschenlchket Defnton: Se V en zufällger Versuch mt der Grundmenge Ω und dem Eregnsfeld E. Seen A E und B E zwe belebge Eregnsse zu V mt P(B)>0. Dann heßt P( A B) P(A B) = P( B) bedngte Wahrschenlchket von A unter der Bedngung B. Satz : Es glt : Das Maß P A( ):= P( / A) st für festes A Ω en Wahrschenlchketsmaß auf E, d.h. P( / A) erfüllt für jedes festes A Ω de 4 Axome der Wahrschenlchket. Insbesondere glt dann auch : P( B / A) = P( B / A) Achtung: Man beachte aber, dass m allgemenen P( A B) P( A B) st..9 Zegen Se anhand der Defntonsglechung der bedngten Wahrschenlchket, dass P( A B) = P( A B) glt!.0 Be der Herstellung enes Produktes treten Fehler F= ncht maßhaltg und F= ncht funktonsfähg mt den Wahrschenlchketen P(F)=0,0 und P(F)=0,04 en. Mt mndestens enem Fehler behaftet snd nsgesamt 5 % aller Produkte. a) Berechnen Se de Wahrschenlchket dafür, dass en zufällg ausgewähltes Produkt auch den Fehler F bestzt, wenn bekannt st, dass es den Fehler F hat! b) We groß st de Wahrschenlchket, dass das Produkt den Fehler F ncht hat, wenn bekannt st, dass es berets den Fehler F hat?.3. Verbundwahrschenlchketen Multplzeren wr n der Defntonsglechung für de bedngte Wahrschenlchket bede Seten mt P(B), so erhalten wr de sogenannte Multplkatonsformel: Multplkatonssatz

27 Wahrschenlchketsrechnung ) ( ) ( ) ( B P B A P B A P = Oftmals snd de Wahrschenlchketen P(A B) und P(B) gegeben oder lecht zu ermtteln und de Multplkatonsformel wrd dann angewendet, um de Produktwahrschenlchket ) ( B A P zu ermtteln. De Multplka- tonsformel lässt sch auf belebg vele Eregnsse verallgemenern: Satz: (Multplkatonssatz) Se V en zufällger Versuch mt der Grundmenge Ω und dem Eregnsfeld E. Seen A E, =,...,n, n belebge Eregnsse. Dann glt: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 = n n n A A A P A A A P A A P A P A A A P Bespel : (Statstsche Qualtätskontrolle) = Defekt = O.K. In enem Los von 5 Telen befnden sch zwe defekte Tele. We groß st de Wahrschenlchket dafür, bem dremalgen hnterenander Herausnehmen und Prüfen enes Teles bede defekte Tele zu zehen? Lösung: Wr bezechnen: w = Zehen enes defekten Tels be.ter Zehung s = Zehen enes ncht defekten Tels be.ter Zehung A = defekte Tele bem dremalgen Zehen Dann glt: A = ) ( ) ( ) ( w w s w s w s w w Und wr erhalten wegen der Dsjunkthet der 3 Teleregnsse P(A) = P( ) ( ) ( ) ( w w s w s w s w w ) = ) ( ) ( ) ( w w s P w s w P s w w P + + Jetzt wenden wr auf jeden Summenden den Multplkatonssatz an, für den ersten Summenden erhalten wr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 / / w w s P w w P w P s s w P =

