8. Dynamik der Drehbewegungen

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1 Dynaik de Dehbewegungen 8. Winkelgechwindigkeit und bechleunigung Kineatik: Whl. von Kap. 4.3: Winkelgechwindigkeit Tangentialgechwindigkeit d e z v Fü 0-Punkt i Keiittelpunkt: v R v R R Winkelbechleunigung d d e au Betagändeung Tangentialbechleunigung au de Richtungändeung Radialbechleunigung a T dv d cont. a R Sondefall: 0-Punkt in Keiittelpunkt: v = Zentipetalbechleunigung R a T d R R a R v R 8-

2 Dehoent und Tägheitoent Dynaik: Uache fü Dehbewegung? Beipiel: Wikunglinie = Velängeung de Kaftache fü F F F 0 keine Tanlation abe Rotation keine Tanlation Schwepunkt bewegt ich nicht lateal d.h. Becheibung duch Käfte alleine genügt nicht! 8.. Maepunkt l = Hebela Wikunglinie l R in Dehoent M = Kaft Hebela M F l M F R in vgl. Vektopodukt ( Vektoen F und R it eingechloene Winkel ) 8-

3 M R F Rechte Hand Regel M R F in it F T R F T d.h. adiale Anteil de Kaft hat keine Rotationwikung, nu de tangentiale. Wikung: Winkelbechleunigung Tanlation it = cont: F a Fü Keibewegung: F T a R R (.o.) 0-Punkt i Keiitte T F T R R M R Vektoiell: M R fü Maepunkt it vgl. R Tägheitoent [ kg] (kala) F a fü Tanlation täge Mae 8.. Veteilte Mae Dehoent: M R F Tägheitoent: zelegen in viele einzelne kleine Maepunkte d und d d Suation übe alle Maepunkte d d elativ zu Dehpunkt M it M 8-3

4 Vegleich Deh- und lineae Bewegung Dehbewegung Lineae Bewegung M F a Tägheit Tägheitoent ˆ Maentägheit Widetand gegen Widetand gegen eine Dehbewegung lineae Bewegung ˆ Dehoent M ˆ Kaft F Winkelbechl. ˆ lineae Bechleunigung a Beipiel : Tägheitoent fü 4 Maepunkte (keine Audehnung). ge d 4 i i i 4 i i ge l l l 3 l 4 Veeinfachung: fü 3 4 Egebni: ge 4 l je göße l uo eh wideetzt e ich de Dehung je göße

5 Ändeung de Dehache: Egebni: 0 0 l l 8l ge 4 i i Maepunkte, d.h. keine Audehnung 3 4 hängt ab von Dehache! vgl. lineae Bewegung: ie gleich teigt wenn Dehache Maenittelpunkt = Schwepunkt Beipiel : Keiing (keine adiale Audehnung) Geate Mae i Keiing (eh dünn) Ring d R d R ge entpicht Maepunkt i Abtand R vo Dehpunkt Beipiel 3: Keicheibe d it hoogen veteilt auf da d ge ge d da d A R Dichte = cont. Scheibe R 0 R ge d R ge R 0 3 d R ge 4 ge R R 4 0 Ring 8-5

6 Veuch: Schiefe Ebene (Video # 3) Ein Alu-Vollzylinde und ein Meing Hohlzylinde ollen eine chiefe Ebene heab. Nach de Bechleunigung wid in de Ebene die Endgechwindigkeit v S duch eine Lichtchanke geeen. =,4 kg fü beide gleich Außenduchee: D a = 0,079 nnenduchee (fü Hohlzyl.) D i = 0,064 Wa ewaten wi? G N ezeugt die Reibungkaft = μg N. Fü μ = 0 (keine Reibung) keine Dehung nu Rutchen. M Hebela G p identich fü beide Zylinde M M Voll Hohl v v Voll Hohl Voll Hohl Geeene Laufzeit duch die Lichtchanke (Tanlationgechwindigkeit v S ): t Voll = 0,057 v Voll 0,079,39 0,057 t Hohl = 0,063 0,079 v Hohl,5 q.e.d. 0,063 Eine weitee Beechnung de Tägheitoente au de Meßegebni it an de Stelle nicht öglich, da e ich hie lediglich u die Tanlationgechwindigkeit handelt und nicht u die Rotationgechwindigkeit. 8-6

