Algorithmen und Datenstrukturen

Transkript

1 Algorithmen und Datenstrukturen

2 Binäre Bäume Zum Speichern und Suchen von Daten werden häufig Baumstrukturen verwendet Abspeichern von n Datenobjekten in einer Baumstruktur Ablegen von Daten ist in O(log(n)) möglich Auffinden von Daten ist ebenfalls in O(log(n)) möglich Nachteil: die entstehende Struktur ist von der Reihenfolge der Eingangsdaten abhängig ggf. ist eine Reorgansisation der Baumstruktur notwendig

3 Bäume (1/2) Wir betrachten hier speziell Wurzelbäume, d.h. zykelfreie Graphen mit einem ausgezeichneten Knoten, der Wurzel. w k k b k k w: Wurzel k: Knoten b: Blatt b b b

4 Bäume (2/2) Wir werden hier binäre Bäume betrachten. D.h. Jeder Knoten hat höchstens zwei Nachfolger Die Tiefe eines Baumes ist der längste vorhandene Weg von der Wurzel zu einem Blatt Jeder binäre Baum der Tiefe n hat höchstens (2n -1) Knoten

5 Fibonacci Bäume Ein Baum heißt Fibonacci Baum, genau dann, wenn Der linke Ast (Sohn) der Wurzel ist ein Fibonacci Baum der Höhe h-1 Der rechte Ast (Sohn) der Wurzel ist eine Fibonacci Baum der Höhe h-2 Der leere Baum ist ein Fibonacci Baum der Höhe 0 Ein Baum, der aus nur einem Knoten (der Wurzel) besteht ist ein Fibonacci Baum der Höhe 1 5

6 Beispiel (1/2) Einfügen ganzer Zahlen in eine Baumstruktur mit folgender Regel kleinere Werte im linken Teilbaum abspeichern größere Werte im rechten Teilbaum abspeichern Eingegeben werden die Zahlenfolgen 8,4,9,2,3,6,7,1,5 1,2,3,4,5,6,7,8,9 6

7 Beispiel (2/2)

8 Suchbäume Wie das Beispiel zeigt können Suchbäume zu Listen entarten Lösungsansätze: Strukturanforderung an Suchbäume Bei Verletzung dieser Anforderungen ist eine Reorganisation des Baums notwendig Die Anforderung, daß in jedem Knoten der linke und rechte Teilbaum gleich tief sind ist zu streng, da zu hoher Reorganisationsaufwand, bzw. nicht erfüllbar Daher die Forderung: Tiefendifferenz höchstens 1

9 AVL Bäume Ein binärer Suchbaum heißt AVL Baum, wenn für jeden Knoten v im Baum gilt, daß die Differenz der Höhe des rechten Teilbaums und der des linken Teilbaums höchstens 1 beträgt. Es wird also gefordert, daß balance(v) = heigth(v.left) - heigth(v.right) {-1, 0, 1} gilt. Derartige Bedingungen nennt man auch Strukturinvariante AVL : Adelson-Velski und Landis, die Namen der Erfinder dieser Struktur

10 Beispiel AVL Bäume der Höhe 1 und 2 mit maximaler Blattanzahl w w b b k k b b b b

11 Anzahl der Blätter in AVL Bäumen Sei Fi die i-te Fibonacci Zahl, d.h es ist Fi+2 = Fi + Fi+1 mit F0 = 0 und F1 = 1 So hat ein AVL Baum mit Höhe h mindestens Fh+2 Blätter. Es ist

12 Beispiele AVL Bäume AVL Baum AVL Baum VL Baum kein AVL Baum 3

13 Beispiel mit Restrukturierung (1/2) Einfügeoperation kein AVL Baum einfügen AVL Baum Reorganisation AVL Baum

14 Beispiel mit Restrukturierung (1/2) Löschoperation AVL Baum 8 kein AVL Baum 8 AVL Baum löschen Reorganisation

15 Rotationen Zur Restrukturierung von Bäumen, die der Höhenbedingung nicht mehr genügen werden sogenannte Rotationen durchgeführt. Zielsetzung: Herstellung der Strukturbedingung Aufwand zur Restrukturierung sollte möglichst gering sein

