Bundeswehrfachschule München

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1 LA.1 Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme (LGS) spielen nicht nur in der Linearen Algebra sondern auch vielen anderen alltäglichen Aufgaben eine wesentliche Rolle. So z.b. müssen bei einer Computertomographie, bei einer Simulation oder beim Wetterbericht stets LGS mit mehr als 1000 Unbekannten gelöst werden. Hier werden für LGS folgende drei Lösungsalgorithmen (Lösungsverfahren) erläutert: - Der Gaußsche Algorithmus - Die Cramer-Regel - Das Lösungsverfahren mit der Inversen Matrix (wird nur im Rahmen der Übungen vorgeführt) Eine ausreichende Beschreibung der Lösungsverfahren ist ohne die Begriffe Matrix und Determinante nicht realisierbar. LA.1.1 Matrix und Determinante. Eine Matrix vom Typ M mxn (oder eine (m x n)-matrix) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Im folgenden Beispiel ist A eine 4 x 4-Matrix, B eine 2 x 3 Matrix und C eine 2 x 2 Matrix, d.h. A Î M 4x4, B Î M 2x3 und C Î M 2x2 : æ ö A = ç è ø æ1 2-3 ö B = è3-3 4ø æ c 11 c12 ö C = è c 21 c22 ø Ein Element oder eine Komponente einer Matrix wird mit der entsprechenden Zeilen- und Spaltennummer indiziert, so ist A 42 = -12. Wenn die Zeilen in Spalten umgewandelt werden entsteht die Transponierte Matrix, so z.b. ist B T die Transponierte Matrix von B. æ 1 3 ö ç -3 4 è ø T B = 2-3 Eine Matrix mit nur einer Spalte kann als Vektor gedeutet werden, so dass eine Matrix aus Spaltenvektoren und Zeilenvektoren besteht. 1

2 Es werden zunächst folgende Rechenregel für eine Matrix definiert: Bei der Addition zweier Matrizen werden die entsprechenden Elemente addiert. Bei der Multiplikation mit einem Skalar wird jedes Element mit dem Skalar multipliziert. Bei der Multiplikation zweier Matrizen wird jeder Zeilenvektor skalar mit dem entsprechen Spaltenvektor multipliziert. Diese Multiplikation ist nicht vertauschbar (kommutativ). Beispiele zur Addition und Multiplikation mit einem Skalar: Beispiele zur Multiplikation zweier Matrizen: Eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Spalten und Zeilen (wie z.b. A) ist eine Quadratische Matrix. Bei der Multiplikation ist das neutrale Element die Einheitsmatrix : æ1 0 0 ö E = ç è ø Einer Quadratischen Matrix kann eine Maßzahl zugeordnet werden, die Determinante heißt. Die Berechnung einer der Determinante für die Matrix C führt zur Berechnung einer Zweier- Determinante und erfolgt nach folgender Regel: (LA12) Det(C) = c c c c = c c - c c Die Berechnung jeder Determinante kann mit Hilfe der folgenden Entwicklungsregel stets zur Berechnung einer Zweier-Determinante zurückgeführt werden: 2

3 (LA13) d d d d d d d d d Det(D) = d d d = d - d +d d 32 d33 d 32 d33 d 22 d d d d Spezielle, oft sehr nützliche Eigenschaften der Determinanten werden in den Übungen noch hinzugefügt. LA.1.2Der Gaußsche Algorithmus zur Lösung eines LGS Dieses Lösungsverfahren, das hier an Beispielen mit 3 und 4 Unbekannten erläutert wird, wird computerunterstützt auch für 1000 und mehr Unbekannte bzw. Gleichungen eingesetzt. Im Rahmen der nun folgenden Beispiele wird das Wesentliche zum Gaußschen Algorithmus gezeigt. Folgendes LGS x 1 2x 2 + 2x 3 = 0 3x 1 + 3x 2 2x 3 = 5 2x 1 + 4x 2 3x 3 = 4 kann mit Hilfe der Matrixnotation als Matrixgleichung dargestellt werden, und zwar: K X = F K ist die Koeffizientenmatrix, X ist die Spaltenmatrix der Unbekanten und F ist die Spaltenmatrix für das freie Glied. Wenn zumindest ein Element von F nicht Null ist, dann ist das LGS ein inhomogenes, ansonsten ein homogenes. Das hier als Beispiel angegebene LGS ist inhomogen. Aus K wird durch anfügen von F die erweiterte Matrix KF gebildet æ ö KF = ç è ø und in dieser durch die Addition eines geeigneten Vielfachen der zunächst darüber (danach der darunter) liegenden Zeile die K Matrix in eine Einheitsmatrix umgewandelt. Am Ende können in der F-Spalte die Lösungen des LGS abgelesen werden. 3

