Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra I

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1 Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Mathematisches Institut Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Oleg Bogopolski Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra I Bearbeitungszeit: 2 min Bitte in Druckschrift ausfüllen! Name: Vorname: Matrikelnr.: Studienfach: Fachsemester: Mit meiner Unterschrift melde ich mich zur oben genannten Klausur an und bestätige, dass ich mich momentan nicht in einem Urlaubssemester befinde und damit berechtigt bin eine Prüfung abzulegen (Unterschrift) Hinweis: Wie üblich müssen Sie bei den Aufgaben 2-7 den sweg angeben. Aufgabe Punkte Note:

2 Aufgabe [8 Punkte] Die Aufgabenteile a)-h) in Aufgabe müssen nicht begründet werden. Bei den Multiple-Choice Aufgaben a)-e) gibt jede richtige Antwort zwei Punkte, jede nicht beantwortete Punkte und für jede falsche Antwort werden zwei Punkte abgezogen. Falls Sie im Teil a)-e) insgesamt eine negative Anzahl an Punkten erreichen, wird dieser Teil mit Punkten gewertet. a) Sind U und V Untervektorräume eines Vektorraums W, so ist U V auch ein Untervektorraum von W. Ja Nein X b) Die Vektoren v,, v n R n heißen linear unabhängig, wenn gilt: Sind λ = = λ n =, so folgt λ v + + λ n v n =. X c) Eine lineare Abbildung ϕ ist genau dann bijektiv, wenn ker(ϕ) = ist. X d) Es gilt det(a B) = det(b A) für alle Matrizen A, B M(n, n, R). X e) Die Nullmatrix ist diagonalisierbar. X

3 f) Geben Sie alle Untergruppen der Gruppe (Z 5, + 5 ) an. [2 Punkte] {}, {, 5, }, {, 3, 6, 9, 2}, (Z 5, + 5 ) g) Stellen Sie die Permutation σ = (3 4 5) (3 7 8 ) ( ) S 9 als Produkt von unabhängigen Zyklen dar und berechnen Sie Sign(σ) und Ord(σ). [3 Punkte] σ = ( ) (7 8) Sign(σ) = ( ) 5 ( ) = Ord(σ) = 6 h) Sei ϕ : (Z 6, + 6 ) (Z 9, + 9 ) ein Gruppenhomomorphismus definiert durch ϕ() = 3. Berechnen Sie ker(ϕ) und im(ϕ). [3 Punkte] ker(ϕ) = {, 3}, im(ϕ) = {, 3, 6}

4 Aufgabe 2 [4 Punkte] a) Zeigen Sie mit dem Euklidischen Algorithmus, dass ggt(5, 3) = ist. [4 Punkte] b) Finden Sie a, b Z, so dass = 5a + 3b gilt. [5 Punkte] c) Finden Sie ein Element b Z 5, so dass 3b = in Z 5 gilt. [3 Punkte] d) Finden Sie ein Element b Z 5, so dass 3b = 3 in Z 5 gilt. [2 Punkte] a) Mit dem Euklidischen Algorithmus erhalten wir Also ist ggt(5, 3) =. b) Aus a) folgt 5 = = + 2 = = 2 + = 5 2 = (5 3 3) 5(3 ) = = = (5 3 3) = Also a = 6 und b = 23. c) Aus dem Augabenteil b) haben wir die Gleichung ( 23) = in Z. Diese gilt auch in Z 5. Da 6 5 = in Z 5 haben wir 3 ( 23) =. Also b = 23, reduziert modulo 5 ist b = 27. d) 3 27 = ist äquivalent zu = 3. Also b = 27 3 = 8, reduziert modulo 5 ergibt es b = 3.

5 Aufgabe 3 [2 Punkte] a) Bestimmen Sie alle en des inhomogenen reellen Gleichungssystems: 3 + 6x 4 = 3 x + x = 2x + 2x 2 + 6x 4 = 5 b) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem des reellen Gleichungssystems: 3 + 6x 4 = x + x = 2x + 2x 2 + 6x 4 = Das lineare Gleichungssystem 3 + 6x 4 = 3 x + x = 2x + 2x 2 + 6x 4 = 5 mit der Addition des (-2) fachen der 2. Zeile zu der 3. Zeile ist äquvivalent zu 3 + 6x 4 = 3 x + x = 3 6x 4 = 3 und weiter mit der Addition der 3. Zeile zu der. Zeile ist äquvivalent zu { x + x = 3 6x 4 = 3 Zuerst lösen wir das homogene Gleichungssystem: { x + x = 3 6x 4 = Für die Basisvektoren des homogenen Gleichungssystems setzen wir x ) 3 6 = = x = x = 2) x 3 6 = = 2 x ( 2) = x = 4 [7 Punkte] [5 Punkte]

6 b) Das homogene Gleichungssystem hat eine Basis 4, 2 a) Wir suchen eine spezielle. Für diese setzen wir x 2 = und x 4 =. Also ist 3 6 = 3 = und x + + 2( ) = x = 3. Alle en des inhomogenen Gleichungssystems sind: 3 + L Eine andere Schreibweise: 3 = + λ = + λ 2 3 λ + 4λ 2 λ 2λ 2 λ 2, λ, λ 2 R λ, λ 2 R