28 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk = = Analog erhalten wr auch für de beden anderen Summenden jewels den glechen Wert /0 Und damt ergbt sch als Ergebns: P(A) = 3/0 = 0,3. D.h., nur n 30% aller Fälle fnden wr be desem Qualtätskontrollverfahren de beden defekten Tele. Das st natürlch ncht gut. Wr können das nur verbessern, wenn wr mehr Tele zehen. Bespel : Aus enem gut gemschten Kartenspel sollen 3 Speler nachenander ene Karte zehen. Mt welcher Wahrschenlchket zeht jeder Speler ene Pk- Karte (Eregns A)? Lösung: Unter den 3 Karten snd 8 Pk-Karten. De Wahrschenlchket, dass der erste Speler ene Pk-Karte zeht st P(A)=8/3=/4. Nachdem der erste Speler ene Pk-Karte gezogen hat, snd nur noch 3 Karten und davon 7 Pk- Karten m Spel. Somt st de Wahrschenlchket dafür, dass der zwete Speler ene Pk-Karte zeht P(A A) = 7/3. Analog erhalten wr dann P(A3 A A)=6/30 und somt: P(A) = P(A A A3)= = Übungsaufgaben. * Wr betrachten en Los von 0 Telen. Darunter befndet sch en defektes Tel. We groß st de Wahrschenlchket dafür bem dremalgen Zehen ohne zurückzulegen das defekte Tel zu fnden?.3.3 Stochastsche Unabhänggket von Eregnssen Unabhängge Eregnsse Verändert de Informaton über das Entreten von B de Chancen für A ncht, d.h. glt P(A B)=P(A), so heßen A und B stochastsch unabhängg.

29 Wahrschenlchketsrechnung Defnton: Zwe Eregnsse A und B heßen stochastsch unabhängg, falls glt: P A/ B = P( A ( ) ) Folgerung: Seen A und B stochastsch unabhängg, dann gelten folgende Bezehungen: P A B = P A P B b) P( A B ) = P( A) P( B ), a) ( ) ( ) ( ) c) P( A B) = P( A) P( B) d) P( A B ) = P( A) P( B ) Produktformel für unabhängge Eregnsse Bespel: Snd de beden Eregnsse A= Würfeln ener geraden Zahl und B= Würfeln ener Zahl 4 stochastsch unabhängg? Es glt: P(A)=/3 und P(B A)=/3. Damt snd P(A) P(B A) und folglch snd A und B ncht stochastsch unabhängg. Das gleche Ergebns erhalten wr, wenn wr de Produktformel untersuchen: Es st P(A)=/3, P(B)=/3 und P(A B)=/6. Folglch st P(A B) P(A)P(B), woraus folgt, dass A und B ncht stochastsch unabhängg snd. De Defnton der Unabhänggket von n belebgen Eregnssen seht etwas komplzerter aus. De nhaltlche Bedeutung st analog zum Fall zweer Eregnsse: das Entreten jewels enes Tels der Eregnsse beenflusst de Chancen des Entretens des anderen Tels ncht. Für de Berechnungen st de Verallgemenerung der Produktformel wchtg: Defnton: n Eregnsse A, A,, An heßen stochastsch unabhängg, falls für jede belebge Telauswahl A *, A*,, Ak * von k Eregnssen aus desen n glt: Allgemene Produktformel für unabhängge Eregnsse P( A * A* Ak* ) = P( A* ) P( A* ) P( Ak* ) Bespel : De Wahrschenlchket, dass en Beobachter n enem gewssen Zetraum en Sgnal auf enem Bldschrm überseht, se 0, und be allen Beobachtern glech. We vele unabhängg vonenander arbetende Beobachter benötgt man, wenn nsgesamt de Wahrschenlchket dass en Sgnal übersehen wrd (Eregns A), ncht größer als 0,0 sen soll? Lösung: Se A das Eregns Das Sgnal wrd von Beobachter übersehen. Dann glt P(A )=0,. Da de Beobachter unabhängg vonenander arbeten,

30 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk glt: P(A)= P A A A ) = P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) =(0,) n ( n 3 n n De geforderte Bedngung war: 0, 0, 0. daraus folgt durch n Logarthmeren : log( 0, ) = nlog(0,) log(0,0). Be der Auflösung der Glechung nach n muss man durch den negatven Wert log(0,) dvderen; dadurch kehrt sch das Relatonszechen um. Wr erhalten: log(0,0) n =,86. log(0,) Das heßt, dass mndestens 3 Beobachter nötg snd. Bespel : Wr wollen von der Ausfallhäufgket q des Geräts G auf Ausfallhäufgket ener bestmmten Baugruppe E (Bauelement) schleßen. Gegeben se en Gerät E E E3 E4 Seen folgende Eregnsse defnert : G - Gerät st OK, G -Gerät st ncht OK, E - Bauelement E st OK, E - Bauelement E st ncht OK. Wr verenfachen dazu unser Modell und treffen folgende Annahmen:. Alle Bauelemente snd dentsch. Alle Bauelemente fallen unabhängg vonenander und mt der glechen Wahrschenlchket p aus: P( E )=p, =,,3,4. 3. Funktonswese des Gerätes : Ene Rehe funktonert, falls bede Baugruppen funktoneren, das Gerät funktonert, falls ene Rehe funktonert. a) Gegeben st nun q=p( G ). Gesucht st p.