4 Diese LGS hat eine eindeutige Lösung, denn der Rang der Matrix Rang(K) = 3 und somit gleich der Anzahl der Unbekannten. Das LGS A X = F A, wobei A die Matrix aus (LA.2.1) und F A,die mit einer Null ergänzte Matrix F, sind, hat unendlich viele Lösungen, weil der Rang (A) = 3 ist, und somit eine der 4 Unbekannten unbestimmt bleibt, d.h. frei wählbar ist. 4

5 Ein homogenes LGS, wenn es Lösungen außer der Triviallösung hat, dann ist eine der Unbekannten unbestimmt, wie im vorangegangenen Beispiel. LA.1.3Die Cramer-Regel Wenn die Anzahl der Unbekannten eines LGS nicht all zu hoch ist und die Koeffizienten Zahlen mit einigen Dezimalstellen sind, dann eignet sich die Cramer Regel, die ein Lösungsverfahren mit Hilfe der Determinanten darstellt. Beispiel: 2,3 x x 2 = 1,45 4,2 x 1 11,4 x 2 = -2,4 Die Lösungen dieses LGS mit 2 Unbekannten sind durch die Cramer-Regel gegeben: Det(x 1) Det(x 2) x 1 = ; x 2 = Det(LGS) Det(LGS), wobei Det(LGS) die Determinante der Koeffizientenmatrix ist und in Det(x 1 ) bzw. Det(x 2 ) werden die Koeffizienten von x 1 bzw. x 2 durch das freie Glied ersetzt. 5

6 Das LGS hat nur dann eindeutige Lösungen, wenn Det(LGS) 0 ist. Die Formel und das Verfahren ist auch für Gleichungen mit mehr als zwei Unbekannte analog anwendbar. LA.2 Übungen: 1.1 Berechnen Sie mit Hilfe der Matrizen A und B, wobei æ-1 3 ö æ 2 2 ö A = B = è 2-4ø è-1 2ø folgende Matrizen: C = 3 A ; D = A + B ; E = A B ; F = B A. 1.2 Bestimmen Sie den Rang der Matrizen: æ1-1 1 ö æ1 0-1ö A = B = C = ç ç è ø è1 4 2 ø æ ö ç ç è ø 1.3 Berechnen Sie die Determinante Det(B), wobei B die Matrix von (1.1) ist, und Det( A) und Det(C) für A und C aus (1.2). 2.1 Lösen Sie mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus folgende LGS: a) x 1 2x 2 + 2x 3 = 3 b) x 2y 3z + 4u = -1 3 x 1 + 3x 2 4x3 = 3 2x + y + 3u = 0 2x 1 3x 2 +5x 3 = 7 3x + y + z = 2 3x +6y +9z 12u = Lösen Sie mit Hilfe der Cramer-Regel folgende LGS: a) 2x y 3z = 0 b) x + 3y kz = 2 3x 2y +z = 2 2x + y + 2z = 1 x +3y 4z = 3 kx 2y + 3z = 0 4. Ein elektrisches Netzwerk enthält drei Knoten (A,B,und C) und drei Stromzweige mit den Widerständen R 1 = 2,00 Ω, R 2 = 6,00 Ω und R 3 = 2,50 Ω in denen die Teilströme I 1, I 2 und I 3 fließen. In den Knoten A und B fließen die Ströme I A = 1,00 A und I B = 2,00A zu und I C fließt ab. Berechnen Sie die Teilströme und den abfließenden Strom I C. 6

7 Studienkurs LA.2 Lineare Gleichungssysteme Fachhochschule des Mittelstandes (FHM München) 5.0 Gegeben ist die Determinante: 1 a 1 a 0 a 1 a D = a 5.1 Zeigen Sie mit Hilfe geeigneter Umformungen, dass D = a(a-2). Für welche a hat D den Wert 24? 2 æ x x 1ö 6.0 Es sei A = ç und D = det(a) ç è ø 6.1 Zeigen Sie, dass für x = 2 die Determinante D = 0 ist. 6.2 Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung D = 0. Teilergebnis: D = 3(x-1)(x-2) 7.0 Der Funktionsterm P(x;y) = 2 2 x x y y x 0 y 7.1 Begründen Sie weshalb P(2;1) = 0 ist, und auch P(x;x) =0 für jeden beliebigen Wert von x. 7.2 Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung P(x;1) = 0. Teilergebnis: P(x;1) = (x-1)(x-2) 8.1 Bestimmen Sie die Koeffizienten A, B und C so, dass für alle x Î R es gilt: P(x) = Q(x), wobei P(x) = x und Q(x)= Ax(x 1) + B(x 1) + C(x 2 + 2) 8.2 In welcher Beziehung stehen P(x) und Q(x) zueinander? 9.1 Bestimmen und deuten Sie die Lösung des folgenden LGS: x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 10 x 2 3x 3 4x 4 = 5 20 Zusatz 1

8 Studienkurs LA.2 Lineare Gleichungssysteme Fachhochschule des Mittelstandes (FHM München) 21 Zusatz 1