Visualisierung von Graphen

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1 1 Visualisierung von Graphen Teile-und-Herrsche-Algorithmen: Bäume und serienparallele Graphen 3. Vorlesung Sommersemester 2013 (basierend auf Folien von Martin Nöllenburg und Robert Görke, KIT)

2 2 Ankündigung kommende Termine Mo, 6. Mai: Übung Do, 9. Mai: Vorlesung Mo, 13. Mai: Übung Do, 16. Mai: Vorlesung Mo, 20. Mai: Übung Do, 23. Mai: Vorlesung Mo, 27. Mai: Übung Do, 30. Mai: Vorlesung Christi Himmelfahrt Stiftungsfest Pfingstmontag Übung Vorlesung Fronleichnam Mo, 3. Juni: Übung

3 3 Anwendbarkeit von Teile & Herrsche Gut bei induktiv oder rekursiv definierten Familien von Graphen Binärbaum mit Wurzel: 1. zeichne linken Teilbaum 2. zeichne rechten Teilbaum 3. füge zusammen + zeichne Wurzel Vokabular tiefe(v): Abstand zur Wurzel Durchlaufreihenfolgen preorder inorder postorder

4 4 Übersicht balancierte Zeichnungen von Binärbäumen radiale Zeichnungen von Bäumen Platzbedarf O(nh) O(nh) kompakte Zeichnungen von Bäumen O(n log n) aufwärtspl. Zeichnungen v. serienparallelen Graphen exp.

5 5-7 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 81) Trivial: Falls T = {v}, zeichne v (z.b. als kleine Kreisscheibe). Teile: Wende Alg. rekursiv auf li. und re. Teilbaum an. Herrsche: Schiebe Teilzeichnungen bis auf Abstand 2 zusammen. Platziere Wurzel r um 1 über und mittig zw. Kinder. oder 3! Gitterzeichnung? 2

6 5-9 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 81) Implementierung in 2 Phasen: 1. postorder (bottom-up): Konturen und x-offsets zum Vorgänger einsammeln 2 2. preorder (top-down): absolute Koordinaten ausrechnen Kontur: verkettete Liste von Knoten (-Koordinaten)

7 6-3 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 81) Phase 1: 1. Bearbeite T l (v) und T r (v) 2. Laufe parallel re. Kontur v. T l (v) und li. Kontur v. T r (v) ab 3. Bestimme dabei d v = horiz. Minimalabstand von v l und v r 4. x-offset(v l ) = d v /2, x-offset(v r ) = d v /2 5. Baue linke Kontur von T v aus: v v, linker Kontur von T l (v), evtl. überhängendem Teilstück von linker Kontur von T r (v) v l v r 6. Rechte Kontur analog

8 6-9 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 81) Phase 1: 1. Bearbeite T l (v) und T r (v) 2. Laufe parallel re. Kontur v. T l (v) und li. Kontur v. T r (v) ab 3. Bestimme dabei d v = horiz. Minimalabstand von v l und v r 4. x-offset(v l ) = d v /2, x-offset(v r ) = d v /2 5. Baue linke Kontur von T v aus: v v, linker Kontur von T l (v), evtl. überhängendem Teilstück von linker Kontur von T r (v) v l v r 6. Rechte Kontur analog Laufzeit? v (1 + min{h l(v), h r (v)}) = n + v min{... } n + n

9 7 Algorithmus von Reingold und Tilford ( 81) Phase 2: Setze y-koordinate y(v) = tiefe(v) für jeden Knoten v. Setze x(w) := 0 für Wurzel w, dann für v w: x(v l ) := x(v) + x-offset(x(v l )) und x(v r ) := x(v) + x-offset(x(v r )). Laufzeit? O(n)

10 8-4 Zusammenfassung geschichtete Zeichnung Satz. [Reingold & Tilford 81] Wir können für einen Binärbaum mit n Knoten in O(n) Zeit eine Zeichnung Γ berechnen, so dass Γ ist geschichtet, d.h. y tiefe, Γ ist planar, geradlinig und streng abwärts, Γ erhält die Einbettung (d.h. re. Kinder rechts) horiz. & vert. Abstände 1 Flächenverbrauch O(n 2 ) Eltern von 2 Kindern mittig Lässt sich leicht auf bel. Bäume verallgemeinern!

