Lösungsvorschläge Aufgaben 14.1, 14.3, 14.4

Transkript

1 Lösungsvorschläge ufgaben.,.,. ufgabe. Wir starten mit dem gegebenen Graphen, dessen Restgraph beim Nullfluss ϕ 0 dem ingabenetzwerk entspricht. ktueller Fluss: Restgraph: 0/ 0/ 0/ 0/ 0/5 0/ 0/ 0/ / 0/ as zugehörige Niveaunetzwerk sieht wie folgt aus. ie Knoten, haben eine istanz größer/gleich der istanz der enke, daher tauchen sie im Niveaunetzwerk nicht auf. Niveaunetzwerk: Nun zum perrfluss, der durch den acktracking-lgorithmus berechnet wird. ieser könnte so vorgehen: erst wird der Weg, verfolgt und gelöscht, da es von keinen Weg zur enke gibt. ann wird, verfolgt und analog gelöscht. chließlich wird,, durchlaufen, der Fluss um erhöht und (, ) saturiert und gelöscht. a dann die uelle isoliert ist, endet der lgorithmus und gibt folgenden perrfluss aus.

2 0/ perrfluss: 0/ / / ieser perrfluss wird nun zum aktuellen Fluss addiert, wodurch wir folgenden Fluss und folgenden Restgraphen erhalten. ktueller Fluss: Restgraph: 0/ 0/ / 0/ 0/5 0/ 0/ 0/ / / as Niveaunetzwerk des neuen Restgraphen sieht dann so aus. s fällt auf, dass die kürzesten Wege von der uelle zur enke länger geworden sind. Niveaunetzwerk: er acktracking-lgorithmus wählt z.. erst den Weg,,, und erhöht den Fluss über diesen Weg um. nschließend werden, gelöscht, da (, ) saturiert ist und dadurch nun kein Weg mehr zur enke existiert. Über,,, kann Fluss geleitet werden, wodurch die Kante (, ) saturiert und entfernt wird. er lgorithmus terminiert mit folgendem perrfluss:

3 / / / perrfluss: / /8 /5 Wieder addieren wir den perrfluss zum aktuellen Fluss, was in folgendem Fluss und Restgraphen resultiert. ktueller Fluss: Restgraph: / / / / 0/5 0/ 0/ /8 5 / / Nun besteht das Niveaunetzwerk nur noch aus einem langen Pfad und die perrflussberechnung ist trivial: er lgorithmus findet den einzigen Weg, erhöht den Fluss um, saturiert und löscht (, ), startet eine erneute uche und löscht,,,,.

4 er resultierende maximale Fluss (alle Kanten zur enke sind saturiert) ist dann 5/ 5/ 0/5 / / / / / 5/8 / ufgabe. Nach der Initialisierung erhalten wir folgende Werte. d() = d() = 0 d() = 0 d() = 0 e() = 5 e() = e() = 0 er Preflow (links) und der zugehörige Restgraph (rechts) sehen aus wie folgt. 5/5 0/ / 5 0/

5 s ist keine Kante wählbar, daher bleiben uns nur Relabel-Operationen auf den beiden aktiven Knoten und. Wenn wir Relabel() und Relabel() ausführen, erhalten wir folgende Werte. d() = d() = d() = d() = 0 e() = 5 e() = e() = 0 Nun sind die Kanten (, ) und (, ) wählbar. Mit einem Push(, ) wird über diese Kante Fluss geschickt und Präfluss und Restgraph sehen aus wie folgt. 5/5 / / 5 0/ er Überschuss an hat sich um verringert, der Überschuss an hingegen um erhöht: d() = d() = d() = d() = 0 e() = e() = e() = 0 a (, ) immer noch wählbar ist, führen wir Push(, ) durch und leiten Fluss über diese Kante. 5/5 / / 5 / er Überschuss an beträgt jetzt nur noch, dafür hat die enke Überschuss. d() = d() = d() = d() = 0 e() = e() = e() = 5