31 Wahrschenlchketsrechnung b) We groß darf de Ausfallwahrschenlchket p enes Bauelenmentes höchstens sen, damt de Ausfallwahrschenlchket des Gerätes q 0 % ncht überschretet? Lösung: Zu a) Wr stellen enen Zusammenhang zwschen p und q her: ( ) = P( Rehe not OK Rehe not OK) P G P( Rehe not OK) P( Rehe not OK) P( Rehe OK) P( Rehe OK) P( E E ) P E E ( ( p) ) ( ( p) ) q = ( ) ( ) ( ( 3 4 )) = = = = ( ) q = ( p) q = p Zu b) Se q = 0,: 0, = 0, 87 = 0, 73 D.h., de Ausfallwahrschenlchket der Bauelemente darf 7,3% ncht überschreten, damt das Gerät mt mndestens 90%tger Wahrschenlchket ncht ausfällt. Übungsaufgaben. * En System besteht aus 4 Elementen, de we folgt angeordnet snd: Das System verhält sch we be Rehen- und Parallelschaltungen. Es funktonert, wenn mndestens ene Rehe funktonert. Ene Rehe funktonert, wenn alle Elemente der Rehe funktoneren. Jedes Element arbetet unabhängg von den anderen mt der glechen Wahrschenlchket p=0,9, d.h. fällt mt der Wahrschenlchket 0, unabhängg von den anderen Elementen aus. a) We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass das System S funktonert?

32 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk b) We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass Element funktonert unter der Bedngung, dass das System funktonert?.3* Zwe Studenten Versuchen unabhängg vonenander de gleche Übungsaufgabe zu lösen. Jeder der beden fndet de rchtge Lösung mt der Wahrschenlchket 0,6. We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass mndestens ener der beden de Aufgabe rchtg löst?.4 Totale Wahrschenlchket und Bayes sche Formel Vollständges Eregnssystem Vollständges Eregnssystem Defnton: Se V en zufällger Versuch mt der Grundmenge Ω und dem Eregnsfeld E. Ene Menge von Eregnssen A, A,..., A n, A Ω für =,...,n, heßt vollständges Eregnssystem n E, falls glt: a) A A = Φ für j und b) A A A = Ω k. j Bespele:.Bem malgen Würfeln mt der Grundmenge Ω={,,3,4,5,6} blden de Eregnsse A ={,}, A={3,4}, A3={5,6} en vollständges Eregnssystem.. De Eregnsse A, A blden en vollständges Eregnssystem. 3. De Eregnsse A B, A B, A B, A B blden en vollständges Eregnssystem. Oft legen Wahrschenlchketen für en vollständges System von Eregnssen A, A,..., A n vor, sowe de Wahrschenlchketen P(B/A ) für das Entreten enes weteren Eregnsses B unter der Bedngung A und es st P(B) und/oder P(A /B) gesucht. Totale Wahrschenlchket Satz.: Se V en zufällger Versuch mt der Menge Ω und dem Eregnsfeld E Seen weterhn B Ω en belebges Eregns zu V und A,...,A n en vollständges Eregnssystem n E. Dann glt: ( ) = ( / ) ( ) + ( / ) ( ) + + ( / ) ( ) P B P B A P A P B A P A P B A P A (Formel der totalen Wahrschenlchket). n n