16 Rotationen x y A h-1 B h-1 h C Datenelemente in A haben einen kleineren Schlüsselwert als x Alle Datenelemente in B haben einen kleineren Schlüsselwert als y Alle Datenelemente in C haben einen größeren Schlüsselwert als y

17 Rotationen x y y x A h-1 B C A B C h-1 h h-1 h-1 h

18 Warum Rotation? Was rotiert? = Zx x Zeiger rotieren! ZA Zy y Zx ZC y ZB ZC x A ZA ZB h-1 B C A B C h-1 h h-1 h-1 h

19 Strukturverletzung innerer Teilbäume x y z x z A y C A B1 B2 C B1 B2

20 Beispiel: Löschen in Bäumen

21 Aufwand der Reorganisation Beim Einfügen kann eine Rotation (um einen oder zwei Knoten) erforderlich sein. Beim Löschen kann jeder Knoten entlang des Suchpfades erforderlich sein Empirische Ergebnisse. Notwendigkeit der Rotation bei jedem zweiten Einfügen bei jedem fünften Löschen Löschen und Einfügen ist bei AVL-Bäumen im Mittel gleichaufwendig

22 Traversieren von Bäumen Es gibt unterschiedliche Verfahren, die Knoten eines Baumes (als Weg im Graphen) zu besuchen. Bei binären Bäumen unterscheidet man Preorder Wurzel, linker Teilbaum, rechter Teilbaum Inorder linker Teilbaum, Wurzel, rechter Teilbaum Postorder linker Teilbaum, rechter Teilbaum, Wurzel

23 Beispiel Inorder Vorgehensweise Traversiere linken Teilbaum (in Inorder) Wurzel Traversiere rechten Teilbaum (in Inorder) Bei der Inorder-Traversierung werden die Inhalte in sortierter Reihenfolge ausgegeben, falls es sich um einen binären Suchbaum handelt Traversierung in Inorder: 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11

24 Beispiel Preorder Vorgehensweise Wurzel Traversiere linken Teilbaum (in Preorder) Traversiere rechten Teilbaum (in Preorder) Traversierung in Preorder: 5, 2, 1, 3, 10, 7, 9, 11

25 Beispiel Postorder Vorgehensweise Traversiere linken Teilbaum (in Postorder) Traversiere rechten Teilbaum (in Postorder) Wurzel Traversierung in Postorder: 1, 3, 2, 9, 7, 11, 10, 5 9

26 UPN: Umgekehrte Polnische Notation Bei einigen Taschenrechnern (insb. hp) werden arithmetische Ausdrücke in Postorder eingegeben. Dieses Verfahren heißt umgekehrte, polnische Notation. Vorteile: Es werden keine Klammern benötigt man braucht weniger Tastendrücke als mit herkömmlichen Taschenrechnern

27 Beispiel Der arithmetischer Ausdruck: 3*(7-2) + 4 hat den Ableitungsbaum: + 3 * Durchlauf in Postorder: 3, 7, 2, - * 4 +

28 Arithmetische Ausdrücke in Postorder Gegeben 3*x-1 Eingabe in UPN: 3 x * 1 - Gegeben: 3*(4+x*(2-x))) Eingabe in UPN: 2 x - x * * Es besteht ein Zusammenhang mit dem Durchlaufen eines Ableitungsbaums für arithmetische Ausdrücke bei geeigneter Grammatik

29 Levelorder Traversierungsreihenfolge Besuch der Knoten eines Baumes schichtenweise Besuche zuerst die Wurzel danach die Wurzel des linken Teilbaums und die Wurzel des rechten Teilbaums u.s.w

30 Beispiel Levelorder Traversierung in Levelorder: Wurzel Wurzel linker Teilbaum Wurzel rechter Teilbaum usw. Traversierung in Levelorder: 5, 2, 10, 1, 3, 7, 11, 9