7 Weitee Beipiele: 8..3 Steineche Satz Dehung u Maenittelpunkt (Schwepunkt) und Dehung u andee dazu paallele Ache ge h Tägheitoent u Schwepunkt S 8-7

8 Beipiel von oben: 3 4 4l u den Schwepunkt (.o.) it ge = 4 und h = l 4l 4 l 8l.o Tägheitoente flache Köpe fü Audehnung in z-richtung << Audehnung in x-, y-richtung (eh dünn) z d ( x y ) d x d y d it y x d ; und y d x z x y 8-8

9 Rotationenegie und -leitung a) Abeit: dw F T d R d d dw FT R d dw M d vgl. lineae Bewegung: W F d b) Leitung: dw d P M M fü M = cont. vgl. lineae Bewegung: P F v c) Kinetiche Enegie (veteilte Mae, ω = cont.): jede Maepunkt d hat die kin. Enegie a Ende de Bechleunigungphae (ω = cont.): dw kin d v W kin dw kin d d v d W kin vgl. linea: W kin v ˆ ˆ v 8-9

10 Auwetung Veuch: Al-Vollzylinde Me-Hohlzylinde v Tan v t D t 0,079 0,057,39 v t D 0,079 0,063,5 W Tan W T v,4 kg,39 W T,4 kg,5 W T,9 J W T 0,97 J 4 9,7 0 a kg (iehe 8..) v a,39 0,039 35,6 v 3 a,6 0 kg i a,5 0,039 3, W Rot W R W R 0,6 J 9,7 0 4 kg 35,6 W R W R 0,8 J,6 0 3 kg 3, W kin, ge. W kin W T W R,9J 0,6J,8J W kin 0,97J 0,8J,79J Die in beiden Zylinden upünglich gepeichete Enegie it die potentielle Enegie. W pot gh,4 kg 9,8 0,5,8J g Egebni: Die kinetichen Enegien beide Zylinde ind gleich. E it außede eichtlich, daß Wpot W kin. Die Uache dafü it die Enegie, die duch Reibung veloen geht ( 0,0 J) W pot W kin W Fü die kinetiche Enegie eine ollenden Köpe gilt (ohne Gleiten): W kin vs S it v S Gechwindigkeit de Schwepunkte Tägheitoent u den Schwepunkt S 8-0

11 Dehipul L Fage: Wau fällt ein tehende Radfahe u, ein fahende nicht? lineae Bewegung: p v au Analogie L dp dl F M 8.4. Keibewegung Keibewegung, d.h. Otvekto R auf Gechwindigkeit v a) Maepunkt: Definition Dehipul L p R analog M F R L p R v R ( R ) R R L L, it Skala vgl. p v L kg kg kg Einheit: Enegie Zeit = Wikung J b) Augedehnte Mae: Maepunkt d: dl d d Suation übe alle d: L d d fü alle d it = cont. L Die Geoetie und Maeveteilung teckt in 8-

12 Beliebige Bewegung Otvekto nicht enkecht auf v, nicht cont. L v v in adiale Anteil v liefet keinen Beitag zu Dehipul vgl. Vektopodukt L ( v) v p allgeeine Fo. Keine Keibahn, totzde Dehipul (z.b. Ellipe)! Wichtig it de Bezugpunkt Goße Dehipul = goße Wikung. Vgl. lineae pul: Goße pul goße Wikung. Beipiel: Zweite Kepleche Geetz (Kap. 8.6) Dehipulehaltung Dehipul L p dl d dp dp p Poduktegel Dehoent = 0 da d v p dp M F dl M vgl. Tanlation 8- dp F