33 Wahrschenlchketsrechnung Bewes: A A Ω B A3 An P ( B) = P( ( B A ) ( B A ) ( B An )) = P( B A ) + + P( B An ) = P( B A ) P( A ) + + P( B / A ) P( A ) / n n qed. Satz: (von Bayes) P A = a) Es glt: P( A / B) ( ) P( B / A) P( B) b) (Verallgemenerung): Seen A Ω =,..., n en vollständges Eregnssystem, d.h. n Eregnsse mt A A j und A A A n = Ω. Se B Ω. Dann glt: ( / B) P A P A = ( ) P( B A ) P( B) ( ) P( B A ) / P A / = n j= ( j ) P( B / A j ) P A Satz von Bayes Dese Formel trägt den Namen des Engländers Thomas Bayes, der se m Jahre 764 entwckelte und damt als erster den Versuch unternahm, für statstsche Schlüsse logsche Grundlagen anzugeben. Ene besondere Bedeutung deser Formel legt n folgender Überlegung: Angenommen, ene drekte Beobachtung der Eregnsse A,...,A n st ncht möglch und man hat auf rgendene Wese aber ene Anfangs-Informaton über deren Wahrschenlchketen P(A ),..,P(A n) erhalten. Dese werden als a- pror-wahrschenlchketen bezechnet. Beobachtet man nun be Durchführung des zufällgen Versuchs das Eregns B, so st man bestrebt, dese Informaton zur verbesserten Entschedungsfndung darüber zu verwenden, welches der Eregnsse A,...,A n engetreten st. In desem Zusammenhang pflegt man de Wahrschenlchketen P(A /B),..., P(A n/b) als a-posteror-wahrschenlchketen zu bezechnen. Ene andere Anwendung deser Formel besteht darn, de Trennschärfe enes beobachteten Eregnsses B für de Entschedung, dass en Eregns A engetreten st, zu beurtelen. Entschedet man sch be Auftreten

34 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk von B für das Eregns A, so wrd P(A j/b) für j als Irrtumswahrschenlchket be deser Entschedung nterpretert. Anwendung der Sätze n folgenden Fällen: P A, P B / A Gegeben: ( ) ( ) Gesucht: P( A / B) Bespel: (Technsche Fehlerdagnose) Se A ene technsche Fehlerart, de mt 0 % be allen Geräten enes bestmmten Typs vorkommt, se B en Merkmal, anhand dessen de Fehlerart A dagnostzert werden kann Dagnoseverfahren: Technker Merkma Entschedung l B A (defekt) B A (ncht defekt) Fehlentschedung: Das Merkmal trtt ncht auf ( B ), aber Gerät st trotzdem defekt (A). Das Merkmal B trtt auf, aber de Gerät st O.K ( A ) Wrklchket O.K defekt Ent- A A sche- O.K B P(A/ B ) dung defekt B P( A /B) ---- Fehlentschedungswahrschenlchketen: ( B) P A / Wahrschenlchket dafür, dass en Gerät defekt st, welches ( B) als OK engestuft wurde. P A / Wahrschenlchket dafür, dass en Gerät O.K st, welches als defekt engestuft wurde.

35 Wahrschenlchketsrechnung Zel: En solches Merkmal B fnden, dass de Wahrschenlchket für Fehlentschedungen gerng st! Gegeben.: P( B A) P( B A) P( A) Gesucht.: P( A / B), P( A / B) / = 0, 8 / = 0, 3 = 0, We groß snd de Fehlerwahrschenlchketen für unser Merkmal? Anwendung des Satzes von Bayes und totaler Wahrschenlchket : Es glt: P ( A / B ) = P ( B / A) P( A) ( P( B / A)) = P( B ) P( B) P( A) ( ) ( ) NR: P B / A = P B / A = 0, = 0, 8 0, + 0, 3 0, 9 = 0, 35 P B = = 0, 65 und P B P B A P A P B A P A ( ) = ( / ) ( ) + ( / ) ( ) ( ) P( B) ( / B) 0, 0, 0, 0 P A = = = = 0, 03 0, 65 0, In 3 % aller Dagnosen wrd en defektes Gerät als O.K engestuft!.4 Berechnen Se zu unserem obgen Bespel de Irrtumswahrschenlchket P ( A B).

