SS 2017 Torsten Schreiber

Transkript

1 SS Torsten Schreber

2 e den Ebenen unterscheden wr de und de prmeterfree Drstellung. Wenn wr ene Ebenenglechung durch dre Punkte bestmmen wollen, so müssen de zugehörgen Vektoren sen, d es sonst nur ene Gerde wäre. Für de Prmeterform müssen wr usgehend von enem der gegebenen Punkte de beden berechnen. Wenn wr de prmeterfree Drstellung erzeugen möchten, müssen wr m ersten Schrtt den durch ds äußere Produkt der beden Rchtungsvektoren berechnen. Deser Stellungsvektor entsprcht grfsch gesehen enem uf der Ebene. Um den letzten Prmeter für de prmeterfree Drstellung berechnen zu können, setzen wr den der Ebene n de Glechung en und berechnen d. e der gegensetgen Lge zweer Ebenen m Eukldschen Vektorrum gbt es dre Möglchketen: Zur Prüfung blden wr zuerst de beden und testen uch her, ob dese beden Vektoren lner bhängg snd. Ist des der Fll, so wählen wr enen Punkt der ersten Ebene und setzen desen n de zwete Ebene en. Stmmt de entstehende ussge, so snd bede Ebenen, nderenflls verlufen Se prllel. Sollten de beden Stellungsvektoren sen, so muss ene Schnttgerde vorhnden sen. Dmt wr de zugehörge Glechung erstellen können, blden wr ds der beden Stellungsvektoren und erhlten ddurch den der Schnttgerden. D der Strtvektor uf beden Ebenen legen muss erhlten wr en Glechungssystem, ds us Unbeknnten und Glechungen besteht. lso dürfen wr ene Vrble fre wählen und können nschleßend de beden fehlenden Koordnten berechnen. Für de bstndberechnung gbt es egentlch nur dre verschedene Möglchketen: Gerde-Gerde Ds legt enfch drn, dss wr be zwe Gerden/ Ebenen mmer enen Punkt uf der Gerden/ Ebenen bestmmen und ddurch weder n der Formel Punkt-Gerde/Ebene snd. SS Torsten Schreber 9

3 Themen, de Se nch deser Vernstltung kennen sollten: We werden Mtrzen defnert Egenschften/Vortele? Ws versteht mn unter dem Formt ener Mtr. We werden Mtrzen ddert? We multplzert mn ene Mtr mt enem Sklr? We können Mtrzen mtennder multplzert werden? Ws bedeutet ene Determnnte ener Mtr? We knn ene Determnnte berechnet werden? ufgben und Übungen zu den bennnten Themen. SS Torsten Schreber 9

4 . Punkt zu Gerde: g : ; ;; ;; Q ;;. Punkt zu Ebene: T T T e :,, ;,, ;,, Q ; ;. Gerde zu Gerde : g r : α. Gerde zu Ebene: g : r α g r : β e : y z SS Torsten Schreber 9

5 .. SS Torsten Schreber 9

6 .. SS Torsten Schreber 9

7 En Zhlensystem, ds us m Zelen-Vektoren und us n Splten-Vektoren besteht wrd ls Mtr m Formt m,n bezechnet. Hndelt es sch um ene qudrtsche Mtr Zele Splte sprcht mn von enem n-dmensonlen Vektorsystem Eukldscher Vektorrum -Mtr. De zugehörge Poston ener jeden Komponenten wrd m Inde drgestellt Zele Splte, wobe de Huptdgonle stets enen Psch ls Poston bestzt.... n... n m, n m-zelen m m... mn n-splten Ene Mtr m Formt m, wrd ls Spltenvektor, ene Mtr n der Drstellungsform,n ls Zelenvektor bezechnet. SS Torsten Schreber 9

8 Trnsponerte Drstellung: Unter ener trnsponerten Drstellung ener Mtr versteht mn ds um 9 gedrehte System, d.h. de Zelen werden zu den Splten und umgekehrt. Glechhet: Mn sprcht von zwe dentschen Mtrzen, sofern folgende edngungen erfüllt snd: Ds Formt Zelen/Splten stmmt überen Jeder Wert usprägung n jeder Poston st glech T T,, SS 9 Torsten Schreber

9 ddton/ Subtrkton: De ddton/ Subtrkton zweer Mtrzen wrd nlog zu der erechnung von Summe/ Dfferenz von Vektoren durchgeführt. Es st druf zu chten, dss ds Formt der betelgten Mtrzen glech st, d.h. bede Systeme müssen de gleche nzhl n Zelen bzw. Splten bestzen. nschleßend erfolgt de komponentenwese ddton/ Subtrkton der Werte je Poston. Egenschften: ssoztv: C C kommuttv: 9 SS 9 Torsten Schreber

10 Sklre Multplkton: Ds Produkt ener Mtr mt enem Sklr wrd mttels komponentenweser Multplkton jedes enzelnen Wertes gebldet und stellt somt ene Verlängerung/ Verkürzung enes Vektorsystems dr. Ist jede Komponente durch ene bestmmte Zhl telbr knn mttels usklmmern ene enfchere Mtr erzeugt werden. Egenschften: ssoztv: dstrbutv: 9 9 α β β α β α β α β α SS 9 Torsten Schreber

11 . erechnen Se ds Ergebns der folgenden Mtrzensysteme.. We müssen de Vrblen gewählt werden, dmt de beden Mtrzen glech snd? 9 9 b SS 9 Torsten Schreber, 9 c

12 Mtrzen-Multplkton: Ds Produkt von zwe Mtrzen wrd mttels nnerem Produkt von jedem Zelenvektor mt jedem Spltenvektor gebldet. Ds jewelge Ergebns wrd n der zugehörgen Poston Zele, Splte engetrgen. Ds Produkt knn nur dnn gebldet werden, wenn de nneren Formtwerte überenstmmen. Dese werden bem Formt der Ergebnsmtr gestrchen, so dss nur de äußeren Formtwerte übrg bleben Kontrollmöglchket. Egenschften: ssoztv: NICHT kommuttv: dstrbutv: C C p n C q m q p n m,,, C C C C α α α SS 99 Torsten Schreber

13 espel zu Mtrzen-Multplkton:,,,,, C De nneren Formtwerte stmmen überen. Zelenvektor Spltenvektor,,,, Inneres Produkt: SS Torsten Schreber

14 . erechnen Se ds Ergebns der folgenden Mtrzensysteme. b c SS Torsten Schreber

15 Ene Determnnte st ene Funkton, de ener qudrtschen Mtr endeutg enen Wert D R bzw. D C zuordnet. Es hndelt sch somt um ene bbldung von n² Elementen uf ene konstnte Zhl. De nzhl der Zelen- bzw. Spltenvektoren nnerhlb der Determnnte heßt n-te Ordnung. Ähnlch we bem etrg ener kompleen Zhl oder bem nneren Produkt zweer Vektoren stellt de Determnnte ener Mtr ene Kennzhl dr, de wetere Rückschlüsse zulässt. Regel von Srrus. Ordnung: det espel: det SS Torsten Schreber

16 Regel von Srrus. Ordnung: espel: det det det SS Torsten Schreber

17 estmmen Se de Determnnten der folgenden Mtrzen: det det b det c SS Torsten Schreber