13 kein äußee Dehoent keine äußeen Käfte dl dp M 0 F 0 L cont p cont Dehipulehaltung pulehaltung Wenn da eultieende Dehoent, da von außen auf ein Syte wikt gleich Null it, dann it de Geatdehipul de Syte kontant. n Zentalkaftfelde it de Dehipul bezogen auf da Kaftzentu zeitlich kontant, da F ode M = 0 (fü = 0) Beipiel: nelatiche Dehtoß nelatiche Stoß W kin bleibt nicht ehalten vohe nachhe vohe nachhe Reibung Reibung + Maenvedängung 0 v 0 L a ( ) e p a v v e e v e v Veuch: Dehtuhl (Video #4 Teil bi 0:8) Alänge und Hantel (Punktae). Mae Köpe + A venachläigba gg. Hantel 8-3

14 L Punktaen Anziehen de Ae L Ändeung de Betage von L Dehipulehaltung: L L da keine äußeen Dehoente fü (i Quadat doppelte 4-fache ) Veuch: Dehtuhl: it Richtungändeung von L (Video #4 Teil ) dl M auch bei Richtungändeung! fü d L cont M ändet ich 8-4

15 Haupttägheitachen v v dl, M L Mae in x-y Ebene Dehpunkt i.d. Beweg.-Ebene L v L teht enkecht auf und v (Keuzpodukt) L L L it kontant (Betag und Richtung): dl 0 M Dehache = Syetieode Haupttägheitache. auch feie Achen genannt hie gilt: L L L liegt in de Dehache. U diee otiet da Syte, und uß nicht fixiet ein Mae nicht in x-y Ebene nicht i.d. Beweg.-Ebene L v L teht enkecht auf und v (Keuzpodukt) L L ändet eine Richtung it Ulauf dl M Richtung dl = Richtung M dl uß duch die fet fixiete Dehache aufgenoen weden. Unwucht yetiche Maen nicht i.d. Beweg.-Ebene L v Vektoaddition von L L fü und L ge L fü = L it kontant (Betag und Richtung): dl 0 M Dehache = Syetieode Haupttägheitache. auch feie Achen genannt hie gilt: L L L liegt in de Dehache. U diee otiet da Syte, und uß nicht fixiet ein Beipiel: Rad it Lage in O Beipiel: Rad it Unwucht, Lage in O Beipiel: Rad nach Auwuchten 8-5

16 Beipiel fü Unwucht: Autoache it Dehpunkt = Lage 8.5 Keielbewegung Keiel: Jede feie (Dikucheibe) ode nu in eine Punkt (Kindekeiel) fetgehaltene otieende Köpe. Schäge Lage ohne Dehung Dehoent: g M ext fällt u. Senkechte Lage it Dehung u die Figuenache: S liegt in de Figuenache Dehache it Hauptägheitache: L L M ext 0 : Dehipulehaltung 3. Schäge Lage it Dehung it extene M ext keine Dehipulehaltung: dl M ext. Betag: L wid nicht geändet: L, da cont und L (iehe.) g. Richtung: L wid geändet, wobei dl M ext Ablenkung nach hinten, d.h. Ändeung de Dehipule in Richtung de extenen Dehoente. 8-6

17 Vetändni nu übe den vektoiellen Chaakte de Dehoente. Dauficht Länge bleibt ehalten! v Dehgechw. de Figuenache Veuch: Kleine Keiel (Video #5 Teil bi 0:8) Ekläung: L Haupttägheitache = Dehache L dl M D ( g) M dl dl Richtung wie M Göße von dl? dl L d (iehe d d ) dl M g D d fü D g L L d g D p Päzeiongechwindigkeit p Hohe Rotation kleine Päzeion Goße Tägheitoent kleine Päzeion d.h. tabile Lage 8-7