36 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk Übungsaufgaben.5* Wr wollen de Zuverlässgket enes SPAM-Flters untersuchen, dabe nehmen wr an, dass wr genau wssen, was ene SPAM st!. Unser SPAM-Flter arbetet we folgt: Es werden alle Texte als SPAM engestuft, n denen das Wort Vagra vorkommt (Eregns B). In jedem anderen Fall werden de Texte als O.K. engestuft. Es soll de Zuverlässgket deses SPAM-Flters, d.h., de Trennschärfe des Wortes Vagra untersucht werden. Aus Untersuchungen von Texten se bekannt, dass 0 % aller Texte SPAM s snd. Es se weterhn bekannt, dass n 90% aller Texte, de tatsächlch SPAM s snd, das Wort Vagra vorkommt, aber leder auch n % aller Texte, de kene SPAM s snd. a) We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass en Text, der als SPAM engestuft wurde auch wrklch en SPAM st? b) We groß st de Wahrschenlchket dafür, dass en ncht als SPAM engestufter Text en SPAM st?.6* Ene Frma bezeht jewels 30 %, 0% bzw. 50% von benötgten Telen von 3 verschedenen Zuleferern Z, Z bzw. Z3. Über de Ausschussrate (Antel der defekten Tele unter den geleferten) se bekannt, dass se be Z %, be Z und Z3 % bzw. 0,5 % beträgt. a) Wevel % Ausschuss (Eregns A) erhält de Frma nsgesamt? b) Mt welcher Wahrschenlchket stammt en defektes Tel von Z?.5 Übungsaufgaben. En zufällger Versuch bestehe m Werfen zweer Würfel. Man berechne de Wahrschenlchket dafür, daß de Summe 6, 7 oder 8 st! (Hnwes: Klasssche Wahrschenlchketsdefnton benutzen!). Jemand bewrbt sch be zwe Frmen A und B. De Wahrschenlchket der Annahme sener Bewerbung schätzt er be Frma A mt 0,5 und be Frma B mt 0,6 en. Weterhn rechnet er mt ener Wahrschenlchket von 0,3 von beden Frmen angenommen zu werden.

37 Wahrschenlchketsrechnung We groß st de Wahrschenlchket dafür, von wengstens ener der beden Frmen ene Zusage zu erhalten? (Hnwes: Axom 3 benutzen!) 3. (Aus ener USA-Stude über den Zusammenhang zwschen Hautfarbe und Beschäftgungsstatus) Es werden folgende Symbole benutzt: F Farbg, W Weß, B Beschäftgt, U Arbetslos. Be ener Untersuchung der Bevölkerung auf Hautfarbe und Beschäftgungsstatus ergab sch folgende Häufgketstabelle: W F Total U B a) Vervollständgen Se de Tabelle! b) Berechnen Se für en zufällges Indvduum de Wahrschenlchketen: P(U), P(F), P(U/F)! c) Snd de Eregnsse "de Hautfarbe st weß" und " Beschäftgt" stochastsch unabhängg vonenander? 4. G se en Gerät mt n parallel geschalteten Bauelementen glechen Typs. Dabe snd jewels Bauelemente n Rehe geschaltet. Das Gerät fällt aus, falls de Rehe ausfallen. Ene Rehe fällt aus, falls enes der beden Bauelemente ausfällt. De Bauelemente E j fallen unabhängg vonenander mt der glechen Wahrschenlchket P(E j = not OK) = 0, für alle =,...,n; j =,, aus. Wevele Rehen muß das Gerät haben, damt de Ausfallwahrschenlchket p des Gerätes 0, % ncht überschretet, d.h. damt glt p = P( G = not OK) 0, 00? G E E E E E n E n