6 Jetzt ist keine Kante wählbar, es ist wieder Zeit für Relabel. Wir führen Relabel() aus, wobei den Wert d() + = 5 erhält. nschließend führen wir Relabel() aus, wodurch ebenfalls den Wert d() + = 5 erhält. d() = d() = 5 d() = 5 d() = 0 e() = e() = e() = Nun sind die Kanten (, ) und (, ) wählbar. Wir wählen z.. die Operation Push(, ) und schieben Fluss über die reverse Kante, wodurch der Präfluss um verringert wird. 5/5 / / 5 / er Überschuss an wird damit komplett abgebaut, wird inaktiv. d() = d() = 5 d() = 5 d() = 0 e() = e() = 0 e() = a nur noch aktiv ist, bleibt nur noch die Operation Push(, ). /5 / / / d() = d() = 5 d() = 5 d() = 0 e() = 0 e() = 0 e() = Jetzt gibt es keine aktiven Knoten mehr, der lgorithmus terminiert.

7 ufgabe. a) Jeder Knoten v wird in zwei Knoten v, v aufgespalten, so dass v die in v eingehenden und v die aus v ausgehenden Kanten erhält. ann werden v und v durch eine Kante mit Kapazität k(v) verbunden. v k(v) v ngenommen, es gibt einen Fluss ϕ, der den Knoten- und Kantenkapazitäten genügt. a dann über v nur maximal Fluss k(v) fließt, fließt im veränderten Netzwerk über die Kante (v, v ) auch nur höchstens Fluss k(v) und wir erhalten einen gültigen Fluss im neuen Netzwerk. ei ϕ ein gültiger Fluss im veränderten Netzwerk. a über die Kante (v, v ) nur höchstens Fluss k(v) fließen kann, sind die edingungen an die Knotenkapazität erfüllt und wir erhalten einen gültigen Fluss, der Knoten- und Kantenkapazitäten genügt. b) usgehend vom n n-raster konstruieren wir ein Netzwerk. Zuerst werden alle ungerichteten Kanten {u, v} durch zwei gerichtete Kanten (u, v) und (v, u) ersetzt. ann wird jeweils eine Kante eines solchen Paares mit einem neuen Hilfsknoten w transformiert, so dass wir die Kanten (u, v), (v, w) und (w, u) erhalten und der Graph asymmetrisch wird. Hier ein uszug für einen Knoten aus dem resultierenden Netzwerk. Wir erzeugen nun Kanten von der uelle zu jedem tartknoten und von jedem Randknoten zur enke. lle Kanten erhalten Kapazität und zusätzlich legen wir Kapazitäten für alle Knoten v / {, } fest.

8 Wir zeigen: Genau dann, wenn es einen maximalen Fluss mit Wert m gibt, gibt es eine Lösung für das Fluchtwegeproblem. ngenommen, es gibt einen Fluss ϕ mit w(ϕ) = m. a es nur m Kanten aus der uelle gibt und alle Kapazitäten betragen, müssen alle Kanten aus der uelle Fluss führen, d. h. es muss jeweils Fluss aus den m tartpunkten geleitet werden. Nach Konstruktion des Netzwerks kann Fluss nur über Kanten des Rasters laufen und nur von Randpunkten des Rasters aus gibt es Kanten zur enke. a Fluss nicht aufgespalten werden kann, gibt es m Pfade aus Kanten mit Fluss von den m tartpunkten zu Randpunkten des Rasters. ie Knotenkapazitäten garantieren, dass diese Pfade knotendisjunkt sind. ei eine Lösung für das Fluchtwege-Problem gegeben, dann setzen wir ϕ(, ) = für alle Kanten aus der uelle und lassen für jeden tartpunkt Fluss vom tartpunkt entlang der Kanten des Rasters zum Randpunkt der Lösung und von dort aus zur enke laufen. a die Pfade knotendisjunkt sind, werden sowohl die Knotenkapazitäten als auch die Kantenkapazitäten eingehalten und wir erhalten einen Fluss ϕ mit Wert m. 8