18 Veuch: goße Luftkienkeiel (Video #5 Teil ) Autaiet it Schwepunkt i Dehpunkt. Auüben von Dehoent it Finge Wäe e ein Effekt de Reibung Finge - Stab wüde die Richtungändeung a Fingeende toppen und nicht u den Finge laufen Weitee Beipiele: Fahad-, Motoadfahe (Feihandfahen u die Kuve). Schwepunktvelageung nach echt. Dehoent M ~ dl 3. dl füht zu Dehung de - Ache 4. Kuvenfaht Hohe Gechwindigkeit ( eh goß) d klein L Ache = Ache tabil keine Ablenkung Dikuwefen Pfeil (Feden), Zug bei Geweh 8-8 Kontante Dehache wg. L cont. Die Lage bleibt tabil, daduch zuätzliche Auftieb. Wenn extene M (z.b. Seitenwind) wid p (Ablenkung) klein, wenn, goß (Stabiliieung).o.

19 Keielkopa: ) Schnell dehende Rad: L LE ) Ede deht ich weite dl M 3) Ache de Rade deht ich olange, bi L. Die Dehache de Rade zeigt jetzt L E genau zu geogaphichen Nodpol paallel zu Edache. Mit eine weiteen Dehung de Ede bleibt dl Keplechen Geetze ca. 300 a.c. Aitotele und 40 p.c. Ptoleäu: Geozentiche Weltbild. Übe 400 Jahe gültig. 543 Kopeniku: Heliozentiche Weltbild veöffentlicht in de evolutionibu gewidet Papt Paul 8-9

20 Vebot duch die Kiche De Mench und dait die Ede tehen i Mittelpunkt. - De bekanntete Anhänge wa Galileo Galilei. nquiitionpozeß Wideuf Et 993 wuden die Vowüfe gegen G.G. offiziell von de Kiche zuückgenoen - Ende 6. Jh. Tycho Bahe genaue Beobachtungen - Auwetung von Keple (57-630): 3 epiiche Geetze: noch keine Ahnung von Gavitation, eine Beobachtung. Kineatik, d.h. Becheibung de Bewegung, keine Dynaik = Uache de Bewegung noch unbekannt (Newton 687).. Kepleche Geetz Alle Planeten bewegen ich auf elliptichen Bahnen it de Sonne in eine Bennpunkt a it die goße Halbache ode ittlee Entfenung Planet Sonne. Fü Ede: a = 49,6 0 6 k = AE (atonoiche Einheit). Kepleche Geetz Die Vebindunglinie Sonne-Planet übeteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen 8-0

21 Bewei: Behauptung: da cont Fläche Paalleloga = da d ( da ( v ) v ) p it L p da L da L Syte Sonne-Planet: kein äußee Dehoent L cont it L cont da cont fü gleiche Zeitintevalle Dehipulehaltung 3. Kepleche Geetz T a T (Ulaufdaue u die Sonne) (goßen Halbhache a) 3 3 Bewei: Näheung: Keibahn (Radiu a) Zentipetalbechleunigung duch Gavitationkaft: v a Z a v P S FZ P P Planet; a a S v a 8- S Sonne; a Halbache

22 ge.: Zuaenhang v = f(t) weite gilt: a v Ulaufzeit T T 4 a S T a T 4 3 a q.e.d. S Planetendaten: goße Halbache Ulaufzeiten Maen a Mill.k a AE T d / y Mae kg / Ede Meku d Venu d Ede d Ma d Jupite y Satun y Uanu y Neptun y (Pluto) y Zuaenfaung Rotation L p v a R v M R F a T 8-

23 Vegleich Tanlation - Rotation lineae Bewegung Dehbewegung Vechiebung Gechwindigkeit Bechleunigung x Dehwinkel dx v x Winkelgechwindigkeit d dv d ² x a v x Winkelbechleunigung d d ² ² ² Gleichungen fü v v0 at den Fall kont. Bechleunigung x x0 v0t at² Gleichungen fü den 0 at Fall kontante Winkelbechleunigung 0 0t t² Mae Tägheitoent pul p v Dehipul L Kaft F Dehoent M kinetiche Enegie Leitung. Newtonche Axio Wkin v ² kinetiche Enegie Wkin P Fv Leitung P M F dp a. Newtonche Axio M ² dl 8-3