11 8-8 Zusammenfassung geschichtete Zeichnung Satz. [Reingold & Tilford 81] Wir können für einen Binärbaum mit n Knoten in O(n) Zeit eine Zeichnung Γ berechnen, so dass Γ ist geschichtet, d.h. y tiefe, Γ ist planar, geradlinig und streng abwärts, Γ erhält die Einbettung (d.h. re. Kinder rechts) horiz. & vert. Abstände 1 Flächenverbrauch O(n 2 ) Eltern von 2 Kindern mittig Dito plus minimale Breite: Dito plus minimale Breite auf dem Gitter: per LP! NP-schwer! [Supowit & Reingold 83]

12 9 Beispiel für Breitenminimierung Lösung des Algorithmus: Optimale Lösung:

13 10 2. Radiale Zeichnungen von Bäumen balancierte Zeichnungen von Binärbäumen radiale Zeichnungen von Bäumen Platzbedarf O(nh) O(nh) kompakte Zeichnungen von Bäumen O(n log n) aufwärtspl. Zeichnungen v. serienparallelen Graphen exp.

14 11 Beispiel: Radiale Baumlayouts

15 12 Ein Algorithmus für Radiallayout?

16 13 Beschränkung auf kleinere Sektoren α v α min τ ρ i ρ i+1 v α max cos τ = ρ i ρ i+1 { α min = α v arccos ρ i ρ i+1 α max = α v + arccos ρ i ρ i+1

17 14 Pseudocode für radiales Baumlayout RadialesBaumlayout(Baum T, Wurzel r T, Radien ρ 1 < < ρ k ) begin postorder(r) preorder(r, 0, 0, 2π) return (d v, α v ) v V (T ) {Knotenpos./Polarkoord.} postorder(vertex v) n v 1 foreach Kind w von v do postorder(w) n v n v + n w Größe des Teilbaums T (v) preorder(vertex v, t, α min, α max ) d v ρ t { Ausgabe } α v (α min + α max )/2 if t > 0 then α min max{α min, α v arccos ρ t ρ t+1 } α max min{α max, α v +arccos ρ t ρ t+1 } left α min foreach Kind w von v do right left + n w n v 1 (α max α min ) preorder(w, t + 1, left, right) left right Laufzeit? O(n). Korrektheit?

18 15 Übersicht balancierte Zeichnungen von Binärbäumen radiale Zeichnungen von Bäumen Platzbedarf O(nh) O(nh) kompakte Zeichnungen von Bäumen O(n log n) aufwärtspl. Zeichnungen v. serienparallelen Graphen exp.

19 16 hv-zeichnungen Definition. Eine hv-zeichnung eines Binärbaums ist eine geradlinige Zeichnung, so dass für jeden Knoten v gilt: jedes Kind von v liegt entweder genau rechts oder genau unter v, die kleinsten achsenparallelen Rechtecke, die die Teilbäume der Kinder von v umschließen, sind disjunkt. horizontale Kombination vertikale Kombination

20 17 Algorithmus RightHeavyHVTreeDraw Konstruiere rekursiv Zeichnungen des linken und rechten Teilbaums der Wurzel. Platziere den größeren Teilbaum per horizontaler Kombination rechts neben den kleineren. Größe eines Teilbaums := Anzahl der Knoten im Teilbaum mindestens 2 mindestens 2 mindestens 2 Beob. Zeichnung hat Breite n, Höhe log 2 n.

21 18 Übersicht balancierte Zeichnungen von Binärbäumen radiale Zeichnungen von Bäumen Platzbedarf O(nh) O(nh) kompakte Zeichnungen von Bäumen O(n log n) aufwärtspl. Zeichnungen v. serienparallelen Graphen exp.

22 19 Serienparallele Graphen einfacher serienparalleler Graph t Induktion: Verkette 2 serienparallele Graphen G 1, G 2... t 1 s t 2 G 1 G 2 s 1 s seriell oder parallel. t 1 = s 2 t 2 G 1 t 1 = t 2 s 1 G 2 G 1 s 1 = s 2 G 2

23 20 Dekompositionsbaum für SP-Graphen P S P S S Q P S Q Q Q Q S S Q Verallgemeinerung: SPQR-Bäume Q Q Q Q

24 21 SP-Graphen in Anwendungen Ablaufdiagramme PERT-Diagramme (Program Evaluation and Review Technique) Außerdem: Linearzeitalgorithmen für sonst NP-vollständige Probleme (z.b. Maximum Independent Set)

25 22 Flächenverbrauch Satz. [Bertolazzi et al. 92] Es gibt eine Familie (G n ) n N von eingebetteten serienparallelen Graphen, so dass G n 2n Knoten besitzt und jede aufwärtsplanare Zeichnung von G t n eine Fläche von Ω(4 n ) benötigt. n+1 Beweis: t n+1 2 t 0 t n tn G n G n s n 1 G 0 s 0 G n+1 s n s n+1 s n+1 1 Π sn a(g n+1 ) a(π) + a( 1 ) + a( 2 ) 2 a(π) 4 a(g n )

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