7 Aufgabe 4 [4 Punkte] Sei A =. a) Berechnen Sie die Eigenwerte von A. [4 Punkte] b) Berechnen Sie zu jedem Eigenwert λ den zugehörigen Eigenraum Eig(A, λ). [6 Punkte] c) Entscheiden Sie, ob die Matrix A diagonalisierbar ist und geben Sie gegebenenfalls eine invertierbare Matrix T und eine Diagonalmatrix D an, so dass T AT = D. [4 Punkte] a) χ A (λ) = det λ λ λ = ( λ)(λ )(λ + ) = (λ ) 2 (λ + ) = λ 2 ( λ) ( λ) = ( λ)(λ 2 ) χ A (λ) = gilt genau dann wenn λ {, }, also die Matrix A hat Eigenwerte und -. b) Eigenraum zum Eigenwert λ =. x x Eig(A, ) = x 2 R 3 (A E 3 ) x 2 x = x 2 R 3 = x x 2 = Das lineare homogene Gleichungssystem. { x + = ist äquivalent zu x x = = mit führenden Unbekannten x und Parameterunbekannten x 2,. Für die setzen wir x ) x = x = und

8 2) Also ist x x = x = Eig(A, ) = L, Eigenraum zum Eigenwert λ =. x x Eig(A, ) = x 2 R 3 (A + E 3 ) x 2 = x x = x 2 R 3 2 x 2 = Das lineare homogene Gleichungssystem. x + = 2x 2 = ist äquivalent zu x + = { x + = x 2 = mit führenden Unbekannten x, x 2 und Parameterunbekannten. Für die x setzen wir x 2 x 2 = x + = x = Also ist Eig(A, ) = L c) Die Matrix A ist diagonalisierbar, weil dim Eig(A, ) + dim Eig(A, ) = 2 + = 3. Es gilt für T = und D = T AT = D

9 Aufgabe 5 [4 Punkte] Seien und v =, v 2 = zwei Untervektorräume von R 4. 2, w = V = L(v, v 2 ), W = L(w, w 2 ), w 2 = a) Berechnen Sie eine Basis von V W. [8 Punkte] b) Berechnen Sie eine Basis von V + W. [6 Punkte] (a) V W = {β w + β 2 w 2 β, β 2 R und es existieren α, α 2 R so dass α v + α 2 v 2 = β w + β 2 w 2 }. Die Gleichung α v + α 2 v 2 = β w + β 2 w 2 ist äquivalent zu α β = α 2 +β +β 2 = α +α 2 +β 2 = α +2α 2 +β = α β = α 2 +β +β 2 = β 2 = Es folgt, dass β 2 = und β kann beliebig gewählt werden. Also ist Also ist V W = {β w + β 2 w 2 β, β 2 R und β 2 = } = {β w β R} = β β R eine Basis von V W. (b) V + W = L (v, v 2, w, w 2 ). Wir schreiben die Erzeugenden als Zeilen einer Matrix, bringen diese auf Zeilenstufenform. Dann sind die nicttrivialen Zeilen linear unabhängig und erzeugen v, v 2, w, w 2, also eine Basis.

10 2 (. Zeile) (+ 2. Zeile) 2 2 (+ 2. Zeile) Eine Basis von V + W ist, 2, 2

11 Aufgabe 6 [4 Punkte] Für x R sei die Matrix M(x) definiert durch 2 M(x) = x 2 x 2 a) Finden Sie alle x R, so dass M(x) invertierbar ist. [4 Punkte] b) Berechnen Sie für die in a) gefundenen x den Eintrag in der -ten Zeile und 3-ten Spalte von (M(x)). [4 Punkte] c) Berechnen Sie für x = die inverse Matrix (M( )). [6 Punkte] a) Die Matrix M(x) ist genau dann invertierbar, wenn det(m(x)). 2 det x = 4x = x(x 2 4) = x(x 2)(x + 2) 2 x 2 Also M(x) ist invertierbar genau dann wenn x / {, 2, 2}. b) = ( 2 x(x 2)(x + 2) det x [ ] (M(x)) = det M(x) 3 3 det(m(x)) = ) = 2x x(x 2)(x + 2) = 2 (x 2)(x + 2)

12 c) 2 2 ( 2). Zeile 2 ( ) 3 2 ( /3) 2 ( 2) 3. Zeile 2/3 /3 ( /3) /3 2/3 ( 2) 3. Zeile 2/3 /3 ( /3) M( ) = /3 2/3 2/3 /3

13 Aufgabe 7 [4 Punkte] Sei (G, ) eine Gruppe und sei h ein Element von G. Zeigen Sie, dass die Teilmenge U = {g G g h = h g} eine Untergruppe von (G, ) ist. Seien g, g 2 U. Dann ist (g g 2 ) h g 2 U = g h g 2 g U = h g g 2, also g g 2 U. Sei g U. Dann gilt g h = h g. Das ist äquivalent zu g g h = g h g g g h g = g h g g h g = g h Also ist g U. Damit ist U eine Untergruppe von (G, ).