38 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk 5. Se A ene technsche Fehlerart, de be 5 % aller Geräte enes bestmmten Typs vorkommt. Se B en Merkmal, anhand dessen de Fehlerart A dagnostzert werden kann. D.h., be der technschen Fehlerdagnose wrd en Gerät als defekt (mt dem Fehler A behaftet) engestuft, falls das Merkmal B beobachtet wrd. Nun se folgendes bekannt: Be 0 % aller defekten Geräte trtt B ncht auf. Be 95% aller nchtdefekten Geräte trtt B leder ebenfalls auf. a) We vel % aller als defekt engestuften Geräte snd nchtdefekt? b) We vel % aller als nchtdefekt engestuften Geräte snd defekt? 6. 3 LKW-Fahrer Anton, Paul und Otto - fahren täglch Produkte aus. Anton übernmmt dabe stets 40 % der Fahrten, Paul, 5 % und Otto 45% De Wahrschenlchket dafür, dass Anton mt Alkohol am Steuer fährt, beträgt 0,0, Paul fährt n 0,5% sener Fahrten ncht nüchtern und be Otto snd es % aller sener Fahrten. Nun erfährt der Dspacher enes Tages von der Verkehrspolze, dass ener sener Fahrer sene Fahrt wegen Alkohol am Steuer beenden musste. Welcher Fahrer st es am wahrschenlchsten gewesen?

39 Wahrschenlchketsrechnung Zufallsgrößen und hre Vertelungen. Zufallsgrößen (Wederholung) Def.: Zufallsgrößen snd zufällge Merkmale, de n enem zufällgen Versuch beobachtet werden und deren Merkmalsausprägungen (Realserungen) durch Zahlenwerte (drekt oder durch Skalerung) charaktersert werden. X Zufallsgröße x Realserung, Beobachtung X Werteberech von X, X = { a,..., a k,...} dskret [ a, b] X X stetg Uns n t e r e s s e r e Zufallsgröße Merkmalswerte Realserung Typ X Blutgruppe A, B, AB, 0,,, 3 dskret (nomnal) X Anzahl der ω = ( M, M ) 0,, dskret (ordnal) Wappen be M { K Z} (festgelegte Münzwurf Bedeutung der Zahlen) (K, K) (K, Z) (Z, K) (Z, Z) 0 T zufällge Lebensdauer [0, ) stetg (proportonal) n folgende Wahrschenlchketen:. P(X = x) Wahrschenlchket dafür, dass X den Wert x annmmt. P(a X b) Wahrschenlchket dafür, dass X [a, b] 3. P(X a), P(X a)

40 B. Grabowsk, HTW des Saarlandes, /0 Stochastk. Wahrschenlchketsvertelung dskreter Zufallsgrößen Se X dskret, X = { a a k },...,,.... Wr benötgen nur p = P(X = a ) für =,..., k,... Mt Hlfe der p können Se alle Wahrschenlchketen. 3. berechnen: P(5 X 8) = P(X = 5 X = 6 X = 7 X = 8) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) P(a X b) = P( X = a ) und P(X a) = a : a a b a: a a P(X = a) Def.: De Gesamthet ((p = P(X = a ), a X )) heßt Wahrschenlchketsvertelung von X. Darstellung: grafsch: P P p3... X a a ak X p p tabellarsch: X a a a k p p p p k analytsch als Funkton: p = f(, a ) Bespel : Zufallsexperment: Werfen zweer Münzen = 0,,, 3, X Anzahl K, X { } Ω = ( K, K),( K, Z),( Z, K),( Z, Z) { } X X={ 0 }

41 Wahrschenlchketsrechnung Gesucht: Wahrschenlchketsvertelung von X X 0 p p 0 p p p 0 = P(X = 0) = P((Z, Z)) = 4 p = P(X = ) = P ( {( K Z ) ( Z, K,, )} ) = = 4 X 0 p 4 4 Verallgemenerung: (Berechnung der p ) Man betrachte de Zufallsgröße X als Abbldung von Ω n X: X : Ω X R Äquvalenz von Eregnssen: { ω Ω ( ω) } ' X = x' A = X = x Ω P( X = x) = P( A) = A Ω Bespel: Versuch: Würfeln mt Würfeln X Summe der Augenzahlen ges.: Wahrschenlchketsvertelung von X: X p p p 3 p 4... p ( ) p P X = =, =,...,